Algèbre linéaire et bilinéaire – Notes de cours Cycle préparatoire 2 année

Cycle préparatoire 2ème année
Algèbre linéaire et bilinéaire – Notes de cours
Romain Dujol
2013 – 2014

Table des matières
0 Révisions d’algèbre linéaire 4
0.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2.2 Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2.3 Espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.3.1 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.3.2 Sous-espaces particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Réduction des endomorphismes 12
1.1 Élements propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Valeur propre. Vecteur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 Sous-espace propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Réduction des endomorphismes, techniques avancées 22
2.1 Polynôme annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Polynôme annulateur. Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Sous-espaces caractéristiques. Forme de JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Sous-espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Forme de JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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3 Réduction des endomorphismes, applications 32
3.1 Puissances entières d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1 Méthode par réduction d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Méthode par division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Suites récurrentes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Suites vectorielles récurrentes d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Suites récurrentes linéaires d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Systèmes différentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Méthode par réduction directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Méthode par exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Formes bilinéaires. Formes quadratiques 40
4.1 Forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3 Matrice d’une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Matrice d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.4 Réduction d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Espaces euclidiens 58
5.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.2 Familles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2.3 Procédé d’orthonormalisation de SCHMIDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Théorème de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien 70
6.1 Endomorphismes orthogonaux. Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.1 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Endomorphismes autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
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6.2.2 Endomorphisme autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2.3 Endomorphisme anti-autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Espaces préhilbertiens complexes 78
7.1 Forme sesquilinéaire. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.1 Forme sesquilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.1.2 Forme sesquilinéaire hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.3 Forme quadratique hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Endomorphismes remarquables d’un espace hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.1 Endomorphismes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.2 Endomorphismes hermitiens et anti-hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.1 Matrice d’une forme sesquilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.2 Matrices unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.3.3 Matrices hermitiennes et anti-hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
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Chapitre 0
Révisions d’algèbre linéaire
0.1 Espaces vectoriels
Définition 0.1 (Espace vectoriel). Soit Kun corps commutatif. Un espace vectoriel sur Kou
K-espace vectoriel est un ensemble E muni :
– d’une loi de composition interne +telle que (E,+) est un groupe abélien ;
– d’une loi de composition externe ·:K×E→E
(λ,x)7→ λ·x
telle que :
1. ∀x∈E, 1K·x=x
2. ∀λ∈K,∀µ∈K,∀x∈E,λ·(µ·x) = (λµ)·x
3. ∀λ∈K,∀µ∈K,∀x∈E,(λ+µ)·x=λ·x+µ·x
4. ∀λ∈K,∀x∈E,∀y∈E,λ·(x+y) = λ·x+λ·y
Les éléments de E sont appelés des vecteurs. Les éléments de Ksont appelés des scalaires.
Remarque. Les propriétés 1 et 2 indiquent que ·est une action à gauche du groupe Ksur E.
Proposition 0.1. Soit Kun corps commutatif et E un K-espace vectoriel. Alors :
1. ∀λ∈K,λ·0E=0E
2. ∀x∈E, 0K·x=0E
3. ∀x∈E,(−1K)·x=−x
Proposition 0.2 (Exemples fondamentaux). Soit n un entier naturel non nul.
1. L’ensemble Kn=K×···×K(n fois) des n-uplets à valeurs dans Kest un K-espace vectoriel.
2. L’ensemble K[X]des polynômes à coefficients dans Kest un K-espace vectoriel
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