R M

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Mohamed Boudiaf
FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE
DEPARTEMENT D’ELECTOTECHNIQUE
THESE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER
Au sein de l’ECOLE DOCTORALE
SPECIALITE : Electrotechnique
OPTION : Réseaux Electriques
Présentée par :
MENASRIA Amel
SUJET DE LA THESE
Etude comparative de la répartition optimale des
puissances d’un réseau d’énergie électrique
Soutenu le : 18 Juin 2013
RAHLI. M
CHAKER. A
LAOUFI. A
BOUTIBA. T
ALLALI. A
devant le jury composé de:
Professeur
Professeur
Maitre de conférences
Professeur
Maitre de conférences
USTO. Oran
E.N.S.E.T. Oran
Université de Bechar
USTO. Oran
USTO. Oran
Année Universitaire : 2012/2013
Président
Rapporteur
Co-Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Dédicace
Je dédie ce modeste travail,
A mes chers parents,
A mes frères Mohamed et Samir,
A mes sœurs : Nassima, Nabila et Afifa,
A mes Amis(es), surtout : Malika, Fatima, Akila, Amel, Touria,
Nadia, Salem et Ahmed.
A tous les Gens que j’aime.
MENASR
MENASRIA Amel
Remerciemen
Remerciements
ements
Je remercie le bon Dieu qui a mis des bons gens sur mon chemin pour m'aider
et m’encourager afin achever ce travail, ma gratitude et mes vives remerciements
à:
Mon encadreur Monsieur CHAKER Abdelkader, Professeur au
département de génie électrique de l’E.N.S.E.T. Oran pour son aide et ses
conseils judicieux afin de réaliser ce travail.
Monsieur LAOUFI Abdellah, pour avoir accepté d’être mon Coencadreur.
Monsieur GASBAOUI Ibrahim, Maître assistant chargé de cours à
l’université de Bechar, pour les nombreuses heures constructives qu’il m’a
accordé, les précieuses orientations et la mise à ma disposition de ses
documentations.
Monsieur OTHMAN Abdelkhalek pour son aide et sa gentillesse.
Mademoiselle SEDDIKI Zahira qui m’a énormément aidé .
Monsieur ALLALOUA Boumediène, Maître assistant chargé de cours à
l’université de Bechar pour ses idées.
Mon frère Mohamed pour son aide, son encouragement, son déplacement
avec moi et son soutien pour continuer ce mémoire.
Ainsi que Messieurs les membres de jury qui ont accepté d’évaluer ce travail
Mr. RAHLI M, Professeur à l’USTO. Oran
Mr. BOUTAIBA. T, Professeur à l’USTO. Oran
Mr. ALLALI. A, Maitre de conférences à l’USTO. Oran
Ainsi qu’à toute personne ayant contribué de près ou de loin à l’élaboration de
ce travail, qu’elle trouve ici mes sincères remerciements.
Résumé
Le problème de la répartition optimale des puissances et de contrôle de la tension des
systèmes électriques est actuellement, une, des principales préoccupations des entreprises de
production et de distribution de l’énergie électrique vise à maintenir la tension dans les limites
acceptables de fonctionnement et à contrôler et à minimiser les pertes de transmission qui ont
pour conséquence une réduction des coûts. Dans ce mémoire, nous présentons une étude
comparative de la répartition optimale des puissances d’un réseau d’énergie électrique où le but
principal de cette recherche est méthodes utilisées seront capables de résoudre d’une manière
fiable et rapide le problème d’OPF. Ces méthodes doivent garder leurs performances lorsqu’ils
sont appliqués à un système électrique de grande taille.
Le problème d’OPF est traité en appliquant sur le réseau modèle IEEE 57 nœuds deux
types de méthodes à savoir les méthodes numériques et les méthodes métaheuristiques. Les
méthodes numériques seront basées sur une méthode nouvelle basée sur la méthode des points
intérieurs. Une étude comparative sera réalisée entre les deux approches en comparant entre la
méthode des points intérieurs d’un côté et les algorithmes génétiques et les essaims de particules
d’autre coté.
Mots clés : méthodes métaheuristiques, contrôle de tension, répartition optimale des puissances
(OPF), optimisation des puissances, méthodes de points intérieurs, algorithmes génétiques,
essaims de particules, programmation non linéaire.
Abstract:
The problem of optimal power flow and voltage control of power systems is currently one of
the main concerns of business production and distribution of power system is to keep the voltage
within acceptable operating and control and minimize transmission losses which result in
reduced costs. In this work, we present a comparative study of the optimal power flow of an
electric network where the main purpose of this research is the methods used will be able to
solve reliably and rapidly the problem of OPF. These methods need to keep their performance
when applied to a large electrical system.
The OPF problem is treated by applying in an electric network model IEEE 57 bus of two
methods namely numerical methods and metaheuristics methods. Numerical methods will be
based on a new method based on the method of interior points. A comparative study will be
conducted between the two approaches by comparing the method of interior points on one side
and genetic algorithms and particle swarms other side.
Keywords:
Metaheuristic methods, voltage control, optimal power flow (OPF), power optimization, interior
point methods, genetic algorithms, particle swarm, nonlinear programming
Sommaire
Sommaire……………………………………………………………………………………..i
Liste des figures……………………………………………………………..……………….v
Liste des tableaux…………………………………………………………………………...vi
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Introduction générale………………………………………………………………………….1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chapitre 1 : Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.1. Introduction………………………………………………………………...…………….4
1.2. L’historique de l’optimisation……………………………………………...…………….4
1.3. Les méthodes (algorithmes de résolution les problèmes d’OPF………...……………….7
1.3.1. Les méthodes conventionnelles………….……………………………………………7
1.3.1.1. Approches d’Optimisation sans contraintes………………………………………….7
1.3.1.1.1. Méthode des multiplicateurs de Lagrange……..……...…………………………....7
1.3.1.1.2. Méthode de quasi-Newton…………………………………………………………8
1.3.1.1.3. Méthode du gradient…………………………………………………………….….8
1.3.1.1.4. Méthode de gradient conjugué…………………………………………….…....…..8
1.3.1.2. Programmation linéaire……………………………………………………….………8
1.3.1.3. Programmation non linéaire………………………………………………….……….9
1.3.1.3.1. Méthode de gradient réduit…………………………………………………………9
1.3.1.3.2. Méthode de gradient réduit généralisée……………………………………….…...10
1.3.1.4. Programmation quadratique………………………………………………………....10
1.3.1.5. Méthode de Newton………………………………………………………………....10
1.3.1.6. Méthode du point intèrieur…………………………………………………………..10
1.3.1.7. Programmation en nombres entiers (Mixed-Integer Programming)………………...11
1.3.1.8. Programmation de l’écoulement du réseau électrique (Network
Flow Programming)....................................................................................................11
1.3.2. Méthode de recherche intelligente……………………………….…………………..11
1.3.2.1. Optimisation du réseau de neurones (Optimization Neural Network)………………..11
1.3.2.2. Algorithmes évolutionnaires (Evolutionary Algorithms EAs)……………...………...12
1.3.2.3. Optimisation esaim de particules (Particle Swarm Optimization PSO)………..….…12
1.4. Optimisation Colonie de fourmis (Ant Colony Optimization ACO)………………...…...12
1.5. Recherche Tabou ( Tabou Search TS)……………………………………………...………..13
1.6. Recuit Simulé (Simulated Annealing)……………………………...…………………….….13
1.7. Application de la théorie des ensembles flous…………………………………………..13
1.8. L’optimisation des puissances réactives et le contrôle des tensions…………………….14
1.9.1. Actions correctrices et règles heuristiques…………………………………………….14
1.9.2. Les variables de contrôle…………………………………………………………………....15
1.9.2.1. Les groupes de production………………………………………………………………..15
1.9.2.2. Les groupes de production de secours………………...…………………………………15
1.9.2.3. Les transformateurs avec régleurs en charge………………………………..…………..16
1.9.2.4. Les batteries de condensateurs………………………………………………………........17
1.9.2.5. Les réactances (selfs)……………………………………..………………………….…….18
1.9.2.6. Les lignes……………………………………………………………………………….…...19
1.9.2.7. Les dispositifs FACTS………………………………………………..…………………...20
1.10. Conclusion………...…………………………………………………………....……….……..20
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chapitre 2 : Modélisation des réseaux électriques
2.1. Introduction ………………………………………………………………….…………..21
2.2. Généralités sur les réseaux électriques…………………………………………………...21
i
Sommaire
2.2.1. Caractéristiques du réseau……………………………………….……………….…….21
2.2.1.1. Finalité du réseau…………………………………………………………………….21
2.2.1.2. Niveaux de tension……………………………………………………....…...……...22
2.2.1.3. Structure et topologie des réseaux………………………………………….…...…..23
2.3. Différents éléments d’un réseau électrique……………………………………………....24
2.4. Modélisation des réseaux électriques……………………………………………………24
2.4.1. Le but de la modélisation………………………………………………………………25
2.4.2. Modélisation des générateurs……………………………………………………….….25
2.4.3. Modélisation des transformateurs………………………………………………….…..26
2.4.3.1. Schéma final avec tous les paramètres………………………………………….…...28
2.4.4. Modélisation des lignes électriques………………………………………...………….…..28
2.4.5. Modélisation des charges électriques………………………………………………….29
2.5. Conclusion………………………………………………………………...…………………….29
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chapitre 3 : Répartition des charges
3.1. Introduction……………………………………………………………………………...30
3.2. Répartition des charges……………………………………………………………….….30
3.3. Classification des variables et des contraintes d’un système……………………….……32
3.3.1. Classification des variables…………………………………………………………….32
3.3.2. Classification des contraintes……………………………………………………….….32
3.3.2.1. Contraintes sur les variables dépendantes…………………………………………...33
3.3.2.1.1. Contraintes d’équilibre entre la production et la consommation…………..33
3.3.2.1.2. Contraintes sur les modules de la tension…………………………….……33
3.3.2.1.3. Contraintes sur la capacité de transit de la ligne…………………………...34
3.3.2.2. Contraintes sur les variables indépendantes…………………………………………34
3.3.2.2.1. Contraintes sur la production……………………………………….……...34
3.3.2.2.2. Contraintes sur les rapports de transformation…………………………………….35
3.4. Méthodes numériques de résolution du problème de la répartition des charges………...35
3.4.1. Méthode de Newton-Raphson…………………………………………………………35
3.4.1.1. Application de la méthode pour le calcul de l’écoulement de puissance…………...36
3.4.1.2. Calcul des jacobiens…………………………………………………………………38
3.4.1.3. Algorithme de Newton –Raphson…………………………………………………...38
3.4.2. Méthode de Gauss-Seidel……………………………………………………………...39
3.4.2.1.Algorithme de Gauss-Seidel……………………………………………………….…40
3.4.3. Les méthodes découplées……………………………….………………………………….40
3.4.3.1.La méthode découplée…………………………………………………………….……….40
3.4.3.1.1. Algorithme de la méthode découplée…………………………...……………………41
3.4.3.2.La méthode découplée rapide (FDLF)………………………………………………..42
3.4.3.2.1. Algorithme méthode découplée rapide……………………………………….......46
3.5.
Illustration sur un exemple……………………………………………………….…...46
3.5.1. Caractéristique du réseau et les valeurs planifiées……………………………….……47
3.5.2. Planification…………………………………………………………...……………………....47
3.5.3. Les paramètres de l’alternateur………………………………………………………….…..48
3.5.4. Calcul de l’écoulement de puissance………………………………...………………….….48
3.5.4.1. Ecoulement de puissance par la méthode de Newton-Raphson………………….….48
3.5.4.2. Ecoulement de puissance par la méthode de Gauss-Seidel……………………….…48
3.5.4.3. Ecoulement de puissance par la méthode de découplée rapide……………….……..48
3.5.4.4. Tableau récapitulatif…………………………………………………………………49
3.6. Conclusion……………………………………………………………………………….49
ii
Sommaire
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chapitre 4 : Les méthodes métaheuristiques
4.1. Introduction……………………………………………………………………………...50
4.2. Les méthodes métaheuristiques………………………………………………………….50
4.3. Classifications possibles des métaheuristiques…………………………………………..50
4.3.1. Fonctionnement général des métaheuristiques………………………………………...50
4.3.2. Classification selon la nature de la solution (unique ou plusieurs)…………….............51
4.3.2.1. Méthodes évolutives (à population)……………………………………………….…51
4.3.2.2. Méthodes hybrides (de voisinages / de recherche locale)…………………………....51
4.3.3. Classification selon sa nature de sa fonction objective…………………………….…..52
4.3.4. Classification selon sa nature ou bien le type de l’échantillonnage…………………...52
4.3.4.1. Méthodes métaheuristiques implicites…………………………………………….…52
4.3.4.2. Méthodes métaheuristiques explicites………………………………………………52
4.3.4.3. Méthodes métaheuristiques directes………………………………………………....52
4.5. Comment faire le choix d’une méthode métaheuristique………………………………..53
4.7. Les métaheuristiques à population……………………………………………………….54
4.7.1. Les algorithmes génétiques…………………………………………………………….54
4.7.1.1.
