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Concours National Commun - Session 2010
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Corrigé de l’épreuve de mathématiques II
Filière MP
Pour toute matrice complexe , il existe une matrice unitaire
matrice soient tous égaux.
telle que les éléments diagonaux de la
Corrigé par M.TARQI1
I. U N
PEU DE GÉMOÈTRIE
1.1 Question de cours : L’équation d’une ellipse dans une repère orthonormé du plan eucli-
avec de foyer , de directrice
d’équation et d’excentricité . Pour des raisons de symétrie, il existe un
autre couple de foyer et directrice. Ce sont et la droite d’équation .
dien est de la forme
1.2
! "# , donc $ %&'( si et seulement si
et , donc , ainsi décrit
l’ellipse d’équation réduite
.
)* '+ est une rotation affine ; de centre , et d’angle -.
1
Prenons , et - /0 . Alors
3 6
3 6
3 6
3 6
)2'+ / 0457 8 1 0457 8 0457 8 0457 8 $ %9':
donc )2 '+ . $ %9':, alors
D’autre part, si ; ; )2'+ <3 7 6 8 3 7 6 8= .
45
45
Donc %9': )2 '+ %&'( et comme )2 '+ est une rotation, donc une isométrie, et que se
fait autour de 0, alors %9': est une ellipse centrée à l’origine.
1.2.1 On a 1.2.2
1.2.3
1.3
1.3.1
1
; ; $ > et @ $ ?, alors
A ; @; ; @; ; @; ; ; @; ; A ; @A ; A
Donc est bien linéaire de > dans > .
! tel que A ; , posons @ !B et @ !B , alors
Soit ; C B B @B B@ @ @ B @ B système qui est inversible puisque son déterminant @
D D D D
A
! ; , ainsi est injective.
est no nul, donc >
est considéré comme espace vectoriel sur ?. Soient
M.Tarqi-Centre Ibn Abdoune des classes préparatoires-Khouribga. Maroc. E-mail : [email protected]
EFGHIJIKKGLEMNOP Q RSTO J
X
A
1.3.2 Soit U V; $ > W D; D le cercle unité, alors U
\
Z
[
une ellipse de centre O (d’après la question Y . . ).
A
A
; ; W ; X %9': est
V
D D
1.3.3 Comme et non injective et non nulle, alors Im est une droite vectorielle (droite
affine passant par O).
A
D’autre par, U est un compact de U ( fermé et borné ), et est continue ( linéaire )
A
donc Im est une partie compacte de la droite affine, donc c’est un segment.
A
Si ; $ U, alors ; $ U, donc U est symétrique par rapport à O.
1 Z
Z
On a pour tout ; $ > , D ; ; D ] D D D D D D, donc ^ / ^ ] et
1.3.4
^
A^
^^/ 457 6 1 457 6 ^^ ^^Z 6_74 ^^ Z, donc les deux extrémités
du segment U sont
^
^ ^ 3 6_ ^
3 6_ `
les points d’affixes ; 7 4 8 et ; 7 4 0 8 .
a Si A est injective alors A U %9':. Soit $ Ub, alors il existe unréel
c;tel que c $
;
%9': et par conséquent, il existe ;2 $ > tel que A ;2 c , donc 2 2 c $ ?.
a Si A est; non injective, alors il existe ; $ > b tel A ; , donc si on
considère
;2 ; alors ;2 et pour tout nombre complexe non nul , on a ;2 ;2 D D
D D
est un réel.
II. M ATRICES
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
UNITAIRES
b f, donc elle est unitaire.
La matrice d ! e vérifie b ' $ ji > , alors klm
Par définition si
g h g hi
op
nqr o 38 o 38 ... io 3i8 ( si
X
Z
désigne l’ensemble des permutations de l’ensemble V ...t ). Ainsi klm b klm et
si de plus est unitaire, alors b f, et par conséquent
klm b klm klm donc D klm D .
u v e
Il est clair que si u et v sont des complexes tels que Du D Dv D , alors d v u
est unitaire.
Inversement, Soit d w e un matrice unitaire, alors D D D D D D Dw D et
w . et w .
D D Supposons w (même raisonnement si w w
w
w
a Si x , on déduit , puis w w D D D D donc w ,
et .
a Si , on obtient D D , w w , puis D D , , donc .
k"yz ... i est unitaire si et seulement si b k"yz D D D D ... Di D fi, donc si et seulement si D D D D ... Di D .
