DM 25 - Alain Camanes

n2Mn(R)
nMn(C)
nt A A det(A)M
NMn(R)M N
QMn(R)M=QNQ−1
Partie I : Questions préliminaires
1. ERnB,B0E P
B B0f E A BB
B0A B P P −1
2. A B Mn(R)t At B
A∈Mn(R)Rn
A
3. A∈Mn(R)
a) A A t A
b) A A t A
Le but du problème est de montrer que toute matrice Aappartenant à Mn(R)est semblable à sa
transposée
Partie II : Cas n= 2
A∈M2(R)A=a b
c d
t
AP =P A
PM2(R)P=x y
z t
4. x, y, z t
P
y=z x, y t
5. x t P
6. At A
n2A∈Mn(C)
fCnA
On admettra le résultat suivant. α f u ∈Cn
f(u) = αu B= (e1, . . . , en)Cnk0n−1
∗T= (ti,j)16i,j6nfB
∗k α n −k
α

g=f−αId Id Cn
Partie III : Le cas k= 0
k= 0 T α
7 . a) i∈J2, nKg(ei)e1, . . . , ei−1
b) gngmg◦ ··· ◦ g g
m
p1
gp
8. p= 1 At A
p6= 1 u gp−1(u)6= 0
up=u, up−1=g(u), . . . , u1=gp−1(u)
9. (u1, . . . , up)
10. p=n
a) M f C= (u1, u2, . . . , un)M0f
C0= (un, un−1, . . . , u1)Cn
b) At A
11. p<n (u1, . . . , up) (u1, . . . , un)
CnU g P k
Uk−1
a) i P i >p+ 1
P
b) j k 1p gk−1(uj)k < j k =j k > j
p k P
c) P p
h P (u1, . . . , un)CnW
(u1, . . . , up)
d) v∈W h(v) = v
e) W h Cn
f) g f
Partie IV : Le cas général
k
12. gBT1B
0T2T1
T2k n −k T n−k
2
T1
13. gn−kBTn−k
1B0
0Tn−k
2
G gn−k
14. FCn(e1, . . . , ek)
a) F G Cn
b) F G g f

Partie V : Conclusion
15. 1
n−1
F G Cnf
f F G A
t
A
16. AMn(C)
t
A
17. P1, P2Mn(C)gC C g(z) =
det(P1+zP2)g(i)6= 0
a) g
b) x g(x)6= 0
18. Mn(R)Mn(C)
Mn(R)AMn(R)