Introduction……………………………………………………………………….………….54
4.7.1.2. Principe de base……………………………………………………………………...54
4.7.1.3. Application d’un AG (Description détaillée)………………………………………..56
4.7.1.3.1. Le codage……………………………………………………………………....….56
4.7.1.3.2. Génération aléatoire de la population initiale……………………………………...56
4.7.1.3.3. Fonction d’évaluation……………………………………………………………...56
4.7.1.3.4. La sélection : (Selection)………………………………………………………………..57
4.7.1.3.5. Le croisement : (Crossover)…………………………………..………………………..58
4.7.1.3.6. Mutation……………………………………………………….………………………....59
4.7.1.4. Paramètres de la méthode………………………………………...………………………59
4.7.1.5. Application des AGs aux réseaux électriques……………………………………….….59
4.7.2. Algorithmes de Colonies de Fourmis………………………………….……………….…60
4.7.2.1. Introduction…………………………………………………………….…………………..60
3.7.2.2. Optimisation par colonies de fourmis…………………………..…………………….….61
3.7.2.3. L'intelligence collective des fourmis……………………………..…………………........61
3.7.2.3.1. L’auto-organisation…………………………………………………………….…..61
3.7.2.3.2. La communication……………………………………………………….………………61
4.7.2.3.3. Stigmergie…………………………………………………………………….……62
4.7.2.3.4. Les pistes de phéromones……………………………………………………………….62
4.8. Les fourmis artificielles (virtuelles)………………………………………………….…..63
4.9. Similarités et différences entre les fourmis artificielles et les fourmis réelles……….….64
4.9.1. Points communs……………………………………………………..…………………….….64
4.9.2. Différences……………………………………………………………...………………….….64
4.10. Algorithme d’optimisation de colonie de fourmis pour le problème des voyageurs de
commerce……………………………………………………………………………………..65
4.10.1. Algorithme de base…………………………………………………………………...65
4.11. Variantes du système de fourmis……………………………………………………….67
4.11.1. Ant System &elitism……………………………………………………………….....67
4.11.2. Ant-Q ………………………………………………………………………………...67
4.11.3. Ant Colony System…………………………………………………………………...67
4.12. Application des ACF aux réseaux électriques………………………………………….69
iii
Sommaire
4.13. L’optimisation par essaim particulaire (OEP)…………………………………………70
4.13.1. Description informelle………………………………………………………………..70
4.13.2. Concept de base………………………………………………………………………71
4.13.3. Organigramme………………………………………………………………………..73
4.14. Applications des méthodes métaheuristiques à l’OPF…………………………..……..74
4.14.1. Réseau modèle IEEE à 14 nœuds…………………………………………………...74
4.14.2. Résultats obtenus……………………………………………………………………..76
4.15. Conclusion……………………………………………………………………………...77
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chapitre 5 : Méthode du point intérieur
5.1. Introduction……………………………………………………...……………………………..78
5.2. Principe de la méthode du point intérieur……………………………………………….79
5.3. Différentes méthodes du point intérieur…………………………………………………82
5.3.1. Méthodes de mise à l’échelle affine ( affine scalling methods)………………….……82
5.3.2. Méthodes de suivi de chemin ( path-following methods)……………………….……83
5.3.2.1. Méthodes de suivi de chemin à pas court……………………………………………83
5.3.2.2. Méthodes de suivi de chemin à prédicteur-correcteur……………………………….83
5.3.2.3. Méthodes de réduction de potentiel…………………………………………………83
5.4. Algorithme simplifié du point intérieur pour la programmation non linéaire…………..86
5.5. Méthode du point intérieur appliquée à l’OPF………………………………………….87
5.5.1. La fonction objective…………………………………………………………….….…87
5.5.2. Les contraintes d’égalité et d’inégalité………………………………………………..88
5.6. Conclusion……………………………………………………………………………….90
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chapitre 6 : Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de la tension :
Application au réseau de 57 nœuds
6.1. Introduction ………………………………………………………………………..……91
6.2. Données et conditions initiales du réseau 57 nœuds……………………………….…...91
6.3. Les paramètres des méthodes………………………………………………………...…95
6.4. Résultats et analyses……………………………………………………………………..95
6.4.1. Cas N° 1…………………………………………………………………………...…..96
6.4.2. Cas N° 2…………………………………………………………………………...…..98
6.4.3. Cas N° 3………………………………………………………………………….......100
6.4.4. Cas N° 4……………………………………………………………………………...101
6.4.5. Cas N° 5……………………………………………………………………………...103
6.4.6. Analyse…………………………………………………………………………….....105
6.4.6.1 : Le profil des tensions………………………………………………………….......105
6.4.6.2 : Les pertes actives totales…………………………………………………………..106
6.5. Conclusion……………………………………………………………………………...106
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Conclusion générale……………………………………………………………………..…..107
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bibliographie…………………………………………………………………………..…….108
iv
Listes des figures
Liste des figures
Figure (1.1)
Figure (2.1)
Figure (2.2)
Figure (2.3)
Figure (2.4)
Figure (2.5)
Figure (2.6)
Figure (2.7)
Figure (3.1)
Figure (4.1)
Figure (4.2)
Figure (4.3)
Figure (4.4)
Figure (4.5)
Figure (4.6)
Figure (4.7)
Figure (4.8)
Figure (4.9)
Figure (4.10)
Figure (4.11)
Figure (4.12)
Figure (4.13)
Figure (4.14)
Figure (5.1)
Figure (6.1)
Figure (6.2)
Figure (6.3)
Figure (6.4)
Figure (6.5)
Figure (6.6)
Représentation d’un gradin d’une batterie de condensateur………..………….17
Hiérarchisation d’un réseau…………………………………………..….……..22
Différentes structures d’un réseau électrique…………………………..….…...24
Modèle d’un transformateur……………………………………………...…….26
Transformateur sous forme un circuit équivalent en π.…………………..…….26
Schéma final du transformateur avec tous les paramètres………………...…..28
Schéma équivalent d’une ligne ……………………………………………...…28
Modèle d’une charge électrique sous forme d’une impédance constante……...29
Organigramme de la méthode découplée rapide………………………...……..46
Classification des métaheuristiques selon le type de solution…………...…….51
Principe d’un Algorithme génétique……………………………………..…….55
Différents types de croisement………………………………………….…..….58
L'opérateur de mutation dans le codage binaire………………………….….....59
Organigramme du modèle….…………………………………………………..60
Le problème à double pont pour choisir le chemin le plus court…………........63
Les fourmis se déplacent le long du chemin le plus court……………………...63
Le mouvement d’une fourmi en fonction de la valeur de phéromone
et les valeurs heuristiques ………………………………………………......66
Le problème du voyageur de commerce………………….………………...….67
Organigramme de l’ACO-OPF……………………………………………...…69
Principe de déplacement d’un point de recherche par PSO.……………….…..72
Organigramme général de PSO………………………………………………...73
Variation des pertes actives en fonction du nombre de générations par l’AG…76
Variation des pertes actives en fonction du nombre d’itérations par PSO…......76
Organigramme de la méthode du point intérieur………………………….……85
Réseau de 57 nœuds de IEEE………………………………………………......91
Variation des tensions son correction en fonction du nombre de nœuds…...…97
Variation des tensions après la correction en fonction du nombre de nœuds.....99
Variation des tensions après la correction par la méthode de l’AG………......101
Variation des tensions après la correction par la méthode des essaims de
particules……………………………………………………………………....103
Variation des tensions par la méthode du point intérieur…………...………...105
v
Liste des tableaux
Liste des tableaux
Tableau (2.1)
Tableau (3.1)
Tableau (3.2)
Tableau (3.3)
Tableau (3.4)
Tableau (3.5)
Tableau (3.6)
Tableau (3.7)
Tableau (3.8)
Tableau (4.1)
Tableau (4.2)
Tableau (4.3)
Tableau (4.5)
Tableau (4.6)
Différents paramètres du réseau…………………………………………....….25
Classification des nœuds………………………………………………….…...32
Caractéristiques des lignes du réseau 9 nœuds ………………………..………47
Planification………………………………………………………………..…..47
Les limites de fonctionnement …………………………………………..........48
Pertes totales dans le réseau par Newton-Raphson……………….…….…......48
Pertes totales dans le réseau par Gauss-Seidel…………………….…….…….48
Pertes totales dans le réseau par la méthode découplée rapide…….…….……49
Tableau récapitulatif………………………………………………..………….49
Classifications possibles des méthodes métaheuristiques…………..…………53
Caractéristiques des lignes du réseau IEEE 14 nœuds…………….….……….74
Les valeurs planifiées du réseau IEEE 14 nœuds………………….……….….75
Paramètres de contrôle des mathématiques AG et PSO…………….………....76
Amplitudes de tension aux nœuds de contrôle et pertes actives avant et après
optimisation…………………………………………………………………....77
Rapports de transformation des régleurs en charge avant et après
Tableau (4.7) optimisation…………………………………………………………………....77
Tableau (5.1) Les différentes variantes de la méthode du point intérieur…………………....87
Tableau (6.1) Les données des lignes et des transformateurs……………………….………..93
Tableau (6.2) Puissances actives et réactives demandées, tensions et phases……………......94
Tableau (6.3) Les limites………………………………………………………………….….95
Tableau (6.4) Résultats état initial………………………………………………………........97
Tableau (6.5) Résultats après correction des tensions…………………………………….….99
Tableau (6.6) Résultats par la méthode de l’AG………………………………………....…101
Tableau (6.7) Résultats par la méthode des essaims de particules……………………….…103
Tableau (6.8) Résultats par la méthode du point intérieur……………………………….…104
Tableau (6.9) Les puissances réactives shunts……………………………………………...106
Tableau (6.10) Les pertes actives totales……………………………………………….……106
vi
Introduction générale
Introduction
L’industrialisation, la croissance de la population, les effets de la modernité et de la
technologie et en plus l’absence de la culture de consommation sont les facteurs principaux
engendrant l’augmentation de la consommation d’énergie électrique. Le dilemme entre la
continuité de service et la minimisation du coût de production et des pertes devient un pôle
d’études intéressant au but de garder et d’exploiter les différents éléments (générateurs,
lignes, transformateurs, ..) du réseau électrique sur les normes en respectant les limites de
chaque élément.
Le développement de l’informatique, de l’automatisme et des interfaces homme machine
a créé une innovation dans le domaine de génie électrique et surtout dans les réseaux
électriques. Cette évolution du réseau électrique est liée à divers facteurs, parmi lesquels on
peut citer : les préoccupations environnementales de nos sociétés modernes, les tensions sur
les énergies primaires et les conséquences sur la sécurité d’approvisionnement, le
vieillissement des infrastructures, l’ouverture des marchés de l’énergie, la multiplication
d’acteurs conjuguée à l’accès non-discriminatoire au réseau, Ces facteurs se sont renforcés
ces dernières années en devenant, de plus en plus, des éléments de levier des changements à
venir dans le système électrique.[1]
C’est vers la fin des années 50 qu’apparait la recherche sur la gestion optimale des
puissances active et réactive. Les problèmes d’optimisation en électrotechnique présentent
plusieurs difficultés liées aux besoins de l’utilisateur (recherche d’une solution globale,
fiabilité et précision de la solution, diversité des problèmes traités, temps de calculs
disponible,…), aux caractéristiques du problème d’optimisation (non linéarité, dérivées
difficilement accessibles,….) et aux temps de calculs importants. La résolution de telles
difficultés a fait l’objet de nombreux travaux en utilisant diverses méthodes
d’optimisations.[2]
Le problème d’optimisation de l’écoulement de puissance permet de minimiser d’une
part, le coût des puissances actives générées et d’autre part, minimiser le plus possible les
pertes des puissances active et réactive surtout les pertes des lignes électriques. Un problème
difficile à résoudre surtout pour les réseaux de grande taille où plusieurs contraintes dites de
sécurité doivent être prises en considération, telles que : les contraintes de bilan des
puissances active et réactive, les limites des puissances transitées et les limites de tension.
Donc, il est obligatoire d’utiliser des méthodes d’optimisation classiques et modernes qui
sont un éventail de recherche intéressant notamment avec le développement de l’outil
informatique en essayant de projeter ses concepts mathématiques sur le problème de la
répartition optimale des puissances. Cette tâche est peut appliquer avec les méthodes
modernes que les méthodes classiques car elles ne sont pas obligées de connaitre ou bien
utiliser en détail tous les paramètres d’un problème à résoudre.
1
Introduction générale
Les méthodes conventionnelles déjà utilisées sont basées sur la programmation linéaire
ou non linéaire [3] et les méthodes de décomposition [4]. Cependant, ces méthodes peuvent
converger vers des minimums locaux et la plupart d’entre elles ne résolvent pas les
problèmes d’optimisation à variables entières. Aujourd’hui, d’autres méthodes basées sur
l’intelligence artificielle [5,6], les réseaux de neurones, les algorithmes génétiques [7],
comme la technique des colonies de fourmis [8,9], la technique de la recherche Tabou [10],
essaim de particules [11],…., se sont développées en se basant uniquement sur des
informations locales. Ainsi, il en résulte la diminution du temps de calcul puisque l’approche
est décentralisée. Ces méthodes heuristiques [12] ou métaheuristiques [13] consistent en un
ensemble de techniques stochastiques souvent inspirées de phénomènes naturels et
biologiques[14,15,16] et sont capables de s'adapter à différents types de problèmes,
combinatoires ou même continus.
Ce mémoire s’inscrit dans le cadre de la résolution du problème de la répartition
optimale et du contrôle des puissances réactives ainsi que la tension, qui est actuellement,
une, des principales préoccupations des entreprises de production et de distribution de
l’énergie électrique en utilisant une nouvelle technique. Il s’agit de la technique
d’optimisation basée sur les méthodes par les points intérieurs. Ces dernières sont apparues
au milieu des années cinquante, générées essentiellement par la fonction logarithmique
barrière proposée par Frisch [17]. Le terme point intérieur sera introduit dans les années
soixante dans le fameux livre de Fiacco et Mc Cormick [17,18].
En effet, la visée principale de cette recherche est que l’algorithme développé soit
capable de résoudre d’une manière fiable et rapide le problème de la répartition optimale des
puissances réactives. Cet algorithme doit garder ses performances lorsqu’il est appliqué à un
système électrique de grande taille et cela bien que plusieurs méthodes peuvent être
conjointement utilisées dans la résolution du problème.
Le mémoire est composé de six chapitres. Dans le premier chapitre, on a relaté l’état de
l’art de l’optimisation ainsi le contrôle de tension en citant ses moyens dont le but de
contrôler et de corriger la tension dans les différents nœuds du réseau et d’assurer une
meilleure réserve de la puissance réactive.
