1 TS3 DS du jeudi 27 janvier 2011. MATHEMATIQUES Tous les

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TS3 DS du jeudi 27 janvier 2011.
MATHEMATIQUES
Tous les résultats seront justifiés par des résultats explicites du cours et ils seront écrits avec les notations
adéquates.
Exercice 1
Note : on donnera tous les résultats sous forme de fraction irréductible.
Pour se rendre au lycée, Frédéric n’a le choix qu’entre deux itinéraires A ou B.
La probabilité qu'il choisisse l'itinéraire A est 1/3. La probabilité qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte
l'itinéraire A est 2/5 ; celle qu'il arrive en retard sachant qu'il emprunte l'itinéraire B est 3/10. On notera R
l’événement « Frédéric arrive en retard ».
1) Construire un arbre complet représentant la situation.
2) Sachant qu'il choisit l'itinéraire A, quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure ?
3) Quelle est la probabilité qu'il arrive à l'heure au lycée et qu'il ait choisi l'itinéraire A ?
4) Quelle est la probabilité que Frédéric arrive à l'heure au lycée ?
5) Sachant que Frédéric est arrivé à l'heure au lycée, quelle est la probabilité qu'il ait emprunté l'itinéraire B ?
6) Le choix de l'itinéraire A est-il indépendant du fait d'être à l'heure ?
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Exercice 2
Les résultats seront donnés sous forme décimale à
3
10
−
près.
D’après ses statistiques personnelles, Pierre estime que, lors d'une sortie VTT, la probabilité de crever la roue
avant (événement noté AV) est de 0,1, la roue arrière (événement noté AR) de 0,05 et les deux roues de 0,005.
1) Les deux événements AV et AR sont-ils indépendants ? Incompatibles ?
2) Quelles sont les probabilités pour une sortie VTT d’avoir :
a) Au moins une roue crevée ?
b) Une seule roue crevée ?
c) Aucune crevaison ?
3) Sur 10 sorties VTT consécutives indépendantes quelle est la probabilité d’avoir au moins une crevaison ?
4) Combien de sorties doit-il faire au minimum pour être sûr à 99% d’avoir au moins une crevaison ?
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Exercice 3
Les résultats seront donnés sous forme de pourcentages avec 2 chiffres après la virgule.
En Belgique, il y a 55% de Wallons et 45% de Flamands. Une enquête a prouvé que 65% des Wallons mangent
des frites traditionnelles à section rectangulaire, alors que 75% des Flamands mangent des frites new-look à
section hexagonale.
Sur la Grand-Place, à Bruxelles, on rencontre, une fois, un promeneur Belge un cornet de frites hexagonales à la
main. Quelle est la probabilité qu’il soit Wallon ?

2
CORRIGE
Exercice 1
1) Arbre évident.
2)
( )
( )
2 3
1 1
5 5
A A
P R P R= − = − =
3) Probabilité d'être à l'heure et de passer par A :
( ) ( )
( )
3 1 1
5 3 5
A
P R A P R P A
∩ = = × =
4) A et B forment une partition des itinéraires de Frédéric, donc la probabilité qu’il arrive à l'heure au lycée est,
d'après le principe des probabilités totales :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1 2 2
1 1 0,3
5 5 5 3 3
B B
P R P R A P R B P R P B P R P B
= ∩ + ∩ = + = + − = + − × =
5)
( )
(
)
( )
7 /15 7
2 / 3 10
R
P B R
P B
P R
∩
= = =
6) On a P(
R
) = 2/3, valeur différente de
(
)
A
P R
= 3/5. Donc
R
et A sont dépendants.
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Exercice 2
1) L'énoncé indique que :
P(AV) = 0,1 ; P(AR) = 0,05 et P(AV∩AR) = 0,005. On constate que :
P(AV)P(AR) = 0,1×0,05 = 0,005 = P(AV∩AR), Ce qui prouve que AV et AR sont indépendants.
Et puisque P(AV∩AR) n’est pas nul, AV et AR sont compatibles.
2) Les probabilités pour une sortie VTT d’avoir :
a) Au moins une roue crevée:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 0,05 0,005 0,145
P AV AR P AV P AR P AV AR∪ = + − ∩ = + − =
b) Une seule roue crevée :
( ) ( ) 0,145 0,005 0,14
P AV AR P AV AR∪ − ∩ = − =
c) Aucune crevaison :
(
)
1 ( ) 1 0,145 0,855
P AV AR P AV AR∪ = − ∪ = − =
3) Sur 10 sorties VTT consécutives indépendantes, la probabilité de ne pas avoir de crevaison est, d’après la
loi des événements répétés :
10
0,855
. Donc la probabilité du contraire, i.e. d’avoir au moins une crevaison,
est : 10
1 0,855 0,79
− ≈
4) Le nombre n de sorties qu’il doit faire au minimum pour être sûr à 99% d’avoir au moins une crevaison, est
donné par :
1 0,855 0,99 0,855 0,01
n n
− ≥ ⇔ ≤ soit, après essais à la calculatrice :
30
n
≥
Conclusion : il doit donc faire au minimum 30 sorties pour que la probabilité d’avoir au moins une
crevaison dépasse 99%.
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Exercice 2
Notations : W : Wallon ; F : Flamand ; T : frites traditionnelles ;
H : frites hexagonales
Le tableau permet de placer les 55% de Wallons et les 45% de Flamands.
On observe que 65% des 55% de Wallons, c’est-à-dire 35,75% de la
population, sont Wallons et mangent des frites traditionnelles. Le 33,75%
du tableau s’obtient de façon analogue et le reste par des soustractions simples.
La question est de trouver la proportion de Wallons parmi ceux qui mangent des frites hexagonales soit :
19,25/53 = 36,32 %.
Note : on peut aussi sans problème construire un arbre.
% W F total
T 35,75 11,25 47
H 19,25 33,75 53
total
55
45
100