Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Déterminants
I Formes n-linéaires 1
I.A Définition d’une forme n-linéaire .............................. 1
I.B Exemples ........................................... 1
I.C Espace vectoriel des formes n-linéaires sur E....................... 2
I.D Forme n-linéaire symétrique ................................. 2
I.E Forme n-linéaire antisymétrique ............................... 2
I.F Forme n-linéaire alternée ................................... 2
I.G L’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées ..................... 3
I.H Les propriétés fondamentales d’une forme n-linéaire alternée ............... 3
II Etude des formes n-linéaires alternées en dimension n 3
II.A Préliminaires ......................................... 3
II.B Déterminant et indépendance linéaire ........................... 4
III Calcul des déterminants 5
III.A Invariance par transposition ................................. 5
III.B Méthodes pour simplifier le calcul d’un déterminant ................... 5
III.C Développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne ....... 5
IV Déterminant d’un endomorphisme 7
IV.A Généralités .......................................... 7
IV.A.1 Propriétés du déterminant d’un endomorphisme ................. 8
IV.B Déterminant d’une matrice carrée .............................. 9
V Inverse d’une matrice carrée par la comatrice 11
V.A Cofacteurs et comatrice ................................... 11
V.B Théorème ........................................... 11
Dans tout le chapitre, Eest un espace vectoriel sur K=Rou C.
I Formes n-linéaires
I.A Définition d’une forme n-linéaire
Définition 1. Soit ϕ:En→K
(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)7→ ϕ(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)
ϕest appelée forme n-linéaire si ϕest linéaire par rapport à chaque −→ xi
I.B Exemples
–E=R3, n = 2.
ϕ:
x1
x2
x3
,
y1
y2
y3
7→ x1y1+x2y2+x3y3
est une forme bilinéaire sur R3.
C’est une application de R3×R3dans R, linéaire par rapport à 
x1
x2
x3
et à 
y1
y2
y3
.
–ϕ: (a, b)7→ ab est une forme bilinéaire sur R; c’est une application de R×Rdans R, linéaire
par rapport à aet par rapport à b.
–Eest un espace vectoriel de dimension 2sur K, rapporté à une base E= (−→ e1,−→ e2), et n= 3.
ϕ: (−→ x , −→ y , −→ z)7→ x1y2z2−x2y1z1
est une forme trilinéaire sur E.
1

Exercice 1
ϕétant trilinéaire sur E, développer :
ϕ(2−→ u+−→ v , −→ u−−→ v+−→ w , −→ w−−→ u)
et remarquer l’analogie avec le développement dans Rd’un produit comme (2a+b)(a−b+c)(c−a).
[det201]
I.C Espace vectoriel des formes n-linéaires sur E
Il est clair que l’application nulle de Endans K, est une forme n-linéaire particulière, que la somme
de deux formes n-linéaires et le produit par un scalaire d’une forme n-linéaire, sont des formes n-
linéaires. Les formes n-linéaires sur Econstituent donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel
F(En,K)des applications de Endans K.
On notera Ln(E, K)le K-espace vectoriel des formes n-linéaires sur E.
I.D Forme n-linéaire symétrique
Définition 2. ϕest dite symétrique si ϕ(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)est invariant par échange de deux vecteurs :
∀(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)∈En, ϕ(−→ x1,...,−→ xi,...,−→ xj,...,−→ xn) = ϕ(−→ x1,...,−→ xj,...,−→ xi,...,−→ xn)
Exemple 1. Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique (définie positive).
I.E Forme n-linéaire antisymétrique
Définition 3. ϕest dite antisymétrique si ϕ(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)est changé en son opposé par échange
de deux vecteurs :
∀(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)∈En, ϕ(−→ x1,...,−→ xi,...,−→ xj,...,−→ xn) = −ϕ(−→ x1,...,−→ xj,...,−→ xi,...,−→ xn)
Exemple 2. soit Eun espace vectoriel de dimension 2sur K, rapporté à une base E= (−→ e1,−→ e2).