Dans le second chapitre, on a représenté une modélisation des réseaux électriques qui
est une tâche très importante pour les étudier en citant leurs caractéristiques et leurs
différents éléments dont chacun, est représenté par son modèle équivalent.
Le troisième chapitre est consacré à la répartition des charges et ses méthodes de
résolution les plus célèbres où il faut déterminer les valeurs du module et de la phase de la
tension en chaque nœud du réseau afin de calculer les puissances transitées, générées et les
pertes. Ce chapitre est illustré par une application à un réseau électrique de neuf nœuds.
Dans le quatrième chapitre, on présente les méthodes métaheuristiques qui s’inspirent
souvent par des systèmes naturels et leurs applications au problème d’OPF en spécifiant les
colonies de fourmis, les algorithmes génétiques, et l’essaim de particules. Les deux dernières
sont appliquées à un réseau IEEE de 14 nœuds.
2
Introduction générale
Dans le cinquième chapitre, on expose et présente la méthode numérique du point
intérieur qui se base sur une fonction logarithmique barrière qui facilite sa manipulation et son
application à la résolution du problème de la répartition optimale des puissances (OPF). Cette
méthode a fait un changement radical dans l’étude théorique et la résolution numérique des
programmes mathématiques linéaires et non linéaires.
Le sixième chapitre est axé à une illustration et une application des méthodes
métaheuristiques ainsi que celle numérique du point intérieur à un réseau IEEE de 57 nœuds en
comparant les résultats obtenus.
3
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.1. Introduction :
Les principes de l'optimisation sont d'une importance incontestable dans la conception
moderne et le fonctionnement du système. Au cours des dernières décennies il y a eu un
changement progressif dans l'optimisation appliquée à partir de l'état de l'art à celui d'une
discipline scientifique. Dans une large mesure, cette tendance a été favorisée par le
développement des ordinateurs à grande vitesse avec laquelle les problèmes à grande échelle
peuvent être résolus avec une exactitude qui était auparavant inaccessible. La disponibilité
d'ordinateurs a donné lieu à des nouvelles techniques d'optimisation et a amélioré ceux
précédemment développées.
Les termes "répartition optimale", "répartition optimale de génération", "répartition
économique optimale" et "écoulement de charge optimale" sont essentiellement synonymes en se
référant à un type de calcul d'écoulement de puissance dont une ou plusieurs quantités sont
optimisées par rapport au plan programmé de la génération.
L’écoulement de la puissance optimale (OPF) a été premièrement introduit par Carpentier
en 1962 [14,16]. L'objectif des OPF est de trouver les paramètres optimaux d'un réseau de
système d'énergie étant donné que l'objectif d'optimiser les fonctions du système telles que le
coût de production totale, la perte du système, l'écart de tension du nœud, l'émission d'unités de
production, le nombre d'actions de contrôle et de délestage en satisfaire ses équations de
l’écoulement de puissance, la sécurité du système, et les limites de fonctionnement des
équipements. Différentes variables de contrôle, dont certaines sont les sorties du générateur de
puissance active et les tensions, le changement des paramètres du prise de transformateur,
déphaseurs, capacités shunts, et les réacteurs, sont manipulées pour obtenir une mise en réseau
optimale basée sur la formulation du problème.
Plusieurs algorithmes classiques de l’écoulement optimal de puissance sélectionnent et
donnent les détails d'implémentation. Ces algorithmes incluent des méthodes traditionnelles
telles que la méthode de Newton, méthode du gradient, la programmation linéaire ainsi que les
dernières méthodes telles que la méthode du point intérieur modifiée, un processus de hiérarchie
analytique, et la méthode d'optimisation essaim de particules.[16]
L’objectif de cette partie est de montrer l’ancienneté de l’optimisation et aussi son
développement et progression en donnant un coup d’œil de différents algorithmes et méthodes
et en détaillant seulement celles qui nous intéressent.
1.2. L’historique de l’optimisation:[8,19,20]
L'étude des problèmes d'optimisation est aussi vieille que la science elle-même. Il est
connu que les mathématiciens de la Grèce antique résolu de nombreux problèmes d’optimisation
[8]. Mais, on s’intéresse seulement par le développement des méthodes d’optimisation à partir
du 19ème siècle.
En 1847, dans une courte note, L. A Cauchy a proposé une méthode générale pour
résolution de systèmes d'équations de manière itérative. Cela conduit essentiellement à deux
4
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
méthodes itératives de minimisation: maintenant appelées la méthode du gradient et la plus
grande pente pour certaines fonctions de plusieurs variables.
Pour le 20ème siècle, en 1906, le mathématicien danois J. Jensen a introduit le concept de
convexité et provenant d'une inégalité, dénommé maintenant l'inégalité de Jensen, qui joue un
rôle important dans l'optimisation convexe et d'autres domaines comme l'économie.
Fait intéressant, H. Hancock a publié en 1917 le premier livre sur l'optimisation "Théorie des
minima et maxima''.
En Février 1930, Karl Menger a posé le problème du message à un colloque mathématique
à Vienne, que ce problème est souvent rencontré par les messages postales et les voyageurs. Son
travail a été publié plus tard en 1932. En général, la règle simple d'aller au plus proche des points
ne pas entraîner le plus court chemin. Ce problème est maintenant appelé ‘le problème de
voyageurs de commerce’.
En 1939, L. Kantorovich a été le premier à développer un algorithme pour la
programmation linéaire et l'utiliser dans l'économie. Il a formulé le problème de production de la
planification optimale et les méthodes effectives pour trouver des solutions à l'aide de la
programmation linéaire. Pour ce travail, il a partagé le prix Nobel avec T. Koopmans en 1975.
La prochaine étape importante de progrès est que George Dantzig a inventé en 1947[19,21], la
méthode du simplexe pour résoudre des problèmes de programmation linéaire à grande échelle.
En 1951, Harold Kuhn et A.W Tucker ont étudié le problème de l’optimisation non linéaire
et ont redéveloppé la condition d'optimalité, que les conditions similaires ont été proposées par
W. Karush en 1939 dans sa thèse de magister. En fait, les conditions d’optimisation sont la
généralisation des multiplicateurs de Lagrange pour les inégalités non linéaire, et sont
maintenant connus par les conditions Karush-Kuhn-Tucker, ou simplement les conditions de
Kuhn Tucker[8,10,19,21] qui sont des conditions nécessaires pour une solution d'être optimale
dans la programmation non linéaire.
Puis, en 1957, Richard Bellman à l'Université de Stanford a développé la programmation
dynamique alors que son idée peut remonter à 1944 lorsque John von Neumann et O.
Morgenstern ont étudié les problèmes de décision séquentielle. John von Neumann a également
apporté une contribution importante au développement de la recherche opérationnelle. Comme
antérieure, en 1840, Charles Babbage a étudié le coût du transport et assortir des courriers, ce qui
pourrait être la première recherche sur la recherche opérationnelle. Des progrès importants ont
été réalisés au cours de la deuxième guerre mondiale.
Après les années 1960, la littérature sur l'optimisation a explosé surtout sur l'introduction
aux algorithmes heuristiques et métaheuristiques. En fait, un nombre assez important de
nouveaux algorithmes d'optimisation sont principalement métaheuristiques.
Alan Turing a été probablement le premier à utiliser des algorithmes heuristiques en 1940
quand il conçu avec le mathématicien britannique Gordon Welchman une machine
électromécanique crypto-analytique, la Bombe, à l'aide de leur travail de décryptage ou la bombe
a utilisé un algorithme heuristique. Turing a appelé sa méthode ‘recherche heuristique’, comme
5
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
on pouvait s'y attendre il a travaillé la plupart du temps, mais il n’avait pas de garantie de trouver
la bonne solution, mais il a été un énorme succès. En 1945, Turing a exposé sa conception de
calcul automatique du moteur (Automatic Computing Engine). En 1948, dans un rapport
«machines intelligentes» il a présenté ses innovantes idées de l'intelligence artificielle et
d'apprentissage, réseaux de neurones et les algorithmes évolutionnaires ou une première version
des algorithmes génétiques.
La prochaine étape importante est le développement des algorithmes évolutionnaires entre
les années 1960 et 1970. Tout d'abord, John Holland et ses collaborateurs à l’Université du
Michigan ont développé les algorithmes génétiques entre les années 1960 et 1970[8,13,22,23].
Dès 1962, Holland a étudié le système d'adaptation et a été le premier qui a utilisé les
manipulations de croisement et de recombinaison pour la modélisation de ces systèmes.
Son ouvrage résumant le développement d'algorithmes génétiques a été publié en 1975.
Dans la même année, Kenneth De Jong a terminé son important dissertation démontrant le
potentiel et la puissance des algorithmes génétiques pour une large gamme de fonctions
objectives, que ce soit bruyant, multimodal ou discontinu.
Les décennies des années 1980 et 1990 ont été le moment le plus excitant pour les
algorithmes métaheuristiques. La prochaine grande étape est le développement d'une simulation
recuite en 1983, une technique d'optimisation, mis au point par S. Kirkpatrick, CD Gellat et MP
Vecchi, inspirée par le procédé de recuit des métaux.
La première utilisation réelle de la mathématique est probablement en raison de la
recherche Tabou de Fred Glover en 1986, bien que son livre fondateur sur la recherche Tabou
ait été publié plus tard en 1997.
En 1992, Marco Dorigo a terminé sa thèse de doctorat sur l'optimisation et les algorithmes
naturels, dans lequel il décrit son innovateur travail sur l'optimisation de colonies de
fourmis(ACO)[8,24]. Cette technique de recherche a été inspirée par l'intelligence en essaim de
fourmis sociales à l'aide de phéromones comme un message chimique. Puis, John R. Koza de
l'université à Stanford a publié un traité sur la programmation génétique qui a jeté les bases d'un
tout nouveau domaine de l'apprentissage de la machine et la révolution de la programmation
informatique.
Un peu plus tard en 1995, une autre étape importante de progrès est le développement de
l'optimisation par essaim de particules (PSO) par le psychologue social américain James
Kennedy, et l'ingénieur Russell C. Eberhart. Lâchement parlant, PSO est un algorithme
d'optimisation inspirée par l'intelligence essaim de poissons et les oiseaux et même par le
comportement humain.
A la fin du 20 ème siècle, les choses sont devenues encore plus passionnantes. Tout d'abord,
Zong Woo Geem et al en 2001 ont développé l’algorithme de la recherche Harmonie (HS :
Harmony Search)[8] ou « harmonie de musique » qui est une combinaison des bruits considérés
comme une satisfaction d’un point de vue esthétique où les exécutions musicales cherchent à
6
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
trouver l’harmonie agréable (un état parfait) déterminé par une norme esthétique, juste comme le
processus d’optimisation de trouver une solution globale d’une fonction objectif[25]. Elle a été
largement appliquée dans la résolution de divers problèmes d’optimisation tels que la
distribution de l'eau, la modélisation du transport et l’établissement du programme.[8]
En 2004, S. Nakrani et C. Tovey ont proposé l'algorithme d’abeille et son application de
l’'optimisation des centres d'hébergement Internet, qui a suivi par le développement d'un
algorithme d'abeille roman par D.T Pham et al en 2005 et la Colonie d’abeille artificielle (ABC :
Artificial Bee Colony) par Karaboga D en 2005. En 2008, Xin-SheYanga développé l'algorithme
luciole (Firefly:FA)[8]. Assez peu d'articles de recherche sur l'algorithme Firefly puis suivi, et
cet algorithme a attiré un large éventail d'intérêts.
Comme on peut le voir, les algorithmes métaheuristiques sont actuellement de plus en plus
développés. Une telle diversité des algorithmes nécessite un résumé du système de différents
algorithmes métaheuristiques.
1.3. Les méthodes (algorithmes) de résolution les problèmes d’OPF :
Divers techniques d’optimisation y compris les traditionnelles et les modernes qui ont été
développées pour résoudre le problème OPF, peuvent être effectuées en termes de nombre
d'objectifs, du nombre de contraintes, des formes de fonction, du paysage de la fonction
objective, du type de variables de conception, de l'incertitude dans les valeurs, et de l'effort de
calcul. Ces méthodes sont classifiées comme suit : [8,26]
1.3.1. Les méthodes conventionnelles :
1.3.1.1. Approches d’optimisation sans contraintes :
Les approches d’optimisation sans contraintes sont à la base des algorithmes d'optimisation
sous contraintes. En particulier, la plupart des problèmes d'optimisation sous contraintes dans les
systèmes d’énergie peuvent être convertis en problèmes d'optimisation sans contraintes. Les
principales approches d'optimisation sans contraintes qui sont utilisées dans le fonctionnement
du système d'énergie sont la méthode du gradient, la recherche en ligne, méthode des
multiplicateurs de Lagrange, optimisation de Newton-Raphson, optimisation de la région de
confiance,
la méthode de quasi-Newton, et l'optimisation du gradient et gradient
conjugué,…etc.[8,27,28,29]
1.3.1.1.1. Méthode des multiplicateurs de Lagrange :
Le multiplicateur de Lagrange est une méthode permettant de trouver des points
stationnaires (maximum, minimum...) d'une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables. Le
principe consiste à prendre en compte de manière implicite via des multiplicateurs de Lagrange
(ou variables adjointes ou encore de co-état)[8] les contraintes du problème. On définit alors une
nouvelle fonctionnelle L, dite fonctionnelle de Lagrange, qui permet d’introduire un problème
d’optimisation sans contrainte.
