ENS Lyon 2013 - 2014 TD 2-morphismes de variétés affines

ENS Lyon 2013 - 2014
Master 1– Géométrie algébrique élémentaire Semaine du 31.01.2014
TD 2-morphismes de variétés affines, composantes irréductibles
Rappelons qu’un espace topologique (non vide) Xest dit irréductible s’il ne peut pas s’écrire
comme la réunion de deux fermés propres (i.e. distincts de X). Un espace topologique est noe-
therien si toute suite décroissante (pour l’inclusion) de fermés est stationnaire. Tout espace
noetherien Xs’écrit sous la forme X=X1∪... ∪Xnavec Xides espaces irréductibles et Xi
n’est pas contenu dans Xjpour i6=j. Une telle écriture est unique (à l’ordre près) et les Xi
s’appellent les composantes irréductibles de X. Rappelons enfin que si Xest un fermé algébrique
de An(k), alors Xest irréductible si et seulement si I(X)est un idéal premier de k[T1, ..., Tn],
si et seulement si k[X]est un anneau intègre.
0.1 Irréductibilité
a) On prend k=R. Montrer que f=Y2+X2(X−1)2est irréductible dans k[X, Y ], mais
que V(f)n’est pas irréductible.
b) Soit F∈k[X, Y ]non constant. Quand V(F)est-il irréductible (kalgébriquement clos) ?
c) Montrer que si kest algébriquement clos, alors pour tout λ∈kla courbe Eλd’équation
y2=x(x−1)(x−λ)est irréductible.
d) Soit f:X→Yune application continue d’espaces topologiques, avec Xirréductible.
Montrer que f(X)et f(X)sont irréductibles.
0.2 Composantes irréductibles
On suppose que kest algébriquement clos.
a) Décrire les composantes irréductibles et leurs idéaux pour les sous-ensembles algébriques de
A3(k)suivants : V(XY Z, X2+Y2+Z2),V(X2+Y2+Z2−1,3X2+Y2−Z2−1),V(XY, Y Z, ZX),
V(X2+Y2+Z2, Z2−XY ),V(X2−Y Z, Y 2−XZ).
b) Même question avec V(f), pour f∈k[X1, ..., Xn]non constant.
c) Montrer que les composantes irréductibles de V(X3−Y Z, Y 2−XZ)⊂A3(k)sont la
courbe paramètrée {(t3, t4, t5), t ∈k}et une droite à préciser.
0.3 Morphismes
Soient X⊂An(k)et Y⊂Am(k)des fermés algébriques. Une application f:X→Yest dite
régulière (ou morphisme) s’il existe f1, ..., fm∈k[X]tels que f(x) = (f1(x), ..., fm(x)),x∈X.
a) Montrer qu’une application f:X→Yest un morphisme si et seulement si pour tout
g∈k[Y]on a g◦f∈k[X]. On note f∗:k[Y]→k[X]l’application g→g◦fainsi obtenue.
b) Montrer que f→f∗est une bijection entre l’ensemble des morphismes f:X→Yet
Homk−alg(k[Y], k[X]).
c) Montrer qu’un morphisme f:X→Yest à image dense si et seulement si f∗est injective.
Donner un exemple de morphisme d’image dense et qui n’est pas surjectif.
d) Montrer que l’image d’un morphisme f:A1(k)→A2(k)est fermée.
e) Soit f:A2(k)→A2(k),(x, y)→(x, xy). Est l’image de ffermée ? Ouverte ? Dense ?
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0.4 Isomorphismes
a) Montrer que la courbe V(Y−X2)est isomorphe à A1(k).
b) Montrer que la courbe V(Y2−X3)n’est pas isomorphe à A1(k).
0.5 Deux courbes paramètrées
a) On considère l’application φ:A1→A3qui envoie tsur (t2, t2(t2−1), t3). Montrer que
φest un homéomorphisme sur un fermé algébrique Cde A3et trouver l’idéal de C. Est-il vrai
que φinduit un isomorphisme de A1sur C?
b) Soit f:A1→A3le morphisme t→(t3, t4, t5).
i) Montrer que C:= f(A1)est un fermé algébrique irréductible de A3et que le degré de
transcendance de k[C]est 1.
ii) Montrer que Cn’est pas isomorphe à une courbe algébrique plane.
0.6 Morphismes finis
Un morphisme f:X→Yde fermés algébriques X⊂An(k),Y⊂Am(k)est dit fini si f
est d’image dense 1et si f∗:k[Y]→k[X]fait de k[X]un k[Y]-module de type fini.
a) Soit Xun fermé algébrique. Montrer qu’il existe net un morphisme fini de Xdans An.
b) Montrer que fest fini si et seulement si f∗est injectif et pour tout u∈k[X]on peut
trouver d≥1et v0, ..., vd−1∈k[Y]tels que ud+vd−1ud−1+... +v0= 0.
c) Montrer qu’un morphisme fini est surjectif et à fibres finies. Indication : montrer que f
est surjectif si et seulement si pour tout idéal maximal mde k[Y]on a m·k[X]6=k[X].
d) Soit maintenant Xun fermé de An(k)et Gun groupe fini d’automorphismes de X, tel
que |G|ne soit pas un multiple de la caractéristique de k. On note
k[X]G={f∈k[X], g∗(f) = f, ∀g∈G}
et on admet qu’il s’agit d’une k-algèbre de type fini 2. Montrer qu’il existe un fermé algébrique
X/G et un morphisme π:X→X/G tel que π∗:k[X/G]→k[X]soit l’inclusion k[X]G⊂k[X].
