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Rappel sur le calcul vectoriel
II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL
$ $ $ $ !$ $ $
1/ GRANDEUR SCALAIRE(
$ $%&$
)
Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité
correspondante.
Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie…
)
2/ GRANDEUR VECTORIELLE(
On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un
point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module.
Exemple : le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique…
3/ REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UN VECTEUR (
Un vecteur est représenté par un segment orienté (figure2.1).
):
V : représente le vecteur (avec ses quatre caractéristiques).
V = V = V : représente le module ou l’intensité du vecteur.
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V
O
Fig 2.1: représentation d’un vecteur
): c’est un vecteur de module égal à l’unité (le
4/ LE VECTEUR UNITAIRE (
nombre un).
On peut exprimer un vecteur parallèle au vecteur unitaire sous la forme :
V = uV = V u
(2.1)
u
V
O
Fig 2.2: vecteur unitaire
:
5/LA SOMME GEOMETRIQUE DES VECTEURS (
)
Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de
géométrique.
La somme de deux vecteurs : c’est une opération commutative.
On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus (
que nous démontrerons plus tard :
D = V12 + V2 2
A.FIZAZI
2VV
cos
1 2
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!
" #)
(2.2)
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Rappel sur le calcul vectoriel
V2
V2
V
V
V = V1 + V2
V = V2 + V1
V1
V1
Pour déterminer la direction de V , il suffit de chercher la valeur de l’angle
(figure 2.4). Raisonnons à partir du triangle ACD de la figure 2.5 :
sin
sin
=
=
CD CD
=
AC
V
V
V
= 2
sin
sin
CD CD
=
BC V2
(2.3)
= V 2 .sin
V .sin
C
V2
V
E
0
A
V1
B
D
De même dans le triangle BEC nous avons :
sin
sin
A.FIZAZI
BE
BC
BE
=
AB
=
V2
V
= 1
sin
sin
V2 .sin
= V1.sin
(2.4)
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Rappel sur le calcul vectoriel
De (2.3) et (2.4) nous pouvons en déduire la formule générale (2.5), appelée loi des sinus
" #):
(!
V
V
V
= 1 = 2
sin
sin
sin
(2.5)
V2
V1
La somme géométrique de plusieurs vecteurs : (voir figure2.5)
Cas particulier : Si
2
=
2
alors V = V1 + V2
2
et tan
=
V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5
V
V3
V2
V4
V5
V1
O
Fig 2.5: Somme de plusieurs vecteurs
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La soustraction de deux vecteurs : ("
' ( ) figure 2.6
Géométriquement, le vecteur D représente le résultat de la soustraction entre les deux
vecteurs V2 et V1 . Nous pouvons écrire : D = V2 V1
Cette équation peut aussi s’écrire : D = V2 + ( V1 )
La soustraction de vecteurs est anticommutative, c’est ce qui ressort de la figure 2.6 :
D'=
D
Le module du vecteur D :
D = V12 + V2 2
A.FIZAZI
2VV
cos
1 2
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(2.6)
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Rappel sur le calcul vectoriel
6/ COMPOSANTES D’UN VECTEUR (
) % ):
Chaque vecteur peut être considéré comme étant la somme de deux vecteurs ou plus (le
nombre de possibilités est illimité).
Dans le plan, soit le repère R (O; i , j ) :
En coordonnées rectangulaires : on décompose le vecteur V suivant l’axe des X et
l’axe des Y, comme indiqué sur la figure2.7.
