Le champ électrique

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Le champ électrique
I La charge électrique
A) Définition – propriétés
On trouve deux types d’électricité dans les corps :
- l’électricité résineuse (ambre)
- l’électricité vitreuse (verre)
L’expérience montre que deux corps d’électricités différentes s’attirent, et deux
corps de même électricité se repoussent. On attribue alors (arbitrairement) un signe – à
l’électricité résineuse, et + à l’électricité vitreuse.
L’action électrique est une grandeur extensive ; on attribue à tout corps chargé une
intensité de charge en Coulomb (C).
La charge est quantifiée :
Q  ne, n  Z , où e est la charge élémentaire, e  1,6022.1019 C
(électron : charge –e ; proton : charge e)
B) Densité de charge
La quantification de la charge est insensible à l’échelle macroscopique. On peut
donc la considérer comme une quantité continue.
1) Distribution volumique de charge
Charges réparties en volume :
Vmatière chargée
V
M
( V : volumemésoscopique)
 ( M , t ) : densité volumique de charge en M

q
iV
i
V
Q dq

, ou dq   ( M )dV( M ) .    C.m 3 .
V dV
Dans un volume V chargé de dimension macroscopique, on a alors :
QV "  dq"   dq    ( M )dV( M )
On le note aussi  ( M ) 
dV qui
composent
V
V
V
2) Distribution surfacique de charges
Surface du corps chargé
e
e  1m (pour un conducteur par exemple)
On assimile cette distribution à une distribution surfacée en supposant que
les charges ne sont présentes que sur la surface du corps chargé.
Surface du corps chargé
Charge volumique nulle
S
Ssurface chargée
Q
M
 ( M , t ) : densité surfacique de charges
Q dq


S dS
dq   ( M )dS ( M ) .    C.m 2 .
Charge totale portée par une surface macroscopique S :
dq
S
dS
 dq"    (M )dS
QS "
dS qui
composent
S
S
(M )
.
3) Distribution linéique de charges
Cylindre de faible section
Modélisation : fil d’épaisseur nulle
l
Q
M
On définit  ( M , t ) 
   C.m 1 .
Q dq

(densité linéique de charge)
l
dl
dq   ( M )dl ( M )
 (M )
B
M
A
QAB "
 dq"  
dl qui
composent
AB

AB
 (M )dl( M )
II Loi de Coulomb
A) Cadre de l’électrostatique

Les particules chargées sont assimilées à des points ponctuels de position M,
de charge q. (condition : la distance entre les corps doit être très grande devant
le dimension propre de ces atomes)

 0.
 Tous les champs sont indépendants du temps.
t
En particulier,  ,  ,  sont indépendants du temps.
B) Loi de Coulomb
Soient deux charges ponctuelles q1 , q2 en M1 , M 2 .
M2
q2
M1

u12
q1
M M

u12  1 2 .
M 1M 2
L’interaction électrique entre deux charges dans le vide est décrite par la loi de
Coulomb :

qq 
F12  K 1 2 2 u12 .
M 1M 2
K : constante caractéristique de l’attraction électrique ( K  0 )
1
K
 9.10 9 SI ( N.m 2 .C  2 ) .  0 : permittivité électrique du vide.
40
La loi de Coulomb reste valable dans un matériau isolant à condition de remplacer
 0 par  , permittivité électrique du milieu.
   r  0 (  r : permittivité relative du milieu, sans dimension)
 r  1pour le vide ;  r  1,00058 pour l’air ;  r  80 pour l’eau.
III Le champ électrique
A) Champ créé par une charge ponctuelle
M
q
A

u AM
Q

FA M 

qQ 
Q
u AM  q
u AM .
2
2
40 AM
40 AM


Q
On pose EQ ( M ) 
u AM .
2
40 AM

EQ (M ) est défini en tout point de l’espace. On l’appelle le champ électrique créé
1
au point M par la charge Q en A.


