CHAPITRE : COMPLEXES Introduction : Quels nombres

CHAPITRE : COMPLEXES 1
I. Introduction :
1. Quels nombres connaissons-nous ? A quoi servent-ils ? :
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2. Le nombre i :
C’est un nombre dont _________________________________________________
3. L’ensemble des nombres complexes : on le note : ________________
On a :_________________________________________________________________
II. Forme algébrique d’un nombre complexe :
1. Définitions :
Chaque élément de  s’écrit de manière unique : z=a +ib.
 a est appelée _________________________de z .
 b est appelée __________________________de z.
Remarques :
 Si b=0 , on a z = a donc , z est ___________________________________.
 Si a = 0 , on a z =ib , on dit que z est : _____________________________.
2. Exercice : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres
complexes suivants :
 z = 2+3i
 z= –1+
i
 z=–3i
 z=
 z=4i –
 z=3 – 4i
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3. Propriété :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et
même partie imaginaire :
III. Calculs avec les nombres complexes :

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1. Somme de 2 nombres complexes :
z+z’ = _________________________________________________________
Exemple :
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_______________________________________________________________
2. Opposé d’un nombre complexe :
L’opposé de z = a + ib est : __________________________
3. Produit de deux nombres complexes :
z x z’ = _______________________________________________________
Remarque :
4. Exercice : Soit z=2+3i et z’=i – 5 .
Calculer et écrire sous forme algébrique : z + z’ , z – z’ , 2z – 3z’ ,
zz’ , z² , 2z + z’² .
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5. Conjugué d’un nombre complexe :

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On note :  le nombre conjugué de z .
Définition : ______________________________________________________
Remarques : z + =____________________
z x  =_______________________
Ce nombre conjugué permet de calculer l’inverse d’un nombre complexe et de l’écrire
sous la forme a+ib.
Calculer : z = 1
2+3i .
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_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
z’=
 .
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
On démontre que :
 le conjugué d’une somme est la somme des conjugués.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
 le conjugué d’un produit est le produit des conjugués.
________________________________________________________
_________________________________________________________
 Le conjugué de l’inverse est l’inverse du conjugué.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
 Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués.
_________________________________________________________
_________________________________________________________
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IV. Représentation géométrique des nombres complexes :

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1. Définitions :
On considère le plan P muni d’un repère orthonormé ( O ;   ).
A tout nombre complexe z=a+ib, on peut associer le point M de coordonnées M(a ;b).
Réciproquement, à tout point M de coordonnées M(a ;b) , on peut associer le nombre
complexe z=a+ib.
Définitions :
a. __________________ du nombre complexe z=a+ib est le point M de
coordonnées M (a ;b).
b. ___________________ du point M est le nombre complexe z= a+ib.
2. Définitions :
a. _____________________ du nombre complexe z=a+ib est le vecteur
=a +b .
b. _____________________ du vecteur  =a +b est le nombre complexe
z=a+ib.
3. Images de deux nombres complexes conjugués.
Soit M l’image de z=a+ib.
L’image M’ du conjugué de  = a – ib est le point M’, symétrique de M par rapport à la
droite des réels.
4. Propriétés :
Nous pouvons maintenant associer un vecteur à un nombre complexe. Nous allons
comparer les résultats obtenus avec les vecteurs et avec les nombres complexes.
 Addition : Si z1=a1+ib1 et z2=a2+ib2 sont les affixes respectives de M1 et de
M2 donc de  =  et de  =  alors z1 + z2 est l’affixe de  +   .
 Multiplication par un nombre réel : Si  est un nombre réel, alors z1 est
l’affixe de  .
 Conséquence :
z2 – z1 est l’affixe de  –  = 
Cette propriété est utilisée en sciences physiques.

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5. Module d’un nombre complexe
a. Définition :
Le module du nombre complexe z=a + ib est le nombre réel |z|= 
b. Interprétation géométrique :
Le module de z est la distance de O à M ( M : image de z ) ; c’est aussi la norme du vecteur
: |z| =OM=
c. Module d’une différence, distance entre deux points :
Soient z1 et z2 des nombres complexes d’images respectives : M1 et M2.
La distance entre M1 et M2 est égale au module de z2 – z1 ; on a :
M1M2 = | z2 – z1|=   
Ce résultat permet d’utiliser les nombres complexes pour démontrer des propriétés
relatives à des distances en géométrie plane.
Exercice : Le plan complexe est rapporté à un repère ( O ;   ) d’unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA =  + 3i ; zB = 2 et zc=2i.
1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
2. Calculer les modules des nombres complexes : zA – zC , zB – zA et zB –zC .
3. Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
4. En déduire que le triangle ABC est rectangle.