7
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.3.1.1.2. Méthode de quasi-Newton :
Elles ont été développées dans les années 70 et 80 continue à être étudiée pour s'appliquer
à des contextes particuliers ou nouveaux [29], dans lesquelles la matrice des dérivées secondes
du critère quadratique est une approximation du Hessien du Lagrangien à partir des dérivées
premières. Ces dernières apportent une légère modification à la méthode de Newton. Elles
évitent le calcul coûteux en terme de temps de calcul de la matrice hessien nécessaire à chaque
itération et qui peut se faire par une approximation par différent finies [30] et ne demandent que
le calcul des dérivées premières mais elles sont plus lentes et ne donnent pas des solutions
exactes surtout si la fonction de coût et /ou les contraintes sont vraiment non linéaires.[31]
1.3.1.1.3. Méthode du gradient :
Cette méthode fait partie d’une grande classe de méthodes numériques appelées méthode de
descente. Elle se base sur le calcul des dérivées totales premières de la fonction de coût par
rapport aux variables indépendantes du problème. Ces dérivées ou vecteur gradient fournissent la
direction de déplacement à appliquer à la solution courante pour l'améliorer. La procédure est
itérative et s'arrête à l'obtention d'un vecteur gradient suffisamment petit. Cette méthode a pour
avantage d’être très facile à mettre en œuvre, mais malheureusement, Les conditions de
convergence sont assez lourdes.[8,30,31]
1.3.1.1.4. Méthode de gradient conjugué :
La méthode du gradient conjugué a été lancée par Magnus Hestenes, Eduard Stiefel et
Cornelius Lanczos dans les années 1950. Il a été nommé comme l'un des 10 meilleurs
algorithmes du 20ème siècle [8]. Elle est une combinaison de la méthode du gradient et de la
méthode de Newton[32], elle associe leurs avantages tout en évitant leurs principaux
inconvénients. Notons que la méthode du gradient progresse rapidement loin de l’optimum mais
lentement en se rapprochant de l’optimum. Au contraire, la méthode de Newton progresse
lentement loin de l’optimum et rapidement en se rapprochant de ce dernier. Mais si la fonction
est quadratique, la convergence se fait en une seule itération. D’autre part, la méthode de Newton
nécessite l’évaluation, le stockage et l’inversion de la matrice Hessienne. Tandis que la méthode
du gradient conjugué peut converger en un nombre fini d’étapes [30,31].
1.3.1.2. Programmation linéaire [8,19,20,29] :
La programmation linéaire (PL) est la première technique de base utilisée pour linéariser
les problèmes d’optimisation non linéaire de l’écoulement de puissance, de sorte que la fonction
objective et les contraintes d’optimisation de l’écoulement de puissance ont des formes linéaires.
La méthode de simplexe qui a introduit par le mathématicien américain George Dantzig qui
considère le père de la programmation linéaire [33] en 1947 [10,34,35,28] est probablement
l’algorithme le plus célèbre en optimisation conçu pour résoudre les problèmes d’optimisation
linéaire[26, 33].
Le principe de la méthode de simplex est de passer d’une solution de base admissible à
l’autre jusqu’à ce que la solution optimale soit trouvée. Son algorithme est facile à comprendre,
8
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
mais sa simplicité est parfois masquée par un accent sur les détails algébriques et a une
complexité de pire cas de type exponentiel [32,34]. Plusieurs autres progrès ont été réalisés à
des algorithmes de solution de PL comme la méthode de point intérieur suggérée par Karmarker
(1984)[35].
L’approche de PL a plusieurs avantages tel que la fiabilité, en particulier concernant les
propriétés de convergence (achèvement à l’optimum global est garanti[15]), elle peut identifier
rapidement l’infaisabilité et elle accueille une grande variété de limites de puissance du système
d’exploitation, y compris des contraintes d’urgence très importantes. Les inconvénients de la PL
sont imprécis de l’évaluation des pertes du système et la capacité insuffisante pour trouver une
solution exacte par rapport à un modèle précis d’un système de puissance non linéaire et la
considération du minimum local comme un minimum global. Cependant, beaucoup
d’applications pratiques montrent que la PL basée sur des solutions généralement répondre aux
exigences de la précision de l’ingénierie. Ainsi, la PL est largement utilisée pour résoudre les
problèmes d’alimentation du système d’exploitation telles que la sécurité, les contraintes de
dispatching économiques, écoulement de puissance et l’optimisation de la puissance
réactive[26].
1.3.1.3. Programmation non linéaire:
Les problèmes du système d'énergie électrique ne sont pas linéaires. Ainsi les techniques
de base de la programmation non linéaire (PNL) peuvent facilement gérer les problèmes du
système d'énergie électrique tels que les problèmes OPF avec fonctions objectives et contraintes
non linéaires.
Pour résoudre un problème de programmation non linéaire, la première étape dans cette
méthode est de choisir une direction de recherche dans la procédure itérative, qui est déterminée
par les premières dérivées partielles des équations (gradient réduit). Par conséquent, ces
méthodes sont appelées les méthodes du premier ordre, telles que la méthode de gradient réduit
généralisée (GRG). Les méthodes de base de PNL ont une plus grande précision que les
approches de base de PL, et ont également la convergence globale, ce qui signifie que la
convergence ne peut être garantie indépendante du point de départ, mais un faible taux de
convergence peut se produire en raison du zigzag ( qui est un phénomène, lors duquel les points
engendrés par l’algorithme oscillent entre deux ou plusieurs contraintes en tendant vers un point
non optimal[36]).
1.3.1.3.1. Méthode de gradient réduit :
La méthode du gradient réduit ressemble à la solution approchée de la méthode du simplex
de la programmation linéaire. En effet, les variables du problème sont réparties en un groupe de
base et un groupe de non base. Ensuite, les contraintes actives du problème sont utilisées pour
exprimer les variables de base en fonction des non de base. L’objectif devient exclusivement
fonction des non de base. De cette manière, l’algorithme du gradient réduit opère avec des
dimensions réduites. Malheureusement, cette approche nécessite un estimé initial de solution
réalisable qui n’est pas facile de le trouver [8,36]. Ce qui présente une sérieuse difficulté.
9
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.3.1.3.2. Méthode de gradient réduit généralisée:
La méthode "Gradient Réduit Généralisée" fut présentée dès 1969[36]. Cette méthode est une
généralisation à un système de contraintes non linéaires de la méthode du gradient réduit de
Wolfe. La méthode GRG modifie en fonction du gradient réduit la solution courante de façon a
satisfaire les critères d'optimalité. Par contre l'approche GRG, issue de l'analyse et techniques de
résolution de la programmation linéaire (PL), utilise les très utiles notions empruntées à la
PL.[16]
1.3.1.4. Programmation quadratique:
Programmation quadratique (PQ) est une forme particulière de la programmation non
linéaire. La fonction objective du modèle d'optimisation de la PQ est quadratique, et les
contraintes sont sous forme linéaire. La programmation quadratique a une plus grande précision
que les approches de base de PL. Surtout, la fonction objective la plus souvent utilisée dans
l’optimisation du système d’énergie électrique est la fonction de coût du générateur, qui est
généralement une fonction quadratique. Ainsi, il n'y a pas de simplification pour une telle
fonction objective pour un problème d’optimisation du système d’énergie électrique résolu par
PQ.
1.3.1.5. Méthodes de Newton:
La méthode de Newton est applicable pour les fonctions quadratiques et nécessite le
calcul de la dérivée partielle du deuxième ordre des équations du flux de puissance et d'autres
contraintes (le Hessien) et est donc appelée la méthode de second ordre. Les conditions
nécessaires d'optimalité couramment sont les conditions de Kuhn - Tucker. La méthode de
Newton est favorisée pour ses propriétés de convergence quadratique. Notons qu’elle progresse
lentement loin de l’optimum et rapidement en se rapprochant de ce dernier, mais si la fonction
est quadratique, la convergence se fait en une seule itération. L’inconvénient major de cette
méthode est sa convergence locale où elle ne peut pas converger vers un optimum globale si la
fonction de coût n’est pas deux fois dérivables [31]. Une autre difficulté peut apparaitre lorsque
le Hessien n’est pas définie positive. D’autre part, la méthode de Newton nécessite l’évaluation,
le stockage et l’inversion de la matrice Hessienne à chaque itération[15] . Dans ce cas en effet, la
direction de déplacement ne peut pas être une direction de descente, et la convergence n’est pas
assurée [37].
1.3.1.6. Méthodes du point intérieur :
La méthode du point intérieur (PI) est à l'origine utilisée pour résoudre la programmation
linéaire où l’idée de base est d’utiliser des fonctions barrières pour décrire l’ensemble des
solutions. Elle est plus rapide et peut être mieux que l'algorithme du simplexe conventionnel
dans la programmation linéaire. Les méthodes des PI ont été appliquées la première fois pour
résoudre les problèmes d’OPF dans les années 1990, et récemment, la méthode des PI a été
étendue et améliorée pour résoudre l’OPF avec des formes de PQ et PNL.[8,32,34,39]
10
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.3.1.7. Programmation en nombres entiers (Mixed-Integer Programming) :
Le problème du système d’énergie peut également être formulé comme un problème
d’optimisation de programmation mixte en nombres entiers (MIP) avec des variables entières
comme l'angle de déphasage, et l'unité en service ou hors d'état. MIP est extrêmement exigeante
des ressources informatiques, et le nombre de variables discrètes est un indicateur important de
la difficulté de MIP sera à résoudre. Les méthodes de MIP qui sont utilisées pour résoudre les
problèmes d’OPF sont les récursives techniques de programmation mixte en nombres entiers
en utilisant une méthode d'approximation et la méthode de branch and bound (B & B)[8], qui est
une méthode typique de programmation en nombres entiers. Une technique de décomposition
est généralement adoptée pour décomposer le problème de MIP en un problème continu et un
problème entier. Les méthodes de décomposition comme la méthode de décomposition de
Bender (BDM) peuvent considérablement améliorer l'efficacité dans la résolution d'un réseau à
large échelle en réduisant les dimensions des sous-problèmes individuels. Les résultats montrent
une réduction significative du nombre d'itérations, nécessaire temps de calcul, et d'espace
mémoire. En outre, la décomposition permet l'application d'une méthode différente pour la
solution de chaque sous-problème, ce qui rend l'approche très intéressante. Une programmation
mixte en nombres entiers peut être utilisée pour résoudre le problème OPF, ainsi que la
reconfiguration optimale d’un réseau électrique de distribution.
1.3.1.8. Programmation
Programming) :
de
l’écoulement
du
réseau
électrique
(Network
Flow
Programmation
de l’écoulement du réseau électrique (NFP en anglais) est une
programmation linéaire spéciale. Elle a été premièrement appliquée pour résoudre les problèmes
d'optimisation dans les systèmes d’énergie électrique dans les années 1980. Les premières
applications de la NFP étaient principalement sur un modèle linéaire. Récemment, une
programmation de l’écoulement du réseau électrique convexe non linéaire a été utilisée dans
les problèmes d'optimisation des systèmes d'énergie électrique. Les algorithmes de base de NFP
ont les caractéristiques de vitesse rapide et calcul simple. Ces méthodes sont efficaces pour
résoudre des problèmes d’OPF simplifiés tels que le dispatching économique des contraintes de
sécurité, le dispatching économique des systèmes multi-espaces et la reconfiguration optimale
d'un réseau électrique de distribution.
1.3.2. Méthode de recherche intelligente :
1.3.2.1 Optimisation du réseau de neurones (Optimization Neural Network) :
Optimisation du réseau de neurones (ONN) a été d’abord utilisée pour résoudre les
problèmes de programmation linéaire en 1986 [8]. Récemment, l’ONN a été étendue pour
résoudre les problèmes de programmation non linéaire. ONN est complètement différente de
méthodes d'optimisation classiques. Elle change la solution d'un problème d'optimisation en un
point d'équilibre (ou état d'équilibre) du système dynamique non linéaire, et change le critère
optimal dans les fonctions d'énergies pour des systèmes dynamiques. En raison de sa structure de
calcul parallèle et l'évolution de la dynamique, l'approche ONN apparaît distinguée aux
11
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
méthodes d'optimisation classiques. Elle est appliquée pour résoudre le dispatching économique
classique, le dispatching économique des systèmes multi-espaces, et l'optimisation de la
puissance réactive[16].
1.3.2.2. Algorithmes évolutionnaires (Evolutionary Algorithms EAs) :
L'évolution naturelle est de base d’une population du processus d'optimisation. Les
algorithmes évolutionnaires (AEs) sont différentes des méthodes d'optimisation classiques, et ils
n'ont pas besoin de différencier la fonction de coût et les contraintes. Théoriquement, comme le
recuit simulé, les AEs convergent vers la solution optimale globale. AEs, y compris la
programmation évolutionnaire (EP), de la stratégie évolutionnaire (ES), et AG[39,40] sont des
méthodes d'intelligence artificielle pour optimisation basée sur les mécaniques de la sélection
naturelle, comme la mutation, la recombinaison, la reproduction, croisement, sélection, etc.
Depuis AEs exigent que tous les renseignements à inclure dans la fonction fitness, il est très
difficile de considérer toutes les contraintes OPF. Ainsi AEs sont généralement utilisés pour
résoudre un problème d’OPF simplifié tel que le dispatching économique classique, le
dispatching économique des puissances avec contraintes de sécurité, le problème d'optimisation
réactive, ainsi que la reconfiguration optimale d'un réseau de distribution électrique.
1.3.2.3. Optimisation essaim de particules (Particle Swarm Optimization PSO) :
L’optimisation essaim de particules (OEP) est un algorithme d'intelligence en essaim,
inspiré par la dynamique sociale et un comportement émergeant qui se pose dans les colonies
socialement organisée. L'algorithme OEP exploite une population d'individus à sonder les
régions prometteuses de l'espace de recherche. Dans ce contexte, la population est appelée un
essaim et les individus sont appelés particules ou agents. Ces dernières années, différents
algorithmes OEP ont été appliqués avec succès dans de nombreux problèmes d'ingénierie
électrique, y compris OPF [11,16].
1.4. Optimisation colonie de fourmis (Ant colony Optimization ACO) :
L’optimisation par colonies de fourmis est une métaheuristique qui prennent l'inspiration du
comportement de vraies colonies de fourmi dans lequel une colonie de fourmis artificielles
coopère de trouver de bonnes solutions à des problèmes d’optimisation discrets difficiles. Elle
est élaborée en 1992 par Dorigo Marco où le choix est d'affecter les ressources de calcul à un
ensemble relativement simples agents (fourmis artificielles). Les bonnes solutions sont une
propriété émergente des agents d’interaction coopérative.
