Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques
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Déterminants I Formes n-linéaires I.A Définition d’une forme n-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . I.B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.C Espace vectoriel des formes n-linéaires sur E . . . . . . . . I.D Forme n-linéaire symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.E Forme n-linéaire antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . I.F Forme n-linéaire alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.G L’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées . . . . . . I.H Les propriétés fondamentales d’une forme n-linéaire alternée . . . . . . . . 1 1 1 2 2 2 2 3 3 II Etude des formes n-linéaires alternées en dimension n II.A Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.B Déterminant et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 III Calcul des déterminants III.A Invariance par transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.B Méthodes pour simplifier le calcul d’un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.C Développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . . 5 5 5 5 IV Déterminant d’un endomorphisme IV.A Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.A.1 Propriétés du déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.B Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Inverse d’une matrice carrée par la comatrice 11 V.A Cofacteurs et comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 V.B Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur K = R ou C. I Formes n-linéaires I.A Définition d’une forme n-linéaire Définition 1. Soit ϕ : En → − → − → (x1 , x2 , . . . , − x→ n ) 7→ K →, − → − → ϕ(− x 1 x2 , . . . , xn ) − ϕ est appelée forme n-linéaire si ϕ est linéaire par rapport à chaque → xi I.B Exemples – E = R3 , n = 2. x1 y1 ϕ : x2 , y2 7→ x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 x3 y3 est une forme bilinéaire sur R3 . x1 y1 C’est une application de R3 × R3 dans R, linéaire par rapport à x2 et à y2 . x3 y3 – ϕ : (a, b) 7→ ab est une forme bilinéaire sur R ; c’est une application de R × R dans R, linéaire par rapport à a et par rapport à b. − − – E est un espace vectoriel de dimension 2 sur K, rapporté à une base E = (→ e1 , → e2 ), et n = 3. − − − ϕ : (→ x,→ y ,→ z ) 7→ x1 y2 z2 − x2 y1 z1 est une forme trilinéaire sur E. 1 Exercice 1 ϕ étant trilinéaire sur E, développer : − − − − − − − ϕ(2→ u +→ v ,→ u −→ v +→ w,→ w −→ u) et remarquer l’analogie avec le développement dans R d’un produit comme (2a + b)(a − b + c)(c − a). [det201] I.C Espace vectoriel des formes n-linéaires sur E Il est clair que l’application nulle de E n dans K, est une forme n-linéaire particulière, que la somme de deux formes n-linéaires et le produit par un scalaire d’une forme n-linéaire, sont des formes nlinéaires. Les formes n-linéaires sur E constituent donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel F(E n , K) des applications de E n dans K. On notera Ln (E, K) le K-espace vectoriel des formes n-linéaires sur E. I.D Forme n-linéaire symétrique →, − → − → Définition 2. ϕ est dite symétrique si ϕ(− x 1 x2 , . . . , xn ) est invariant par échange de deux vecteurs : →, − → − → − → → − → − − → − → → − → − − → n ∀ (− x 1 x2 , . . . , xn ) ∈ E , ϕ(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) = ϕ(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn ) Exemple 1. Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique (définie positive). I.E Forme n-linéaire antisymétrique →, − → − → Définition 3. ϕ est dite antisymétrique si ϕ(− x 1 x2 , . . . , xn ) est changé en son opposé par échange de deux vecteurs : →, − → − → − → → − → − − → − → → − → − − → n ∀ (− x 1 x2 , . . . , xn ) ∈ E , ϕ(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) = −ϕ(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn ) − − Exemple 2. soit E un espace vectoriel de dimension 2 sur K, rapporté à une base E = (→ e1 , → e2 ). → − → − L’application ϕ : ( x , y ) 7→ x1 y2 − x2 y1 , est une forme bilinéaire antisymétrique sur E. I.F Forme n-linéaire alternée →, − → − → Définition 4. ϕ est dite alternée si ϕ(− x 1 x2 , . . . , xn ) est nul dès que deux des vecteurs sont égaux. Théorème 1. Soit ϕ une forme n-linéaire sur un K-espace vectoriel E : ϕ est alternée ⇐⇒ ϕ est antisymétrique. Démonstration. →, . . . , − → →, . . . , − → →, . . . , − (=⇒) : on considère ϕ(− x xi + − x xi + − x x→ n ). C’est évidemment nul, puisque ϕ est alternée. Et après 1 j j développement on obtient : →, . . . , − → →, . . . , − − → − → − → − → 0 = ϕ(− x xi , . . . , − x x→ n ) + ϕ(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn ) 1 j →, . . . , − → → − → − → − → − → (⇐=) : on a, grâce à l’antisymétrie : ϕ(− x xi , . . . , − xi , . . . , − x→ n ) = −ϕ(x1 , . . . , xi , . . . , xi , . . . , xn ). 1 Remarque 1. Il existe des corps dans lesquels 1 + 1 = 0. Pour ces corps, les deux notions de forme n-linéaire alternée et de forme n-linéaire antisymétrique ne coïncident pas. 2 I.G L’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées Il est clair que les formes n-linéaires alternées (ou antisymétriques) forment un sous-espace vectoriel de Ln (E, K). On notera An (E, K) ce K-espace vectoriel. I.H Les propriétés fondamentales d’une forme n-linéaire alternée Soit ϕ ∈ An (E, K) : →, . . . , − − → − → – Si l’un des vecteurs − x x→ 1 n est nul, alors ϕ(x1 , . . . , xn ) = 0. → − → − − →, . . . , → − En effet, l’application → xi 7→ ϕ(− x xi , . . . , − x→ 1 n ) est linéaire, donc l’image de 0 est 0 . →, . . . , − →, . . . , − – Si deux des vecteurs − x x→ sont égaux, alors ϕ(− x x→) = 0, car ϕ est alternée. 1 n 1 n – On a changement de signe par échange de deux vecteurs, car ϕ est antisymétrique. →, . . . , − − → − → − → – Si les vecteurs − x x→ 1 n sont liés, alors ϕ(x1 , . . . , xn ) = 0. En effet, l’un des vecteurs, disons x1 , − → − → − → est combinaison linéaire des autres. Dans ϕ(x1 , . . . , xn ), on remplace x1 par cette combinaison linéaire, on développe par n-linéarité, et on tient compte du fait que ϕ est alternée. →, . . . , − → une combinaison linéaire des – On ne change pas la valeur de ϕ(− x x→) en ajoutant à − x 1 n k autres vecteurs. Exercice 2 Démontrer ce dernier point. II [det202] Etude des formes n-linéaires alternées en dimension n II.A Préliminaires Exercice 3 − − − Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur K, rapporté à une base E = (→ e1 , → e2 , → e3 ). Donner un exemple de forme bilinéaire alternée sur E. [det203] Exercice 4 Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Soit p un entier > n. Montrer que toute forme p-linéaire alternée sur E est nulle. [det204] L’objet