Ainsi, FAM  qEQ (M ) .
Interprétation :

La charge Q crée un champ E Q dans tout l’espace et c’est ce champ qui interagit
localement en M avec une charge q.
Q
( Q  0 ici)
C’est un champ radial, c'est-à-dire que les lignes de champ sont des ½ droites
d’origine Q.Les surfaces équipotentielles sont ici les sphères centrées en Q.
B) Principe de superposition des champs créés par une distribution de charges
quelconques
1) Distribution discrète
On considère un ensemble de charges q i en M i , i  1, n .
Mi
M1
q1
qi
M2
q2
M3
M
q
q3
qn Mn
n 
n

qi q 
MM

1
Fqi q   Fqi q  
u M i M avec u M i M  i
2
MiM
i 1
i 1 4 0 M i M
n
 q
i 1
qi 
uM M
40 M i M 2 i
1
Définition :



Le champ Eqi  (M ) créé par qi  en M est défini par : Fqi q  qEqi  (M )
n
n 

qi 
1
Ainsi, Eqi  (M )  
u
  Eqi (M ) .
2 MiM
i 1 40 M i M
i 1
Ainsi, le champ créé par les n charges est la superposition des champs créés
par chacun des champs agissant seuls.
2) Distribution volumique de charges
V
M
dV(P)

uPM
P
dq
dV( P ) peut être considéré comme une charge ponctuelle.
dq   ( P)dV( P ) . Cette charge, située en P, crée en M un champ électrique


1
dq 
dE (M ) ou d dq E ( M ) 
u PM .
40 PM 2
D’où :


1
dq 
1  (V )dV( P ) 
EV ( M )   dE ( M )  
u

PM
V 40 PM 2 u PM
V
V 4 PM 2
0
Ce champ existe en l’absence de charge en M, mais si on ajoute une charge q


en M, FV q  qEV (M )
3) Distribution surfacique de charges
S
M
dS(P)
P
L’élément dS ( P ) est une charge ponctuelle dq   ( P )dS ( P ) en P qui crée un

1  ( P)dS ( P ) 
u PM .
champ en M : dE ( M ) 
40 PM 2
1  (V )dS ( P ) 
u PM
S 4
PM 2
0

D’où E S ( M )  
4) Distribution linéique de charges
 (P)
B
P
A

E AB ( M )   
AB
1
40
M
 ( P)dl( P ) 
PM 2
u PM
IV Symétries
A) Symétries et antisymétries de la distribution de charges
On considère une distribution de charge volumique 
:V  R
P ( P)
Rappel : rotation d’axe  orienté et d’angle  :
+

H

P'  r , ( P)
P
On considère une isométrie s :

translatio ns t.u

symétries planes s P
rotations d' axe  orienté, d' angle 

Alors :
s est une symétrie pour    pour tout point P de l’espace,  ( P' )   ( P) .
s est une antisymétrie pour    pour tout point P de l’espace,  ( P' )    ( P) .
(où P '  s ( P ) )
Exemples :

a

b
 
des symétries pour cette distribution de charges.
t.a , t.b sont


1
1
t. 2 a , t. 2 b sont des antisymétries.

Densité volumique de
charges = 0 à l’extérieur
 0 uniforme
Les symétries sont toutes les rotations d’axe  et d’angle   0,2  ; c’est une
symétrie cylindrique. Pour tout plan Pcontenant  , s P est aussi une symétrie (on dit
aussi que P est un plan de symétrie pour )
B)

E
Symétrie et antisymétrie plane : direction de .
1) Théorème (admis)


Si  est un plan de symétrie pour , alors c’en est aussi un pour E ,


 
(c'est-à-dire que pour tout point P de l’espace, E( P' )  s ( E( P)) ; s : symétrie
plane vectorielle)
Plan 
P’
 
s ( E ( P))
P

E (P )

 E (P )
E//
 
s ( E ( P))
P’
P E




E ( P)  E //  E 



 
 
 
 
s ( E ( P))  s ( E //  E  )  s ( E // )  s ( E  )  E //  E 
Cas particulier :
Si M   , alors M '  s (M )  M



 
Et E(M )  s ( E(M )) , d’où E   0

Ainsi, en tout point Mde  , E (M ) est parallèle au plan.
2) Autre théorème
Si  est un plan d’antisymétrie pour , alors  est un plan d’antisymétrie


 
pour E . ( M   , E(M ' )  s ( E(M )) )

M

E //


E

E (M )

 E //
 
 s ( E ( M ))

M’ E

 
s ( E ( M ))



E(M )  E//  E



 
E(M ' )  s ( E(M ))  E//  E
Cas particulier :



 
Si M   , alors M '  M , et E(M ' )  s ( E(M )) , soit E//  0 .