Montrer que πest fini et que les fibres de πsont exactement les orbites de l’action de Gsur X.
0.7 Groupes algébriques
Un groupe algébrique affine Gest un fermé algébrique d’un certain Ad(k)muni de deux
morphismes d’ensembles algébriques m:G×G→Get i:G→G, tels que Gmuni de la
multiplication met de l’inverse isoit un groupe abstrait.
Soit Gun groupe algébrique affine et Xun fermé algébrique d’un An(k)(avec kalgébrique-
ment clos). Une action algébrique de Gsur Xest un morphisme G×X→Xsatisfaisant les
axiomes usuelles d’une action d’un groupe sur un ensemble. On écrit g·xpour l’image de (g, x)
par ce morphisme.
a) Montrer que le groupe (abstrait) Gagit sur k[X]par (g·f)(x) = f(g−1·x)si x∈Xet
f∈k[X].
b) Soit W⊂k[X]un sous-k-espace vectoriel de dimension finie et soit Vl’espace engendré
par les g·fpour g∈Get f∈W. Montrer que Vest de dimension finie et que si on identifie
Vàkdim V, alors l’action de Gsur Vest algébrique.
1. Cette condition n’est pas imposée dans la plupart des livres, et surtout pas en théorie des schémas, mais
pour cet exo je la mets pour éviter de répétitions. Shafarevich fait la même chose dans son livre.
2. C’est un fameux théorème de Hilbert ; la preuve est élémentaire, mais un peu longue.
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c) Montrer qu’il existe un k-espace vectoriel de dimension finie Vavec une action algébrique
de G, et une immersion fermée φ:X→Vtelle que φ(g·x) = g·φ(x)si g∈G,x∈X.
d) En prenant X=G, montrer que tout groupe algébrique affine Gest isomorphe à un
sous-groupe fermé de GLn(k)pour un certain n.
0.8 Variétés quasi-affines
Une variété quasi-affine dans Anest un ouvert non vide d’un fermé irréductible de An. Si
X⊂Anest un variété quasi-affine, x∈Xet f:X→kest une application, on dit que fest
régulière en xs’il existe un voisinage ouvert Ude xdans Xet des polynômes F, G ∈k[X1, ..., Xn]
tels que Gne s’annule pas sur Uet f(y) = F(y)
G(y)pour tout y∈U. On note O(X)l’ensemble des
fonctions f:X→krégulières en tout point de X. Soit Xune variété quasi-affine.
a) Vérifier qu’un ouvert non vide de Xest une variété quasi-affine.
b) Montrer que O(X)est naturellement une k-algèbre, et que si f∈O(X)s’annule sur un
ouvert non vide de X, alors elle s’annule sur Xtout entier.
c) Montrer que si f1, ..., fd∈O(X), alors ϕ:X→Ad,x→(f1(x), ..., fd(x)) est continue.
d) Soient f1, ..., fr, g1, ..., gd∈O(X)et F∈k[X1, ..., Xr],G∈k[Y1, ..., Yd]. Supposons que
l’ouvert U={x∈X, G(g1(x), ..., gd(x)) 6= 0}n’est pas vide. Montrer que P(f1,...,fr)
G(g1,...,gd)∈O(U).
e) On suppose que Xest un fermé algébrique de An. Montrer que OX(X) = k[X].
Si X, Y sont des variétés quasi-affines, une application ϕ:X→Yest dite régulière (ou
morphisme) si ϕest continue et f◦ϕ∈O(ϕ−1(V)) pour tout ouvert Vde Yet tout f∈O(V).
f) Vérifier que la composée de deux morphismes est un morphisme et que si X⊂Anest une
variété quasi-affine, alors l’inclusion de Xdans Anest un morphisme. Enfin, vérifier que O(X)
est l’ensemble des morphismes de Xdans A1.
g) Soient X⊂Anet Y⊂Amdes variétés quasi-affines et f:X→Yune application.
Montrer que ϕest un morphisme si et seulement si ti◦ϕ∈O(X)pour tout i, où ti:Am→A1
sont les coordonnées usuelles sur Am.
h) Soit Xune variété affine et f∈k[X]non nul. Soit D(f) = {x∈X, f(x)6= 0}. Montrer
que Uest isomorphe en tant que variété quasi-affine à un fermé algébrique d’un certain An. En
déduire que tout point d’une variété quasi-affine a un voisinage ouvert isomorphe à un fermé
algébrique d’un certain An.
0.9 Le théorème de Chevalley
a) Soit Bune k-algèbre intègre (kalgébriquement clos) et A⊂Bune sous k-algèbre, telle que
Bsoit une A-algèbre de type fini. Montrer que pour tout b∈Bnon nul on peut trouver a∈A
non nul tel que tout Homk−alg(A, k)satisfaisant ϕ(a)6= 0 s’étend en un ψ∈Homk−alg(B, k)
satisfaisant ψ(b)6= 0 (on pourra se ramèner au cas où B=A[u]pour un certain u∈B).
b) Soient X, Y des fermés algébriques irréductibles et soit f:X→Yun morphisme d’image
dense. Montrer que si Uest un ouvert non vide de X, alors f(U)contient un ouvert non vide
de Y.
c) En déduire le théorème de Chevalley : si f:X→Yest un morphisme de fermés algé-
briques, alors f(X)contient un ouvert de f(X).
0.10 Un exo amusant
Si kest infini, montrer que tout ensemble fini de A2peut être décrit par deux équations.
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