Y
V
Vy
V = Vx + Vy
V x = V cos
V y = V sin
u
j
O
i
X
Vx
Fig 2.7: Composantes d’un vecteur
En désignant les deux vecteurs unitaires i et j , respectivement dans les directions des
deux axes OX et OY, nous pouvons écrire :
Vx = i .Vx , Vy = j .Vy
;
V = Vx + Vy ; V = i .Vx + j .Vy ;
V = i .V cos + j .V sin
(2.7)
V = V (i .cos + j .sin )
Or V = u .V , d’où :
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Rappel sur le calcul vectoriel
u = i .cos + j .sin
2
Quant à la norme du vecteur V , elle vaut : V = V x + V y
(2.8)
2
En utilisant les coordonnées x et y nous pouvons aussi écrire : V = x 2 + y 2
Exemple 2.1 : Trouver la résultante des deux vecteurs V1
x1
x
; V2 2
y1
y2
dans le repère
R (O ; i , j ) .
Réponse :
; V = i ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 ) D V = ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 ) 2
V = V1 + V2
Exemple 2.2 : Trouver la différence des deux vecteurs V1
x1
x
; V2 2
y1
y2
dans le repère
R (O ; i , j ) .
Réponse :
V = V1 V2
; V = i (x 1
x 2 ) + j ( y1
V = ( x1
y2 )
x2 )2 + ( y1
y2 ) 2
Dans l’espace : dans le repère R (O; i , j , k ) (base orthonormée), nous remarquons
que V = V x + V y + V z
V = i .Vx + j .V y + k .Vz . (figure 2.8)
Z
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Vz
r
k
i
V
j
Vy
Y
Vx
X
Fig 2.8: composantes d’un vecteur
Nous pouvons nous assurer géométriquement que :
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Rappel sur le calcul vectoriel
cos =
sin =
cos =
sin =
Vz
r
Vz = r.cos
= r.sin ;
r
Vx
Vy
Vx = .cos
Vx = r.sin .cos
Vy = .sin
Vy = r sin .sin
En résumé :
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V x = V sin . cos
(2.9)
V y = V . sin . sin
V z = V . cos
Quant au module du vecteur V il est égal à : V = Vx 2 + V y 2 + Vz 2
Ou en coordonnées cartésiennes : V =
x2 + y2 + z 2
Remarque : En notant par et
les angles respectifs formés par le vecteur V
avec les axes OX et OY , et de la même façon que nous avons obtenu l’équation
2.9, il vient :
Vx = V .cos
, Vy = V .cos
(2.10)
, Vz = V .cos
Nous pouvons en déduire l’expression :
cos 2
+ cos 2
+ cos 2
(2.11)
=1
Exemple 2.3 : Trouver la distance qui sépare les deux points A (10, 4, 4 ) u
et
B (10,6,8 ) u , représentés dans le repère rectangulaire R (O ; i , j , k ) , avec u = unité .
Réponse :
En représentant les deux points dans le repère, on se rend compte que la distance
demandée n’est autre que le module du vecteur D , qui est la différence entre les deux
vecteurs : D = V2 V1
Soit :
D = i ( x2
x1 ) + j ( y 2
y1 ) + k ( z 2
z1 )
D = ( x2
D = i (0) + j (10) + k (4)
A.FIZAZI
x1 ) 2 + ( y 2
y1 ) 2 + ( z 2
z1 ) 2
D = 116 = 10.77u
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Rappel sur le calcul vectoriel
Exemple 2.4 : Trouver la résultante des cinq vecteurs suivants :
V1 = (4i
3 j ) u;V2 = ( 3i + 2 j ) u; V3 = (2i
Réponse :
V = (4 3 + 2 + 7 + 9)i + ( 3 + 2 6 8 + 1) j
6 j )u;V4 = (7i
8 j )u;V5 = (9i + j )u
V = 19i 14 j
V = 361 + 196 = 23.60u
Vy
Pour trouver la direction du vecteur V , nous partons de l’expression tan =
,
est
Vx
l’angle formé par le vecteur V et l’axe OX :
= 14
tan
36,38°
