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Physique
Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Électromagnétisme - TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Solutions
Exercice I :
Courant de déplacement et courant de conduction
Dans un conducteur ohmique, les courants de conduction et les courants de déplacement ont pour
densités volumiques respectives :
→
− = γ −
→
E
→
−
∂E
→
−
 d = ε0
∂t
courants de conduction
courants de déplacement
→ −
−
→
−
→
Avec E = E 0 cos(ωt) où E 0 est constant, on trouve
→
− = γ −
→
E 0 cos(ωt)
→
−
→
−
 d = −ε0 ω E 0 sin(ωt)
On en déduit les amplitudes respectives des différentes densités volumiques de courant :
→
−
γ || E 0 ||
→
−
ω ε0 || E 0 ||
amplitude des courants de conduction
amplitude des courants de déplacement
d’où
α=
Avec ε0 =
γ
ω ε0
1
F.m−1 et ω = 2π.106 rad.s−1 , on a
9
36π.10
α = 1, 1.1012 ≫ 1 pour le cuivre
α = 1, 8 ≃ 1 pour le sol argileux
α = 1, 8.10−2 ≪ 1 pour le verre
Les courants de déplacements sont négligeables dans un bon conducteur comme le cuivre mais prédominant
dans un matériau très isolant comme le verre. Pour des matériaux non-isolants mais assez peu conducteur
(sol argileux), les courants de conduction et de déplacement sont du même ordre de grandeur.
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Exercice II :
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Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Claquage d’un condensateur sphérique
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Exercice III :
Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Équations de propagation des potentiels
1. Par définition des potentiels scalaire et vecteurs
−
→
→
−
→−
B = rot A
et
→
−
∂A
−−→
−
→
E = −grad V −
∂t
2. L’équation de Maxwell-Gauss s’écrit
ρ
−
→
div E =
ε0
soit
→!
−
∂A
ρ
−−→
− div grad V +
=
∂t
ε0
−−→
En utilisant ÷(grad V ) = ∆V et en permutant les dérivées spatiales et temporelles
→!
−
ρ
∂A
+ =0
∆V + div
∂t
ε0
L’équation de Maxwell-Ampère fournit
→
−
∂E
→
−
→−
→
−
rot B = µ0 ,  + µ0 ε0
∂t
soit
→!
−
1
∂
A
∂
−
−
→
→
−
→−
→−
→
rot(rot A ) = µ0 −
 + 2
−grad V −
c ∂t
∂t
!
→
−
1 ∂2 A
1 −−→ ∂V
−−→
→
−
→
−
→
−
− 2
grad(div A ) − ∆ A = µ0  − 2 grad
c
∂t
c ∂t2
On en déduit
!
→
−
1 ∂V
1 ∂ 2 A −−→
→
−
−
→
→
−
→
+ µ0 −
 = 0
− grad div A ) + 2
∆A − 2
c ∂t2
c ∂t
− = 0. Les équations deviennent
3. Dans le vide : ρ = 0 et →
→!
−
∂A
∆V + div
= 0
∂t
!
−
→
1 ∂V
→
−
→ 1 ∂ 2 A −−→
−
−
→
= 0
− grad div A ) + 2
∆A − 2
2
c ∂t
c ∂t
Dans la jauge de Lorentz
→ 1 ∂V
−
div A + 2
=0
c ∂t
ces équations deviennent

