chapitre 8

90
Chapitre 8 ■ Droites dans le plan repéré
© Éditions Belin 2010
Dans la première partie sont vus les coordonnées d’un point, du milieu
d’un segment et l’expression de la longueur d’un segment. La notion de
repère a été rapidement introduite dans le chapitre 1.
Dans la deuxième partie est abordée la droite en tant qu’objet géométrique.
La droite a été vue (en troisième et dans ce livre au chapitre 3) comme
représentation graphique d’une fonction affi ne, c’est-à-dire d’un point
de vue analytique. Dans ce chapitre, c’est l’expression de l’équation
d’une droite qui nous intéresse, qui sera sous la forme y = ax + b ou x = c.
La forme générale d’une équation de droite n’est pas au programme. Pour
étudier l’intersection de deux droites, on peut alors résoudre un système
de deux équations à deux inconnues.
Toutes ces notions seront largement exploitées dans le chapitre suivant,
chapitre dans lequel l’élève pourra découvrir qu’un problème de géométrie
peut avoir une solution algébrique.
Droites
dans le plan repéré Chapitre 8
Ouverture
La droite était, pour les anciens, un objet si
évident que l’on négligeait de préciser de
quoi on parlait et il a fallu attendre la nais-
sance des géométries non euclidiennes pour
que le concept soit précisé.
Il est exact que le mot droite, ou encore
ligne droite, semble totalement évident
mais est-ce vraiment certain ?
Est-on vraiment certain que les oiseaux
migrateurs, un avion qui traverse l’atlan-
tique (après avoir atteint son altitude de
croisière) se déplacent en ligne droite et,
sans l’usage d’une règle va-t-on trouver de
façon certaine qui prolonge le trait noir dans
l’illusion de Poggendorf ?
La question proposée est destinée à attirer
l’attention des élèves sur le concept de ligne
droite, évident pour de courtes distances
(pour Euclide c’est une ligne également
espacée entre ses points) mais peu évident
lorsque les distances sont très grandes et la
réponse attendue est l’une des « preuves »
fournies par les anciens pour affi rmer que la
terre était ronde : en observant l’arrivée des
bateaux, on commence par voir le sommet
du mât, puis le mât et enfi n la proue.
Pour bien commencer
Commentaires
Les cinq exercices proposés sont des exer-
cices de révision. L’exercice 3 a pour objectif
de montrer qu’une droite non parallèle à
l’axe des ordonnées admet une et une seule
équation de la forme y = ax + b, dite expres-
sion réduite.
Exercice 1 a/ −5 est le coeffi cient directeur
et 6, l’ordonnée à l’origine.
b/ Le coeffi cient directeur est négatif donc f
est décroissante.
x−∞ +∞
f

9191
Chapitre 8 ■ Droites dans le plan repéré
© Éditions Belin 2010
c/ On se place dans un repère (O, I, J). Les
points A(0 ; 6) et B(2 ; −4) appartiennent à
la représentation graphique de f.
OI
B
A
x
y
J
Exercice 2 a/ Non.
b/ g(3) = −6 + 9 = 3. L’ordonnée du point R
est 3.
c/ On résout l’équation 5 = −2 x + 9 ⇔ x = 2.
L’abscisse du point de cette droite d’ordon-
née 5 est 2.
d/ Pour obtenir le(s) point(s) de la droite
dont abscisse et ordonnée sont égales, on
résout x = −2x + 9 ⇔ x = 3 : on retrouve le
point R (et c’est le seul).
Pour obtenir le(s) point(s) dont abscisse et
ordonnée sont opposées, on résout
− x = − 2x + 9 ⇔ x = 9. On obtient une seule
solution : le point (9 ; −9).
Exercice 3 a/ Si la fonction f existe, son
coeffi cient directeur est a=−
+=
53
21
2
3.
b est déterminé par la résolution de l’équation
52
32=×+b ⇔ b=11 3.
On obtient f(x) = 2
3
11
3
x+.
b/ Dans a/, on a montré que si f existe, alors
f(x) = 2
3
11
3
x+. On calcule alors f(2) et f(−1) :
f(2) = 4
3
11
35+=
et f(−1) = −+=
2
3
11
33.
c/ Donc il existe une et une seule fonction
affi ne vérifi ant f(2) = 5 et f(−1) = 3.
d/ a ⬎ 0, donc f est croissante et sa repré-
sentation graphique est une droite.
e/ f(−2) = 7
3.
f/ On résout :
−=+42
3
11
3
x ⇔ 2
3
23
3
x=− ⇔ x = −11,5.