0,737
19
7/ LE PRODUIT SCALAIRE (
*
):
Définition : On appelle produit scalaire de deux vecteurs V1 et V2 le nombre réel
V1 .V2
: V1.V2 = V1.V2 .cos(V1.V2 )
Ou V1.V2 =
1
V 1 + V2
2
2
V1
2
(2.12)
V2
2
(2.13)
Cas particulier :
Si V1 = 0 ou V2 = 0 , alors V1 .V2 = 0
Si V1
0 et V2
0 , alors :
V1
V2
V1 // V2
(V1 , V2 ) =
cos = 0 V1.V2 = 0
2
2
(V1 ,V2 ) = 0 cos 0 = 1 V1.V = V1V2
Exemple:
Le travail de la force F qui provoque un déplacement AB est donné par la
formule W = F . AB. cos tel que = ( F ; AB) (on lit W est le produit scalaire de
F par AB ), on écrit :
W = F . AB
W=F.AB.cos
Démontrons à présent la relation (2.2) comme nous l’avons promise :
2
2
2
2
V = V1 + V2 ; V = V1 + V2 + 2V1V2 ; V 1 = V1.V 1 = V1V1 cos(V 1V 1 ) = V12 ;
V 2 = V12 + V2 2 + 2VV
1 2 cos(V 1V 2 )
V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos(V 1V 2 )
Expression analytique du produit scalaire ( LM N OPM QRMRM S TU )
Dans le plan(+
, ) : Soit les deux vecteurs V1 et V2 contenus
dans le plan, tel que :
x
x
V1 1 ; V2 2
y1
y2
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Rappel sur le calcul vectoriel
Dans le repère
R (O ; i , j )
V1.V2 = ( x1.i + y1. j ) .( x2 .i + y2 . j ) = x1.x2 .i .i + x1. y2 .i . j + x2 . y1. j .i + y1. y2 . j . j
i
j .i = i . j = 0
j
V1.V2 = x1.x2 + y1. y2 .
(2.14)
i .i = j . j = i 2 = j 2 = 1
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Dans l’espace (* -.
,) :
Soit les deux vecteurs V1 et V2 dans le repère R (O ; i , j ; k )
i . j = i .k = j .k = 0
i = j = k =1
x1
x2
V1 y1
z1
; V2 y2
z2
V1 .V2 = x1 .x2 + y1 . y2 + z1 .z2
(
(2.15)
/0 12) :
Propriétés du produit scalaire (
*
Commutatif (
) V 1 .V 2 = V 2 .V 1
Non associatif (
:
)
3): V1. V2 .V3 n’existe pas car le résultat serait un vecteur.
Distributif ( XYZ ) par rapport à la somme vectorielle :
(
)
V1. V2 + .V3 = V1.V2 + V1.V3
Exemple 2.5 : Calculer l’angle compris entre les deux vecteurs : V 1 = 3i + 2 j
k
et V 2 = i + 2 j + 3k .
Réponse :
Partant de l’expression du produit scalaire, on peut écrire :
cos(V 1V 2 ) =
V1 .V 1
V1V2
Donc :
V1.V 1 = 3 + 4 3 = 2 ; V1 = 9 + 4 + 1 = 3,74 ; V2 = 1 + 4 + 9 = 3,74
cos(V 1V 2 ) =
2
V1.V 1
=
= 0,143
V1V2 14
= (V 1V 2 ) = 96,2°
8/ LE PRODUIT VECTORIEL (
*
):
Définition : On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V1 et V2 le vecteur W
perpendiculaire au plan qu’ils constituent.
Nous écrivons par convention : W = V1 V2 = V1 × V2
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Rappel sur le calcul vectoriel
W
V1
O
V2
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W
Fig 2.9: produit vectoriel
caractéristiques du vecteur W (
)4 )
W est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs, son sens est déterminé
par la règle de la main droite (l’index indiquant W ), son module est donné par la
formule 2.16 :
W = W = V1.V2 .sin(V1.V2 )
Important :
i
i = j
j =k
i
j =k ;i
i
j = i
(2.16)
k =0
k = j ;j
k = j
k =i
k =1
Remarque : la grandeur W = W = V1 .V2 .sin(V1 ;V2 ) représente l’aire du parallélogramme
formé par les deux vecteurs, ce qui laisse sous entendre la possibilité de lier un vecteur à une
certaine surface.
