Étude et modélisation de la propagation d'épidémie
Introduction : On cherche à modéliser la transmission du virus épidémique en modélisant l'épidémie par un
modèle mathématique permettant de prévoir l'état d'évolution des population.
I) Approche temporelle :
On s’intéresse ici à la dimension temporelle de cette propagation :
1) Modèle discret : Modèle de Reed-Frost
On s’intéresse à un échantillon entier de la population, la variable temporelle t prend ici un ensemble fini de
valeurs entières :
A chaque instant on définit : - S_t le nombre d'individus sains
- I_t le nombre d'individus infectés
- R_t le nombre d'individus rétablis (ne pouvant subir la maladie)
p : la probabilité de rencontre entre deux individus
On cherche I_t+1 = S_t qui a rencontré I_t
Proba de pas rencontrer une personne : 1-p => proba pour que S_t ne rencontre pas les I_t est le produit
D'où pour 1 individu
=>
On a alors le système suivant :
Ce modèle ne permet de donner une avancée temporelle de la propagation, on se place alors dans le cas où le
temps t varie de manière continue
2) Modèle continu : Schéma SIR et Théorème du Seuil
S(t)+I(t)+R(t)=N
On a le schéma suivant