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ROYAUME DU MAROC
Minist`ere de l’ ´ Education Nationale, de l’Enseignement
Sup´erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Pr´esidence du Concours National Commun 2010
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Ecole Sup´erieure des Industries du Textile et de l’Habillement
ESITH
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs ou Assimil´ ees
Session 2010
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EPREUVE DE MATH ´ EMATIQUES II
Dur´ee 4 heures
Fili`ere MP
Cette ´epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun – Session 2010 – MP
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere MP,
comporte 4 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements constitueront des ´el´ements importants pour l’appr´eciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec pr´ecision les r´ef´erences des questions abord´ees.
Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´e `a prendre .
L’objet de ce probl`eme est d’´etablir le r´esultat suivant : “Pour toute matrice complexe , il existe une
matrice unitaire telle que les ´el´ements diagonaux de la matrice soient tous ´egaux.”
La premi`ere et la deuxi`eme partie sont ind´ependantes ; la troisi`eme partie utilise certains r´esultats des
deux premi`eres.
Notations et rappels
Dans ce probl`eme, d´esigne un entier naturel et l’alg`ebre des matrices carr´ees
d’ordre `a coefficients dans ( ou ) ; la matrice identit´e se notera .
Pour toute matrice de , d´esigne la matrice transpos´ee de , son d´eterminant,
son polynˆome caract´eristique et l’ensemble de ses valeurs propres dans .
Si , on appelle matrice conjugu´ee de et on note , la matrice de
dont le coefficient de la -i`eme ligne et la -i`eme colonne est ´egal au conjugu´e du complexe
, pour tout couple d’´el´ements de ; on note aussi la matrice transpos´ee de la
matrice ( ).
1`ere partie
Un peu de g´eom´etrie
est identifi´e `a par l’isomorphisme de -espaces vectoriels , de sur
. Le plan est muni de son produit scalaire canonique. On rappelle que le cercle unit´e de est
l’ensemble .
Donner l’´equation r´eduite d’une ellipse dans un rep`ere orthonorm´e
du plan euclidien ; pr´eciser les coordonn´ees des foyers et les ´equations des deux directrices de
l’ellipse ainsi que la valeur de son excentricit´e.
Soient et deux complexes tels que ; on pose et .
Justifier que l’ensemble est une ellipse dont on
donnera une ´equation r´eduite.
Soit un point de et ; reconnaˆıtre l’application de
dans .
Montrer que l’ensemble est une ellipse, centr´ee `a l’origine,
image de par une application du type pr´ec´edent `a pr´eciser `a l’aide des r´eels et tels que
et .
Soient et deux complexes ; on d´efinit l’application de dans .
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Epreuve de Math´ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun – Session 2010 – MP
V´erifier que est lin´eaire et montrer qu’elle est injective si, et seulement si, .
Si est injective, justifier que l’image du cercle unit´e par est une ellipse de centre .
Si n’est pas injective, montrer que l’image du cercle unit´e par est un segment de ,
centr´e en , dont on pr´ecisera les extr´emit´es.
Montrer alors que, pour tout complexe non nul , il existe un complexe de module
tel que soit r´eel. (On distinguera les cas injective et non injective.)
2`eme partie
Matrices unitaires
D´efinitions :une matrice est dite unitaire si , ce qui revient `a dire qu’elle est
inversible et son inverse est ´egal `a . L’ensemble des matrices unitaires de est not´e .
Donner un exemple simple de matrice unitaire.
Montrer que si est unitaire alors est un complexe de module .
Soit . Montrer que est un matrice unitaire si, et seulement si, elle est de la forme
o `u et sont des complexes tels que et un complexe de module .
Soit une matrice diagonale de ; donner une condition n´ecessaire
et suffisante sur les complexes pour que soit unitaire.
Soit ; montrer que est unitaire si, et seulement si, elle est orthogonale.
On rappelle qu’une matrice de permutation est une matrice obtenue en permutant les
colonnes (ou les lignes) de . Montrer que toute matrice de permutation est unitaire.
d´esigne le -espace vectoriel des matrices complexes `a lignes et une colonne. On
le munit de son produit scalaire complexe canonique not´e et d´efini par o `u
.
Montrer qu’une matrice est unitaire si, et seulement si, ses colonnes forment une base
orthonorm´ee de l’espace hermitien .
Montrer que est un sous-groupe du groupe lin´eaire .
Montrer que l’application , de dans lui mˆeme, est continue.
Montrer que l’application est une norme sur
. Que vaut si est unitaire ?
D´eduire de ce qui pr´ec`ede que est une partie compacte de .
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Epreuve de Math´ematiques II 2 / 4

Concours National Commun – Session 2010 – MP
3`eme partie
D´emonstration du r´esultat annonc´e
Soit avec ; on pose et avec
, et .
V´erifier que est une matrice unitaire.
Calculer et en fonction de , , , , et .
On pose avec .
Justifier qu’on peut choisir et pour que soit un r´eel.
Lorsque est r´eel, justifier par un th´eor`eme `a pr´eciser qu’il existe entre et pour
lequel .
En d´eduire que pour ces choix de et , les termes diagonaux de la matrice sont
´egaux. (on pourra v´erifier que et ).
On munit de la norme d´efinie par .
Soit l’application qui `a toute matrice ,
associe ; montrer que est continue.
Soit et soit l’application de dans d´efinie par
Montrer soigneusement que l’application est continue.
Montrer que est born´ee et atteint ses bornes.
Dans la suite, on consid`ere les matrices et telles que
On suppose ici que (donc ) et on pose ; on note
et des indices tels que ; il peut y en avoir d’autres !
Montrer qu’on peut supposer, quitte `a remplacer par o `u est une matrice de
permutation `a pr´eciser, que et .
On suppose donc que et on pose .
Justifier qu’il existe , matrice unitaire d’ordre , telle que les coefficients diagonaux de la matrice
soient ´egaux `a .
On pose . V´erifier que la matrice est unitaire et montrer que les
coefficients diagonaux de la matrice sont les complexes
pris dans cet ordre.
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Epreuve de Math´ematiques II 3 / 4 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun – Session 2010 – MP
La matrice ´etant celle d´efinie ci-dessus, montrer que et
que pour tout o `u .
Montrer qu’il existe une matrice unitaire , produit d’un nombre fini de matrices
unitaires, telle que et trouver une contradiction.
Justifier alors que les coefficients diagonaux de la matrice sont tous ´egaux.
FIN DE L’´ EPREUVE
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Epreuve de Math´ematiques II 4 / 4 FIN