Les algorithmes ACO peuvent être utilisés pour résoudre à la fois les problèmes
d’optimisation combinatoires statique et dynamique. Problèmes statiques sont ceux dans lesquels
les caractéristiques du problème sont données une fois pour toutes lorsque le problème est défini,
et ne changent pas alors que le problème est résolu. Au contraire, les problèmes dynamiques sont
définis en fonction de certaines quantités dont la valeur est fixée par la dynamique d'un système
sous-jacent. Les changements instance du problème donc au moment de l'exécution et
l’algorithme d'optimisation doit être capable de s'adapter en ligne à l'environnement
changeant[24,41].
12
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.5. Recherche Tabou (Tabou Search TS) :
L’algorithme de recherche tabou (TS) a été proposé pour la première fois par Fred Glover
dans les années 80. Il est principalement utilisé pour la résolution des problèmes d'optimisation
combinatoire. Il est un algorithme de recherche itératif, caractérisé par l'utilisation d'une
mémoire flexible dans laquelle elle conserve un certain nombre d’états visités précédemment
avec un certain nombre d’états qui pourraient être considérés comme indésirables. Cette
information est stockée dans une liste taboue. La définition d’un état, la zone autour d’elle et la
longueur de la liste Tabou sont des paramètres de conception critiques. Il est capable d'éliminer
les minimums locaux et de rechercher les zones au-delà un minimum local. La méthode de
recherche Tabou est aussi principalement utilisée pour résoudre une simplification des
problèmes d’OPF tels que l'engagement unitaire et les problèmes d'optimisation réactive[2,16].
1.6. Recuit Simulé (Simulated Annealing) :
Le recuit simulé est souvent présenté comme la plus ancienne des métaheuristiques, en tout
cas, la première à mettre spécifiquement en œuvre une stratégie d’éviter les minimums locaux
(Kirkpatrick, Gelatt, Vecchi, 1983). Elle inspirée d'un processus utilisé en métallurgie qui, pour
obtenir un alliage sans défaut. On alterne dans cette dernière des cycles de refroidissement lent et
de réchauffage (recuit) qui ont pour effet de minimiser l'énergie du matériau. Cette méthode est
transposée en optimisation pour trouver les extrema d'une fonction[2].
1.7. Application de la théorie des ensembles flous :
Les données et les paramètres utilisés dans le fonctionnement du système d'énergie sont
généralement issus de nombreuses sources, avec un écart important dans leur exactitude. Par
exemple, bien que la charge moyenne soit généralement appliquée dans les problèmes du
système d'énergie, la charge réelle devrait suivre quelques variations incertaines. En outre, les
coûts de carburant du générateur, des compensateurs VAR, et les économies d'énergie de pointe
peuvent être l’objet à l'incertitude dans un certain degré. Par conséquent, les incertitudes dues à
l'information insuffisante peuvent générer une région incertaine de décisions. Par conséquent, la
validité des résultats de valeurs moyennes ne peut pas représenter le niveau d'incertitude. Pour
tenir compte des incertitudes dans l'information et des objectifs liés à multiplier et généralement
des objectifs contradictoires dans l'optimisation du système d’énergie, l'utilisation de la théorie
des probabilités, la théorie des ensembles flous, et le processus hiérarchique analytique peuvent
jouer un rôle important dans l’application de la décision[16].
Les ensembles flous peuvent être attribués non seulement aux fonctions objectives, mais
aussi de contraintes, en particulier l'incertitude non probabiliste associée à la demande de
puissance réactive dans les contraintes. De manière générale, les paramètres de satisfaction
(ensembles flous) pour les objectifs et les contraintes représentent le degré de proximité de
l'optimum et le degré d'application des contraintes, respectivement. Avec la maximisation de ces
paramètres de satisfaction, l'objectif de l'optimisation est réalisé et, simultanément, les
incertitudes sont considérées.
Le processus hiérarchique analytique (AHP) est une méthode simple et pratique pour
analyser un problème complexe. Il est particulièrement adapté pour des problèmes qui sont très
13
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
difficiles à analyser quantitativement entière, comme OPF avec les objectifs de compétitivité, ou
de facteurs incertains. AHP est utilisé pour résoudre l'engagement unitaire, le dispatching
économique, OPF, optimisation VAR, délestage optimal, et analyse de l'incertitude dans le
système d’énergie électrique.
1.8. L’optimisation des puissances réactives et le contrôle des tensions :
Comme il est nécessaire dans un réseau électrique d’assurer la continuité de service avec une
bonne qualité de tension et une bonne répartition optimale de la puissance réactive. Nous
essayons dans ce sous chapitre d’expliciter les différentes méthodes et les moyens au but de
contrôler et de corriger la tension dans les différents nœuds du réseau et d’assurer une meilleure
réserve de la puissance réactive.
1.8.1. Actions correctrices et règles heuristiques [15] :
Pour déterminer les actions correctrices et les règles heuristiques, il est nécessaire tout
d’abord, de connaître les tensions dépassant une de leurs limites soit supérieure ou inférieure.
Pour la correction de cette tension, il est nécessaire d’adopter une stratégie consistant à classer
les dépassements (en valeur absolue de la plus grande à la plus petite) des tensions qui posent un
problème par rapport aux limites supposées et de déterminer la tension qui devrait être corrigée
en priorité.
Pour la limite inférieure dépassée, les actions adoptées par ordre stratégique de la meilleure à
la moins bonne préférence sont :
a. La fermeture des lignes qui ont été ouvertes précédemment pour éliminer une violation
de tension.
b. La déconnexion des réactances qui sont connectées.
c. L’augmentation de la tension des groupes de génération.
d. L’augmentation de la tension du coté secondaire des transformateurs munis de régleurs
en charge (transformer taps).
e. La connexion des batteries de condensateurs.
f. La connexion des générateurs des centrales de secours.
Dans le cas où la limite supérieure est dépassée, l'ordre de préférences des contrôles est
comme suit :
a. La déconnexion des générateurs des centrales de secours qui ont été utilisés pour
corriger les tensions.
b. La diminution de la tension des groupes de génération.
c. La diminution de la tension du coté secondaire des transformateurs munis de
régleurs en charge (transformer taps).
d. La déconnexion des batteries de condensateurs.
e. La connexion des réactances qui se trouvent déconnectées.
f. L’ouverture des lignes pour lesquelles la déconnexion est permise.
14
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
Si, malgré la procédure appliquée dans l’un des deux cas, la violation persiste et ne peut pas
être corrigée avec les moyens disponibles, un délestage des charges est réalisé.
Mais ce dernier, n’est pas toujours le bienvenu du fait qu’un arrêt de l’alimentation électrique
peut provoquer des conséquences tant économiques que sécuritaires. Pour cela et afin que le
traitement des différents contrôles donne une solution efficace et suffisamment rapide, il est
nécessaire d’utiliser des règles heuristiques et / ou numérique répondant aux critères suivants :
Utiliser toujours le contrôle le plus près géographiquement, jusqu’à la correction de la
tension. Si, cela s’avère insuffisant, continuer avec le contrôle suivant.
Donner toujours la priorité à l’utilisation des groupes de production, aux transformateurs
et aux batteries de condensateurs, dans cet ordre.
Etablir un critère qui permet de classer et de comparer l'efficacité des différents contrôles.
Etablir un processus d’optimisation, en respectant certaines contraintes.
1.9.2. Les variables de contrôle [14,15, 43,44] :
Les différentes variables de contrôle les plus fréquentes et les plus efficaces dans la
correction des tensions sont : Les tensions de consigne des groupes de génération, en premier
lieu, les transformateurs avec régleurs en charge, les batteries de condensateurs avec plusieurs
gradins et les dispositifs FACTS « Flexible Alternating Current Transmission Systems ». Selon
la topologie du réseau, des règles générales ou particulières sur ces moyens d’action peuvent être
établies.
1.9.2.1. Les groupes de production :
Les groupes de production sont bien situés pour satisfaire le réseau en énergie réactive. Ils
jouent un rôle essentiel, en raison, du volume important de Mvar qu’ils peuvent échanger avec le
réseau et de leurs performances dynamiques. Ils font face aux variations brusques et aléatoires
des charges, réalisent à chaque instant l’ajustement de l’offre à la demande de la puissance
réactive et assurent un réglage continu de la tension dans un temps très court. Par contre, ils ne
peuvent compenser que partiellement les charges réactives en raison des chutes de tension
importantes que créent les transits de puissances réactives sur les réseaux.
1.9.2.2. Les groupes de production de secours :
Le principal objectif des centrales de secours consiste à la fourniture de l’énergie durant les
heures de pointe et dans les cas d’urgence.
Néanmoins, la connexion des générateurs des centrales de secours au réseau, doit être assurée
que dans des situations extrêmes afin de produire de la puissance réactive pour élever les
tensions.
Les règles générales régissant la connexion ou la déconnexion d’un groupe de production de
secours sont les suivantes :
15
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
Connexion :
Si ≪
(urgence)
Et la tendance de la charge est favorable,
Et le groupe n’est pas en fonctionnement,
Et les générateurs, les transformateurs, et les batteries de condensateur ne sont pas capables de
résoudre la violation,
Et quand il est connecté, ne consomme pas de la puissance réactive,
Alors proposer la connexion du générateur.
Si le générateur est connecte au réseau, il se comportera comme n’importe quel autre générateur.
Déconnexion :
Si
≫
(urgence)
Et il est passé un temps minimum, durant lequel le groupe a été connecté,
Et la tendance de la charge est favorable,
Et il a été mis en service pour élever les tensions,
Alors proposer la déconnexion du groupe de secours.
1.9.2.3. Les transformateurs avec régleurs en charge :
Les variations des tensions du réseau sont étroitement liées aux fluctuations de la puissance
réactive dans le système de production, de transport et de distribution. Ces variations de tension
sont contrôlées par les sources de production de la puissance réactive, et des transformateurs
avec régleurs en charge (ULTC).
Les règles proposées déterminent la position du régleur en charge ULTC du transformateur
pour maintenir, dans la mesure du possible, la tension dans les limites admissibles.
Si
<
Et le générateur est incapable de résoudre la violation,
Et la tendance de la charge est favorable,
Et la position du régleur en charge est inadéquate,
Alors changer la position du régleur en charge du transformateur.
16
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
Si
Et la tendance de la charge est favorable
Et changer la position du régleur en charge ne doit pas provoquer d'autres violations de tension,
Alors changer la position du régleur en charge du transformateur ULTC.
1.9.2.4. Les batteries de condensateurs :
Elles ont pour rôle de fournir une partie de l’énergie réactive consommée par les charges
dans le réseau, de maintenir la tension dans ses limites et de limiter les pertes actives afin de
corriger le facteur de puissance dans le cas de fortes charges inductives. En générale, une batterie
de condensateur est composée de 3 gradins dont chacun est composé de 6 éléments (figure
1.1)[14,42]. On distingue deux types:
1. Des batteries de condensateurs HT, raccordées aux jeux de barres HT des postes THT/HT.
Elles sont essentiellement destinées à compenser les pertes réactives sur les réseaux HT et THT.
2. Des batteries de condensateurs MT, raccordées aux jeux de barres MT des postes HT/MT ou
THT/MT. Ces batteries servent à compenser l’appel global de 1'energie réactive des réseaux de
distribution aux réseaux de transport. Elles sont localisées et dimensionnées individuellement en
fonction du réglage de tension
Figure (1.1) : Représentation d’un gradin d’une batterie de condensateur
Les règles générales régissant la connexion et la déconnexion de ces éléments sont les
suivantes:
Connexion :
Si
<
Et les générateurs, et les transformateurs ne sont pas capables de résoudre la violation,
17
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
Et la tendance de la charge est favorable,
Et la connexion ne provoque pas d'autres violations,
Alors connecter les condensateurs.
Déconnexion :
Si
Et la tendance de la charge est favorable,
Et la déconnexion ne provoque pas d'autres violations,
Alors déconnecter les condensateurs.
1.9.2.5. Les réactances (selfs) [15] :
En général, les selfs sont connectées durant les heures creuses, afin d’éviter la sous excitation
des générateurs et compenser l’excès de la puissance réactive générée par le réseau de transport.
Elles sont, soit directement raccordées au réseau, soit branchées sur les tertiaires des
transformateurs. Par conséquent, elles permettent de limiter les surtensions dans le
réseau[14,43,44]. D’autre part, l’existence dans le réseau de plusieurs selfs, nous oblige de
décider, quelle est la self la plus efficace pour corriger une tension bien déterminée. Les règles
générales obéissant l’utilisation des selfs, sont les suivantes :
Connexion :
Si
Et les générateurs, les transformateurs et les condensateurs ne sont pas capables de résoudre la
violation, Et le contrôle des tensions,
Et la tendance de la charge est favorable,
Et sa connexion ne provoque pas qu’une autre tension ne dépasse sa limite inférieure, en une
quantité supérieure à la violation qu’on a voulu corriger,
Et il existe des générateurs, capables de résoudre cette hypothétique violation dans le cas ou elle
se produit.
Alors connecter la self,
Et déterminer les actions sur les générateurs, si, c’est nécessaire.
Déconnexion :
Si
<
Et la tendance de la charge est favorable,
Et il est passé un temps minimum, durant lequel la self a été connectée,
18
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
Et sa déconnexion ne provoque pas d'autres violations,
Alors déconnecter la self.
Remarque :
•
•
Eviter l’utilisation excessive des selfs.
Eviter que la connexion d’une self crée d’autres violations de tension plus graves
que celles à corriger.