Méthode utilisée pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs :
x1
x2
V1 y1 ; V2 y 2
z1
z2
En utilisant les coordonnées cartésiennes dans le repère R (O ; i , j , k ) , on peut écrire :
+i
j
W = x1
y1
z1 = i
x2
y2
z2
W = ( y1 z2
+k
y2 z1 ) i
y1
z1
y2
z2
(x z
1 2
j
x1
z1
x2
z2
x2 z1 ) j + ( x1 y2
+k
x1
y1
x2
y2
x2 y1 ) k
Le module du vecteur est donné par l’expression :
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Rappel sur le calcul vectoriel
(y z
W=
y2 z1 ) + ( x1 z2
2
1 2
x2 z1 ) + ( x1 y2
x2 y1 ) = V1 .V2 .sin(V1 ,V2 )
2
2
Propriétés du produit vectoriel (
N OP ]^ _`)
Anticommutatif ( ) V1 V 2 = V 2 V1
Non associatif (
Distributif (
(V
3): V1
2
V3
) (V
1
V2
)
(2.17)
V3
4 ) par rapport à la somme vectorielle :
(V + V ) = (V
V1
2
3
1
) (
V2 + V1 V3
)
Exemple 2.6 : Calculer le vecteur W , produit des deux vecteurs : V1 = (2,1, 1) et
V2 = (1, 0, 2) , en déduire l’angle
Réponse :
W = [ (1 × 2 ) (0 × 1)].i
(2 ×
compris entre eux.
2) (1 × 1) . j +
( 2 × 0)
(1 × 1) .k
W = 2i + 3 j
k
V1 = 22 + 12 + 12 = 6
V2 = 12 + 0 + 2 2 = 5
W = 22 + 32 + 12 = 14 = 3,74
3,74
W
sin =
= 0,683
W = V1.V2 .sin = 3,74 sin =
V1.V2
30
9/ LE PRODUIT MIXTE (( 2
= 43,06°
):
*
Le produit mixte de trois vecteurs V 1 , V 2 et V 3 est la quantité scalaire définie par :
(
V1. V2
x1
V3 = x2
x3
)
y1
y2
y3
z1
z2 = ( y2 z3
z3
y3 z2 ) x1
( x2 z3
x3 z2 ) y1 + ( x2 y3
x3 y2 ) z1
(2.18)
10/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT DE L’ESPACE
(* -. " (
4 )
Définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est le
vecteur défini par :
! O = OA V
(2.19)
Remarque :
! O = au double de l’aire du triangle AOB . (Figure2.10-a-)
11/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN AXE
(UZ
L Q b c d ef )
Première définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est égal à la
projection de ce vecteur par rapport à un point quelconque de cet axe.
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Rappel sur le calcul vectoriel
Deuxième définition : Le moment du vecteur V par rapport à un axe " ,
d’origine O et de vecteur unitaire u , est égal au produit mixte :
(
)
! " = ! O .u = OA V .u
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(2.20)
Remarque : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est une grandeur
scalaire, par contre le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est
un vecteur (Figure2.10-b-)
!"
!O
!O
u
O
!"
O
B
! O'
B
O'
(")
V
A
V
A
12/GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL (i UjO j O
S klUOS ) :
Définitions :
On dit que la fonction f ( x, y, z ) est un champ scalaire si la fonction f ( x, y, z )
est un scalaire.
On dit que la fonction V ( x, y, z ) est un champ vectoriel si la fonction est
vectorielle.