L’application ϕ: (−→ x , −→ y)7→ x1y2−x2y1, est une forme bilinéaire antisymétrique sur E.
I.F Forme n-linéaire alternée
Définition 4. ϕest dite alternée si ϕ(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)est nul dès que deux des vecteurs sont égaux.
Théorème 1.
Soit ϕune forme n-linéaire sur un K-espace vectoriel E:
ϕest alternée ⇐⇒ ϕest antisymétrique.
Démonstration.
(=⇒): on considère ϕ(−→ x1,...,−→ xi+−→ xj,...,−→ xi+−→ xj,...,−→ xn). C’est évidemment nul, puisque ϕest alternée. Et après
développement on obtient :
0 = ϕ(−→ x1,...,−→ xi,...,−→ xj,...,−→ xn) + ϕ(−→ x1,...,−→ xj,...,−→ xi,...,−→ xn)
(⇐=) : on a, grâce à l’antisymétrie : ϕ(−→ x1,...,−→ xi,...,−→ xi,...,−→ xn) = −ϕ(−→ x1,...,−→ xi,...,−→ xi,...,−→ xn).
Remarque 1. Il existe des corps dans lesquels 1 + 1 = 0. Pour ces corps, les deux notions de forme
n-linéaire alternée et de forme n-linéaire antisymétrique ne coïncident pas.
2

I.G L’espace vectoriel des formes n-linéaires alternées
Il est clair que les formes n-linéaires alternées (ou antisymétriques) forment un sous-espace vec-
toriel de Ln(E, K). On notera An(E, K)ce K-espace vectoriel.
I.H Les propriétés fondamentales d’une forme n-linéaire alternée
Soit ϕ∈ An(E, K):
– Si l’un des vecteurs −→ x1,...,−→ xnest nul, alors ϕ(−→ x1,...,−→ xn)=0.
En effet, l’application −→ xi7→ ϕ(−→ x1,...,−→ xi,...,−→ xn)est linéaire, donc l’image de −→ 0est −→ 0.
– Si deux des vecteurs −→ x1,...,−→ xnsont égaux, alors ϕ(−→ x1,...,−→ xn) = 0, car ϕest alternée.
– On a changement de signe par échange de deux vecteurs, car ϕest antisymétrique.
– Si les vecteurs −→ x1,...,−→ xnsont liés, alors ϕ(−→ x1,...,−→ xn) = 0. En effet, l’un des vecteurs, disons −→ x1,
est combinaison linéaire des autres. Dans ϕ(−→ x1,...,−→ xn), on remplace −→ x1par cette combinaison
linéaire, on développe par n-linéarité, et on tient compte du fait que ϕest alternée.
– On ne change pas la valeur de ϕ(−→ x1,...,−→ xn)en ajoutant à −→ xkune combinaison linéaire des
autres vecteurs.
Exercice 2
Démontrer ce dernier point. [det202]
II Etude des formes n-linéaires alternées en dimension n
II.A Préliminaires
Exercice 3
Soit Eun espace vectoriel de dimension 3sur K, rapporté à une base E= (−→ e1,−→ e2,−→ e3). Donner un
exemple de forme bilinéaire alternée sur E.[det203]
Exercice 4
Soit Eun espace vectoriel de dimension nsur K. Soit pun entier > n. Montrer que toute forme
p-linéaire alternée sur Eest nulle. [det204]
L’objet de ce paragraphe II est d’étudier les formes n-linéaires alternées lorsque dim E=n.
Théorème 2.
Si dim E=n, alors dim An(E, K) = 1. Plus précisément, il existe une forme n-linéaire alternée non
nulle, et toutes les autres lui sont proportionnelles.
Démonstration. On va d’abord démontrer ce théorème pour n= 3. On se donne donc un K-espace vectoriel Ede
dimension 3, et une forme trilinéaire ϕsur E.