1 ∂V


∆V −
=0
c2 ∂t −
→

→ 1 ∂2 A

∆−
A− 2
c ∂t2
Les potentiels dans le vide ne vérifient l’équation de d’Alembert que dans la jauge de Lorentz !
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Exercice IV :
Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Vecteur de Poynting nul ou transfert d’énergie nul ?
→
−
1. Le dipôle magnétique, immobile, crée un champ magnétique B permanent. La charge électrique,
immobile, crée un champ électrique permanent.
Ces deux champs sont non-nuls et non-parallèles dans le cas général.
Le vecteur de Poynting n’est pas nul.
2. D’après le théorème de Poynting, en l’absence de porteurs de charge
∂uem
→
−
+ div( Π ) = 0
∂t
→
−
où uem est la densité volumique d’énergie électromagnétique et Π est le vecteur de Poynting.
Or, en un point M de l’espace, l’énergie électromagnétique ne varie pas puisque les champs sont
permanents. On en déduit
∂uem
=0
∂t
→
−
→
−
Il faut alors vérifié que div( Π ) = 0, c’est-à-dire que Π est à flux conservatif.
→ −
−
→!
E∧B
1 −
→
−
→ −
→
→ −
−
→
→−
→−
div( Π ) = div
=
B · rot( E ) − E · rot( B )
µ0
µ0
Mais d’après l’équation de Maxwell-Faraday
→
−
∂B −
→
→
−
→−
= 0 en régime statique
rot( E ) = −
∂t
et l’équation de Maxwell-Ampère fournit, en l’absence de courants
→
−
∂E −
→
→
−
→−
rot( B ) = µ0 ε0
= 0 en régime statique
∂t
On en déduit
→
−
−
→
div( Π ) = 0 Π est à flux conservatif
→
−
Bien que Π soit non-nul, le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est nul : aucun
transfert d’energie n’est associé à un champ électromagnétique en régime statique.
Exercice V :
Champ électrique induit par un solénoïde
1. Le solénoïde étant très long, on peut l’assimiler à un solénoïde infini de sorte que le champ magnétique
qu’il crée soit de la forme
(
µ0 n i(t) ~uz
à l’intérieur du solénoïde
→
−
B (M, t) = −
→
0
à l’extérieur
Ici, il n’y a pas de différence de potentiel appliqué. On en déduit l’expression du champ électrique
→
−
→
−
∂A
∂A
−−→
−
→
=−
E = −grad V −
∂t
∂t
→
−
où A est le potentiel vecteur. Les symétries du champ électrique sont donc celles du potentiel vecteur.
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Équations de Maxwell dans le vide
Symétries : Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) est un plan
d’antisymétrie pour les courants. Le potentiel vecteur étant un vecteur polaire, on en déduit que le
potentiel vecteur au point M est orthogonal à ce plan. D’où
−
→
A (M, t) = A(M, t) ~uθ
Invariances : la distribution de courant est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) et par
translation le long de l’axe (Oz). Les composantes du potentiel vecteur ne dépendent donc que la
distance r à l’axe (Oz) et du temps.
On en déduit
−
→
A (M, t) = A(r, t) ~uθ
et
−
→
E (M, t) = E(r, t) ~uθ
Les lignes de champ électrique sont donc des cercles concentriques d’axe (Oz). La circulation du
champ électrique le long d’une ligne de champ C vaut
Z 2π
I
→
→ −
−
E · dℓ =
E(r, t) rdθ = 2πrE(r, t)
0
C
D’autre part, en utilisant le théorème de Stockes et l’équation de Maxwell-Faraday, on obtient
I
C
→
− −
→
E · dℓ =
ZZ
Σ(C)
ZZ
→
→ −−
−
→−
2
rot( E ) · d S = −
→
−
→
∂ B −−
· d2 S
Σ(C) ∂t
où Σ(C) est le disque s’appuyant sur C et orienté suivant ~uz (règle du tire-bouchon à partir de C).
Le champ magnétique étant non nul uniquement à l’intérieur du cylindre, il faut distinguer deux cas
de figures : ou bien la ligne de champ est à l’intérieur du solénoïde (r < a), ou bien la ligne de champ
enlace le solénoïde (r > a).
Si r < a
ZZ
→
−
ZZ
→
di
di 2
∂ B −−
2
·d S =
µ0 n
~uz · (dS ~uz ) = µ0 n
πr
dt
dt
Σ(C)
Σ(C) ∂t
Si r > a, l’intégration sur la surface s’arrête au niveau de r = a et
ZZ
→
−
ZZ
→
∂ B −−
di
di 2
2
·d S =
µ0 n
~uz · (dS ~uz ) = µ0 n
πa
dt
dt
Σ(C) ∂t
Σ(C)
On en déduit
I
d’où
C
ZZ
→
→ −
−
E · dℓ = −

di 2

−
→
 µ0 n
πr
→
∂ B −−
2
dt
· d S =⇒ 2πrE(r, t) =

Σ(C) ∂t
µ n di πa2
0
dt

r
di

 − µ0 n
~uθ
→
−
22
dt
E (M, t) =

− a µ n di ~u
0
θ
2r
dt
si r < a
si r > a
à l’intérieur du solénoïde
à l’extérieur du solénoïde
Le champ électrique est continu car il n’y a pas de distribution surfacique de charges. En r = a
a
di
−
→
E (r = a, t) = − µ0 n
~uθ
2
dt
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Équations de Maxwell dans le vide
Remarque : le champ magnétique variable induit un champ électrique même dans la zone r > a où
le champ magnétique est pourtant nul.
Si le courant est sinusoïdal de pulsation ω
i(t) = I0 cos(ωt)
→ →
−
−
alors les champs E et B oscillent sinusoïdalement avec le temps. Ainsi
B(t) = Bmax cos(ωt) avec Bmax = µ0 n I0