On définit l’opérateur ( mnL ) différentiel vectoriel #(nabla ) par :
#=
$
$
$
i +
j+ k
$x
$y
$z
(2.21)
Où :
$ $
$
,
et
sont respectivement les dérivées partielles par rapport à x, y et z .
$x $y
$z
Nous allons définir le gradient, la divergence et le rotationnel à l’aide de cet
opérateur.
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Rappel sur le calcul vectoriel
LE GRADIENT (lUOS ):
Si f ( x, y, z ) est une fonction scalaire, son gradient est un vecteur défini comme
étant :
$f
$f
$f
grad f = #( f ) =
i+
j+ k
(2.22)
$x
$y
$z
Exemple 2.7 : Calculer le gradient de la fonction f ( x, y, z ) = f = 3 x y z .
2
3
Réponse : grad f = 6 xy 3 z.i + 9 x 2 y 2 z. j + 3x 2 y 3 .k
LA DIVERGENCE (O S ):
Si V = (V x ,V y ,V z ) est une fonction vectorielle, sa divergence est un scalaire défini
comme étant :
divV = #.V =
$Vx $Vy $Vz
+
+
$x
$y
$z
(2.23)
Exemple 2.7 : Calculer la divergence de la fonction vectorielle
V ( x, y, z ) = 2 xyi
Réponse : divV = 2 y
3 yz 2 j + 9 xy 3 k
3z 2 + 0 = 2 y 3z 2
LE ROTATIONNEL (i UjO ):
Si V = (V x ,V y ,V z ) est une fonction vectorielle, son rotationnel est un vecteur
défini comme étant :
rot (V ) = # V =
$Vz
$y
$Vy
$z
.i
$Vy
$Vx
.j +
$z
$x
$Vz
$x
$Vx
.k
$y
(2.24)
Démarche à suivre :
a/ Etablir la matrice suivante :
rotV =
+i
j
$
$x
Vx
$
$y
Vy
+k
$
= A+ B +C
$z
Vz
b/ Pour calculer A, B, C il suffit de se rappeler de la règle du produit vectoriel :
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Rappel sur le calcul vectoriel
+i
$
$y
Vy
A=
$
$Vz
= +i
$z
$y
Vz
$Vy
$z
-j
B=
$
$x
Vx
$
$Vz
= -j
$z
$x
Vz
$Vx
$z
k
C=
$
$x
Vx
$
$y
Vy
$Vy
$x
= +k
$Vx
$y
c/ On arrive à l’expression finale (2.24) :
+i
j
$
$x
Vx
$
$y
Vy
+k
$Vz
$
= +i
$z
$y
Vz
$Vy
$z
-j
$Vz
$x
$Vx
$Vz
+k
$z
$x
$Vx
$z
Exemple 2.7 : Calculer le rotationnel du vecteur :
V ( x, y, z ) = 2 xyi 3 yz 2 j + 9 xy 3 k
Réponse :
(
rot (V ) = ( 27 xy
rot (V ) = 27 xy 2
2
)
6 yz ) .i
6 yz .i
(9 y 3
0). j + (0 2 x).k
9 y3 j
2 xk
13/ LE LAPLACIEN (" 5 6) :
Définitions :
En coordonnées cartésiennes :
Le Laplacien d’une fonction scalaire est égal à la divergence de son
gradient :
#.# ( f ) = # 2 ( f ) =
A.FIZAZI
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$2 f $2 f $2 f
+
+
$x 2 $y 2 $z 2
(2.25)
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30
Rappel sur le calcul vectoriel
Le Laplacien d’une fonction vectorielle est égal à la divergence de son
gradient :
$ 2Vy
$ 2 Vx
$ 2Vz
i+
j+ 2 k
#.# V = # (V ) =
$x 2
$y 2
$z
( )
2
(2.26)
REMARQUE
Vous trouverez, à la fin de ce document en annexe, un formulaire regroupant le
gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien dans les différentes coordonnées :
cartésiennes, cylindriques et sphériques.
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