Soit E= (−→ e1,−→ e2,−→ e3)une base de Eet soient trois vecteurs −→ x1,−→ x2,−→ x3donnés par leurs matrices-colonnes :
−→
x1:
α11
α21
α31 
−→
x2:
α12
α22
α32 
−→
x3:
α13
α23
α33 
autrement dit on a : −→ x1=α11−→ e1+α21−→ e2+α31−→ e3,−→ x2=α12−→ e1+α22−→ e2+α32−→ e3,−→ x3=α13−→ e1+α23−→ e2+α33−→ e3.
Maintenant, on développe ϕ(−→ x1,−→ x2,−→ x3), en utilisant les propriétés de forme n-linéaire alternée de ϕ; on obtient :
hα11(α22 α33 −α32α23)−α21 (α12 α33 −α32α13 ) + α31 (α12α23 −α22 α13 )i×ϕ(−→
e1,−→ e2,−→ e3)
On note detEl’application qui à (−→ x1,−→ x2,−→ x3)associe le terme entre crochets. On vérifie sans difficulté que :
detE(−→ e1,−→ e2,−→ e3)=1
et que detEest une forme trilinéaire alternée non nulle.
En résumé, on a exhibé une forme trilinéaire alternée non nulle detE, telle que pour toute forme trilinéaire alternée ϕ,
on ait : ϕ=ϕ(−→ e1,−→ e2,−→ e3)×detEou encore ϕ=λ×detE, en posant λ=ϕ(−→ e1,−→ e2,−→ e3). Finalement :
3

Si dim E= 3,A3(E, K)est un K-espace vectoriel de dimension 1.
On vient de voir qu’une base de ce K-espace vectoriel est constituée par la forme trilinéaire non nulle detE:
detE: (−→ x1,−→ x2,−→ x3)7→ hα11(α22 α33 −α32α23)−α21 (α12 α33 −α32α13 ) + α31 (α12α23 −α22 α13 )i
et on représente ce terme entre crochets par la notation :
detE(−→ x1,−→ x2,−→ x3) = 
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33 
En dimension n, le principe est le même, mais les vérifications sont beaucoup plus compliquées, et on admettra la
plupart d’entre elles.
Soit E= (−→ e1,−→ e2,...,−→ en)une base de Eet soient nvecteurs −→ x1,−→ x2,...,−→ xndonnés par leurs coordonnées αij dans la
base E,αij étant la i-ème coordonnée de −→ xj.
Soit ϕune forme n-linéaire alternée ; on développe ϕ(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)et on obtient :
ϕn
X
i=1
αi1−→ ei,
n
X
i=1
αi2−→ ei,...,
n
X
i=1
αin−→ ei=D×ϕ(−→ e1,−→ e2,...,−→ en)
où Dest une expression "lourde" des variables αij que l’on note :
D=detE(−→ x1,−→ x2,...−→ xn) = 
α11 α12 . . . α1n
α21 α22 . . . α2n
.
.
..
.
..
.
.
αn1αn2. . . αnn
Cette notation fait figurer en colonnes les coordonnées de −→ x1,−→ x2,...,−→ xndans la base E; detE(−→ x1,−→ x2,...−→ xn)est évi-
demment un nombre.
On admet que l’application detE: (−→ x1,−→ x2,...−→ xn)7→ detE(−→ x1,−→ x2,...−→ xn)est une forme n-linéaire alternée, qu’elle est
non nulle (car detE(E)=1), et on a :
∀ϕ∈ An(E, K),∀(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)∈En, ϕ(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn) = ϕ(−→ e1,−→ e2,...,−→ en)×detE(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)
On voit que la forme n-linéaire alternée ϕest proportionnelle à la forme n-linéaire alternée detE; plus précisément, on
a : ϕ=λdetE, avec λ=ϕ(−→ e1,−→ e2,...,−→ en).
Remarque 2. La forme linéaire detEdépend évidemment de E.
II.B Déterminant et indépendance linéaire
Théorème 3.