1.9.2.6. Les lignes :
Il existe des conditions très strictes pour l’ouverture des lignes. C’est le dernier recours à
utiliser pendant les heures creuses ou pendant une urgence. L’ouverture de la ligne se fait
seulement à proximité du nœud où la tension est très supérieure à sa limite supérieure. Les règles
pour l’ouverture et la fermeture des lignes sont les suivantes :
Ouverture :
Si
≫
(limite d’urgence)
Et la tendance de la charge est favorable,
Et les autres contrôles ne sont pas capables de résoudre la violation,
Et il est passé un temps minimum, durant lequel la ligne à été connectée pour la dernière fois,
Et transporte une puissance inférieure à un pourcentage de sa capacité totale, (généralement
presque 30%)
Alors proposer l’ouverture de la ligne,
Et déterminer les actions sur les autres contrôles si c’est nécessaire.
Fermeture :
Si la ligne a été ouverte pour corriger un problème de tension,
Et il est passé un temps minimum, durant lequel la ligne à été ouverte,
Et la tendance de la charge est favorable,
Et les autres contrôles ne sont pas capables de résoudre la violation,
Et sa mise en service ne provoque qu’aucune tension ne dépassant sa limite supérieure
d’urgence,
Alors proposer la fermeture de ligne,
Et déterminer les actions sur les autres contrôles si c’est nécessaire.
19
Chapitre 1
Etude de l’état de l’art de l’optimisation et le contrôle de la tension
1.9.2.7. Les dispositifs FACTS :
Une étude sera faite pour évaluer si l'utilisation de ces équipements est intéressante et
rentable dans certains cas. Dans ce domaine, il n’y a aucune des solutions standardisées, à
l'exception des faits qui sont couramment utilisés.
Les deux principales raisons qui justifient l'installation de dispositifs FACTS dans les
réseaux électriques sont les suivantes:
a. Augmentation de la limite de la stabilité dynamique (stabilité
transitoire, stabilité de tension).
b. Maîtrise efficace des transits de puissances.
1.10. Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons présenté l’état de l’art et l’historique de l’optimisation en
exposant les plus célèbres méthodes. Puis, nous avons discuté le contrôle des tensions afin
d’assurer à la fois une bonne continuité de service et une bonne qualité de tension avec une
bonne répartition optimale de la puissance réactive à l’aide des dispositifs de contrôle en
respectant les limites permises de fonctionnement de la tension. On doit tenir compte que les
problèmes de tension doivent être corrigés localement, étant donné, que la majorité des moyens
qu’on peut prendre pour résoudre ces problèmes ont une étendue fondamentalement locale.
20
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
2.1. Introduction :
Depuis de nombreuses années, le développement de l’énergie électrique dans le monde a
conduit à un vaste système de production, transport et distribution d’énergie électrique. Ce
système a été en très grande partie conditionné par une contrainte très forte : l’énergie électrique
étant très difficilement stockable, elle doit être acheminée en temps réel des centres de
production vers les consommateurs finaux, industriels ou domestiques.
L’étude de réseaux électriques porte une attention toute particulière afin d’améliorer leur
dimensionnement, leur qualité, leur sécurité et leurs performances. C’est pour cela, l’analyse
d’un système électro-énergétique consiste à représenter son fonctionnement d’une manière plus
ou moins précise et fiable en s’appuyant sur les outils descriptifs et mathématiques qui
permettent d’approcher le comportement de système (de toutes les parties de l’installation). Cette
phase de substitution selon « modélisation ».
2.2. Généralités sur les réseaux électriques :
La fonction générale d’un réseau électrique est d’acheminer l’énergie électrique des
centres de production jusque chez les consommateurs et d’assurer la liaison à tout instant dans
l’équilibre production-consommation.[45]
De plus, le réseau a un rôle de transformation, puisqu’il doit permettre de livrer aux utilisateurs
un bien de consommation adapté à leurs besoins, le produit électricité, caractérisé par :
une puissance disponible, fonction des besoins quantitatifs du client ;
une tension fixée, fonction de cette puissance et du type de clientèle ;
une qualité traduisant la capacité à respecter les valeurs et la forme prévues de ces deux
paramètres et à les maintenir dans le temps.
2.2.1. Caractéristiques du réseau :
Cependant, chaque réseau présente les caractéristiques suivantes :
sa finalité
son niveau de tension
sa structure
2.2.1.1. Finalité du réseau :
Le réseau électrique à plusieurs fonctions dont [46] :
Une fonction de transport dont le but est d’acheminer l’électricité des centrales de
production aux grandes zones de consommation.
Une fonction d’interconnexion nationale qui gère la répartition de l’offre en orientant la
production en fonction de la répartition géographique et temporelle de la demande.
21
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
Une fonction d’interconnexion internationale qui gère les flux d’énergie entre les pays en
fonction d’échanges programmés ou à titre de secours. (par exemple l’interconnexion
entre l’Algérie/Tunisie et l’Algérie/Europe [au future par un réseau de 400kv]).
2.2.1.2. Niveaux de tension :
Il n’existe aucune structure unique à travers le monde, et que le découpage en plusieurs
réseaux avec les niveaux de tension associés peut être différent selon les pays. Mais en
général, le nombre de niveaux de tensions est limité à trois:
La basse tension (BT) 220V/380V.
La moyenne tension (HTA) 5.5KV/10KV/50KV.
Haute tension (HTB) 60KV/ 90KV/ 220KV /400KV.
Les réseaux électriques sont hiérarchisés : (figure 2.1) d'une façon générale, la plupart des
pays mettent en œuvre :
Un réseau de transport THT : 220 …….. 800 KV
Un réseau de répartition HT : 60 ……...170 KV
Un réseau de distribution MT : 5 ……... 36 KV (selon CEI)
Un réseau de livraison de l'abonné BT : 400/230 V
Cette hiérarchie c'est-à-dire, les niveaux de tensions utilisés varient considérablement d'un
pays à l'autre en fonction des paramètres liés à l'histoire électrotechnique du pays, ses ressources
énergétiques, sa surface et finalement des critères technico-économiques.[47]
Figure (2.1) : Hiérarchisation d’un réseau
22
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
Où :
AT : autotransformateur
BT : basse tension
HT : haute tension
MT : moyenne tension
THT : très haute tension
D’après SONELGAZ, la nouvelle appellation des valeurs de tension normalisée sont les
suivantes sur le réseau algérien [48]:
HTB (Haute Tension B) : la tension nominale U est supérieure à 50KV, tension du
"Grand transport" ;
HTA (Haute Tension A) : la tension nominale U est comprise entre 1KV et 50KV,
Tension de certaines portions du réseau de répartition ;
BTB (Basse Tension B) : la tension nominale U est comprise entre 500V et 1KV ;
BTA (Basse Tension A) : la tension nominale U est comprise entre 50V et 500V. C'est la
tension du secteur, équivalent à l'ancien BT.
TBT (Très Basse Tension) : la tension nominale est inférieure à 50V. C’est pour les
courants dits "faibles".
2.2.1.3. Structure et topologie des réseaux :
Les réseaux électriques peuvent être organisés selon plusieurs types de structures exposées
ci-dessous :
Structure maillée : les postes électriques sont reliés entre eux par de nombreuses lignes
électriques, apportant une grande sécurité d'alimentation. C’est un réseau de
transport (figure 2.2.a).
structure radiale ou bouclée: la sécurité d'alimentation, bien qu'inférieure à celle
de la structure maillée, reste élevée. C’est un réseau de répartition assurant à
l’échelle régionale la fourniture de l’électricité (figure 2.2.b).
structure arborescente : cette structure est beaucoup moins sécurisée parce que un
problème dans le poste amont de l'arbre et tous les postes en aval sont isolés du reste du
réseau. C’est un réseau de distribution ou le but est d’alimenter l’ensemble des
consommateurs (figure 2.2.c). Il existe deux sous niveaux de tension :
• Les réseaux à moyenne tension (de 3 à 33 KV) ;
• Les réseaux à basse tension (de 110 à 600 V), sur lesquels sont raccordés
les utilisateurs domestiques.
Chaque type de structure possède des spécifiés et des modes d'exploitation particulièrement
différents. Les grands réseaux d'énergie utilisent tous ces types de structure. Dans les niveaux de
tension les plus élevés, on utilise la structure maillée : c'est le réseau de transport. Dans les
23
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
niveaux de tension inférieurs, la structure bouclée est utilisée en parallèle avec la structure
maillée : c'est le réseau de répartition. Enfin, pour les plus bas niveaux de tension, la structure
arborescente est presque exclusivement utilisée : c'est le réseau de distribution.
(a) : Structure maillée
(b) : structure radiale ou bouclée
(c) : structure arborescente
Figure (2.2) : Différentes structures d’un réseau électrique
2.3. Différents éléments d’un réseau électrique :
Un réseau électrique est un ensemble d’infrastructures permettant d’acheminer l’énergie
électrique des centrales de production vers les consommateurs d’électricité. Il est composé de
centrales électriques, de transformateurs et de lignes. Il a en général une stabilité globale qui se
manifeste par un équilibre à grande échelle dans le temps et dans l’espace de l’ensemble du
système production/transport/consommation.
Production= consommation+ pertes
2.4. Modélisation des réseaux électriques:
Ce chapitre est une introduction au chapitre suivant dont lequel on discute les problèmes de
la répartition d’énergie électrique. Donc, il faut avoir un modèle mathématique de celui-ci qui est
constitué principalement de :
Générateurs d’énergie électrique
Consommateurs d’énergie
Lignes de transport
transformateurs
Dans notre travail, la modélisation des différents paramètres du réseau est représentée dans
le tableau (2.1) :
24
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
Composants
Symbole
Générateurs
Représentation
Observation
Puissance
active et
réactive
générées
,
Nœud i
Lignes du
réseau
Nœud i
Nœud j
2
2
i
Nœud i
Transformateurs
avec régleur en
charge (taps)
La charge
j
Nœud j
1 1
1
1
1
Nœud i
,
,
Les
puissances
actives
et
réactives
sont fixes
Tableau (2.1) : différents paramètres du réseau
2.4.1. Le but de la modélisation :
Le but de la modélisation est de trouver un modèle mathématique d’un système physique en
remplaçant tous ses composants par leurs équivalents afin de représenter son fonctionnement
d’une manière précise et fiable. Pour un réseau électrique, on doit schématiser l’ensemble des
éléments qui le constituent (générateurs, transformateurs, lignes, charges, ….), après avoir
remplacé chacun par son modèle équivalent.
2.4.2. Modélisation des générateurs :
Puisque le générateur fonctionne en régime permanent, il délivre une certaine puissance
active « PG » sous une tension maintenue constante (à l’aide d’un régulateur de tension). Il peut
être modélisé par une puissance constante « PG » et un module de tension constant « VG » ce
qui correspond au type « PV » (bien détaillé au chapitre 3).dans ce type de nœud, les puissances
active et réactive sont maintenues entre certaines limites dites contraintes de fonctionnement.
(2.1)
25
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
(2.2)
Où :
,
: les limites minimales des puissances actives et réactives générées .
,
: les limites maximales des puissances actives et réactives générées.
Un de ce type de générateurs, typiquement le plus puissant est défini comme étant le « nœud
balancier » en anglais « slack bus ou swing bus » et au niveau duquel la tension est connue en
module et en argument ; les puissances active et réactive calculées par la suite doivent couvrir
toutes les pertes dans le réseau électrique.
2.4.3. Modélisation des transformateurs :
Un transformateur inséré dans une liaison électrique quelconque d’un réseau donne la
possibilité de réguler la tension en un point donné de celui-ci. Le changement du rapport de
transformation entraine une variation de la tension au secondaire et par conséquent, une
influence sur l’écoulement de puissance.
Un transformateur avec un rapport nominal de transformation « a » entre deux nœuds i et j,
peut être représenté par une impédance ou une admittance
connectée en série avec un
autotransformateur idéal comme le montre la figure (2.3).
Figure (2.3) : Modèle d’un transformateur
Le transformateur de la figure (2.4) peut être représenté comme un circuit équivalent en π .
i
j
Figure (2.4) : Transformateur sous forme un circuit équivalent en π
26
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
Calcul les courants Ii, Ij :
D’après la figure (2.3). On aura :
!
"#
!
" .#
.# %
&'(
(2.3)
#%
&'(
(2.4)
)
Avec :
#
#
Détermination de A, B et C :
D’après la figure (2.4). On aura :
!
!* + !,
"#
# %. - + # . B
(2.5)
I0
I1 + I2
"E0
E4 %. A + E0 . C
(2.6)
Pour déterminer A,B et C, le calcul est basé sur les conditions initiales suivantes :
E4 = 0 et E0 =1
De l’équation (2.3), on aura : I4
789:
;
et de l’équation (2.5), on aura : I4
A
Donc, par analogie, on obtient :
89:
A
De l’équation (2.4), on aura : I0
et de l’équation (2.6), on aura : I0
Par analogie, on aura :
égale à :
(2.7)
;
,
A + C,
- + < et en remplaçant A par (2.7), on tire la valeur de C qui est
>
=1 − ?
<
(2.8)
Pour déterminer B, nous égalisons les équations (2.3) et (2.5). Ensuite, nous substituons A par
(2.7), on aura :
(# − . # ).
&'(
)
"#
# %.
&'(
+# .B
(2.9)
27
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
D’où :
B
> >
=
1? .
(2.10)
2.4.3.1. Schéma final avec tous les paramètres :
j
D
i
!
!
1 1
1 .D
D
1
1
Figure (2.5)
Dans le cas particulier où a= 1, on aura les valeurs suivantes :
-
,
B=0,
C=0
Nous constatons que l’admittance de liaison entre les nœuds i et j se réduit à l’admittance
de la ligne, et par la suite, il n’y a aucune influence sur l’écoulement de la charge.
Par contre, dans le cas où le rapport de transformateur est différent de l’unité @ C 1A ,
l’admittance de liaison se subdivisera en trois : une, en serie et deux autres, en parallèle. Ce qui
entraine une modification totale de l’écoulement de puissances.