{
2.5.1 Si
est une {matrice {à coefficients réels, alors b , donc
i
seulement si
,
c’est-à-dire
est
orthogonale.
f
2.5.2 Soit | une permutation de V
à |. Alors
est unitaire si et
Z ...tX. Notons o la matrice de permutation associée
o |'o 3g 8 h'g hi
EFGHIJIKKGLEMNOP Q RSTO H
{ o g 'g i Z h Xon obtient :
! }
de h
V ...t , on a :
g
{
Donc o o
5 | et |€ $ si on pose
Soient maintenant
Posons Pour tout
g
~g o 38
~o 5og8'o 38
~o 3g€ 8€
5
o o€ g h'g hi on obtient donc
i
g
‚
n ~o 38 ~o€3g 8
~oo€ 3g 8~o€ 38o€ 3g 8
~oo€ 3g 8
o o€ oo€ et en particulier on a :
o o oo ƒ fi
5
5
{
Donc o est inversible et ( o o o c’est-à-dire o est orthogonale, donc
5
elle est unitaire.
2.6 Soit g 'g i une matrice de ji > , on note g les coefficients de
b, alors
h h
i
g
‚
n  g
i„
Donc est unitaire si et seulement si ‚  g ~g ( ~g étant le symbole de Kroneker ),
c’est-à-dire si et seulement si les colones de forment une base orthonormée de ji ' > pour le produit scalaire . D. .
ˆ
2.7 Il est clair que toute matrice unitaire est inversible et b, donc …i † ‡ i > .
D’autre par fi $ …t et si et ‰ sont …t , alors
‰ b ‰ ‰ b b ‰ ‰ b‰ ‰‰ b fi donc ‰ $ …t .
2.8 Compacité de …t Œ { , ‹ ‰ Œ ‰ et - ‹ Œ b . Š et sont des
2.8.1 Notons Š ‹
Ž Š, alors applications continues ( Š est linéaire et est bilinéaire ) et comme - est continue de ji > sur lui même .
i
2.8.2 Par identification de ji > et > , l’application . n’est autre que la norme assoi
ciée au produit scalaire canonique de > .
Sii
g h'g hi est unitaire alors b fi et donc pour tout } Z ...t,
„ g .
‚ D D Ainsi
7
i i
i 7

’
g ’
“ ‘
“ ”t.
  ‘
g‚
nn
D
D

n
‚
g‚
EFGHIJIKKGLEMNOP Q RSTO •
Alors
X
A
A
X
2.8.3 On a …i Vf et comme est continue et Vfi est fermé de ji > , alors …i est
un compact de ji > , d’autre part, …i est borné, car pour tout $ …t ,   j ”t, et comme on est en dimension finie …i est un compact de i > .
III. D ÉMONSTRATION
D ’ UN RÉSULTAT ANNONCÉ
3.1 Étude en dimension 2
3.1.1 Il est clair que
b d uv uv e d uv uv e f, puisque Du D Dv D @ "# @ , donc
est unitaire.
3.1.2 Nous avons
u
v
b d v u e d e d uv uv e
v v vu v uu v u vu u
d v uu v u v v uu v u u e
Donc
et
vu u v v
u "# 3– — 8 3– — 8 "# @ @
@ @ v uu v u3– u
"# @ @ — 8 3– — 8"# @ @
3.1.3
.[.˜\ de la première partie, il existe ;2 de module 1 tel que
Y
;2 ;2
™ ™3–
7 —soit un réel, et comme D;2 D , alors on peut choisir B et š tel que
;2  8. Donc il existe un couple B š $ ? tel que › soit un réel.
Soit › un réel, l’application définie sur œ 
Zž par
- ‹ @ Œ @ › "# @ @ Z
=

<
est continue et comme - Z et - Z Z , alors d’après le théorème
des valeurs intermédiaires il existe @ $ ž 
Z œ tel que -@ , c’est-à-dire
Z @ › @ "# @.
3.1.3.1 D’après
la question
3.1.3.2
3.1.3.3 Dans ces conditions, on a :
De même
@ "# @ 3– — 8 3– — 8"# @ @
@ › @ "# @ @ › @ "# @
Ÿ
Ÿ
3– —
3– —
"# @ @ 8 8 "# @ @
Ÿ Ÿ Ainsi pour Ÿ Z , on a
, c’est-à-dire les éléments diagonaux b sont
égaux.