de ce paragraphe II est d’étudier les formes n-linéaires alternées lorsque dim E = n . Théorème 2. Si dim E = n, alors dim An (E, K) = 1. Plus précisément, il existe une forme n-linéaire alternée non nulle, et toutes les autres lui sont proportionnelles. Démonstration. On va d’abord démontrer ce théorème pour n = 3. On se donne donc un K-espace vectoriel E de dimension 3, et une forme trilinéaire ϕ sur E. → → → →, − → − → Soit E = (− e1 , − e2 , − e3 ) une base de E et soient trois vecteurs − x 1 x2 , x3 donnés par leurs matrices-colonnes : α11 α12 α13 − →: α − →: α − →: α x x x 21 22 23 1 2 3 α31 α32 α33 → → →=α − → → → →=α − → → → →=α − → e +α − e +α − e , − x e +α − e +α − e , − x e +α − e +α − e . autrement dit on a : − x 1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 3 13 1 23 2 33 3 →, − → − → Maintenant, on développe ϕ(− x 1 x2 , x3 ), en utilisant les propriétés de forme n-linéaire alternée de ϕ ; on obtient : h i → → → α11 (α22 α33 − α32 α23 ) − α21 (α12 α33 − α32 α13 ) + α31 (α12 α23 − α22 α13 ) × ϕ(− e1 , − e2 , − e3 ) →, − → − → On note detE l’application qui à (− x 1 x2 , x3 ) associe le terme entre crochets. On vérifie sans difficulté que : → → → det (− e ,− e ,− e )=1 E 1 2 3 et que detE est une forme trilinéaire alternée non nulle. En résumé, on a exhibé une forme trilinéaire alternée non nulle detE , telle que pour toute forme trilinéaire alternée ϕ, → → → → → → on ait : ϕ = ϕ(− e1 , − e2 , − e3 )× detE ou encore ϕ = λ× detE , en posant λ = ϕ(− e1 , − e2 , − e3 ). Finalement : 3 Si dim E = 3, A3 (E, K) est un K-espace vectoriel de dimension 1. On vient de voir qu’une base de ce K-espace vectoriel est constituée par la forme trilinéaire non nulle detE : h i →, − → − → detE : (− x 1 x2 , x3 ) 7→ α11 (α22 α33 − α32 α23 ) − α21 (α12 α33 − α32 α13 ) + α31 (α12 α23 − α22 α13 ) et on représente ce terme entre crochets par la notation : α11 − →, x − →, x − →) = α detE (x 1 2 3 21 α31 α12 α22 α32 α13 α23 α33 En dimension n, le principe est le même, mais les vérifications sont beaucoup plus compliquées, et on admettra la plupart d’entre elles. → → − → − → − → Soit E = (− e1 , − e2 , . . . , − e→ n ) une base de E et soient n vecteurs x1 , x2 , . . . , xn donnés par leurs coordonnées αij dans la →. base E, α étant la i-ème coordonnée de − x ij j →, − → − → Soit ϕ une forme n-linéaire alternée ; on développe ϕ(− x 1 x2 , . . . , xn ) et on obtient : n n n X X X → → → → → ϕ αi1 − ei , αi2 − ei , . . . , αin − ei = D × ϕ(− e1 , − e2 , . . . , − e→ n) i=1 i=1 i=1 où D est une expression "lourde" des variables αij que l’on note : α11 α12 α21 α22 − → − → − → D = detE (x1 , x2 , . . . xn ) = . .. .. . α αn2 n1 →, − →, . . . , − Cette notation fait figurer en colonnes les coordonnées de − x x x→ 1 n 2 ... ... ... α1n α2n .. . αnn →, − → − → dans la base E ; detE (− x 1 x2 , . . . xn ) est évi- demment un nombre. →, − → − → 7 det (− → − → − → On admet que l’application detE : (− x 1 x2 , . . . xn ) → E x1 , x2 , . . . xn ) est une forme n-linéaire alternée, qu’elle est non nulle (car detE (E) = 1), et on a : →, − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → n ∀ϕ ∈ An (E, K), ∀(− x 1 x2 , . . . , xn ) ∈ E , ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) = ϕ( e1 , e2 , . . . , en ) × detE (x1 , x2 , . . . , xn ) On voit que la forme n-linéaire alternée ϕ est proportionnelle à la forme