2.4.4. Modélisation des lignes électriques :
La meilleure façon de présenter une ligne de transport ou un câble, reliant deux nœuds i et
j, est le schéma en PI « π» symétrique.
Figure (2.6) : Schéma équivalent d’une ligne
28
Chapitre 2
Modélisation des réseaux électriques
dont l’impédance série de la ligne « ij » est :
E
F + GH
Et l’admittance shunt par rapport à la terre est :
(2.11)
&'(
I
Où :
J + GB
(2.12)
2.4.5. Modélisation des charges électriques:
Souvent la charge électrique est modelée sous forme d’une impédance constante. La
plupart des charges représentent une sous-station, en particulier un système de distribution ;
ainsi, ces impédances de charges sont connectées au réseau électrique à travers un transformateur
à prises de charge (figure 2.7), donc le niveau de tension de l’impédance est maintenu
approximativement constant. Dans ce cas, les puissances actives et réactives de la charge
peuvent être représentées par des valeurs constantes.[31]
PL + jQ L
VLe
jθ L
Transforma teur
G
jB
Figure (2.7) : Modèle d’une charge électrique sous forme d’une impédance constante.
Pour simplifier les calculs de l’écoulement de puissance, il est commode de représenter les
charges par leur puissance active et réactive ; les autres variantes qui permettent de les
déterminer sont aussi valables (facteur de puissance, courant …etc).
2.5. Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons abordé quelques notions générales sur le réseau électrique ainsi
la modélisation de ses déférents éléments. Cette dernière qui est une tâche très importante dans
l’étude des réseaux électriques surtout dans le problème de la répartition des charges.
29
Chapitre 3
Répartition des charges
3.1. Introduction :
La répartition des charges (load flow ou power flow) est l’un des principaux problèmes qui se
pose aux gestionnaires d’un système de production-transport d’énergie électrique. Dans tout
ensemble de centrales électriques alimentant un ensemble de consommateurs par l’intermédiaire
d’un réseau de transport maillé, on doit déterminer la répartition des puissances fournies par ces
centrales, à un instant donné, tout en respectant un ensemble de contraintes techniques et
économiques.
Pour résoudre le problème de la répartition des charges, il faut déterminer les valeurs du
module et de la phase de la tension en chaque nœud du réseau pour des conditions de
fonctionnement données. Ce qui nous permettra de calculer les puissances transitées, générées et
les pertes. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de déterminer les conditions de
l’opération en régime permanent d’un système de puissance, qui sont :
La formulation d’un modèle mathématique approprié.
La spécification d’un certain nombre de variables et de contraintes dans les nœuds du
système.
La résolution numérique du système.
3.2. Répartition des charges :
Considérons un réseau électrique de n nœuds. Les équations reliant les tensions nodales et
les courants injectés forment un système linéaire d’ordre n :
I=Y.V
=∑
. Avec : i=1,….,n
(3.1)
Où :
Y : matrice d’admittance nodale du réseau.
V : vecteur colonne des tensions en chaque nœud.
I : vecteur colonne des courants injectés en chaque nœud.
Pour résoudre ce système d’équations linéaires, on doit imposer à chaque nœud soit la
tension soit le courant injecté.
Donc, le système est connu par les puissances apparentes injectées. Les n équations
complexes se décomposent en 2n équations réelles :
∗
=
=
+
−
=
=
.
∗
∗
.∑
.
(3.2)
(3.3)
On peut exprimer les tensions :
30
Chapitre 3
Répartition des charges
a. En forme des coordonnées polaires (les plus utilisées) :
=
=
∑
b. En forme cartésienne :
=
,
,
=
∑
∑
∑
+
−
+
+
−
−
∑
∑
+
+
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Avec :
: le module et la phase de la tension au nœud i ;
: les puissances active et réactive injectées au nœud i ;
+
=
: l’élément complexe
−
de la matrice des admittances ;
: la différence des phases entre les nœuds i et j ;
, : la partie réelle et imaginaire respectivement de la tension au nœud i ;
, : la partie réelle et imaginaire respectivement de la tension au nœud j ;
On associe à chaque nœud quatre variables qui sont: , , , . Si on connaît deux des
quatre variables en chaque nœud, les équations (3.4) et (3.5) nous permettent de déterminer les
deux autres. Mais en pratique, le problème est plus compliqué. Car il faut définir les conditions
de fonctionnement du réseau. Ces dernières affectent les grandeurs électriques relatives aux
nœuds du réseau. Pour cela, il faut classifier les nœuds du système comme suit :
Les nœuds producteurs (nœuds PP-V) :
Généralement, ces nœuds sont associés aux centrales de production où la puissance active
P et le module de la tension V sont connus. Il restera à déterminer les deux autres paramètres
(puissances réactives générées Q en ce nœud et l’angle de phase).
Les nœuds consommateurs (nœuds PP-Q) :
Ces nœuds sont associés aux charges. Ces dernières ne sont pas caractérisées par leur
impédance, mais par leur consommation des puissances active et réactive. Donc, il faut
déterminer le module et la phase de la tension.
Le nœud bilan (nœuds VV-!)) :
Le nœud de bilan est associé à la centrale de production la plus puissante. Pour un régime
bien déterminé, les pertes d’énergie échappent au contrôle de l’exploitant du réseau. Donc, on est
obligé de laisser varier la production de la puissance active de l’une des centrales afin de
satisfaire l’égalité production égale à la consommation plus les pertes. Le nœud associé à cette
31
Chapitre 3
Répartition des charges
centrale appelé nœud de référence ou nœud balancier est caractérisé par le module de sa tension
V et sa phase .
est souvent prise comme origines des phases et posée égale à zéro. Donc, les valeurs à
déterminées sont les puissances active et réactive.
En résumé, le problème se pose sous la forme suivante :
Type de nœud
Les connus
Noeuds producteurs
P et V
Noeuds consommateurs
P et Q
Noeud balancier (slack bus)
V et Les inconnus
(à calculer)
Q et
V et
P et Q
Tableau (3.1) : Classification des nœuds
Puisque les tensions ne sont pas contrôlables pratiquement. Alors, le système mathématique
cité dans (3.1) devient un système non linéaire et sa résolution fait appel à des méthodes
numériques telles que :
Les méthodes itératives : on peut citer la méthode de Ward-Hall, de Gausse-Seidel, de
relaxation,... etc.
Les méthodes variationnelles : découlant de la méthode de Newton-Raphson ou encore
de la méthode du Jacobien.
Les Méthodes découplées de Newton.
3.3. Classification des variables et des contraintes d’un système :[49]
La complexité du système électrique est directement proportionnelle aux nombres des nœuds
qu’il contient. Pour cela, afin de faciliter les calculs et expliquer le fonctionnement correct des
grands systèmes, il faut classifier les différentes variables et contraintes.
3.3.1. Classification des variables:
Généralement, le fonctionnement du système électrique peut être décrit en fonction de six
variables pour chaque nœud considéré :
"
#
,
,
"
#
: Puissances active et réactive consommées au nœud i.
: Puissances active et réactive générées au nœud i.
: Module de la tension au nœud i.
: Angle de phase au nœud i.
32
Chapitre 3
Répartition des charges
Ces variables sont généralement divisées en trois groupes :
Les variables incontrôlables : Ce sont les puissances actives et réactives liées à la
consommation. Ces variables sont représentées par un vecteur P.
Les variables indépendantes ou de contrôle : Ce sont généralement les puissances actives
et réactive générées. On peut aussi, selon des cas, considérer des tensions aux nœuds de
génération ou les rapports de transformation des transformateurs avec régleur en charge,
comme variable de contrôle. Ces variables sont représentées par un vecteur U.
Les variables dépendantes ou d’état : Les tensions en module et en phase représentant
l’état du système. Ces variables sont représentées par un vecteur X.
3.3.2. Classification des contraintes :
Les contraintes sont faciles à définir, parce qu’elles sont liées à la nature physique des
éléments du réseau. On distingue les contraintes sur les variables dépendantes, dites contraintes
de sécurité et limites sur les variables indépendantes. Lors d’une répartition des charges ou une
optimisation, les contraintes doivent être vérifiées exactement, ce qui constitue un avantage dans
la plupart des résultats obtenus.
3.3.2.1. Contraintes sur les variables dépendantes :
Les contraintes liées à la sécurité des réseaux sont généralement:
3.3.2.1.1. Contraintes d’équilibre entre la production et la consommation :
En régime normal, et à tout moment, l’égalité entre la production et la consommation des
puissances active et réactive doit être assurée, soit :
∑
∑
%
%
#
#
−∑
−∑
$
$
"
"
−
−
& =0
& =0
(3.8)
(3.9)
&
: Pertes actives totales.
& : Pertes réactives totales.
" : Nombre de nœuds de consommation.
# : Nombre de nœuds de génération.
Toute atteinte à cet équilibre se répercute sur la valeur de la fréquence et les tensions du réseau.
3.3.2.1.2. Contraintes sur les modules de la tension :
Les conditions d’exploitation des réseaux fixent les limites :
des tensions maximales par la tenue diélectrique du matériel et la saturation des
transformateurs.
des tensions minimales par l’augmentation des pertes et le maintien de la stabilité des
alternateurs. On aura pour tous les nœuds, la condition suffisante et nécessaire à savoir :
33
Chapitre 3
Répartition des charges
'
≤
≤
')*
(3.10)
i= 1,…….n
Avec :
: Module de la tension au nœud i.
'
, ')* : Respectivement limites minimale et maximale de la tension.
Le respect des contraintes de tension est d’une importance primordiale pour la sécurité
d’exploitation et du matériel. Une violation de la limite supérieure que l’on observe parfois en
faible charge peut constituer un danger pour l’isolation du matériel. Par ailleurs, des tensions
trop basses nuisent à l’exploitation rationnelle du réseau, et peuvent conduire à son écroulement.
3.3.2.1.3. Contraintes sur la capacité de transit de la ligne :
La puissance transitée dans une ligne ne doit, en aucun cas, dépasser la limite maximale, soit :
≤
Avec :
=(
')*
,
+
(3.11)
,
)
.,
(3.12)
')*
: Puissance apparente transitée dans la ligne i - j.
: Puissance apparente maximale transitée dans la ligne i - j.
: Puissance active transitée dans la ligne i - j.
: Puissance réactive transitée dans la ligne i - j.
En général, à partir des contraintes des puissances transitées, nous déterminons les
contraintes de courant correspondant aux lignes et aux transformateurs. On limite les courants
transités pour des raisons de surcharge et de stabilité.
3.3.2.2. Contraintes sur les variables indépendantes :
Ces contraintes sont liées à la nature physique des éléments du réseau, soit :
3.3.2.2.1. Contraintes sur la production :
La puissance produite par chaque groupe est bornée supérieurement par la puissance
maximale qu’il peut fournir et inférieurement par le minimum, qui est conditionnée par le
rendement de ce groupe et les contraintes sur la turbine. Pour tous les nœuds de production, les
contraintes active et réactive sont :
'
/
'
/
≤
≤
/
/
≤
≤
')*
/
')*
/
(3.13)
(3.14)
i=1,……, ng
34
Chapitre 3
Répartition des charges
Avec :
#
: nombre de générateurs
3.3.2.2.2. Contraintes sur les rapports de transformation :
Le rapport de transformation des transformateurs avec régleur en charge, peut varier selon la
position du régleur. Ce dernier doit être limité entre deux bornes, minimale et maximale, soit :
01'
2:
≤ 01 ≤ 01')*
(3.15)
K=1,…..,
nombre de transformateur.
2
3.4. Méthodes numériques de résolution du problème de la répartition des charges:
Le système non linéaire des équations qui définissent le problème de la répartition des
charges nous oblige à l’utilisation des algorithmes itératifs. A partir d’une valeur initiale des
tensions et des phases, nous actualisons itérativement ses valeurs, jusqu’à la vérification du
critère d’arrêt.
Dans ce chapitre, nous avons cité les quatre méthodes suivantes :
Newton-Raphson.
Gauss-Seidel
Découplée de Newton.
Découplée rapide.
3.4.1. Méthode de Newton-Raphson :[16]
Elle nous permet de résoudre un système d’équation non linéaire en exprimant les
puissances active et réactive en fonction des tensions nodales.
Une équation non linéaire avec une seul variable peut écrit sous la forme :
(3) = 0
(3.16)
Pour résoudre cette équation, on sélectionne une valeur initiale x 6 . La différence entre la
valeur initiale et la solution finale sera ∆x 6 .
Alors : x = x 6 + ∆x 6 est la solution de l’équation non linéaire (3.16) qui est :
(3 6 + ∆3 6 ) = 0
(3.17)
Cette méthode se base sur le développement en série de Taylor, nous obtenons :
f 930 + ∆3 : = f x0 + f x0 ∆x + f x0
0
′
0
′′
2
(∆x0 )
2!
+ ⋯ + f(n) (x0 )
(∆x0 )
n!
n
+ ⋯(3.18)
35
Chapitre 3
Répartition des charges
Où f′ (3 6 )et f′′ (x6 ) sont les dérivées de la fonction f(x) par rapport àx0 . Si ∆3 6 est très
petit (ce qui signifie que la valeur initiale x 6 est proche à la solution de la fonction), les termes
de la dérivée seconde et supérieurs peut être négligés. Ainsi l'équation (3.18) devient une
équation linéaire comme ci-dessous:
f(x 6 +∆x 6 )= f(x 6 ) + f C (x 6 )∆x 6 = 0(3.19)
Ensuite, nous pouvons obtenir :
∆x 6 = − EH (FG )(3.20)
E(FG )
La nouvelle solution sera :
3 = 3 6 + ∆3 6 = 3 6 − IH (* G )(3.21)
I(* G )
Puisque l'équation (3.19) est une équation approximative, la valeur de ∆3 6 est aussi un
rapprochement. Ainsi, la solution x n'est pas une vraie solution. Les itérations supplémentaires
sont nécessaires. L'équation d'itération est :
3 1J = 3 1 + ∆3 1 = 3 1 −
I(* K )
I H (* K )
(3.22)
L'itération peut être arrêtée si l'une des conditions suivantes est remplie:
|∆3 1 | < N
ou
| (3 1 )| < N,
(3.23)
Où : N ,N, sont la précision de convergence autorisée (critère d’arrêt).