Soient Eun K-espace vectoriel, E= (−→ e1,−→ e2,...,−→ en)une base de E, et −→ u1,−→ u2,...,−→ un∈E.
−→
u1,−→ u2,...,−→ unsont linéairement indépendants ⇐⇒ detE(−→ u1,−→ u2,...,−→ un)6= 0
Démonstration.
(⇐=) : c’est clair par la contraposée : si −→ u1,−→ u2,...,−→ unétaient linéairement dépendants, on aurait detE(−→ u1,−→ u2,...,−→ un) =
0, car c’est une propriété générale des formes n-linéaires alternées.
(=⇒) : si −→ u1,−→ u2,...,−→ unsont linéairement indépendants, ils forment une base Ude E, et on peut parler de la forme
n-linéaire alternée non nulle detUsur E. Elle est nécessairement proportionnelle à detE:
∃λ∈K∗,detU=λdetE
(λest non nul, car les deux formes n-linéaires detUet detEsont non nulles).
On applique à (−→ u1,−→ u2,...,−→ un). On obtient :
1 = λdetE(−→ u1,−→ u2,...,−→ un)
d’où évidemment : detE(−→ u1,−→ u2,...,−→ un)6= 0.
Remarque 3. En appliquant à (−→ e1,−→ e2,...,−→ en)la formule detU=λdetE, on obtient λ= detU(E)
d’où la formule de changement de base pour les déterminants :
Théorème 4 (Formule de changement de base pour les déterminants).
Si Eet Usont deux bases de E, on a detU= detU(E)×detE, autrement dit :
∀(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)∈En, detU(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn) = detU(E)×detE(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)
4

III Calcul des déterminants
III.A Invariance par transposition
Théorème 5.
On ne change pas la valeur d’un déterminant en échangeant lignes et colonnes.
Ce théorème signifie donc que :
α11 α12 . . . α1n
α21 α22 . . . α2n
.
.
..
.
..
.
.
αn1αn2. . . αnn
=
α11 α21 . . . αn1
α12 α22 . . . αn2
.
.
..
.
..
.
.
α1nα2n. . . αnn
Démonstration. Nous admettons ce théorème.1
Exercice 5
Vérifier ce résultat pour n= 2 et n= 3.[det205]
III.B Méthodes pour simplifier le calcul d’un déterminant
Les méthodes suivantes sont essentielles, et reposent sur le fait que :
detE: (−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)7→ detE(−→ x1,−→ x2,...,−→ xn)
est une forme n-linéaire alternée sur E.
– Un déterminant est nul si et seulement si ses colonnes (respectivement ses lignes) sont linéaire-
ment dépendantes.
– La valeur d’un déterminant est inchangée si on ajoute à une colonne (respectivement à une
ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (respectivement des autres lignes).
– Il y a linéarité par rapport à chacune des colonnes (respectivement chacune des lignes).
– La valeur d’un déterminant est changée en son opposée par échange de deux colonnes, ou par
échange de deux lignes.
III.C Développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une
colonne
Exercice 6
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n, rapporté à une base E= (−→ e1,−→ e2,...,−→ en).
On pose F= Vect(−→ e2,...,−→ en), et E0= (−→ e2,...,−→ en). On considère l’application ϕ:Fn−1→K, qui à
(−→ x2,...,−→ xn)associe detE(−→ e1,−→ x2,...,−→ xn).
1. Montrer qu’il existe λ∈Ktel que :
∀(−→ x2,...,−→ xn)∈Fn−1, ϕ(−→ x2,...,−→ xn) = λdetE0(−→ x2,...,−→ xn)
2. Quelle est la valeur de λ?
3. Montrer que, quels que soient les nombres αij , on a :
1 0 . . . 0
0α22 . . . α2n
.
.
..
.
..
.
.
0αn2. . . αnn
=
α22 . . . α2n
.
.
..
.
.
αn2. . . αnn
1Voir à ce sujet l’épreuve de Centrale TSI, Math 2, 2003
5