n-linéaire alternée detE ; plus précisément, on → → a : ϕ = λ detE , avec λ = ϕ(− e1 , − e2 , . . . , − e→ n ). Remarque 2. La forme linéaire detE dépend évidemment de E. II.B Déterminant et indépendance linéaire Théorème 3. − − − → − → − → Soient E un K-espace vectoriel, E = (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ) une base de E, et u1 , u2 , . . . , un ∈ E. − →, − → − → u 1 u2 , . . . , un sont linéairement indépendants ⇐⇒ →, − → − → detE (− u 1 u2 , . . . , un ) 6= 0 Démonstration. →, − → − → − → − → − → (⇐=) : c’est clair par la contraposée : si − u 1 u2 , . . . , un étaient linéairement dépendants, on aurait detE (u1 , u2 , . . . , un ) = 0, car c’est une propriété générale des formes n-linéaires alternées. →, − →, . . . , − (=⇒) : si − u u u→ sont linéairement indépendants, ils forment une base U de E, et on peut parler de la forme 1 n 2 n-linéaire alternée non nulle detU sur E. Elle est nécessairement proportionnelle à detE : ∃λ ∈ K∗ , detU = λ detE (λ est non nul, car les deux formes n-linéaires detU et detE sont non nulles). − →, u − →, . . . , u − →). On obtient : On applique à (u 1 2 n →, − → − → 1 = λ detE (− u 1 u2 , . . . , un ) − → →, − → d’où évidemment : detE (− u 1 u2 , . . . , un ) 6= 0. − − Remarque 3. En appliquant à (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ) la formule detU = λ detE , on obtient λ = detU (E) d’où la formule de changement de base pour les déterminants : Théorème 4 (Formule de changement de base pour les déterminants). Si E et U sont deux bases de E, on a detU = detU (E) × detE , autrement dit : →, − → − → − → − → − → − → − → − → n ∀(− x 1 x2 , . . . , xn ) ∈ E , detU (x1 , x2 , . . . , xn ) = detU (E) × detE (x1 , x2 , . . . , xn ) 4 III III.A Calcul des déterminants Invariance par transposition Théorème 5. On ne change pas la valeur d’un déterminant en échangeant lignes et colonnes. Ce théorème signifie donc que : α11 α12 α21 α22 .. .. . . αn1 αn2 ... ... α1n α2n .. . ... αnn α11 α12 = .. . α1n α21 α22 .. . ... ... αn1 αn2 .. . α2n ... αnn Démonstration. Nous admettons ce théorème.1 Exercice 5 Vérifier ce résultat pour n = 2 et n = 3. III.B [det205] Méthodes pour simplifier le calcul d’un déterminant Les méthodes suivantes sont essentielles, et reposent sur le fait que : →, − → − → − → − → − → detE : (− x 1 x2 , . . . , xn ) 7→ detE (x1 , x2 , . . . , xn ) est une forme n-linéaire alternée sur E. – Un déterminant est nul si et seulement si ses colonnes (respectivement ses lignes) sont linéairement dépendantes. – La valeur d’un déterminant est inchangée si on ajoute à une colonne (respectivement à une ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (respectivement des autres lignes). – Il y a linéarité par rapport à chacune des colonnes (respectivement chacune des lignes). – La valeur d’un déterminant est changée en son opposée par échange de deux colonnes, ou par échange de deux lignes. III.C Développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne Exercice 6 − − Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, rapporté à une base E = (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ). → − − → → − − → 0 On pose F = Vect( e2 , . . . , en ), et E = ( e2 , . . . , en ). On considère l’application ϕ : F n−1 → K, qui à →, . . . , − − →, . . . , − (− x x→) associe det (→ e ,− x x→). 2 n E 1 2 n 1. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que : →, . . . , − →, . . . , − − → − → n−1 ∀(− x x→ , ϕ(− x x→ 2 n) ∈ F 2 n ) = λ detE 0 (x2 , . . . , xn ) 2. Quelle est la valeur de λ ? 3. Montrer que, quels que soient les nombres αij , on a 1 0 ... 0 0 α22 . . . α2n .. .. .. = . . . 0 αn2 . . . αnn 1 Voir à ce sujet l’épreuve de Centrale TSI, Math 2, 2003 5 : α22 .. . ... α2n .. . αn2 ... αnn 4. Montrer que : α11 0 .. . . .. 0 α12 α22 .. . .. . αn2 0 α23 .. . .. . αn3 ... ... α11 0 .. . . .. 0 α12 α22 .. . .. . αn2 α13 α23 .. . .. . αn3 ... ... ... 0 α2n .. . .. . αnn α22 .. = α11 × . . .. αn2 α23 .. . .. . αn3 ... α1n α2n .. . .. . αnn α22 .. = α11 × . . .. αn2 α23 .. . .. . αn3 ... ... α2n .. . .. . αnn α2n .. . .. . αnn puis que : ... ... [det206] Définition 5. α11 α21 Soit ∆ = . .. αn1 α12 α22 .. . ... ... α1n α2n .. . αn2 . . . αnn Le mineur de αij est le déterminant ∆ij obtenu en rayant la ligne et la colonne de αij . Théorème 6 (Développement d’un déterminant par rapport à une colonne). ∆ est le même déterminant que dans la définition ci-dessus. Soit k ∈ 1, 2, . . . , n . On a : ∆= n X (−1)i+k αik ∆ik i=1 (développement de ∆ par rapport à sa k ème colonne) Exercice 7 Démontrer ce résultat en envisageant d’abord le cas k = 1. [det207] Remarque 4. D’après l’invariance par transposition, on a aussi le développement par rapport à la k ème ligne : n X ∆= (−1)i+k αki ∆ki i=1 Exercice 8 Déterminant α11 α12 α13 0 α22 α23 0 α33 Calculer : 0 . .. 0 ... ... triangulaire . . . α1n . . . α2n . . . α3n .. . 0 αnn [det208] 6 Exercice 9 1 0 Calculer : 1 0 0 a 1 b 0 c 1 d a2 b2 c2 d2 [det209] Exercice 10 Calculer par la méthode du pivot : 1 5 1 5 3 −2 4 2 −1 5 2 3 −1 −2 1 1 Compter le nombre de multiplications (ou divisions) nécessaire à ce calcul. [det210] Exercice 11 Compter le nombre de multiplications ou divisions qu’on effectue lorsqu’on calcule un déterminant n × n par la méthode du pivot, ou lorsqu’on le développe par la méthode "brutale". Evaluer ces nombres lorsque n = 20. [det211] Exercice 12 Déterminant de Vandermonde (fréquent dans les concours !) On pose, pour a1 , a2 , . . . , an ∈ K : V (a1 , a2 , . . . , an ) = 1 1 .. . .. . 1 a1 a2 a21 a22 an a2n . . . an−1 1 . . . an−1 2 .. . .. . . . . an−1 n 1. Calculer V (a, b, c), et mettre le résultat sous forme d’un produit de facteurs. 2. On considère le polynôme V (a1 , a2 , . . . , an−1 , X). Déterminer son degré, son coefficient dominant, et ses zéros. 3. En déduire que : V (a1 , a2 , . . . , an ) = V (a1 , a2 , . . . , an−1 ) × (an − a1 )(an − a2 ) . . . (an − an−1 ) 4. Conclure que : V (a1 , a2 , . . . , an ) = Y (aj − ai ) i<j [det212] IV Déterminant d’un endomorphisme IV.A Généralités − − Soient E un K-espace vectoriel, E = (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ) une base de E, et f un endomorphisme de E. L’application : →, − → − → − → − → − → (− x 1 x2 , . . . , xn ) 7→ detE (f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )) est une forme n-linéaire alternée. Elle est donc proportionnelle à detE , c’est-à-dire : →, − → − → − → − → − → − → − → − → n ∃λ ∈ K, ∀(− x 1 x2 , . . . , xn ) ∈ E , detE (f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )) = λ detE (x1 , x2 , . . . , xn ) 7 − − En évaluant en (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ), on obtient : − − λ = detE (f (→ e1 ), f (→ e2 ), . . . , f (− e→ n )) De plus, ce nombre ne dépend pas de