Étude et modélisation de la propagation d'épidémie

Étude et modélisation de la propagation d'épidémie
Introduction : On cherche à modéliser la transmission du virus épidémique en modélisant l'épidémie par un
modèle mathématique permettant de prévoir l'état d'évolution des population.
I) Approche temporelle :
On s’intéresse ici à la dimension temporelle de cette propagation :
1) Modèle discret : Modèle de Reed-Frost
On s’intéresse à un échantillon entier de la population, la variable temporelle t prend ici un ensemble fini de
valeurs entières :
A chaque instant on définit : - S_t le nombre d'individus sains
- I_t le nombre d'individus infectés
- R_t le nombre d'individus rétablis (ne pouvant subir la maladie)
p : la probabilité de rencontre entre deux individus
On cherche I_t+1 = S_t qui a rencontré I_t
Proba de pas rencontrer une personne : 1-p => proba pour que S_t ne rencontre pas les I_t est le produit
D'où
pour 1 individu
=>
On a alors le système suivant :
Ce modèle ne permet de donner une avancée temporelle de la propagation, on se place alors dans le cas où le
temps t varie de manière continue
2) Modèle continu : Schéma SIR et Théorème du Seuil
S(t)+I(t)+R(t)=N
On a le schéma suivant
β = Taux d'infection
λ= Taux de guérison
1/λ = Durée moyenne d'infection
On a
On cherche à savoir quand est ce qu'il y a une épidémie :
Épidémie <=> I croissante <=> I'>0 <=>βS-1/λ>0 <=> βSλ>1
D'où : Théorème du Seuil : Il y a épidémie ssi R0 > 1 avec R0= βS(0)λ
Avec Python on a :
bêta = 0.0004 1/L=2 S(0)= 900 => R0=1,8>1 I →
beta=3 1/L=1 S(0)=0.2 => R0=0.6 <1, I <-
Application : On cherche à ramener Ro en dessous de 1. On introduit R=p*R0
p = proportion d'individus susceptible = Nombre d'individu susceptible-proportion d'individu vaccinés(v)=
on a p = 1-v. On cherche quand R<1 <=> (1-v)R0 <1 <=> v>1-1/R0. D'où
Variole : R0=3 v=66,7%
Rougeole : R0=16 v=93,8%
Malaria : R0=100 v=99,9%
Plus R0 augmente plus il est difficile de lutter contre la maladie par l’intermédiaire de la vaccination
II) Approche spatiale :
1) Modèle de diffusion
On s’intéresse à la dimension spatiale du problème => 2 variables x : position et t : temps
On a S(x,t) et I(x,t)
Hypothèses : - Les individus Sains ne bougent pas, seuls les Infectés se déplacent
- On se place en dimension 1 : Les infectés peuvent se déplacer que sur un segment de droite et
diffusent ainsi le virus
Ces hypothèses nous permettent de postuler le système différentiel suivant :
D : Taux de diffusion de l'agent infectieux. On a la représentation spatiale suivante :
2) Onde progressive
Cette évolution nous invite donc à mettre en place l'idée d'onde progressive :
Les deux fronts se propagent linéairement/temps => Solutions sous forme d'ondes progressive S(z) et I(z)
avec z=x-ct, c vitesse à déterminer. On pose les conditions aux limites suivantes
S et I vérifient alors le système suivant :
On obtient un système plus facile à résoudre que celui du modèle diffusif du fait de l'absence de dérivée
partielle.
Cependant ceci est lié au fait qu'on se soit placé dans le cadre unidimensionnel. Si on enlève cette hypothèse,
le terme de la dérivée seconde pour I disparaît, et il faut alors introduire un nouvel opérateur qu'est le
laplacien.