Implication, équivalence, condition nécessaire, suffisante

Implication, équivalence, condition nécessaire, suffisante
A la suite des devoirs sur la négation, l’implication et l’équivalence, les lignes qui suivent seront peut-être une clarification,
ou, au moins, un résumé.
Condition suffisante : Lorsque deux propositions A et B sont telles que : si A est vraie, B l’est forcément aussi, on dira
qu’il suffit que A soit vraie pour que B le soit ; A est une condition suffisante de B.
Se souvenant de plus que lorsque la véracité de A entraîne celle de B, on dit que A implique B et on note A ⇒ B, il vient
que :
A ⇒ B est synonyme de A est une condition suffisante de B .
Contraposée :
Pour bien comprendre le sene du mot nécessaire, il est utile de connaître le concept de contraposition. Supposons que A ⇒ B,
ce qui signifie que si A est vraie, B l’est forcément aussi. On comprendra alors aisément que si B est fausse, A ne peut pas
être vraie.
Cela se traduit en fait par : si A ⇒ B alors B ⇒ A. En fait A ⇒ B et B ⇒ A sont même synonymes (démonstration)
Un exemple très simple : x > 2 ⇒ x2 > 4. Dès lors, x2 ≤ 4 ⇒ x ≤ 2. Logique.non ?
On dit que B ⇒ A est la contraposée de l’implication A ⇒ B. Une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes (synonymes). Il arrive que l’une soit plus simple à démontrer que l’autre. Ce peut être une astuce intéressante.
Comment démontrer que x2 < 4 ⇒ (x > −2 et x < 2 ) ? Il est plus simple de prouver que (x < −2 ou x > 2) ⇒ x2 > 4 qui
est bien la contraposée de la première implication.
Condition nécessaire :Voyons comment peut se traduire le fait que A est une condition nécessaire de B.
"Il faut manger pour vivre" se traduit par : "manger est nécessaire pour vivre", c’est à dire que celui qui ne mange pas ne
peut pas vivre.
On voit donc que, dans l’acception courante, A est nécessaire à B dans le cas où B ne peut être vraie qu’à condition que A
le soit.
En d’autres termes, si A est une condition nécessaire de B, alors A fausse implique B fausse. Or on sait que A fausse est
synonyme de A vraie et de même pour B.
La proposition A fausse ⇒ B fausse est donc logiquement équivalente à A ⇒ B qui comme on l’a vu ci-dessus est logiquement
équivalente à B ⇒ A puisque c’est sa contraposée.
Pour récapituler A est nécessaire à B lorsque B ⇒ A.
Et en inversant les rôles de A et B, A ⇒ B peut se traduire indifféremment par :
FA est une condition suffisante de B
FB est une condition nécessaire de A
Condition nécessaire et suffisante - Equivalence logique : Lorsqu’on a à la fois
½
A⇒B
B⇒A
(1)
,on voit que :
(2)
l’implication (1) traduit le fait que A est une condition suffisante de B
½
l’implication (2) traduit le fait que A est une condition nécessaire de B
l’implication (1) se lit : A est une condition suffisante de B
on dit : A est une condition nécessaire et suffisante de B
l’implication (2) se lit : A est une condition nécessaire de B
Mais on aurait pu écrire aussi que :
½
l’implication (1) se lit : B est une condition nécessaire de A
donc : B est une condition nécessaire et suffisante de A
l’implication (2) se lit : B est une condition suffisante de A
On dira que A et B sont équivalente et on notera ceci : A ⇔ B.
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Précautions d’emploi :
⎧
⎨ A⇒B
ET une équivalence logique est donc quelque chose de fort car elle sous-entend deux implications
Ainsi, A ⇔ B signifie
⎩
B⇒A
("marche avant et marche arrière"), ou si vous préférez un statut de "nécessité" et de "suffisance". Les locutions suivantes
ont alors rigoureusement le même sens : A est équivalente à B, A est une condition nécessaire et suffisante de B, B est une
condition nécessaire et suffisante de A, A est vraie si et seulement si B est vraie, B est vraie si et seulement si A est vraie.La
locution "si et seulement si" qui a donc un sens beaucoup plus fort que le simple si.
Il ne faut écrire une équivalence que lorsqu’on est certain de la double implication. De plus, une équivalence logique est une
prise de risque, puisqu’elle est plus restrictive que la simple implication. En tant que telle, il ne faut l’utiliser que lorsque
c’est indispensable et se contenter de la simple implication lorsqu’elle suffit.
Quelques exemples classiques :
F x > 2 ⇒ x2 > 4 est vraie, mais x > 2 ⇔ x2 > 4 est fausse car x2 > 4 ⇒ x > 2 est fausse. L’implication qui serait vraie
serait x2 > 4 ⇒ x > 2 ou x < −2. L’équivalence qui serait vraie serait donc x2 > 4 ⇔ x > 2 ou x < −2.
√
√
√
F x2 = 3 ⇔√x = 3 est faux car − 3 est aussi solution de l’équation. On a donc bien x = 3 ⇒ x2 = 3 mais
x2 = 3 ; x = 3.
√
√
Là encore il faudrait écrire x2 = 3 ⇔ x = 3 ou x = − 3.
F Le théorème de Pythagore et sa réciproque s’écriraient ABC rectangle en A ⇔ BC 2 = AC 2 + AB 2 et l’interdiction de
méler dans une mêm phrase symboles mathématiques et langues française amènerait plutôt si et seulement si à la lace du
symbole ⇔ .
F Le théorème de Thalès possède aussi une réciproque mais il n’est pas possible de l’énoncer à l’aide d’une équivalence. En
effet :
B
A
⎧
⎨
A ∈ [OB]
AA0
OA0
OA
A0 ∈ [OB 0 ]
=
=
⇒
⎩
OB
OB 0
BB 0
(AA0 ) // (BB 0 )
O
A'
B'
⎧
⎪
⎨
A ∈ [OB]
0
A
∈ [OB 0 ] ⇒ (AA0 ) // (BB 0 ) .
On sait que réciproquement
0
⎪
⎩ OA = OA
OB
OB 0
⎧
A ∈ [OB]
⎨
OA0
OA
A0 ∈ [OB 0 ]
Mais on n’aurait pas le droit d’écrire
=
⇔
⎩
OB
OB 0
(AA0 ) // (BB 0 )
⎧
A ∈ [OB]
⎨
0
OA
OA
0
A
∈ [OB 0 ]
car on peut très bien avoir
sans
avoir
=
, c’est à dire dans une figure n’ayant rien à voir avec
⎩
OB
OB 0
0
(AA ) // (BB 0 )
une situation de Thalès.
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