rω

 µ0 n I0 sin(ωt)
pour r < a
22
E(r, t) =

 a ω µ n I sin(ωt)
pour r > a
0
0
2r
L’amplitude du champ électrique est maximale en r = a
Emax =
aω
µ 0 n I0
2
• Aux basses fréquences, Emax → 0 : le champ électrique induit est nul car il n’y a pas de phénomène
d’induction.
• Aux hautes fréquence, Emax → ∞ : le champ électrique induit diverge.
2. Le vecteur de Poynting est nul à l’extérieur du solénoïde car le champ magnétique est nul. On en
déduit l’expression du vecteur de Poynting à l’intérieur du solénoïde
!
→ −
−
→
r
1
di
r
di
E∧B
→
−
→
−
− µ0 n
=
~uθ ∧ (µ0 ni ~uz ) =⇒ Π = − µ0 n2 i
~ur
Π =
µ0
µ0
2
dt
2
dt
La puissance rayonnée à travers une longueur L de solénoïde vaut
ZZ
−−→
→
−
Π (r = a, t) · d2 S
Pray =
tronçon L
!
ZZ
di
a
µ0 n2 i
~ur · (adθ dz ~ur )
car r = a sur la surface du solénoïde
= −
2
dt
tronçon L
Finalement
Pray = −πa2 L µ0 n2 i
di
dt
3. La densité volumique d’énergie électrique à l’intérieur du solénoïde vaut
!2
!2
1
di
di
r2
r2 2
2
2
2
u e = ε0 E =
= 2 µ0 n
µ ε0 n
2
8 0
dt
8c
dt
L’énergie électrique stockée dans le volume V du solénoïde vaut
Eel =
ZZZ
ue d3 V =
V
Z
a
r=0
Z
2π
θ=0
Z
L
z=0
soit
2
Eel = µ0 n
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di
dt
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r2
µ0 n2
8c2
!2
di
dt
!2
rdr dθ dz
π a4 L
16c2
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Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
La densité volumique d’énergie magnétique à l’intérieur du solénoïde vaut
um =
1
1
B 2 = µ0 n2 i2
2µ0
2
L’énergie magnétique stockée dans le volume V du solénoïde vaut
ZZZ
Z a Z 2π Z L
1
3
µ0 n2 i2 rdr dθ dz
Em =
um d V =
V
r=0 θ=0 z=0 2
soit
Em =
1
µ0 n2 i2 π a2 L
2
Le rapport de l’énergie électrique sur l’énergie magnétique vaut
 2
di
2 
a
Eel
dt

