Théorie des valuations et résolution des singularités Table des matières

Théorie des valuations et résolution des singularités
25 août 2015
Table des matières
1 Introduction 1
2 Théorie des valuations 1
2.1 Anneauxdevaluation ................................. 1
2.2 Structure du groupe de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Rang d’un groupe abélien totalement ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2 Rang rationnel d’un groupe abélien totalement ordonné . . . . . . . . . . 4
2.2.3 Valuationsdiscrètes .............................. 5
2.2.4 Composition de valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Prolongements de valuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Géométrie algébrique 11
3.1 Vocabulaire....................................... 11
3.1.1 Ensembles algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Irréductibilité.................................. 13
3.1.3 Faisceaux et variétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.4 Dimension.................................... 15
3.1.5 Propriétéslocales................................ 16
3.1.6 Applications rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Résolution des singularités des surfaces en caractéristique zéro . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Uniformisation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.2 Espace de Riemann-Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 Introduction
Dans ce mémoire, on s’intéresse à la théorie des valuations sur un corps. On commence par
introduire les anneaux de valuation puis on leur associe plusieurs quantités permettant de les
classer – le rang, le rang rationnel et la dimension – dont on donne quelques propriétés.
Dans un second temps, on applique la théorie à un problème de géométrie, à savoir la ré-
solution des singularités des surfaces algébriques en caractéristique zéro. Il s’agit, à la donnée
d’une surface S, de savoir s’il est possible de trouver une surface lisse S0et une application
birationnelle φ:S0→S. On peut également chercher à obtenir des conditions supplémentaires
sur l’application φ, par exemple le fait qu’elle soit un morphisme (ce qui implique de pouvoir la
définir en tout point) ou pouvoir l’écrire comme composée d’éclatements.
On ne s’intéresse ici qu’au problème simplifié suivant : Étant donné un corps de fonctions
K/k de degré de transcendance 2, où kest un corps algébriquement clos de caractéristique zéro,
existe-t-il un modèle lisse de K(c’est à dire une surface lisse irréductible dont Kest le corps de
fonctions) ? On introduit pour cela l’espace de Riemann-Zariski S(K/k)de l’extension, l’espace
des valuations de Ktriviales sur kdont on montre qu’il est quasi-compact. On montre ensuite
la théorème suivant, qui est une étape essentielle de la résolution du problème par Zariski
Théorème 1.1 (Uniformisation locale).Soit K/k un corps de fonctions de degré de transcen-
dance 2. Pour toute valuation νde dimension zéro de S(K/k), il existe un modèle Sde Ktel
que le centre de la valuation νsur Kest un point régulier.
On expliquera ensuite rapidement comment Zariski a exploité (dans [6]) le théorème d’uni-
formisation locale et la quasi-compacité de l’espace de Riemann-Zariski pour arriver au résultat
final
Théorème 1.2. Soit K/k un corps de fonctions de degré de transcendance 2. Il existe un modèle
non-singulier de K.
On suit dans l’exposé l’article introductif de Michel Vaquié [4]. La partie de géométrie est
introduite par une sous-partie, malheureusement un peu longue, permettant d’introduire le vo-
cabulaire du sujet. Pour la démonstration de la résolution des singularités, on suit Zariski [5],
[6].
Je remercie chaleureusement mon maître de stage Hussein Mourtada de m’avoir proposé ce
sujet de stage assez difficile mais intéressant.
2 Théorie des valuations
2.1 Anneaux de valuation
On définit dans un premier temps la notion d’anneau de valuation d’un corps Ket on en
donne des caractérisations équivalentes.
Proposition-définition 2.1. Soit Aun anneau intègre de corps de fractions K.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. Aest local et maximal parmi les sous-anneaux locaux de Kpour l’ordre de domination 
défini par
AB⇐⇒ A⊂Bet max(A)⊂max(B)
2. Pour tout xde K, on a x6∈ A⇒x−1∈A
3. L’ensemble des idéaux de Aest totalement ordonné pour l’inclusion
1

4. L’ensemble des idéaux principaux de Aest totalement ordonné pour l’inclusion
5. Il existe un groupe commutatif totalement ordonné Γet une application (que l’on peut
supposer surjective) ν:K→Γ∪ {∞} vérifiant les conditions suivantes :
(a) Pour tous x, y de K,ν(xy) = ν(x) + ν(y)
(b) Pour tous x, y de K,ν(x+y)≥min(ν(x), ν(y))
(c) Pour tout x de K,ν(x) = ∞ ⇔ x= 0
(d) A={x∈K|ν(x)≥0}
Un anneau vérifiant l’une des conditions précédentes est appelé anneau de valuation de K.
Une application νvérifiant les conditions (a) à (c) est appelée une valuation de K.
Démonstration.
– Supposons 1. Soit xdans K. Supposons que xn’est pas dans A. Alors, l’idéal engendré par
max(A)dans A[x]est égal à A[x]. En effet, sinon, il serait inclus dans un idéal maximal met
en localisant, A[x]mserait un sous-anneau local de Kdominant strictement A. Il existe donc
m0, . . . , mn∈max(A)tels que
n
X
j=0
mjxj= 1, d’où (1 −m0)(x−1)n−
n
X
j=1
mj(x−1)n−j= 0.