EFGHIJIKKGLEMNOP Q RSTO 3.2 Étude du cas général
3.2.1 Comme
A est linéaire de ji > dans lui même , alors A est continue.
3.2.2
3.2.2.1 L’application ¡¢ est continue comme composée des applications continues :
Œ 
– l’application continue £ £ £b ; puisque on a l’inégalité :
3.2.2.2
3.2.3
£ £ b £2 £2b ¤ £ £ b £2b £ £2 £2b ¤
] £ ¤  ¤ £ b £2b ¤  ¤ £2b ¤ £ £2¤
A
– l’application linéaire ;
– l’application norme .¤ qui est continue, car elle est lipshitizienne.
¡¢ étant continue sur le compact …t, donc elle est bornée
et atteint ses Xbornes,
¥
"#
$
$ t
en particulier il existe £2 … tel que ¡¢£2 V¡¢£ W£ …t .
Z
!
X
x }2. Soit | la permutation de ...t définie
3.2.3.1 Puisque ¡¢£2 , alors 2 Z
!
x !2 et ¦ x }2, |¦ ¦V. Notons §
}
par | 2 , | 2 et pour tout ¦ o,
$
t
t
alors §
… ( car … est un groupe ) et
A §£ §£ b ¤ A £ £ b ¤ donc la supposition est possible.
3.2.3.2 C’est une conséquence de la question
\
Y[. de cette partie.
2 est unitaire, alors on a :
b2 e
2b2 e f e i .
b d 2
e
i d i d f
f
fi d fi f
‰ ‰
D’autre part, si on pose d
‰ ‰¨ eon a :
‰ ‰ e b2 e
2‰b © e i .
b d 2
e
i d ‰ ‰¨ d i d © 2 ‰¨
f
f
f
! [˜
'
'
'
Donc b
b Z et! pour tout ...t, b ' . ( b 'g désigne le coefficient de la -ème ligne et } -ème colonne de la
matrice b.
3.2.3.3 Comme
3.2.3.4 Nous avons
ª« ¬ 2 g g W!} ­ [® .
A b ¤ ª«
D
DD
D
'g i D b gg D h h
A
!
et puisque pour tout } , on a  g g  ]  ¤, alors en particulier
  ] D D et   ] D D , donc D2 D ] D D
et par conséquent :
A b ¤ ] A ¤ .
! [˜
On a, pour tout ...t, D ' ' D ] D D et D ' ' D ] D D,
donc les ' appartiennent à l’intersection des cercles centrés en ' et ' et de
même rayon D D.
EFGHIJIKKGLEMNOP Q RSTO ¯
'
2
'
! $ [ ˜ ...tX :
V
D 2 D ] D 2 D D ' ' D
D’après la figure, on voit bien que pour tout
% ¬! } $ Y[t\ W ' g 'g ® .
D
D D D
[ Z [ ˜\
On suit le même raisonnement qu’on a fait dans la question Y . . . , mais cette
!
fois pour chaque couple } de %, et quitte à permuter les lignes et les colonnes
! . Donc il existe une matrice unitaire telle que les
on peut supposer } b sont
éléments diagonaux de bb
2 2 ¨'¨ ... ' Z 0'0 ' Z 0'0 ' ... i'i 0 0
avec
A b ¤ ] A ¤ .
3.2.3.5 Notons
^^' Z ' g 'g ^^ ' '
' ' .
0 0
D
D
D
^^
^^ D
0 0
!
On peut poursuivre ce raisonnement pour tout les couples } de %, en dernière étape on obtient une matrice £ , produit de matrices unitaires, telle que
A £ £ b ¤ A ¤ .
et
, donc l’hypoA
A
D’après ce qui précède on a nécessairement ¡¢£2  £2 £b2  , donc £2 £b2 !
et par conséquent, pour tout couple } , £2 £b2 ' £2 £b2 g 'g , c’est-à-dire les élé
ments diagonaux de £2 £b2 sont tous égaux.
a a a a a a a a a a aa
L’inégalité précédente est en contradiction avec la définition de
thèse ¡¢£2 est fausse.
3.2.4
EFGHIJIKKGLEMNOP Q RSTO °