= 2 
α=
Em 8 c  i 
Or
di
i
∼
dt T
où T est la durée caractéristique de variation de l’intensité et donc des champs et
a
=τ
c
durée de propagation des champs sur une distance de l’ordre de a
Le rapport des deux contributions est de la forme
Eel
1 τ2
α=
∼
≪ 1 dans l’A.R.Q.S.
Em 8 T 2
L’énergie électrique est négligeable dans l’A.R.Q.S. .
4. En négligeant l’énergie électrique (A.R.Q.S.) associée au solénoïde, on obtient
di
dEem dEm
≈
= µ0 n2 i2 π a2 L i
= −Pray
dt
dt
dt
Ce résultat est bien conforme au théorème de Poynting car il n’y a pas de courant à l’intérieur du
→
solénoïde : −
 = 0.
Remarque : Le calcul de Pray n’a fait intervenir aucune approximation alors que l’énergie électromagnétique a été assimilée à l’énergie magnétique (A.R.Q.S.). En réalité, le champ magnétique ne
vérifie pas l’équation de Maxwell-Ampère puisqu’à l’intérieur du solénoïde
→
−
∂E
→
→
−
−
→−
rot( B ) = 0 6= µ0 ε0
∂t
→
−
∂E
→
−
sauf si l’on se place dans l’A.R.Q.S. de sorte que
≈ 0 . L’hypothèse selon laquelle les effets de
∂t
bords sont négligés présuppose déjà que l’A.R.Q.S. est vérifiée.
Remarque 2 : Si l’on évalue la puissance rayonnée en r = a+ , on obtient Pray = 0. Toute la puissance
rayonnée en r = a− est fournie au courant surfacique
PJ = −Pray = µ0 n2 i2 π a2 L i
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di
dt
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Exercice VI :
Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Bilan énergétique de la charge d’un condensateur
1. Symétries :
Soit un point M quelconque. Si l’on néglige les effets de bords, on peut considérer les armatures
infinies. Dans ces conditions, tout plan passant par M et perpendiculaire aux armatures et un plan
→
−
de symétrie pour la distribution de charge. Le champ E étant un vecteur polaire, il appartient, au
point M, à l’intersection des plans de symétries passant par M soit, ici (M, ~uz ). On en déduit
−
→
E (M, t) = E(M, t) ~uz
Invariances :
Si l’on néglige les effets de bord, la distribution de charges est invariante par translation de vecteur
orthogonal à ~uz . On en déduit que le champ ne dépend que de z.
On en déduit
−
→
E (M, t) = E(z, t) ~uz
Utilisons le théorème de Gauss sous forme locale. Comme ρ = 0 entre les armatures, on a
∂E(z, t)
→
−
div( E ) =
=0⇒
∂t
E(z, t) est indépendant de z
On suppose que le champ électrique est nul loin des armatures. Le champ électrique étant homogène,
il est nul à l’extérieur du condensateur. En appliquant la relation de passage pour le champ électrique
au niveau de l’armature inférieure, de charge surfacique σ(t), on a
σ(t)
σ(t)
Q(t)
−
→
→
−
−
→
E (z = 0+ , t) − E (z = 0− , t) =
~uz ⇒ E (t) =
~uz = 2 ~uz
{z
}
|
ε0
ε0
πa ε0
entre les armatures
→
−
=0
Un champ électrique variable induit des courants de déplacement qui génèrent un champ magnétique.
Ces courants de déplacement sont suivant ~uz et uniformément répartis entre les armatures.
Symétries :
Soit un point M quelconque. Le plan passant par M et contenant l’axe (Oz) des armatures est un
plan de symétrie pour la distribution de courants de déplacement. Le champ magnétique étant un
vecteur axial, il est perpendiculaire, au point M, à tout plan de symétrie passant par M. On en
déduit
→
−
B (M, t) = B(M, t) ~uθ
Invariances :
La distribution de courants de déplacement est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) : les
→
−
composantes de B ne dépendent pas de θ en coordonnées cylindriques. On en déduit
−
→
B (M, t) = B(r, z, t) ~uθ
On applique le théorème d’Ampère généralisé à un cercle C de rayon r et d’axe (Oz) orienté par ~uz :
I
C
→
− −
→
B · dℓ = µ0
ZZ
Σ(C)
−→
− · −
→
d 2 S + µ0 ε0
ZZ
→
−
→
∂ E −−
· d2 S
Σ(C) ∂t
où Σ(C) est le disque de rayon r qui s’appuie sur C et dont le vecteur surface est orienté suivant ~uz .
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Équations de Maxwell dans le vide
La circulation vaut
I
C
→
− −
→
B · dℓ =
I
2π
[B(r, z, t) ~uθ ] · (rdθ ~uθ ) = 2πr B(r, z, t)
0
Entre les armatures, il n’y a pas de courant de conduction : seuls les courants de déplacement sont
à prendre en compte dans le théorème d’Ampère généralisé. Toutefois, les courants de déplacement
sont nuls à l’extérieur des armatures : il faut donc distinguer les cas r < a et r > a. Ici, on ne
s’intéresse qu’au champ entre les armatures et, pour r < a,
µ0 ε0
ZZ
→
−
ZZ
→
∂ E −−
Q̇
Q̇
r2
2
~uz · (dS ~uz ) = µ0 πr 2 = µ0 Q̇ 2
· d S = µ0 ε0
S
a
Σ(C) ∂t
Σ(C) Sε0
On en déduit, entre les armatures
2πr B(r, z, t) = µ0 Q̇
µ0 Q̇ r
r2
⇒
B(r,
z,
t)
=
a2
2π a2
2. Avec Q(t) = Q0 cos(ωt), on a
E(t) =
Posons E0 =
Q0
cos(ωt) ~uz
πa2 ε0
et
B(r, z, t) = −
µ0 Q0 rω
sin(ωt) ~uθ
2π a2
1
Q0
et c = √
de sorte que
2
πa ε0
µ0 ε0
E(t) = E0 cos(ωt) ~uz
et B(r, z, t) = −
E0
rω sin(ωt) ~uθ
2c2
3. La densité volumique d’énergie électrique vaut
ue =
1
1
ε0 E 2 = ε0 E02 cos2 (ωt)
2
2
L’énergie électrique stockée dans le volume V entre les armatures vaut
ZZZ
πa2 e
ε0 E02 cos2 (ωt)
Ee =
ue d3 V =
2
V
On en déduit l’énergie électrique moyenne stockée entre les armatures
πa2 e
Q20 e
2
hEe i =
ε0 E0 =
4
4πa2 ε0
4. La densité volumique d’énergie magnétique vaut
um =
1 E02 2 2
1
B2 =
r ω sin2 (ωt)
2µ0
2µ0 4c4
L’énergie magnétique stockée dans le volume V entre les armatures vaut
ZZZ
Z a Z 2π Z e
ω2
3
2
Em =
um d V =
E0
r 2 sin2 (ωt) r dr dθ dz
4
8µ0 c
V
r=0 θ=0 z=0
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soit
Em =
πa4 eω 2 2
E sin2 (ωt)
16µ0c4 0
On en déduit l’énergie magnétique moyenne stockée entre les armatures
hEm i =
πa4 e ω 2 2
Q20 eω 2
E
=
32µ0 c4 0
32πε0 c2
5. Déterminons le rapport de l’énergie magnétique sur l’énergie électrique
α=
Mais
aω π τ
=
8c
4 T