Donc E (M ) est perpendiculaire au plan  en tout point M du plan.
3) Exemples

 0
0
Tout les plans  qui contiennent  sont des plans de symétrie pour .

Si M     , alors E (M ) //  .
On choisit deux plans  ,  ' distincts contenant  .


Alors E ( M )     ' , donc E (M ) // 
y
M
P’
Oz

E (M )

P
M

x
E (M )
Distribution linéique de charge  ( P)  0 cos  .
Le plan yOz est un plan de symétrie pour  :
Si P est un point du cercle,  ( P' )  0 cos(   )  0 cos    ( P)
Sinon,  ( P' )  0   ( P)

Ainsi, pour M  (Oy , E ( M )  yOz .

De même, si M  (Ox , E ( M ) // xOz .
C) Invariance par symétrie : dépendance avec les
 variables d’espace
1) Invariance par translation de direction u .
Définition :
 est invariante par translation de direction u    R , t .u est une
symétrie pour .
Exemple :
z
P :  ( P )  0

k
Un fil infini uniformément chargé, de densité linéique de charge  0

constante. Cette distribution est invariante par toute translation de direction k .
Théorème :

Les coordonnées cartésiennes E x , E y , E z du champ E ne dépendent pas de
la coordonnée repérant la position dans la direction d’invariance : ici, z.





Ou : M   , E (M )  E ( x, y, z )  E x ( x, y, z ).i  E y ( x, y, z ). j  E z ( x, y, z ).k
Démonstration :
x, y, z, z ' R , pour M ( x, y, z ), M ' ( x, y, z ' ) points de l’espace, on a
M '  t ( z ' z ) k (M ) .


C’est une symétrie pour E .




Donc E ( M ' )  t ( z ' z ) k ( E ( M ))  E ( M )
(Un vecteur est inchangé par translation…)
Ainsi,




E ( M ' )  E x ( x, y, z ' )i  E y ( x, y, z ' ) j  E z ( x, y, z ' )k




 E ( M )  E x ( x, y, z )i  E y ( x, y, z ) j  E z ( x, y, z )k
Et en projetant, on trouve le résultat voulu.
Remarque :
  
En coordonnées cylindriques M (  ,  , z ) , de base locale (e , e , k ) :




E ( M (  , , z ))  E  (  , )e  E (  , )e  E z (  , )k
2) Invariance par rotation autour de   (Oz
On dit que  possède une symétrie cylindrique par rapport à  lorsque
 est invariante par toutes les rotations r, ,   0,2  .
Théorème :
Les composantes cylindriques E  , E , E z sont indépendantes de 

 
(attention, E en dépend quand même par l’intermédiaire de e  , e )
3) Invariance par rotation d’axe passant par O.
On dit que  possède une symétrie sphérique lorsque pour tout axe 
passant par O, pour tout angle   0,2  , r , est symétrique pour .
Théorème :

Les composantes sphériques de E ( E r , E , E ) ne dépendent que de
r  OM ; on a même E  E  0 .(Voir chapitre 3 pour les coordonnées
sphériques)
Exemple :Une charge ponctuelle.
V Calculs de champ
A) Champ électrique créé par un segment uniformément chargé dans son plan
médiateur
On prend un segment AB, de longueur AB  2l , un point M appartenant au plan
médiateur.
On représente ici le plan passant par A, B, M :
z
M
O
A
y
B
x
P  AB,  ( P)  0 constante.

E
1) Direction de (M )
   yOz est un plan de symétrie.



Comme M   , on a E (M )   , ou E x  E(M )  i  0 .
  '  xOz est aussi un plan de symétrie.