Puisque 1−m0est inversible (sinon 1 = (1 −m0) + m0∈max(A)), x−1est entier sur
A. Supposons que l’idéal engendré par max(A)dans A[x−1]est égal à A[x−1]tout entier.
Alors, par le lemme de Nakayama, on dispose de a∈max(A)tel que (1 + a)A[x−1] = 0,
donc A[x−1]=0, ce qui est absurde. Ainsi max(A)est inclus dans un idéal maximal m0de
A[x−1]et l’anneau A[x−1]m0domine A. Ainsi, on a A[x−1]m0=Aet donc x−1∈A.
– Supposons 2. Soient Iet Jdeux idéaux de A. Supposons I6⊂ Jet J6⊂ I. Soient x∈I\J
et y∈J\I. D’après 2., x
you y xest dans Adonc xest dans Jou yest dans I, ce qui est
absurde. On obtient ainsi 3.
– 3. implique manifestement 4.
– Supposons 4. Notons ∞= (0) et Γ+={(x), x ∈A\ {0}}.Γ+est un monoïde commutatif
pour la multiplication des idéaux (de neutre A= (1)) totalement ordonné (d’après 4.)
par l’inclusion. Par symétrisation (construction analogue à la construction de Zdepuis N),
on peut plonger Γ+dans un groupe commutatif totalement ordonné Γde sorte que Γ =
Γ+∪(−Γ+). L’application ν:x7→ (x)se prolonge alors naturellement en une application
˜ν:K→Γ∪ {∞} vérifiant les conditions (a) à (d).
– Supposons 5. Aest local puisqu’on vérifie que l’ensemble A\A×={x∈A|ν(x)>0}est
un idéal de A.Aest maximal pour l’ordre de domination, en effet soit Bun sous-anneau
local de Ktel que AB. Supposons A(Bet soit x∈B\A. On a x−1∈max(A)donc
x−1∈max(B)donc x6∈ B, absurde. Ainsi A=B, ce qui montre 1.
Il découle de la démonstration que l’on peut naturellement associer à une valuation νd’un
corps Kun anneau de valuation Aν={x∈K|ν(x)≥0}de K, un corps dit corps résiduel
κν=Aν/max(Aν)et un groupe commutatif totalement ordonné Γν=ν(K∗)∼
=K∗/A×, son
groupe de valeurs et qu’à un anneau de valuation de K, on peut associer une valuation ν:K→
Γ∪{∞}. On va voir dans la proposition suivante que cette valuation est essentiellement unique
(ce qui permettra de parler de "la" valuation associée à un anneau de valuation).
Définition 2.1. Soient νet ν0deux valuations d’un corps Kde groupes de valeurs respectifs
Γet Γ0. On dit que νet ν0sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupes ordonnés
φ: Γ →Γ0tel que ν0
|K∗=φ◦ν|K∗.
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Proposition 2.1. Soient νet ν0deux valuations d’un corps K.νet ν0sont isomorphes si et
seulement si elles ont le même anneau.
Démonstration. Soit νune valuation de Kd’anneau A. Il suffit de montrer que νest isomorphe
à la valuation µde Kconstruite dans la démonstration précédente. Soit Il’ensemble des idéaux
principaux non nuls de A. Comme vu précédemment, (I,·,⊇)est un monoïde commutatif totale-
ment ordonné. Il suffit de montrer qu’il est isomorphe à (Γ+,+,≤)(où Γ+={x∈Γ|x≥0}). Or,
si γ∈Γ+, l’idéal φ(γ)engendré par ν−1({γ})est non nul et principal (puisque tous les éléments
de ν−1({γ})sont associés).
L’application φ: Γ+→Iest alors un isomorphisme de monoïdes ordonnés. En effet, elle est
manifestement bijective d’inverse (x)7→ ν(x)(application bien définie puisque deux générateurs
d’un idéal principal sont associés). D’autre part, si γet γ0sont dans Γet s’écrivent γ=ν(x)
et γ0=ν(x0)avec x, x0∈A{0}, alors on a φ(γ+γ0) = φ(ν(xx0)) = (xx0)=(x)(x0)et on a les
implications γ≤γ0⇒x|x0⇒(x)⊇(x0).
Dans la suite, on ne distingue pas des valuations isomorphes.
Exemple.
– La valuation triviale ν:K→ {0,∞} définie par
ν(x) = 0si x6= 0
∞sinon
est une valuation sur Kd’anneau K.
– Soit ppremier. Pour tout x∈Q∗, on dispose d’après le théorème fondamental de l’arith-
métique d’un unique νp(x)∈Ztel que x=pνp(x)a
bavec a, b non divisibles par p. Alors νp
est une valuation de Qd’anneau Z(p)=npna
b|n∈N, a, b ∈Z\pZo.