a

τ =
c

T = ω
2π
avec
hEm i a2 ω 2
=
hEe i
8 c2
temps de propagation à l’échelle des armatures
période des signaux
Dans l’A.R.Q.S., τ ≪ T , soit aω/c ≪ 1. On en déduit
hEm i
≪ 1 dans l’A.R.Q.S.
hEe i
L’énergie magnétique est négligeable devant l’énergie électrique dans l’A.R.Q.S. .
6. Le vecteur de Poynting est donné par
→ −
−
→
E∧B
−
→
Π =
=
µ0
"
E0
E0 cos(ωt) ~uz ∧
rω sin(ωt) ~uθ
2c2
#
µ0
Ainsi
Q20 rω
rω
−
→
2
E
cos(ωt)
sin(ωt)
~
u
=
cos(ωt) sin(ωt) ~ur
Π =
r
2µ0 c2 0
2πa2
La puissance rayonnée à l’extérieur du condensateur vaut
Z
−−→
→
−
Pray =
Π (r = a, t) · d2 S
Slat
2π
=
Z
θ=0
Z
e
z=0
aω
E 2 cos(ωt) sin(ωt) ~ur · (adθ dz ~ur )
2µ0 c2 0
π a2 e ω 2
=
E0 cos(ωt) sin(ωt)
µ 0 c2
d’où
Pray =
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Q20 ω e
π a2 e ω 2
cos(ωt) sin(ωt)
E
cos(ωt)
sin(ωt)
=
0
µ 0 c2
πa2 ε0
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Équations de Maxwell dans le vide
7. La variation d’énergie électromagnétique par unité de temps vaut :
dEem
Q20 ω e
cos(ωt) sin(ωt)
= −Pray = − 2
dt
πa ε0
car il n’y a pas de courant entre les armatures.
Par intégration entre t = 0 et t, on obtient
Q20 e 2
cos
(ωt)
−
1
Eem (t) − Eem (0) =
2πa2 ε0
Ainsi, si initialement, l’énergie est sous forme électrique
Eem (0) =
Q20 e
2πa2 ε0
alors
Eem (t) =
Q20 e
cos2 (ωt)
2πa2 ε0
et l’énergie reste sous forme électrique : la contribution magnétique est négligeable.
Remarque : Ce résultat peut paraître surprenant car nous n’avons pas supposé l’A.R.Q.S. valable.
Toutefois, on remarque que le champ électrique sous la forme utilisé ne vérifie pas l’équation de
Maxwell-Faraday dans les armatures
→
−
∂B
→
→
−
−
→−
rot( E ) = 0 6= −
∂t
→
−
∂B
→
−
sauf si
≈ 0 , c’est-à-dire si l’A.R.Q.S. est vérifiée. Négliger les effets de bords ont été négligés
∂t
revient à supposer l’A.R.Q.S. valable .
Exercice VII :
Impulsion du champ électromagnétique
1. L’équation de Maxwell-Faraday fournit
!
→
−
∂
∂
∂
∂B
→
−
→−
∧ (E0 cos(ωt − kz) ~ux )
= −rot( E ) = − ~ux
+ ~uy
+ ~uz
∂t
∂x
∂y
∂z
soit
−
→
∂B
= −k E0 sin(ωt − kz) ~uy
∂t
en intégrant par rapport au temps et en négligeant les champs statiques (qui n’intervient pas dans
le phénomène de propagation) :
k
−
→
B = E0 cos(ωt − kz) ~ux
ω
2. Vérifions que les équations de Maxwell sont bien vérifiées sachant que l’équation de Maxwell-Faraday
est nécessairement vérifiée d’après la question précédente.
Tristan Brunier
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Année 2010-2011
PSI - Lycée Bellevue
Physique
Électromagnétisme -Corrigé du TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
→
−
⋆ Calculons div( E ).
∂
ρ
→
−
→
−
div( E ) = ∇ · E =
[E0 cos(ωt − kz)] = 0 =
∂x
ε0
L’équation de Maxwell-Gauss est bien vérifiée puisque ρ = 0 en l’absence de charge.
→
−
⋆ Calculons div( B ).
!
k
∂
→
−
→
−
E0 cos(ωt − kz) = 0
div( B ) = ∇ · B =
∂y ω
L’équation de Maxwell-flux est bien vérifiée.
→
−
→−
⋆ Calculons rot( B ).
→
−
→−
rot( B ) =
∂
∂
∂
+ ~uy
+ ~uz
~ux
∂x
∂y
∂z
!
∧
k
E0 cos(ωt − kz) ~uy
ω
!
=−
k2
E0 sin(ωt − kz) ~ux
ω
D’après l’équation de Maxwell-Ampère, en l’absence de courants de conduction,
→
−
∂E
→
−
→−
rot( B ) = µ0 ε0
∂t
avec
→
−
∂E
= −ω E0 sin(ωt − kz) ~ux
∂t
Les expressions obtenues pour les champs sont compatibles si l’équation de Maxwell-Ampère est
vérifiée, c’est-à-dire si
→
−
k2
∂E
→
−
→−
rot( B ) = − E0 sin(ωt − kz) ~ux = µ0 ε0
= −ω µ0 ε0 E0 sin(ωt − kz) ~ux
ω
∂t
soit
k2
= µ0 ε0
ω2
Or µ0 ε0 c2 = 1 où c est la célérité de la lumière dans le vide. On en déduit ω = kc .
3. La densité volumique d’énergie électromagnétique vaut
uem =



