Compléments de théorie spectrale et d’analyse harmonique Frédéric Paulin

Compléments de théorie spectrale et
d’analyse harmonique
Frédéric Paulin
Cours de deuxième année du
Magistère de mathématiques de l’Université Paris-Sud
et de première année du Master de l’Université Paris-Saclay
Mathématiques et applications, voie Jacques Hadamard
Année 2016-2017
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Table des matières
1 Théorie spectrale des opérateurs bornés des espaces de Hilbert 24
1.1 Rappels de terminologie sur les espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . 4
Espaces vectoriels normés et applications linéaires continues . . . . . . . . 4
Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Application multilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Rappels sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Dual d’un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Théorèmes de Lax-Milgram et de Stampacchia . . . . . . . . . . . . . . . 18
Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Convergence faible dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Spectre des opérateurs continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Opérateurs compacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Adjoint d’un opérateur continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Propriétés élémentaires des opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . 43
Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts . . . . . . 48
1.6 Calcul fonctionnel continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Algèbres stellaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Calcul fonctionnel continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Spectre essentiel d’un opérateur auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.7 Résolution spectrale des opérateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . 59
Résolutions de l’identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Résolutions spectrales et calcul fonctionnel borné . . . . . . . . . . . . . . 63
Mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.8 Exercices récapitulatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 De quelques thèmes d’analyse harmonique 69
2.1 L’espace vectoriel des fonctions harmoniques planes . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Noyau et intégrale de Poisson sur le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
La mesure de Lebesgue du cercle unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Le noyau de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
L’intégrale de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Analycité des applications harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Propriété de la valeur moyenne et principe du maximum . . . . . . . . . . 77
Inégalités de Harnack et théorème de Harnack . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3 Introduction à la théorie du potentiel dans le plan . . . . . . . . . . . . . . 82
Problème de Dirichlet sur les domaines de Jordan . . . . . . . . . . . . . 82
Fonctions harmoniques positives et frontière de Martin . . . . . . . . . . . 86
Fonctions harmoniques bornées et frontière de Poisson . . . . . . . . . . . 88
2.4 Spectre du laplacien des ouverts bornés de Rm................ 91
Les espaces de Sobolev W1,2(Ω) et W1,2
0(Ω) ................. 91
L’opérateur de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2

Décomposition spectrale du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.5 Introduction à l’analyse harmonique des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Mesure de Lebesgue des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
L’opérateur laplacien sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Décomposition spectrale du laplacien sphérique . . . . . . . . . . . . . . . 103
Introduction aux polynômes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Annexes 115
A Démonstrations des rappels sur les espaces de Hilbert 115
A.1 Démonstration de la proposition 1.9 (inégalité de Cauchy-Schwarz) . . . . . 115
A.2 Démonstration du théorème 1.10 (complétion d’un espace préhilbertien) . . 115
A.3 Démonstration du théorème 1.11 (projection sur un convexe fermé) . . . . . 117
A.4 Démonstration du théorème de dualité de Riesz-Fréchet 1.13 .........119
A.5 Démonstration des théorèmes de Lax-Milgram 1.15 et de Stampachia 1.16 .119
A.6 Démonstration du théorème 1.17 (égalité de Parseval) . . . . . . . . . . . . 120
A.7 Démonstration du théorème 1.21 de compacité faible de la boule unité fermée
des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B Rappels sur les fonctions holomorphes 124
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Applications analytiques réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Quelques propriétés des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . 125
Index 127
Bibliographie 131
1
1. Je remercie les étudiants de l’année 2011-2012 pour leurs corrections (en particulier Lucile Devin et
Laure Pédèches), ceux de l’année 2013-2014 (en particulier Léo Zaradzki), et Zhangchi Chen en 2015-2016
pour sa correction du problème ??.
3