Donc −4 a un et un seul antécédent par f,
c’est le réel −11,5.
Exercice 4 a/ 3x + 2 = 13 ⇔ 3x = 11
⇔ x=11
3 . S = 11
3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭.
b/ 3x − 6 = 3(x − 1) − 3 ⇔ 0 = 0. S = ⺢.
c/ 5x + 7 = 5(x − 3) + 25 ⇔ 7 = 10. S = ∅.
Exercice 5 a/ Faux ; b/ vrai ; c/ faux ;
d/ vrai ; e/ vrai.
Activités d’introduction
Commentaires
Activité 1 : ce sont essentiellement des révi-
sions – coordonnées d’un point dans la
première partie et utilisation du théorème
de Thalès dans la deuxième partie.
Activité 2 : on ne dispose pas de la valeur
absolue.
La distance entre deux points est la longueur
du segment d’extrémités ces deux points.
Par extension, un repère sur une droite étant
choisi, la distance entre deux nombres est
la longueur du segment d’extrémités les
deux points d’abscisse ces deux nombres,
ou encore la longueur de l’intervalle [a ; b],
où a et b sont les deux nombres donnés tels
que a est inférieur à b.
La distance entre deux nombres est « le plus
grand moins le plus petit », ce qui n’est pas
évident pour les élèves si les deux nombres
ne sont pas positifs.
Activité 3 : la notion de moyenne est assez
simple à comprendre. Par contre, il est
un peu moins évident que la moyenne
entre deux nombres est le milieu de l’in-
tervalle formé par ces deux nombres. Les
élèves doivent connaître trois formules : les
coordonnées du milieu, la longueur d’un
segment et les coordonnées d’un vecteur.

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Chapitre 8 ■ Droites dans le plan repéré
© Éditions Belin 2010
Il y a souvent confusion. Associer le milieu
d’un segment à la notion de moyenne peut
simplifi er l’acquisition de ces formules.
Activité 4 et 5 : les élèves éprouvent souvent
certaines diffi cultés à comprendre que le
mot « équation » est utilisé dans deux situa-
tions différentes.
• Soit on la résout : au collège, ils ont appris
à résoudre une équation du 1er degré à une
inconnue et un système linéaire de deux
équations à deux inconnues.
• Soit l’équation est une caractérisation
d’un ensemble de points du plan ou de l’es-
pace qu’il n’y a pas lieu de résoudre.
Activité 1 1. a/ c/ d/
A
B
C
E
D
OI
J
A(1 ; 4), B(1 ; −4).
b/ Les abscisses des points A et B sont égales
et leurs ordonnées sont opposées.
2. a/ Dans le repère (A, I, J) , A(0 ; 0), B(4 ; 0),
C(4 ; 3), D(0 ; 3).
b/ On applique le théorème de Thalès dans
le triangle ABD. F est le milieu du segment
[AB], donc AF = 2. On en déduit que l’abs-
cisse de F dans le repère (A, I, J) est 2 ou −2.
Mais, puisque F est le milieu de [AB], l’abs-
cisse de F est comprise entre les abscisses de
A et de B, donc est positive et l’abscisse de
E, qui est celle de F, est 2.
De même, on trace par E la parallèle à la
droite (AB) qui coupe (OJ) au milieu du seg-
ment [AD], et l’ordonnée de E est 1,5.
Activité 2 1. Huit étages. 2. 2 930 euros
3.
ABO IC
AB = 4 + 3,6 = 7,6 ; BC = 3,6 + 2,4 = 6 ;
AC = CA = 4 – 2,4 = 1,6.
4. a/ La longueur de cet intervalle est 1.
b/ Deux nombres de cet intervalle sont au
plus distants de 1.
5. Soit a et b deux réels distincts. Nécessai-
rement, l’un des deux est inférieur à l’autre.
Quitte à les renommer, on peut supposer
que c’est a le plus petit. On peut former l’in-
tervalle [a ; b] de longueur b − a.
Activité 3 a/ 15 23
219
+=. Ils ont gagné
en moyenne 19 euros.
0 A(15) B(23)
19
La longueur du segment [AB] est 23 − 15 = 8.