1
1
1
1  k2
2
2


B 2 = ε0 E02 cos2 (ωt − kz) +
E
cos
(ωt
−
kz)
ε0 E 2 +
0

2
2µ0
2
2µ0 |{z}
ω2
µ0 ε0
d’où
uem = ε0 E02 cos2 (ωt − kz)
La valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique vaut, avec hcos2 i = 1/2 :
1
huem i = ε0 E02
2
Tristan Brunier
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Équations de Maxwell dans le vide
→
4. Déterminons la dimension de −
g
" #
" #
E
1
= [ε0 E 2 ] ×
[g] = [ε0 E B] = [ε0 E] ×
c
c
Or ε0 E 2 est homogène à une densité volumique d’énergie (en J.m−3 ) et c est homogène à une vitesse.
On a donc
M.L2 .T −2 T
M.L.T −1 [impulsion]
[g] =
× =
=
L3
L
L3
[volume]
→
−
g est bien homogène à une impulsion volumique.
5. Un photon transporte l’énergie hν donc l’énergie transportée par un faisceau de n photons par unité
de volume vaut nhν par unité de volume. Par identification avec l’énergie électromagnétique moyenne
par unité de volume
1
1
Evol = n h ν = ε0 E02 =⇒ n =
ε0 E02
2
2hν
ω
Or ν = . On obtient finalement
2π
π ε0 E02
n=
hω
6. Un photon d’énergie hν a une quantité de mouvement p =
hν
. L’impulsion d’un faisceau de n
c
hν
photons par unité de volume vaut n
par unité de volume. en utilisant l’expression de nhν et en
c
imposant une propagation suivant ~uz
1
hν
−
→
~uz =
ε0 E02 ~uz
p vol = n
c
2c
−
Or le calcul de →
g conduit à
→ −
−
→
−
→
g = ε0 E ∧ B = ε0 E02
k
cos2 (ωt − kz) ~ux ∧ ~uy
ω
|{z}
=1/c
soit, avec ω = kc,
ε0 E02
ε0 E02
−
→
−
→
g =
cos2 (ωt − kz) ~uz =⇒ h→
gi=
~uz = −
p vol
c
2c
On retrouve un résultat en accord avec l’approche corpusculaire.
Tristan Brunier
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