1 Théorie spectrale des opérateurs bornés des espaces de
Hilbert 2
Les références globales recommandées pour ce chapitre sont [Rud2,Hal,Lev]. Nous
conseillons au lecteur l’usage de l’index final pour retrouver facilement à quel endroit une
notion a été définie.
1.1 Rappels de terminologie sur les espaces vectoriels normés
Nous renvoyons à [Dix,Die1,Pau] pour les démonstrations non rappelées dans cette
partie. Si Xest un espace métrique, la distance de Xsera notée d, à défaut d’une notation
particulière.
Espaces vectoriels normés et applications linéaires continues.
Soit Kle corps Rou C, muni de sa valeur absolue usuelle. Nous noterons K×le groupe
multiplicatif (K−{0},×)de K. Dans ce texte, toutes les algèbres sont des algèbres sur K
unifères (c’est-à-dire munies d’une unité (élément neutre pour la multiplication) notée 1ou
id) et les morphismes d’algèbres préservent les unités. Si Eest un espace vectoriel normé
sur K, nous appellerons parfois topologie forte sur Ela topologie induite par la norme de
E(ceci pour la distinguer d’éventuelles autres topologies « plus faibles » qui peuvent être
introduites sur E). Sauf mention explicite du contraire, tout espace vectoriel normé réel
ou complexe sera muni de sa topologie forte.
Une algèbre normée sur Kest une algèbre Asur Kmunie d’une norme k · k, telle que
kuvk ≤ kukkvk(1)
pour tous les u, v dans A. Une algèbre de Banach 2sur Kest une algèbre normée complète
sur K.
Exemple. Si Xest un espace métrique compact non vide, notons C(X;K)l’espace
vectoriel sur Kdes applications continues de Xdans K, muni de la norme uniforme
kfk∞= sup
x∈X|f(x)|= max
x∈X|f(x)|.
Muni des opérations de multiplication par un scalaire, addition et multiplication point par
point, c’est une algèbre de Banach et sa topologie forte est aussi appelée la topologie de
la convergence uniforme. Rappelons le résultat de densité suivant (voir par exemple [Die1]
ou [Pau, §5.6]).
Théorème 1.1 (Théorème de Stone 2-Weierstrass 2)Soit Xun espace métrique com-
pact non vide. Toute sous-algèbre séparante 3et invariante par conjugaison complexe de
2.
Hilbert Banach Stone Weierstrass
(1892-1945)(1862-1943) (1903-1989) (1815-1897)
3. Un ensemble Ad’applications d’un ensemble Edans Cest séparant si pour tous les x6=ydans E,
il existe f∈Atelle que f(x)6=f(y).
4

l’algèbre C(X;C)des applications continues de Xdans Cest dense pour la topologie de la
convergence uniforme. 
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels normés sur K. Si f:E→Fest une application
linéaire, rappelons que la norme d’opérateur de fest (avec la convention que les première
et troisième bornes supérieures sont nulles si E={0})
kfk= sup
x∈E−{0}
kf(x)k
kxk= sup
x∈E, kxk≤1kf(x)k= sup x∈E, kxk=1 kf(x)k.
Rappelons que fest continue si et seulement si sa norme d’opérateur kfkest finie, et que
l’espace vectoriel sur Kdes applications linéaires continues de Edans F, muni de la norme
d’opérateur, est un espace vectoriel normé, noté L(E, F ). Rappelons de plus que si Fest
un espace de Banach, alors L(E, F )est aussi un espace de Banach. Un opérateur (linéaire)
continu de Edans Fest un élément de L(E, F ), et un opérateur (linéaire) continu de E
est un élément de L(E) = L(E, E).
Si Eest un espace vectoriel normé sur K, alors l’espace vectoriel normé L(E)muni de
la composition des applications est une algèbre normée sur K, qui est une algèbre de Banach
si Eest un espace de Banach. La propriété (1) de la norme d’opérateur est cruciale, même
en dimension finie, où il existe de très nombreuses normes intéressantes sur les opérateurs
linéaires (ou leurs matrices dans une base donnée), mais qui ne vérifient pas toutes cette
propriété (1) (voir par exemple [Cia]).
Proposition 1.2 (1) Soient Eun espace de Banach sur Ket (xn)n∈Nune suite dans
E. Si la série Pn∈Nxnest normalement convergente (c’est-à-dire si la suite réelle
Pn∈Nkxnkconverge), alors la série Pn∈Nxnconverge dans E, et
X
n∈N
xn
≤X
n∈Nkxnk.
(2) Soient Aune algèbre de Banach et x∈A. Si kxk<1, alors l’élément 1−xde A
est inversible, d’inverse Pn∈Nxn.
(3) Soit Aune algèbre de Banach, notons A×l’ensemble des éléments inversibles de A.
Alors A×est un ouvert de A, et l’application x7→ x−1de A×dans A×est continue.
(4) Soient Aune algèbre de Banach et (xn)n∈Nune suite dans A×qui converge vers
x /∈A×. Alors kxn−1kconverge vers +∞quand n→+∞.
En particulier, soient Eet Fdeux espaces de Banach sur K. Si u∈L(E)vérifie
kuk<1, alors par l’assertion (2) appliquée à l’algèbre de Banach L(E), l’application
linéaire id −uest bijective, d’inverse Pn∈Nuncontinu. Soit G L (E, F )l’ensemble des iso-
morphismes linéaires, continus et d’inverses continus, de Edans F(mais pas nécessairement
isométriques). Alors G L (E, F )est un ouvert de L(E, F ), et l’application u7→ u−1de
G L (E, F )dans G L (F, E)est continue. En effet, ceci découle de l’assertion (3) appliquée
àA=L(F)car pour tout u0∈G L (F, E)l’application de G L (F, E)dans G L (F, F )
définie par u7→ u◦u−1
0est un homéomorphisme et u−1=u−1 0◦u◦u−1 0−1.
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