2.2 Structure du groupe de valeurs
Dans un second temps, on s’intéresse à la structure du groupe de valeurs et à son rapport avec
la structure de l’anneau de valuation. On introduit pour cela deux quantités qui permettent de
donner deux notions différentes de dimension : le rang rationnel qui mesure la dimension sur Qdu
groupe (défini comme la taille maximale d’une famille Z-libre) et le rang d’une valuation νd’un
corps Kqui mesure sa "dimension" sur R(en un sens que nous allons préciser). On introduit
pour ce faire quelques définitions préliminaires sur les groupes abéliens totalement ordonnés.
Dans tout ce qui suit, Γdésigne un groupe abélien totalement ordonné.
2.2.1 Rang d’un groupe abélien totalement ordonné
Définition 2.2.
– On appelle segment de Γtoute partie ∆de Γtelle que, pour tout xde ∆et tout yde Γ,
on ait les implications −x≤y≤x⇒y∈∆et x≤y≤ −x⇒y∈∆.
– Un sous-groupe de Γqui est également un segment est dit isolé.
– On appelle rang du groupe Γle nombre de ses sous-groupes isolés stricts.
– On appelle rang de la valuation νle rang du groupe Γν.
On donne ensuite des caractérisations équivalentes du rang de νen fonction de Aν:
Proposition 2.2. Soit νune valuation d’un corps Kd’anneau Aet de groupe de valeurs Γ.
3

1. Soit Iun idéal de A. On note ∆I= Γ∞\(ν(A)∪(−ν(A))). L’application I7→ ∆Iest une
bijection de l’ensemble des idéaux stricts de Adans l’ensemble des segments de Γrenversant
les inclusions. De plus, Iest premier si et seulement si ∆Iest un sous groupe isolé. En
particulier, on a rg (ν) = dim(A).
2. Soit Run sous-anneau local de Kcontenant A.Rest un anneau de valuation, on a
max(R)⊂max(A)et max(R)est un idéal premier de A. D’autre part l’application de
localisation p7→ Apréalise une bijection de l’ensemble des idéaux premiers de Adans
l’ensemble des sous-anneaux locaux de Kcontenant Arenversant les inclusions.
Démonstration.
1. Notons tout de suite que puisque 0∈I, on a ∆I⊂Γ. Soient ensuite α=ν(a)∈∆Iet
β=ν(b)∈Γtels que −α≤β≤α. Si β6∈ ∆I, on peut choisir bdans I, or on a ν(ab−1)≥0
donc il existe c∈Atel que a=bc ∈I, ce qui est absurde.
L’application I7→ ∆Iva donc de l’ensemble des idéaux de Adans l’ensemble des segments
de Γ, est décroissante pour l’inclusion (clair au vu de la définition) et inversible d’inverse
∆7→ {x∈A|ν(x)6∈ ∆}.
Si Iest premier, on a x, y de A\I,ν(x) + ν(y)≥0et ν(x) + ν(y)6∈ Idonc pour tous
u, v ∈∆+
I={x∈∆I|x≥0}, on a u+v∈∆+ I. Puisque −max(u, v)≤u−v≤max(u, v)et
max(u, v)∈∆+
Idonc u−v∈∆I. Ainsi ∆Iest stable par somme et est donc un sous-groupe
isolé de Γ.
2. Soit Run sous-anneau local de Kcontenant A. On a pour tout xde K∗,x∈Aou
x−1∈Adonc x∈Rou x−1∈Rdonc Rest un anneau de valuation. Par ailleurs, si
max(R)6⊂ max(A), soit x∈R\A. On a x−1∈max(A)donc x−1∈max(R)donc x6∈ R,
ce qui est une contradiction. Ainsi max(R)⊂max(A).max(R)est premier dans Apuisque
A/ max(R)est un sous-anneau de R/ max(R)qui est un corps.
L’application de localisation est alors une bijection renversant les inclusions de l’ensemble
des idéaux premiers de Adans l’ensemble des sous-anneaux locaux de Kcontenant A
d’inverse R7→ max(R).
2.2.2 Rang rationnel d’un groupe abélien totalement ordonné
Définition 2.3. On définit le rang rationnel de Γpar rg rat Γ = dimQ(Γ ⊗ZQ).
Il découle du théorème de structure des groupes abéliens de type fini que le rang rationnel
de Γest le cardinal maximal (s’il existe) d’une famille Z-libre de Γet est nul si et seulement si
Γest de torsion.
La proposition suivante découle aisément de la formule du rang :
Proposition 2.3. Soit Γ0un sous-groupe de Γ. On a rg rat Γ = rg rat Γ0+ rg rat (Γ/Γ0).
On établit enfin une relation entre rang et rang rationnel :
Proposition 2.4. Soit Γ0un sous-groupe de Γ. On a rg Γ ≤rg Γ + rg rat (Γ/Γ0). En particulier
rg Γ ≤rg rat Γ.
Démonstration. On montre par récurrence que pour tout n∈N, on a pour tout groupe abélien
totalement ordonné Γde rang supérieur ou égal à net tout sous-groupe Γ0de Γ,n≤rg Γ0+
rg rat (Γ/Γ0).
– Le cas n= 0 est clair.
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