Comme M   ' , on a E ( M )   ' , ou E y  E (M )  j  0



Ainsi, E ( M )  E z ( M )k  E z ( z )k (puisque M  (Oz )
 P  xOy est aussi un plan de symétrie.
On note M '  s P (M ) . Comme P est un plan de symétrie, on a :
 



 
 
E ( M ' )  s P ( E ( M )) , soit E z ( z )k  s P ( E z ( z )k )  E z ( z ) s P (k )   E z ( z )k .
Donc E z est une fonction impaire.
2) Calcul de Ez.
z
M

u PM
O
A
y
P
B
x
On considère un élément infinitésimal de fil repéré par le point P d’abscisse
x P ou x, et de longueur dx . Cet élément crée en M un champ :

0 dx 

PM PO  OM
dE (M ) 
u , où u PM 

2 PM
PM
PM
40 PM


Donc E (M )    dE (M ) .
AB


Or, E ( M )  E z ( z )k .

 


 PO  OM 
z
Donc E z ( z)  E(M )  k    dE(M )  k ; u PM  k 
.
k 
AB
PM
PM
Donc :
l
z0 dx
z0 dx
z l
dz
Ez ( z)   

 0 
2
2
3
/
2
2
2
3
/
2
2
A B 4 ( x  z )
l 4 ( x  z )

l
40 ( x  z 2 )3 / 2
0
0
1
x
1
Une primitive de x  2
est x  2
.
2 3/ 2
(x  z )
z
x2  z 2
0 
20 l
l
l 





2
2
2
2
40 z  l  z
l  z  40 z l 2  z 2


20 l
k.
Soit E ( M ) 
40 z l 2  z 2
Si z  l , le segment correspond alors à une charge ponctuelle.
Donc E z ( z ) 
Vérification :


20 l
20 l 
q AB 
E (M ) 
k
k

k
40 z 2
40 z 2
40 z l 2  z 2
B) Champ créé par un disque uniformément chargé
z
M

k 
i
R
 ( P)   0
P

j
On considère un disque d’axe (Oz , de rayon R, ayant une distribution uniforme de
charge  0 constante.
On cherche le champ en M  (Oz .
1) Symétries
xOz est un plan de symétrie pour  , et M est dans ce plan.
Donc E y ( M )  0
De même avec yOz , E x ( M )  0



Donc E ( M )  E z ( M )k  E z ( z )k
2) Calcul de Ez.
Découpage de la distribution de charges :
y
x
d
y
P

O
dr
x
On considère un élément infinitésimal repéré par P(r , ) et de longueur
dr, d . Cet élément a pour aire ds  dr  rd (en assimilant les arcs à la corde
correspondante, de longueur rd ).
Il porte la charge dq   ( P)dS   0 dr  rd .

 rdr  d 
dE (M )  0
u PM .
40 PM 2




dE ( M ) , et E ( M )  E z ( z )k
Donc E ( M )  
D (O , R )


dE ( M )  k
Donc E z ( z )  
D (O, R )

 PM  k

z
u PM  k 

PM
PM
2 R
z 0 rdr  d
z 0 rdr  d
Donc E z ( z )  

 0 r 0 40 (r 2  z 2 ) 3 / 2
D ( O , R ) 4 (r 2  z 2 ) 3 / 2
0
Ainsi, en intégrant d’abord par rapport à  :
R
z 0 rdr
E z ( z )  2 
0 4 (r 2  z 2 ) 3 / 2
0
1
r
Une primitive de r  2
est r 
2 3/ 2
(r  z )
r2  z2
2 0 z 
1
1

Donc E z ( z ) 
 

2
2
40  R  z
z


2 0 z  1
1
 
k
Soit E ( M ) 
2
2 
40  z
R z 
Lorsque z  R (et z  0 ) :

  2 0  R 2  z 2  z  
2 0 
z

k 
E (M ) 
1
k
2
2 
40 
40 
R z 
R 2  z 2 
2 0  z 1  R 2 / z 2  1   2 0  z R 2 / 2 z 2   

k

k

40 
4

z
R2  z2


0

 0 R 2 
qD 

k

k
40 z 2
40 z 2


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