chapitre3 1

'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH'pULYDWLRQ²(WXGHGHIRQFWLRQV
Sandrine CHARLES (10/10/2001)
Introduction
1 Définition
1.1 Dérivée en un point – Dérivée sur un intervalle
1.2 Dérivées à gauche et à droite
1.3 Fonctions dérivées
1.4 Développement limité d’ordre 1
1.5 Lien entre dérivabilité et continuité
2 Propriétés des fonctions dérivables
2.1 Tangentes
2.2 Interprétation géométrique
3 Dérivées usuelles
4 Opérations sur les dérivées
4.1 Opérations élémentaires
4.2 Fonction inverse et quotient de fonctions dérivables
4.3 Composition
4.4 Fonction réciproque
4.5 Dérivées successives
5 Théorème de Rolle
6 Théorème des accroissements finis
6.1 Théorème
6.2 Théorème des accroissements finis généralisés
6.3 Règle de L’Hospital
6.4 Théorème du point fixe
7 Convexité
7.1 Définitions
7.2 Critères de convexités

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- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p2/22 -
8 Applications à l’étude des fonctions
8.1 Dérivation et extremums d’une fonction
8.2 Etude d’une fonction
8.3 Résolution de l’équation
()
fx a=
9 Exemples d’application
9.1 En Biologie
9.2 En Physique

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- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p3/22 -
&KDSLWUH'pULYDWLRQ²(WXGHGHIRQFWLRQV
Introduction
Dans ce chapitre, nous allons apporter quelques compléments sur la notion de dérivation, que
nous appliquerons à l’étude des fonctions réelles d’une variable réelle. Ce chapitre fera très
largement appel aux notions développées aux chapitres 1 et 2.
D’un point de vue historique, c’est à D’Alembert que l’on doit la définition d'un nombre
dérivé au moyen de la notion naissante de limite, en tant que valeur limite, lorsque f est
fonction x, d'un taux d'accroissement, sous la forme :
() ()()
00
lim lim
xh
fx fxh fx
xh
∆→ →
∆+−
=
∆
Pour vous faire une idée de la notion de dérivation au travers d’un exemple concret de la vie
de tous les jours, nous vous encourageons à visiter le site suivant : Mise en Boîte.
Dans tout ce chapitre, on considèrera des fonctions définies sur ⊆I\où I est un
intervalle ouvert de \.
9HUVG·DXWUHVVLWHV«
15873 : un site dédié aux mathématiques utilitaires de tous niveaux, sous forme d'exercices
avec leurs solutions. Avec une partie "Aide Mémoire" (formulaire) pour les choses courantes.
Voir le formulaire des dérivées

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- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p4/22 -
1 Définition
On considèrera dans tout le chapitre 3 que I est un intervalle ouvert de \.
1.1 Dérivée en un point – Dérivée sur un intervalle
Définition 1 :
Soient :fI→\ et 0 xI∈. On dit que f est dérivable au point 0 x si et seulement si la
quantité
() ( )
0
0
fx fx
xx
−
− admet une limite finie lorsque x tend vers 0
x.
On note alors
() () ( )
0
0
00
lim
xx
fx fx
fx xx
→
−
′=− ;
()
0
fx
′ est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en 0
x.
Autres notations :
()()
0
Df x ou
()
0
df x
dx
Remarque :
Une définition équivalente à la précédente s’obtient en posant 0
xx h=+ :
() ()()
00
00
lim
h
fx h fx
fx h
→
+−
′=
Définition 2 :
Soit :fI→\. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
Exemple 1

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- Chapitre 3 : Dérivées –Etude de Fonctions, p5/22 -
1.2 Dérivées à gauche et à droite
Définition 3 :
Soient :fI→\ et 0 xI∈. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point 0 x si
et seulement si la quantité
() ( )
0
0
fx fx
xx
−
− admet une limite finie lorsque x tend vers 0
x par
valeurs supérieures (resp. inférieures) :
() () ( )
0
0
00
lim
dxx
fx fx
fx xx
+
→
−
′=− : dérivée à droite de f en 0
x, notée aussi
()
0
fx
+
′.
() () ( )
0
0
00
lim
gxx
fx fx
fx xx
−
→
−
′=− : dérivée à gauche de f en 0
x, notée aussi
()
0
fx
−
′.
Proposition :
Soient :fI→\ et 0 xI∈. f est dérivable au point 0 x si et seulement si f est dérivable à
droite et à gauche en 0 x, et
() ()
00dg
fx fx
′′
=.
Cette proposition découle directement de la définition des limites à droite et à gauche.
Exemples 2
1.3 Fonctions dérivées
Définition 4 :
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction f′
qui a tout x de I associe
()
fx
′.
Remarque :
L’ensemble de définition de f′ est le sous-ensemble de I sur lequel f est dérivable : f DI
′⊆.
Exemple 3