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Rappel sur le calcul vectoriel   
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
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1/ GRANDEUR SCALAIRE ) (
Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité
correspondante.
Exemple :le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie…
2/ GRANDEUR VECTORIELLE ) (
On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un
point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module.
Exemple :le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique…
3/ REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UN VECTEUR )  (:
Un vecteur est représenté par un segment orienté (figure2.1).
V
:représente le vecteur (avec ses quatre caractéristiques).
VVV
==
:représente le module ou l’intensité du vecteur.
V
O
Fig 2.1: représentation d’un vecteur
4/ LE VECTEUR UNITAIRE ) (:c’est un vecteur de module égal à l’unité (le
nombre un).
On peut exprimer un vecteur parallèle au vecteur unitaire sous la forme :
VuVVu
== (2.1)
O
u
V
Fig 2.2: vecteur unitaire
5/LA SOMME GEOMETRIQUE DES VECTEURS )  (:
Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de
géométrique.
La somme de deux vecteurs :c’est une opération commutative.
On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus )  ! "#(
que nous démontrerons plus tard :
22
12 12
2cos
DVV VV =+(2.2)
II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL
$$$$ !$$$ $$%&$
:::676067+%/2*6327&20
:::676067+%/2*6327&20

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12
21
VVV
VV V
=+
=+
1
V
2
V
V
1
V
2
V
V
Pour déterminer la direction de V ,il suffit de chercher la valeur de l’angle
(figure 2.4). Raisonnons à partir du triangle ACD de la figure 2.5 :
(2.3)
AB
E
1
V
2
V
V
0
C
D
De même dans le triangle BEC nous avons :
1
sin
.sin .sin
sin
21
2
BE
VV
BC
VV
BE sin sin
AB
===
=(2.4)
2
sin
sin
CD CD
AC V
CD CD
BC V
==
==
sin
sin
2
VV =2
.sin .sin
VV
=
:::676067+%/2*6327&20

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De (2.3) et (2.4) nous pouvons en déduire la formule générale (2.5), appelée loi des sinus
)! "#(:
(2.5)
12
sin sin sin
VVV
==
Cas particulier :Si
2
=alors 2
2
2
1VVV += et
2
1
tan
V
V
=
La somme géométrique de plusieurs vecteurs : (voir figure2.5)
54321 VVVVVV
++++=
1
V
2
V
V
3
V
4
V
5
V
O
Fig 2.5: Somme de plusieurs vecteurs
La soustraction de deux vecteurs :)" '( (figure 2.6
Géométriquement, le vecteur
D
représente le résultat de la soustraction entre les deux
vecteurs 2
V et 1 V . Nous pouvons écrire :
21
DV
V
=
Cette équation peut aussi s’écrire : )( 12 VVD +=
La soustraction de vecteurs est anticommutative, c’est ce qui ressort de la figure 2.6 :
'
DD
=
Le module du vecteur
D
:
22
12 12
2cos
DVV VV =+(2.6)
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6/ COMPOSANTES D’UN VECTEUR ( )%):
Chaque vecteur peut être considéré comme étant la somme de deux vecteurs ou plus (le
nombre de possibilités est illimité).
Dans le plan, soit le repère R
(;,)
Oi j
:
En coordonnées rectangulaires : on décompose le vecteur
V
suivant l’axe des X et
l’axe des Y, comme indiqué sur la figure2.7.
V
y
V
O
X
Y
i
j
x
V
u
Fig 2.7: Composantes d’un vecteur
xy
VV V
=+
cos
sin
x
y
VV
VV
=
=
En désignant les deux vecteurs unitaires i et j ,respectivement dans les directions des
deux axes OX et OY, nous pouvons écrire :
..;
..
. cos . sin ( .cos .sin )
xxy y
xy x y
ViV , V jV
V V V ; V iV jV ;
ViV jV VVi j
==
=+ = +
=+ =+
(2.7)
Or
.
VuV
=
, d’où :

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.cos .sin
ui j
=+ (2.8)
Quant à la norme du vecteurV ,elle vaut : 22
y
xVVV +=
En utilisant les coordonnées x et y nous pouvons aussi écrire : 22 yxV +=
Exemple 2.1 : Trouver la résultante des deux vecteurs 
2
2
2
1
1
1V; y
x
y
x
V
dans le repère
R
(;,)
Oij
.
Réponse :
22
12 12
()( )
Vxx yy=+++ D
12 12 12
;()( )
VVV Vix x jy y
=+ = + + +
Exemple 2.2 : Trouver la différence des deux vecteurs 
2
2
2
1
1
1V; y
x
y
x
V
dans le repère
R
(;,)
Oij
.
Réponse :
22
12 12
()( )
Vxx yy=+)()x(xiV; 212121 yyjVVV +==
Dans l’espace :dans le repère R
(;,,)
Oi jk
(base orthonormée), nous remarquons
que
xyz
VV V V
=++
...
xyz
ViV jV kV
=++ .(figure 2.8)
Y
X
Z
x
V
V
z
V
y
V
r
j
i
k
Fig 2.8: composantes d’un vecteur
Nous pouvons nous assurer géométriquement que :
:::676067+%/2*6327&20