Implication, équivalence, condition nécessaire, suffisante

Implication, équivalence, condition nécessaire, suffisante
A la suite des devoirs sur la négation, l’implication et l’équivalence, les lignes qui suivent seront peut-être une clarification,
ou, au moins, un résumé.
Condition suffisante :Lorsque deux propositions Aet Bsont telles que : si Aest vraie, Bl’est forcément aussi, on dira
qu’il suffitqueAsoit vraie pour que Ble soit ; Aest une condition suffisante de B.
Se souvenant de plus que lorsque la véracité de Aentraîne celle de B, on dit que Aimplique Bet on note A⇒B, il vient
que :
A⇒Best synonyme de Aest une condition suffisante de B .
Contraposée :
Pour bien comprendre le sene du mot nécessaire, il est utile de connaître le concept de contraposition. Supposons que A⇒B,
ce qui signifiequesiAest vraie, Bl’est forcément aussi. On comprendra alors aisément que si Best fausse, Ane peut pas
être vraie.
Cela se traduit en fait par : si A⇒Balors B⇒A.EnfaitA⇒Bet B⇒Asont même synonymes (démonstration)
Un exemple très simple : x>2⇒x2>4.Dès lors, x2≤4⇒x≤2.Logique.non ?
On dit que B⇒Aest la contraposée de l’implication A⇒B. Une implication et sa contraposée sont logiquement équiva-
lentes (synonymes). Il arrive que l’une soit plus simple à démontrer que l’autre. Ce peut être une astuce intéressante.
Comment démontrer que x2<4⇒(x>−2et x<2)?Ilestplussimpledeprouverque(x<−2ou x>2) ⇒x2>4qui
est bien la contraposée de la première implication.
Condition nécessaire :Voyons comment peut se traduire le fait que Aest une condition nécessaire de B.
"Il faut manger pour vivre" se traduit par : "manger est nécessaire pour vivre", c’est à dire que celui qui ne mange pas ne
peut pas vivre.
On voit donc que, dans l’acception courante, Aest nécessaire à Bdans le cas où Bne peut être vraie qu’à condition que A
le soit.
En d’autres termes, si Aest une condition nécessaire de B, alors Afausse implique Bfausse. Or on sait que Afausse est
synonyme de AvraieetdemêmepourB.
La proposition Afausse ⇒Bfausse est donc logiquement équivalente à A⇒Bqui comme on l’a vu ci-dessus est logiquement
équivalente à B⇒Apuisque c’est sa contraposée.
Pour récapituler Aest nécessaire à Blorsque B⇒A.
Et en inversant les rôles de Aet B, A ⇒Bpeut se traduire indifféremment par :
FAest une condition suffisante de B
FBest une condition nécessaire de A
Condition nécessaire et suffisante - Equivalence logique :Lorsqu’on a à la fois ½A⇒B(1)
B⇒A(2) ,on voit que :
l’implication (1) traduit le fait que Aest une condition suffisante de B
l’implication (2) traduit le fait que Aest une condition nécessaire de B
½l’implication (1) se lit : Aest une condition suffisante de B
l’implication (2) se lit : Aest une condition nécessaire de Bon dit : Aest une condition nécessaire et suffisante de B
Mais on aurait pu écrire aussi que :
½l’implication (1) se lit : Best une condition nécessaire de A
l’implication (2) se lit : Best une condition suffisante de Adonc : Best une condition nécessaire et suffisante de A
On dira que Aet Bsont équivalente et on notera ceci : A⇔B.
1

Précautions d’emploi :
Ainsi, A⇔Bsignifie⎧
⎨
⎩
A⇒B
ET
B⇒A
une équivalence logique est donc quelque chose de fort car elle sous-entend deux implications
("marche avant et marche arrière"), ou si vous préférez un statut de "nécessité" et de "suffisance". Les locutions suivantes
ont alors rigoureusement le même sens : Aest équivalente à B, A est une condition nécessaire et suffisante de B, B est une
condition nécessaire et suffisante de A, A est vraie si et seulement si Best vraie,Best vraie si et seulement si Aest vraie.La
locution "si et seulement si" qui a donc un sens beaucoup plus fort que le simple si.
Il ne faut écrire une équivalence que lorsqu’on est certain de la double implication. De plus, une équivalence logique est une
prise de risque, puisqu’elle est plus restrictive que la simple implication. En tant que telle, il ne faut l’utiliser que lorsque
c’est indispensable et se contenter de la simple implication lorsqu’elle suffit.
Quelques exemples classiques :
Fx>2⇒x2>4est vraie, mais x>2⇔x2>4est fausse car x2>4⇒x>2est fausse. L’implication qui serait vraie
serait x2>4⇒x>2ou x < −2.L’équivalence qui serait vraie serait donc x2>4⇔x>2ou x < −2.
Fx2=3⇔x=√3est faux car −√3est aussi solution de l’équation. On a donc bien x=√3⇒x2=3mais
x2=3;x=√3.
Là encore il faudrait écrire x2=3⇔x=√3ou x=−√3.
FLe théorème de Pythagore et sa réciproque s’écriraient ABC rectangle en A⇔BC2=AC2+AB2et l’interdiction de
méler dans une mêm phrase symboles mathématiques et langues française amènerait plutôt si et seulement si à la lace du
symbole ⇔.
FLe théorème de Thalès possède aussi une réciproque mais il n’est pas possible de l’énoncer à l’aide d’une équivalence. En
effet :
O
A
B
A'
B'
⎧
⎨
⎩
A∈[OB]
A0∈[OB0]
(AA0)// (BB0)⇒OA
OB =OA0 OB0=AA0 BB0
On sait que réciproquement ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
A∈[OB]
A0∈[OB0]
OA
OB =OA0 OB0
⇒(AA0)// (BB0).
Mais on n’aurait pas le droit d’écrire ⎧
⎨
⎩
A∈[OB]
A0∈[OB0]
(AA0)// (BB0)⇔OA
OB =OA0 OB0
car on peut très bien avoir OA
OB =OA0 OB0sans avoir ⎧
⎨
⎩
A∈[OB]
A0∈[OB0]
(AA0)// (BB0)
,c’est à dire dans une figure n’ayant rien à voir avec
une situation de Thalès.
2