Télécharger

R OYAUME DU M AROC
Ministère de l’Éducation Nationale, de l’Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2010
École Supérieure des Industries du Textile et de l’Habillement
ESITH
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes Écoles d’Ingénieurs ou Assimilées
Session 2010
É PREUVE DE M ATH ÉMATIQUES II
Durée 4 heures
Filière MP
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit
Concours National Commun – Session 2010 – MP
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec précision les références des questions abordées.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amené à prendre.
L’objet de ce problème est d’établir le résultat suivant : “Pour toute matrice complexe , il existe une
matrice unitaire telle que les éléments diagonaux de la matrice
soient tous égaux.”
La première et la deuxième partie sont indépendantes ; la troisième partie utilise certains résultats des
deux premières.
Notations et rappels
Dans ce problème, désigne un entier naturel
et
l’algèbre des matrices carrées
d’ordre à coefficients dans (
ou ) ; la matrice identité se notera .
, désigne la matrice transposée de ,
son déterminant,
Pour toute matrice de
son polynôme caractéristique et
l’ensemble de ses valeurs propres dans .
Si
, on appelle matrice conjuguée de et on note , la matrice de
dont le coefficient de la -ième ligne et la -ième colonne est égal au conjugué
du complexe
, pour tout couple
d’éléments de
; on note aussi
la matrice transposée de la
matrice (
).
!#"
(*)&+-, ./102
(*3
4
648795-
CA )&+-, .
$&%' 5
:<;7 = = =-7>@?
*3
)+-, .
BA
1ère partie
Un peu de géométrie
ED est identifié à par l’isomorphisme de -espaces vectoriels FHGIJK*LM&*F&N7>O9PQ*F&> , de sur
ED . Le plan 3D est muni de son produit scalaire canonique. On rappelle que le cercle unité de est
l’ensemble :-FR0SUTWV F8VX;Y? .
Z[Z[]\S^`_ba-cXdfe'gh`_Wije'^`k<aml Donner l’équation réduite d’une ellipse dans un repère orthonormé
du plan euclidien ; préciser les coordonnées des foyers et les équations des deux directrices de
l’ellipse ainsi que la valeur de son excentricité.
Z[on@[
p
q
V prV8t
s V qXV ; on pose uwvftV prV et xmvftV qXV .
y<z {jz <y z Justifier que l’ensemble |~}, €v :ub‚ ƒ…„~†‡x'‚ˆƒ…„‰T‹ŠŒ€Ž2Œ#? est une ellipse dont on
Soient et deux complexes tels que
donnera une équation réduite.
ED
y<z {jz {jz
dans
y<z {jz ™jz
ED
Soit
.
‘
un point de
3D
et
’0m
; reconnaı̂tre l’application
“8” , • v‰FGJ–‘†‚ ƒ • *F—I˜‘C
|~š›, œvž(:Yp/FB†q FŸT‹V F8V' ;Y?
de
Montrer que l’ensemble
est une ellipse, centrée à l’origine,
image de
par une application du type précédent à préciser à l’aide des réels et tels que
et
.
|}, 
p£ub‚ ƒ ¡ q¤x'‚ ƒo¥
Z[o¦@[ Soient p et q deux complexes ; on définit l’application §Sv~FGIJ¨p/F†Wq F
Épreuve de Mathématiques II
1/4
¡
de
¢
dans .
Tournez la page S.V.P.
Concours National Commun – Session 2010 – MP
y<z ™jz y<z
y<z ™jz {jz
y<z ™jz ™jz
Vérifier que
Si
§
§
est linéaire et montrer qu’elle est injective si, et seulement si,
est injective, justifier que l’image du cercle unité par
§
Š
est une ellipse de centre .
§
Si n’est pas injective, montrer que l’image du cercle unité par
centré en , dont on précisera les extrémités.
Š
V prV8t
s V qXV .
§
est un segment de ,
y<z ™jz z Montrer alors que, pour tout complexe non nul ) , il existe un complexe F
p/F3† q F soit réel. (On distinguera les cas § injective et § non injective.)
tel que
)
de module
;
2ème partie
Matrices unitaires
Définitions : une matrice
inversible et son inverse est égal à
n@[Z[
n@[on@[
n@[o¦@[
0—A *3 est dite unitaire si 1A/ , ce qui revient à dire qu’elle est
U
. L’ensemble des matrices unitaires de *3 est noté # .
Donner un exemple simple de matrice unitaire.
Montrer que si
Soit
est unitaire alors
;
est un complexe de module .
0S
D * 3 . Montrer que
est un matrice unitaire si, et seulement si, elle est de la forme
et sont des complexes tels que
et un complexe de module .
I~u u où
V V Dˆ†mV V D; u
;
n@[ `[ Soit €
8fu 7 = = =-7/u une matrice diagonale de *3 ; donner une condition nécessaire
et suffisante sur les complexes u 7 = = =-7/u pour que soit unitaire.
n@[ @
[ aSh`_b
a 8crk<d ij_baŸk _ˆ _ f_ba
{jz !z y<z Soit 0 ( ; montrer que est unitaire si, et seulement si, elle est orthogonale.
{jz !z {jz On rappelle qu’une matrice de permutation est une matrice obtenue en permutant les
colonnes (ou les lignes) de . Montrer que toute matrice de permutation est unitaire.
n@[ "@[ ( , *3 désigne le -espace vectoriel des matrices complexes à lignes et une colonne. On
le munit de son produit scalaire complexe canonique noté #Q=…7 %= $ et défini par #&S(7 ')$1v *
& A ' où
A
&
& .
