2015-2016 - IECL - Université de Lorraine

Examen 2e session de probabilités et statistiques
Licence SPI 3e année - Resp.: J. Unterberger
Université de Lorraine - année 2015-2016
Exercice 1 (loi de Bayes).
L’équipe bruxelloise de football compte 11 joueurs, dont 5 Flamands et 6
Wallons. Les Bruxellois mangent des frites carrées ou des frites hexagonales
"new look". Les Wallons mangent à 60% des frites carrées, et à 40% des
frites hexagonales. Les Flamands, eux, mangent à 40% des frites carrées, et
à 60% des frites hexagonales.
A la mi-temps, on surprend un joueur en train de manger des frites hexagonales. Quelle est la probabilité qu’il soit flamand ?
Exercice 2.
Un singe s’amuse à sauter au hasard sur un trottoir avec des pavés. A
chaque fois, soit il reste sur place, soit il saute sur le pavé devant lui, soit il
saute à reculons sur le pavé derrière lui. Ses sauts successifs sont supposés
indépendants.
Sa position Sn au bout de n sauts peut donc être modélisée par une
somme Sn = X1 + . . . + Xn où Xi , i = 1, 2, . . . , n sont des v.a. i.i.d. de loi
P[Xi = 0] = p, P[Xi = 1] = q, P[Xi = −1] = 1−p−q (0 < p, q < 1, p+q < 1).
1. Calculer E[Xi ], Var(Xi ).
2. En déduire: E[Sn ], Var(Sn ).
3. Quelle est la loi de Z = X1 X2 ? (on déterminera l’ensemble des valeurs
possibles pour la v.a. Z, et la probabilité de chacune de ces valeurs)
En déduire: E[Z], Var(Z).
4. Quelle est la loi de T = X1 + X2 ?
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