L’abscisse du milieu du segment [AB] est la
somme du plus petit des deux nombres 15
et 23, c’est-à-dire 15 et de la moitié de la
longueur de [AB], c’est-à-dire 4. L’abscisse
du milieu de [AB] est 19.
b/ Jour A : la moyenne est 7 et c’est le milieu
de [3 ; 11]. Jour B : la moyenne est 2,2 et c’est
le milieu de [−4,6 ; 9]. Jour C : la moyenne est
–8,3 et c’est le milieu de [−11 ; −5,6]. Jour
D : la moyenne est –3,5 et c’est le milieu de
[−7 ; 0].
Activité 4 a/
OI
x
y
J
Ᏸ3Ᏸ2Ᏸ1Ᏸ5
Ᏸ4
b/ yx
yx
=−−
=+
⎧
⎨
⎩
32
025 1, ⇔ −−=+
=−−
⎧
⎨
⎩
320251
32
xx
yx
,
⇔ 325 3
32
,x
yx
=−
=−−
⎧
⎨
⎩ ⇔
x
y
=−
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
12
13
10
13
.
Les deux droites Ᏸ3 et Ᏸ4 sont sécantes au
point −
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
12
13
10
13
;, résultat dont on peut
vérifi er la plausibilité sur le graphique.

9393
Chapitre 8 ■ Droites dans le plan repéré
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c/ Une droite d’équation y = ax + b est le
graphe d’une fonction affi ne, donc d’une
fonction et ne peut être, par conséquent,
« verticale ».
Activité 5 1. a/ y = 3x2 − 5x + 2.
b/ Les élèves pourront développer l’expres-
sion canonique pour trouver les coeffi cients
comme ils ont pu le faire dans le chapitre 4.
On obtient : f(x) = 3 x−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
5
6
2 − 1
12.
c/ Le sommet de cette parabole est S
5
6
1
12
;−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
,
et une équation de son axe de symétrie est
x=5
6.
d/
01
x
y
1
S
On peut vérifi er que la parabole passe par
les points (0 ; 2), et (1 ; 0).
e/ Remarque : stricto sensu, pour obtenir ce
qu’on appelle une parabole, on doit se pla-
cer dans un repère orthonormé. L’exercice
supplémentaire n°4 du chapitre 8 disponible
sur www.libtheque.fr/mathslycee propose
de tracer un repère orthonormé avec une
calculatrice.
2. a/ Le cercle Ꮿ est l’ensemble des points
du plan distants de 1 du point O.
b/ Si on appelle (x ; y ), les coordonnées du
point M dans le repère orthonormé (O, I, J),
OM2 = x2 + y2.
Si M appartient à Ꮿ, ses coordonnées x et y
vérifi ent x2 + y2 = 1.
c/ Soit M(x ; y) tel que x2 + y2 = 1. Est-ce que
le point M appartient à Ꮿ, c’est-à-dire est-ce
que OM = 1 ?
OM2 = x2 + y2 qui vaut 1 par hypothèse,
donc M appartient à Ꮿ.
d/ Soit M(x ; y) dans un repère orthonormé.
M appartient au cercle Ꮿ si et seulement si
x2 + y2 = 1.
Exercices et problèmes
REPÉRAGES ET CALCULS DANS LE PLAN
1
1
1. b/ ; b/ ; c/ ; c/. 2. C(4 ; 2). 3. (2 ; 1).
2
2
a/ OB = 5 ; OC = 3 ; OD = 3.
b/ On applique le théorème de Pythagore
au triangle OAB rectangle en B :
OA2 = OB2 + AB2 = OB2 + OC2 = 25 + 9 = 34,
donc OA = 34 (puisque OA est positif).
4
4
a/ A(3 ; 2) ;
B(−2 ; 3) ;
C(−1 ; 0). C
A
BE
D
F
J
OI
b/ F(6 ; 4).
6
6
a/ 41; b/ 17
7 ; c/ 17; d/ 3.
7
7
AB2 = 90, AC2 = 45 = BC2, donc le
triangle ABC est rectangle isocèle en C.
8
8
AB2 = 45, AC2 = BC2 = 56,25, donc le
triangle ABC est isocèle en C et n’est pas
rectangle.
10
10
d/.
11
11
a/ (5,5 ; 5,5) ; b/ (3 ; 0) ; c/ (−5,5 ; −8,5).