la base choisie. En effet, considérons une autre base U = →, − → − → (− u 1 u2 , . . . , un ), et posons : →), f (− →), . . . , f (− µ = det (f (− u u u→)) U 1 2 n Par la formule de changement de base pour les déterminants, on a : →), f (− →), . . . , f (− − → − → − → µ = detU (E) × detE (f (− u u u→ 1 2 n )) = detU (E) × λ × detE (u1 , u2 , . . . , un ) = λ d’où : Théorème 7 (et définition). − − Soient E un K-espace vectoriel, E = (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ) une base de E, et f ∈ L(E). Le nombre : − − det f = detE (f (→ e1 ), f (→ e2 ), . . . , f (− e→ n )) ne dépend pas de la base. On l’appelle déterminant de f . De plus, on a, quelle que soit la base E de E: →, − → − → − → − → − → − → − → − → n ∀(− x 1 x2 , . . . , xn ) ∈ E , detE (f (x1 ), f (x2 ), . . . , f (xn )) = det f × detE (x1 , x2 , . . . , xn ) IV.A.1 Propriétés du déterminant d’un endomorphisme Théorème 8. Soit f un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n : f ∈ GL(E) ⇐⇒ det f 6= 0 → → Démonstration. Soit E = (− e1 , − e2 , . . . , − e→ n ) une base de E. On a : → → det f = detE (f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− e→ n )) et alors : det f 6= 0 ⇐⇒ → → f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (− e→ n ) sont linéairement indépendants ⇐⇒ rgf = dim Im f = n ⇐⇒ f ∈ GL(E) Théorème 9. Soient f, g deux endomorphismes de E, espace vectoriel de dimension n : det(g ◦ f ) = det g × det f → → Démonstration. Si E = (− e1 , − e2 , . . . , − e→ n ) est une base de E, on a : → → det(g ◦ f ) = det (g ◦ f (− e ), g ◦ f (− e ), . . . , g ◦ f (− e→)) E 1 2 n = → → →)) det g × detE (f (− e1 ), f (− e2 ), . . . , f (e− n = det g × det f Enfin, par la définition même de det f , on a : det IdE = 1 et, si f ∈ GL(E), on a, d’après les deux points précédents : det f −1 = 8 1 det f IV.B Déterminant d’une matrice carrée Définition 6. a11 a12 a21 a22 Si A = . .. .. . an1 an2 ... ... a1n a2n .. . ... ann a11 a21 ∈ Mn (K), on pose : det A = .. . an1 a12 a22 .. . ... ... a1n a2n .. . an2 ... ann − − Soit E un K-espace vectoriel de dimension n rapporté à une base E = (→ e1 , → e2 , . . . , − e→ n ), et soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base E est A. On a : a11 a21 − − det f = det(f (→ e1 ), f (→ e2 ), . . . , f (− e→ . n )) = E .. an1 a12 a22 .. . ... ... a1n a2n .. . an2 ... ann = det A et les propriétés du déterminant d’un endomorphisme ont leurs propriétés correspondantes pour les déterminants de matrices carrées : – Soit A ∈ Mn (K) : A est régulière ⇐⇒ det A 6= 0 – Soient A, B ∈ Mn (K) : det AB = det A × det B – Soit A ∈ GLn (K) : det A−1 = 1 det A Exercice 13 Vérifier directement la formule : det AB = det A × det B, si A = a c b d et B = a0 c0 b0 d0 . [det213] Exercice 14 Montrer que deux matrices semblables ont le même déterminant. A quoi cela correspond-il en ce qui concerne le déterminant d’un endomorphisme ? [det214] Exercice 15 Soient p, q, n trois entiers > 0 tels que p + q = n. Soient A ∈ Mp (K), B ∈ Mpq (K), C ∈ Mq (K). On définit M ∈ Mn (K), par blocs, de la manière suivante : M = A 0 9 B C A et C sont des blocs carrés, B est un bloc rectangulaire, et la matrice en bas à gauche est un bloc nul. Vérifier que : M = Ip 0 B C × A 0 0 Iq et en déduire que : det M = det A × det C (ce résultat figure au programme et doit être connu). [det215] Exercice 16 Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs Calculer det M si : M = A11 0 A12 A22 ··· ··· .. 