Montrer qu’une matrice
est unitaire si, et seulement si, ses colonnes forment une base
orthonormée de l’espace hermitien +
,#
-*
$ ..
n@[0/#[
f
( , *3Y7 =…7 =
# est un sous-groupe du groupe linéaire 132E*3 .
n@[4@[ e567id6c8_ h`:
_ 9<;>=@?
{jz Ajz y<z Montrer que l’application GI8J 1A , de (* dans lui même, est continue.
Montrer que {jz Ajz {jz
*) ƒ , B ‰GIJDCY*) ƒ , B EC D v/GFIH V ) ƒ , B V D,J LK9D
Œ ƒ ,B Œ est unitaire ?
Montrer que l’application
(*3 . Que vaut C C D si
{jz Ajz ™jz Déduire de ce qui précède que #
est une partie compacte de
Épreuve de Mathématiques II
2/4
est une norme sur
*3 .
IJ
Concours National Commun – Session 2010 – MP
3ème partie
¦@[Z[
Démonstration du résultat annoncé
cX^3h`_ _bg‹h3d _bg3adfe'gn
)
p
et A Soit
s ) D ; on pose I
q ) D 0Q
D *3 avec ) 
‡‚ ƒ
, ‡‚ ƒ (
et 37 `7 0 .
™jz y<z <y z Vérifier que est une matrice unitaire.
j™ z y<z {jz Calculer et en fonction de ) , ) , p , q , et I .
D
D
p ‚ ƒ < 8W
† q ‚ˆƒ < .
j™ z y<z ™jz On pose ` /D w†
(
avec w
) I˜) D
%'& ()& %'& ()&
p
Š
 pour
A
sont
soit un réel.
Lorsque est réel, justifier par un théorème à préciser qu’il existe entre et ,+
-+
%'& ()& %'& %'&
En déduire que pour ces choix de et , les termes diagonaux de la matrice
égaux. (on pourra vérifier que
.
/
.
/
et
).
¦@[on@[
D
avec
! "$#
`; .
lequel q ! "$#
Justifier qu’on peut choisir et pour que %'& ()& %'& *'&
9) †‡9;£I ž›) D
D 9) D †‡9;£I ž›) cX^3h`_Wh3^‹i a <_b g _ˆ k On munit *3 de la norme C = C définie par C
C CY ƒ , B EC
vf Π, B % ΠV
ƒ
™jz {jz y<z Soit §‹v
(*3 IJ (*3 l’application qui à toute matrice –
associe §E ‹E +
ƒ , ƒ I Bž, B,. ; montrer que § est continue.
™jz {jz {jz Soit 0S
(*3 et soit " l’application de # dans définie par
A E C Ÿ=
" m` C/§E
Montrer soigneusement que l’application " est continue.
Montrer que " est bornée et atteint ses bornes.
10
2
43
2
!5
)2
76
3
3
5
5
!5
/5
ƒ ,B V.
ƒ , B w0‹
(*3 ,
8
8
9
9
9
%'& *'& *'& ()&
)2
8
%'& *'& *'& *'&
8
0S
*3 et 0 # telles que
" ` N: " mET 0 #ž?X=
™jz {jz ™jz On suppose ici que " -$€Š (donc ) et on pose A t*) , B ; on note L
ƒ d’autres !
" -E % V ) , I˜) Bž, B V ; il peut y en avoir
et E des indices tels que V ) , I˜) B , B VX
ƒ ƒ
ƒ
ƒ
,
B
Œ ƒ Œ
Dans la suite, on considère les matrices
8
9
9
": '8
9
;9
?>
8
>
A
CB
%'& *'& %'& ()&
CB
9
>
B
=<
B
D8
9
>
>
9
>
9
@
76
Montrer qu’on peut supposer, quitte à remplacer
permutation à préciser, que @ et AE
.
¤;
par EF9 où E est une matrice de
9
¤‡
" et on pose vN *) , B Œ , B Œ 0€
*3 .
On suppose donc que V ) , IU) , V@
D
D
D
ƒ ƒ D
Justifier qu’il existe , matrice unitaire d’ordre , telle que les coefficients diagonaux de la matrice
) D ,D .
A soient égaux à ) , †W
Š . Vérifier que la matrice est unitaire et montrer que les
On pose v/
Š bD
) D , D 7') 7 = = = 7ž)
coefficients diagonaux de la matrice A sont les complexes ) , †W ) D , D 7 ) , †W
,
,
pris dans cet ordre.
>
%'& *'& %'& *'&
>
>
G8
>
9
H
>
H
%'& *'& %'& %'&
>
>
>
>
>
I>
>
Épreuve de Mathématiques II
3/4
Tournez la page S.V.P.
Concours National Commun – Session 2010 – MP
%'& *'& %'&
&
La matrice
/§E )
†
W
)
,
¤ D , D .
F>
étant celle définie ci-dessus, montrer
que> C
>
A EC –Œ /C §E EC
?>
)2
)2
et
V ˜
I ) ƒ , ƒ V#V ) , ˜
I ) D , D V pour tout `0m: &7 = = =Y7>@? où
Montrer qu’il existe une matrice unitaire , produit d’un nombre fini de matrices
A EC # C/§E EC et trouver une contradiction.
unitaires, telle que C/§E
™jz {jz z Justifier alors que les coefficients diagonaux de la matrice A sont tous égaux.
>
que >
>
@
%'& *'& %'&
$<
&
>
9
9
?>
9
)2
)2
9
9
F IN DE L’ ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques II
4/4
F IN