Le champ électrique

I La charge électrique
A) Définition – propriétés
On trouve deux types d’électricité dans les corps :
- l’électricité résineuse (ambre)
- l’électricité vitreuse (verre)
L’expérience montre que deux corps d’électricités différentes s’attirent, et deux
corps de même électricité se repoussent. On attribue alors (arbitrairement) un signe – à
l’électricité résineuse, et + à l’électricité vitreuse.
L’action électrique est une grandeur extensive ; on attribue à tout corps chargé une
intensité de charge en Coulomb (C).
La charge est quantifiée :
Z nneQ,
, où e est la charge élémentaire,
C10.6022,1 19 e
(électron : charge –e ; proton : charge e)
B) Densité de charge
La quantification de la charge est insensible à l’échelle macroscopique. On peut
donc la considérer comme une quantité continue.
1) Distribution volumique de charge
Charges réparties en volume :
Vmatière chargée
M
V
(
V
: volume mésoscopique)
V
q
MtM
Vi i
en charge de volumiquedensité :),(
On le note aussi
dV
dq
V
Q
M )(
, ou
)(
)( M dVMdq
.
3
m.C 
.
Dans un volume V chargé de dimension macroscopique, on a alors :
 VM
V
V
dV
VdVMdqdqQ)(
composent
qui )(""
2) Distribution surfacique de charges
e
Surface du corps chargé
m1 e
(pour un conducteur par exemple)
On assimile cette distribution à une distribution surfacée en supposant que
les charges ne sont présentes que sur la surface du corps chargé.
Surface du corps chargé
Charge volumique nulle
Le champ électrique

Ssurface chargée
M
S
Q
dS
dq
S
Q
tM charges de surfacique densité :),(
)(
)( M dSMdq
.
2
m.C 
.
Charge totale portée par une surface macroscopique S :
S
dq
dS
 SM
S
dS
SdSMdqQ)(
composent
qui )(""
.
3) Distribution linéique de charges
Cylindre de faible section Modélisation : fil d’épaisseur nulle
M
Q
l
On définit
dl
dq
l
Q
tM  ),(
(densité linéique de charge)
1
m.C 
.
)(
)( M dlMdq
AB
M
)(M
 B A )(
AB
composent
qui
AB )("" M
dl dlMdqQ
II Loi de Coulomb
A) Cadre de l’électrostatique
 Les particules chargées sont assimilées à des points ponctuels de position M,
de charge q. (condition : la distance entre les corps doit être très grande devant
le dimension propre de ces atomes)
 Tous les champs sont indépendants du temps.
0
t
.
En particulier,
,,
sont indépendants du temps.
B) Loi de Coulomb
Soient deux charges ponctuelles
21,qq
en
21,MM
.

M1
M2
q1
q212
u
21
21
12 MM MM
u
.
L’interaction électrique entre deux charges dans le vide est décrite par la loi de
Coulomb :
12
2
21
21
21 u
MM
qq
KF 
.
K : constante caractéristique de l’attraction électrique (
0K
)
)C.N.m(SI10.9
41229
0
K
.
0
: permittivité électrique du vide.
La loi de Coulomb reste valable dans un matériau isolant à condition de remplacer
0
par , permittivité électrique du milieu.
0 r
(
r
: permittivité relative du milieu, sans dimension)
1
r
pour le vide ;
00058,1
r
pour l’air ;
80
r
pour l’eau.
III Le champ électrique
A) Champ créé par une charge ponctuelle
A
M
Q
qAM
u
AMAMMA u
AM
Q
qu
AM
qQ
F
2
0
2
044 1
.
On pose
AMQu
AM
Q
ME 
2
0
4
)(
.
)(MEQ
est défini en tout point de l’espace. On l’appelle le champ électrique créé
au point M par la charge Q en A.
Ainsi,
)(MEqF QMA
.
Interprétation :
La charge Q crée un champ
Q
E
dans tout l’espace et c’est ce champ qui interagit
localement en M avec une charge q.
Q
(
0Q
ici)
C’est un champ radial, c'est-à-dire que les lignes de champ sont des ½ droites
d’origine Q. Les surfaces équipotentielles sont ici les sphères centrées en Q.

B) Principe de superposition des champs créés par une distribution de charges
quelconques
1) Distribution discrète
On considère un ensemble de charges
i
q
en
i
M
,
ni ,1
.
q1q2
q3
qi
qn
q
M1
MiM3
M2
Mn
M
n
iMM
i
i
i
i
MM
n
iMM
i
i
n
iqqqq
i
iiii
u
MM
q
q
MM MM
uu
MM
qq
FF
12
0
12
0
1
41
avec
41
Définition :
Le champ
)(ME i
q
créé par
i
q
en M est défini par :
)(MEqF ii qqq
Ainsi,
 n
iq
n
iMM
i
i
qMEu
MM
q
ME iii 11 2
0
)(
41
)( 
.
Ainsi, le champ créé par les n charges est la superposition des champs créés
par chacun des champs agissant seuls.
2) Distribution volumique de charges
VdV(P)
P
dq
M
PM
u
)(P
dV
peut être considéré comme une charge ponctuelle.
)(
)( P dVPdq
. Cette charge, située en P, crée en M un champ électrique
)(MEd 
ou
PMdq u
PM
dq
MEd 
2
0
41
)(
.
D’où :
  VPM
P
VPM V
Vu
PM
dVV
u
PM
dq
MEdME 
2
)(
0
2
0
)(
41 41
)()(
Ce champ existe en l’absence de charge en M, mais si on ajoute une charge q
en M,
)(MEqF VqV
3) Distribution surfacique de charges
SdS(P)
P
M
L’élément
)(P
dS
est une charge ponctuelle
)(
)( P dSPdq
en P qui crée un
champ en M :
PM
Pu
PM
dSP
MEd 
2
)(
0
)(
41
)(
.

D’où
SPM
P
Su
PM
dSV
ME 
2
)(
0
)(
41
)(
4) Distribution linéique de charges
AB
P
)(P
M
B A 2
)(
0
B A
)(
41
)( 
PM
Pu
PM
dlP
ME
IV Symétries
A) Symétries et antisymétries de la distribution de charges
On considère une distribution de charge volumique
)(
:PP V
R
Rappel : rotation d’axe orienté et d’angle :
+
P
)(' ,PrP
H
On considère une isométrie s :
angled' orienté, axed' rotations
planes symétries
. nstranslatio
P
s
ut 
Alors :
s est une symétrie pour pour tout point P de l’espace,
)()'( PP
.
s est une antisymétrie pour pour tout point P de l’espace,
)()'( PP
.
(où
)(' PsP 
)
Exemples :
a
b
at  .
,
bt  .
sont des symétries pour cette distribution de charges.
at 
2
1
.
,
bt 
2
1
.
sont des antisymétries.