0 A2k .. . . 0 A1k Akk (les [Aii ] sont des blocs carrés, et sous les [Aii ], il n’y a que des 0). Exercice 17 Déterminants circulants a0 , a1 , . . . , an−1 étant n nombres complexes, on pose : a0 a1 ··· an−1 a ··· 0 a a ··· C= n−2 n−1 ··· ··· ··· a1 a2 ··· ··· ··· ··· ··· ··· an−1 an−2 an−3 ··· a0 [det216] n−1 Soit P (X) = a0 + a1 X + · · · + z1 , . . . , zn−1 les an−1 X ∈ C[X]. On note z0 , 1 1 1 zi z z 1 02 2 z0 z12 Pour chaque i, on pose Zi = zi , et on pose enfin Z = .. ··· ··· . n−1 n−1 z0 z1n−1 z i racines n-ièmes de 1. ··· ··· 1 · · · · · · zn−1 2 · · · · · · zn−1 ··· ··· ··· n−1 · · · · · · zn−1 1. Montrer que pour chaque i, CZi = P (zi )Zi . 2. Calculer CZ. 3. Montrer que det C = P (z0 ) × P (z1 ) × · · · × P (zn−1 ). [det217] Exercice 18 10 Soit An la matrice (n − 1) × (n − 1) définie par : ( 2 ∀(i, j) ∈ 1, 2, . . . , n − 1 , Montrer que V V.A i 6= j =⇒ [An ]ij = 1 [An ]ii = i + 2 det An 1 1 = 1 + + ··· + . n! 2 n [det218] Inverse d’une matrice carrée par la comatrice Cofacteurs et comatrice Définition 7. Soit A = (aij ) ∈ Mn (K). On appelle cofacteur de aij le nombre (−1)i+j ∆ij , où ∆ij est le mineur de aij , c’est-à-dire le déterminant obtenu en rayant la ligne et la colonne de aij . On appelle comatrice de A la matrice B obtenue en remplaçant chaque terme de A par son cofacteur. Exercice 19 1 −1 2 2 1 Soit A = 1 0 1 2 a) Calculer det A. b) Calculer la comatrice B de A. c) Calculer AtB. [det219] V.B Théorème Théorème 10. Soit A ∈ GLn (K). On a : A−1 = 1 t B, où B est la comatrice de A. det A Démonstration. posons C = AtB. Dans C, le terme de la lème ligne , kème colonne, est : clk = n X (−1)i+k ali ∆ki i=1 Si k = l, c’est le développement de det A par rapport à la lème ligne. Si k 6= l, considérons la matrice A0 obtenue à partir de A en remplaçant la kème ligne de A par la lème ligne. A0 a donc deux lignes identiques : la kème ligne, et la lème ligne ; par suite det A0 = 0. Or clk apparaît comme le développement de det A0 par rapport à la kème ligne. D’où clk = 0. On conclut donc : l 6= k =⇒ clk = 0 ∀(l, k) ∈ 1, . . . , n , l = k =⇒ clk = det A d’où le résultat. Remarque 5 (importante !). Ce théorème (hors-programme TSI) n’a d’intérêt que théorique ; en effet, l’inversion d’une matrice n × n par la méthode de la comatrice nécessite le calcul effectif d’un déterminant d’ordre n et de n! déterminants d’ordre n − 1, ce qui est évidemment très lourd. La méthode classique pour inverser une matrice A ∈ Mn (K) est de résoudre par la méthode du pivot le système AX = Y : a11 . . . a1n x1 y1 x1 y1 .. .. .. = .. =⇒ .. = A−1 .. . . . . . . an1 ... ann xn yn 11 xn yn Naturellement, si A n’est pas régulière, le calcul se révèle impossible. On peut aussi utiliser des opérations élémentaires sur les lignes de A pour arriver à In . Les mêmes opérations appliquées dans le même ordre à In conduisent à A−1 (voir TD). Exercice 20 1 −1 2 2 1 . Calculer A−1 par trois méthodes différentes. A= 1 0 1 2 [det220] Exercice 21 Dans R3 [X] muni de sa base canonique, on considère l’endomorphisme ϕ défini par : ϕ : P 7→ P 00 + 2P 0 + P 1. Quelle est la matrice A de ϕ ? 2. Calculer A−1 . 3. Trouver P tel que P 00 + 2P 0 + P = X 3 + X 2 + X + 1. 4. Trouver toutes les fonctions t 7→ x(t) de R dans R qui vérifient : x” + 2x0 + x = t3 + t2 + t + 1 [det221] 12