12
12
a/ (20 ; −3) ; b/ (33 1+ ; −7) ; c/ (−4 ; 7).
13
13
a/ (5 ; 2,5) ; b/ (3,5 ; 0) ; c/ (−3
23 ; 2,4).
14
14
Dans le repère (O, I, J) : A(5 ; 3), B(6 ; 3),
C(5 ; 4), P(4 ; 1), Q(9 ; 5), R(−1 ; 6).
Dans le repère (A, B, C) : O(−5 ; −3), I(−4 ; −3),
J(−5 ; −2), P(−1 ; −2), Q(4 ; 2), R(−6 ; 3).
15
15
C7, E7, F6, F4, C3, E3, B4, B6.
16
16
Soit XA et YA les coordonnées du point A,
XB et YB celles du point B et enfi n XM et YM
celles du milieu, M, de [AB].
Langage symbolique :
Saisir (XA, YA);
Saisir (XB, YB);
XM:= (XA + XB)/2;
YM:= (YA + YB)/2;
Afficher (XM, YM);

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Chapitre 8 ■ Droites dans le plan repéré
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Avec la Casio Avec la TI
17
17
Algorithme :
Saisir (XA, YA);
Saisir (XB, YB);
C:= racine carrée
[(XA−XB)²+(YA−YB)²];
Afficher (C);
Avec la Casio Avec la TI
18
18
a/ P(1 ; −1,5) et Q(5,5 ; −4,5).
b/ PQ = 29 25 313
2
,=.
c/ BC = 117 3 13=. Ce qui nous permet
de vérifi er le calcul du b/ car P et Q étant les
milieux respectifs de [AB] et [AC], PQ = 1
2BC
(théorème des milieux).
19
19
On résout
4
21
3
2
1
3
+=−
+=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
x
y
F
E
,
d’où E(4 ; −7
3) et F(−6 ; 3)
20
20
a/
OI
x
y
J
A
C
B
F
E
b/ AB2 = 252, BC2 = 202, AC2 = 152, d’où
AB2 = BC2 + AC2 et le triangle ABC est rec-
tangle en C.
c/ [CE], étant la médiane du triangle ABC
rectangle en C, a une longueur qui est la
moitié de l’hypoténuse soit 12,5.
d/ E(3,5 ; 0).
e/ Il est équivalent de dire que ACBF est un
rectangle ou de dire que le point E est le
milieu du segment [CF].
D’où
35 0
2
012
2
,=+
=+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
x
y
F
F
et F(7 ; −12).
21
21
a/ BD = 12, AD = 5 et AB2 = 144 + 25,
donc le triangle ABD est rectangle en D.
b/ M(5 ; 2,5).
c/ Puisque le triangle ABD est rectangle en D,
le cercle circonscrit a pour centre le point M
et pour rayon AB
2
13
265==,.
MC = 42 25 6 5,,=, d’où la conclusion.
22
22
AB2 = 172, AC2 = 13 × 17 et BC2 = 4 × 17,
donc AB2 = AC2 + BC2 et le triangle ABC est rec-
tangle en C. sin
BAC =
BC
AB =4 17
, et BAC ≈ 29°.
23
23
Premier cas
1. a/ On suppose que xA ⬍ xB et yA = yB.
Comme A et B ont même ordonnée la droite
(AB) est parallèle à la droite (OI) ; il en est de
même évidemment de la droite (AM).
Puisque les droites (AA’) et (MM’), d’une
part et (AM) et (A’M’) d’autre part, sont
parallèles, le quadrilatère AMM’A’ est un
parallélogramme et AM = A’M’. De même,
BM = B’M’ et comme M est le milieu de [AB],
A’M’ = B’M’. Les points A’, B’ et M’ sont ali-
gnés, M’ est entre A’ et B’, donc M’ est le
milieu de [A’B’]. Puisque xA’ = xA, xB’ = xB, et
xA ⬍ xB alors xA’ ⬍ xB’. Le point M’ est situé
entre A’ et B’ donc xA’ ⬍ xM’ ⬍ xB’.
b/ A’M’ = xM’ – xA’ et M’B’ = xB’ – xM’. Donc
xM’ – xA’ = xB’ – xM’ et xM’ = xx
A’ B’
2
+, et
xM = xx
AB
2
+. Comme yA = yB = yM, on a
aussi yM = yy
AB
2
+.