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Exercice 3 : Module de compression d’un cristal ionique linéaire
Soit une ligne linéaire de 2N ions équidistants de r et de charges alternativement égales à q.
Soit rp la distance entre l’ion placé à l’origine et l’ion p :
rp = pr
p
1. L’énergie potentielle d’un ion i est égale à :
U0 =
00p
p
qV
=
10
1
24
p
pp
q
qr
=
2
1
0
1
2
4
p
p
qrp
L’énergie potentielle électrostatique U0 de l’ion placé à l’origine O s’écrit :
1
1p
pp
est la constante de Madelung du cristal, d’où :
2
00
24q Ur
2. L’expression du développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction
1ln x
:
1
1
1
1ln
pp
p
xx
p
3. On en déduit :
2ln
4. L’expression de l’énergie de répulsion UR :
2n D
Ur r
5. On déduit l’expression de l’énergie à totale :
2
0
22
4ln
totale n
Dq
U r N rr
6. Soit r0 la distance à l’équilibre entre proches voisins, alors :
0
0
rr
U
r
Ce qui donne :
21
0
0
2
4
ln
n
qr
Dn
On en déduit :
0totale
Ur
=
2
00
21
21
4
lnq
Nrn
7. Soit une compression du cristal qui transforme r0 en r0(1-), d’après le premier principe de la
thermodynamique :
totale c c
U W Q  
La transformation étant adiabatique, on déduit :
00
1
c totale totale totale
W U U r U r
On remplace chaque expression par sa valeur et on déduit :
r
+
-
+
-
+
-
-
O
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2
2
00
2 2 1 1 1
41
1
ln
cn
Nq
Wrn
 étant petit on fait un développement à l’ordre 2 du terme
1
1n
, ce qui donne :
2
1
112
1nnn
n
22
00
21
4
ln
cNq
Wn
r
Wc =
1
2
C(r0)2
avec :
2
3
00
21
2
4ln
Nq n
Cr
Analogie mécanique :
L’analyse dimensionnelle de la constante C :
2-1
2
0 0 0
1F .L
4q
Crr
La constante C s’exprime en N.m-1, elle est donc équivalente à la constante de raideur d’un ressort. En
mécanique on montre que le travail de compression d’un ressort dont l’allongement passe de 0 (allongement
à l’équilibre) à une valeur x s’écrit :
Wc =
1
2
kx2
Les deux expressions sont parfaitement analogues.
Exercice 4 : Calcul de l’énergie de cohésion d’un cristal moléculaire – Application au CO2
Partie A : Interaction entre deux dipôles électrostatiques
1.a. Le potentiel au point M :
00
44
qq
VM AM BM
0
4q BM AM
VM AM BM
Dans les triangle OAM et OBM :
2
22
4cos
a
AM r ar
A
O
M
+q
-q
a
B

3
2
22
4cos
a
BM r ar
1
22
2
14
cosaa
AM r rr
1
22
2
14
cosaa
BM r rr
Puisque a<<r, on effectue un développement limité de la racine carré au premier ordre ce qui donne :
12
cosa
AM r r
12
cosa
BM r r
2
AM BM r
D’où :
2
0
4
cosqa
Vr
b. On rappelle que
E gradV
,
1
r
VV
E e e
rr
33
00
1 2 1
44
cos sin
r
pp
E e e
rr
c. L’énergie potentielle d’un dipôle placé dans un champ électrique extérieur
0
E
:
0p
U p E
d. Le couple qu’exerce ce champ sur le dipôle
p
:
0
pE  
2. Considérons les deux dipôles de moments dipolaires
1
p
et
2
p
:
a. L’énergie potentielle des deux dipôles est :
21p
U p E
=
2 2 1 2 2 1
cos sin
r
p E p E
En remplaçant les coordonnées polaires du vecteur
1
E
par leur valeurs on obtient :
12 1 2 1 2
3
0
2
4cos cos sin sin
ppp
Ur
b. Les couples
1
et
2
sont perpendiculaires au plan contenant les deux dipôles :
12
1 1 2 1 2
3
20
12
4cos sin sin cos
p
Upp
r
O2
O1

4
12
2 1 2 1 2
3
10
12
4sin cos cos sin
p
Upp
r
c. Les positions d’équilibre correspondent à :
12
0   
Soit :
12
12
0
0
12
12
0
0
sin
sin
L’équilibre est stable si
p
U
est négative.
2
1
0
2
32
0
stable
instable
2
instable
stable
instable
stable
32
stable
instable
3. Deux cas peuvent se présenter :
 Cristal formé d’une molécule polaire :
Dans ce cas chaque moment dipolaire va interagir avec les champs électriques crées par les autres moments
dipolaire.
 Cristal atomique ou molécule apolaire
A cause du mouvement des électrons autour du noyau la distribution de charge électronique change au cours
du temps comme le montre la figure suivante pour le CO2 :
A la date t, la densité électronique au niveau de la molécule est uniforme, le moment dipolaire
p
=
0
.
A une date t’, la densité électronique au niveau de la molécule n’est plus uniforme, un moment dipolaire
p
0
est alors induit qui produira un champ électrique
E
au centre d’une autre molécule de CO2. Ce
champ engendrera un moment dipolaire instantané
p
’ ce qui entraînera une interaction entre les deux
moments
p
et
p
’ conformément à ce qui a été décrit dans les questions précédentes.
4. On a :

5
1
13
0
12
4p
Er
1
21 3
0
12
4p
pE r
D’après la question 2.a :
2
12 2
36
00
2 4 1
44
attractive p p p
Urr
6
attrctive C
Ur
La constante C est donnée par :
2
2
0
4
4
p
C
4. En négligeant l’énergie cinétique et les vibrations des deux dipôles, On a :
6 12
TCD
Ur rr
5. a. On a :
6 12
4UR RR
D’après la question 4 :
6 12
CD
UR RR
En identifiant les deux expressions :
6
12
4
4
C
D
Ce qui donne :
1
6
2
4
D
C
CD
b. Tracé de l’allure de la courbe :
4
UR fR
On pose :
4
UR y
xR