3.4.1.1. Application de la méthode pour le calcul de l’écoulement de puissance :[14,16,50]
Il est préférable d'utiliser les coordonnées polaires des équations de l’écoulement de
puissance citées au (3.4) et (3.5) comme point de départ pour faire apparaître les différentes
grandeurs qui caractérisent le réseau électrique.
Supposant que les nœuds 1 ~ m sont des nœuds PQ, les nœuds m + 1 ~ n - 1 sont des
nœuds PV et le n ièm nœud est le nœud référence. Les O sont donnés, et les amplitudes
des nœuds PV 'J ~ Q sont aussi données. Puis, les angles de n-1 nœuds de tension sont
inconnus, et les m amplitudes de la tension sont inconnues. Pour chaque nœud PV ou PQ nous
avons une équation de la déférence de la puissance active et réactive:
∆PS = PST − PSU = PST − VS ∑XW VW GSW cosθSW + BSW sinθSW = 0
(3.24)
36
Chapitre 3
Répartition des charges
Pour chaque nœud PQ, nous avons aussi l'équation de puissance réactive suivante:
∆Q S = QST − QSU = QST − VS ∑XW VW GSW sinθSW − BSW cosθSW = 0
(3.25)
Où :
PST , QST : les Puissances active et réactive spécifiées ou planifiées respectivement.
",
" : les Puissances active et réactive calculées respectivement.
Selon la méthode de Newton, les équations de l’écoulement de puissance (3.24) et (3.25)
peut être développées et suivant l’approximation au premier ordre peuvent être obtenues :
∆
∆
a b = −c d∆
e
.
∆
Ou a
Où :
∆
∆
gh
b = −f
ka Q
b
∆
ij
l ∆
∆
∆
∆ =m
∆
∆ =m
∆
∆
∆
∆
∆
∆ =m
∆
∆ =m
l
Avec :
= p
⋮
⋮
∆
∆
∆
⋮
⋱
,
o
(3.27)
,
o
(3.28)
,
o
(3.29)
,
o
(3.30)
Q
⋮
(3.26)
Q
Q
Q
'
r
H : est une matrice de taille (n-1)× (n-1), et ses éléments sont : HSW =
(3.31)
u∆vw
uxy
37
Chapitre 3
N : est une matrice de taille (n-1) × m, et ses éléments sont : NSW = VW
K : est une matrice de taille m×(n-1), et ses éléments sont : K SW =
L : est une matrice de taille m × m, et ses éléments sont : LSW = VW
Répartition des charges
u∆vw
u{y
u∆}w
uxy
u∆}w
u{y
3.4.1.2. Calcul des jacobiens :
Si • ≠ • :
Les expressions des éléments de la matrice Jacobienne sont :
g = −VS VW (GSW sinθSW − BSW cosθSW )(3.32)
h = −VS VW (GSW cosθSW − BSW sinθSW )(3.33)
i = VS VW (GSW cosθSW − BSW sinθSW )(3.34)
j = −VS VW (GSW sinθSW − BSW cosθSW )(3.35)
C’est-à-dire :
j = g (3.36)
i = −h (3.37)
Si • = • :
g =
,
i =
,
h = −
j =
,
,
+
−
−
−
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
3.4.1.3. Algorithme de Newton –Raphson :
Les étapes de calculer la répartition des charges sont comme suit :
Etape 1 : Introduction des données du réseau.
Etape 2 : Détermination de la matrice admittance.
38
Chapitre 3
Répartition des charges
Etape 3 : Supposer les valeurs initiales du nœud de tension.
Etape 4 : Calculer les différences de la puissance active et réactive selon des équations (3.24) et
(3.25) respectivement. Vérifiez si les conditions de convergence sont satisfaites.
†03‡∆
1
†03‡∆
‡ < N (3.42)
1
‡ < N,
(3.43)
Si les équations (3.42)et (3.43) sont vérifiées, arrêtez les itérations, et calculez les écoulements
de la ligne et les puissances active et réactive du nœud de référence. si non, passez à l’étape
suivante.
Etape 5 : Calculer les éléments dans la matrice jacobéenne (3.32) jusqu’à (3.41).
Etape 6 : Calculer les valeurs corrigées des tensions nodales, en utilisant l'équation (3.26).
Ensuite calculez les tensions nodales :
1J
1J
=
=
1
1
+∆
+∆
1
1
(3.44)
(3.45)
Etape 7 : retourner à l’étape 4 avec les nouvelles valeurs des tensions nodales.
3.4.2. Méthode de Gauss-Seidel :
Cette méthode consiste à enlever séquentiellement chaque nœud et actualiser sa tension en
fonction des valeurs disponibles de toutes les tensions. En général, on calcule le vecteur x qui
satisfait le système non linéaire exprimé par l’équation (3.16).
Cette équation peut formuler comme le problème du point fixe, d’où :
3 = (3)
(3.46)
3 1J = (3 1 )
(3.47)
La solution est obtenue itérativement, à partir d’une valeur initiale x0 :
Pour le cas concret de la répartition des charges, la résolution de l’équation nodale (3.1), est telle
que :
1J
=ˆ [
=ˆ [
‰‰
‰‰
‹‰ Q Œ‰
‹‰ Q Œ‰
(•‰K )∗
•‰∗
−∑
−∑Q
Ž
.
1J
. ]
−∑
(3.48)
Ž
J
. ]
(3.49)
39
Chapitre 3
Répartition des charges
Le processus itératif est obtenu quand l’expression suivante est satisfaite :
†03‡
−
1J
1
‡≤N
(3.50)
La méthode de Gauss-Seidel devient plus intéressante lorsqu’elle est accélérée en
introduisant un facteur d’accélération (α = 1 ÷ 1.8)au but de diminuer le nombre d’itération et
d’activer la convergence
1J
1
+
.)""’ =
1
1J
∆
=
“(∆
−
1
1
)
(3.51)
(3.52)
D’après les expériences, il est préférable de prendre la valeur de “ est égale à 1.4.
3.4.2.1. Algorithme de Gauss-Seidel :
Etape 1 : Formulation de la matrice admittance [Y] ;
Etape 2 : Estimation des valeurs initiales des tensions nodales
6
, avec : i=1,…, n ;
Etape 3 : calcul des tensions pour chaque nœud à partir de l’équation (3.48) avec une initiation
des itérations K=0 ;
Etape 4 : calcul itératif des tensions pour chaque nœud suivant la formule (3.49)
On calcule l’écart entre les valeurs d’une même tension trouvée aux itérations suivant la formule
(3.50)
On introduit le facteur d’accélération “ pour réduire le nombre d’itération à partir de la formule
(3.51)
Etape 5 : si le teste de convergence de l’équation (3.50) est vérifié, les valeurs des tensions de la
dernière itération sont retenues. Si non, aller à l’étape 4.
3.4.3. Les méthodes découplées :[14,30]
Ces méthodes prennent comme base la méthode de Newton, et elles utilisent la relation qui
existe entre la puissance active et l’angle de la tension, et la puissance réactive et le module de la
tension. Ceci donne une série de simplification qui tend à améliorer le développement pratique
de l’écoulement des charges et une minimisation du temps d’exécution .Deux de ces méthodes
sont exposées :
3.4.3.1. La méthode découplée:[16,50]
Comme la ligne de transmission a eu un rapport ”⁄3en général faible ( 3 ≫ ” ). Ainsi, il
existe une forte relation entre P et , mais un faible couplage entre P et| |. Cela signifie que la
40
Chapitre 3
Répartition des charges
puissance active est peu influée par les changements en amplitude de la tension. Donc, il est
raisonnable de mettre :
u∆vw
u{y
≈0
(3.53)
≈0
(3.53)
Tandis que la Q et | | ont un fort couplage et un couplage faible pour Q et . Il signifie que
la puissance réactive est peu influée par les changements de l'angle de la tension; qui est,
u∆}w
uxy
Par conséquent, les valeurs des éléments de la sous-matrice N et K dans l'équation (3,26)
sont très petites, donc :
NSW = VW
K SW = VW
L’équation (3.26) devient :
a
Ou
u∆vw
u{y
u∆}w
uxy
≈0
≈0
∆
∆
g0
b = −f
ka Q
b
∆
0j
l ∆
∆ = −g∆
∆ = −j
Q
l
∆ = −j(∆ ⁄ )
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
La simplification des équations (3.57) et (3.58) font les itérations de l’écoulement de
puissance plus facile. Le nœud de la différence de puissance active est seulement employé pour
mettre à jour l'angle de tension, et le nœud de la différence de puissance réactive est seulement
employé pour l’amplitude de la tension.
Ces deux équations sont calculées itérativement jusqu’à les conditions de la convergence sont
satisfaites.
Cette approche est appelée méthode découplée des puissances active et réactive.
3.4.3.1.1. Algorithme de la méthode découplée :
Les étapes de calculer la répartition des charges par la méthode découplée sont comme
suit :
Etape 1 : Introduction des données du réseau.
Etape 2 : Détermination de la matrice admittance.
Etape 3 : Supposer les valeurs initiales du nœud de tension.
Etape 4 : Calculer
et selon les équations (3.4) et (3.5) et ∆ et ∆ selon les équations
(3.24) et (3.25).
Etape 5 : Calculer les éléments dans la matrice jacobéenne (3.32), (3.35), (3.38) et (3.41).
41
Chapitre 3
Répartition des charges
Etape 6 : Résoudre l’équation (3.57) et (3.58) pour calculer ∆ et ∆ / .
Etape 7 : Calculer les nouvelles valeurs des amplitudes de tension et les angles de phase en
utilisant les équations (3.44) et (3.45).
Etape 8: Vérifier si les conditions de convergence (3.42) et (3.43) sont satisfaites.
Si les équations (3.42) et (3.43) sont vérifiées, arrêtez les itérations, et calculez les
écoulements de la ligne et les puissances actives et réactives du nœud de référence. Si non,
retournez à l’étape 4 avec les nouvelles valeurs des tensions nodales.
3.4.3.2. La méthode découplée rapide (FDLF) :
La méthode découplée rapide a été établie en 1973 par B.Scorret et O. Alasc. Elle est une
simplification de la méthode découplée.
En fait, les équations (3.57) et (3.58) peuvent être davantage de simplifier. Comme la
différence des angles de tension d’une ligne de deux extrémités i-j est petite (généralement
moins de 10°-20° ), sin( − ) est également petit. Ainsi nous avons :
= sin( − ) ≅ − ≅ 0
= cos( − ) ≅ 1
≪
≪
Assumer cela :
,
Puis les éléments des matrices H et L peuvent être exprimés par :
g =
. i, j = 1,2, … , n~1
j =
. i, j = 1,2, … , m
Où nous avons les dérivées suivantes:
ž‹‰
žŸ‰
žŒ‰
=−
¡¢£
¤
¢£
(3.59)
(3.60)
, = 1,2, … . , − 1
=−
(3.61)
, = 1,2, … . . , †
(3.62)
Par conséquent, les matrices H et L peuvent être écrites sous la forme :
g = m
§
=¦
¦
¥
1
−1
,
2
11 1 1
2 22 2 21 1
⋮
−1,1
⋱
12 2
⋮
1 −1,1
Q
ª
©m
©
¨
−1,1 2
,
⋮
Q ,
⋯
…
⋮
⋯
, …
,, …
⋮
Q ,, …
1
2
−1
1, −1
2, −1
⋮
−1
−1, −1
, Q
,, Q
⋮
Q , Q
−1
−1
§
oצ
¦
¥
o
,
⋱
Q
ª
©= V
©
¨
C
(3.63)
42
Chapitre 3
j=m
§
=¦
¦
¥
, ,
'
Répartition des charges
, ,
, ,, , ⋮ ⋮
' ',
'
,
,
ª
©m ,
© ⋮
'
'¨
⋱
⋯
…
⋮
⋯
' '
, ,' '
⋮
' '' '
o
, …
§
oצ
⋮
¦
¥
''
'
,, …
⋮
,'
', …
,
ª
©= V
©
'¨
⋱
CC
(3.64)
Substituant les équations (3.63) et (3.64) dans les équations (3.57) et (3.58), nous avons :
∆ =
C
∆ =
CC
∆ (3.65)
∆ (3.66)
Nous récrivons les équations (3.65) et (3.66) en tant que ci-dessous:
∆‹
•
∆Œ
•
Ou :
C
,
C
=
CC
⋯
,
,
,, = −m ,
⋮ ⋮
' ', ∆ (3.67)
∆ (3.68)
, Q
,, …
⋮ ⋮
Q , Q ,, ⋯
= −m
CC
=
,, Q
⋮
Q , Q
⋯
…
⋯
o=m
'
,' o
⋮
''
−
−
−
=m
−
−
−
⋮
⋮
,
Q ,
,
'
−
−
−
−
−
, …
,, …
⋮
Q ,, …
, …
,, …
⋮ − ', …
−
−
−
−
−
−
, Q
,, Q
Q , Q
'
,'
⋮
⋮
''
o
o
Les équations (3.65) et (3.66) sont les équations simplifiées de l’ajustement de l’écoulement
de puissance, qui peuvent être écrites sous formes des matrices:
∆‹«
§ •« ª
−
¦ ∆‹¬ ©
¦ •¬ © = m − ,
⋮
¦ ⋮ ©
− Q
¦∆‹-®« ©
¥ •-®« ¨
,
−
−
, …
−
−
,, …
⋮ − Q ,, … −
, Q
,, Q
⋮
Q , Q
∆
∆
om ,
⋮
∆
Q
,
Q
o(3.69)
43
Chapitre 3
Répartition des charges
§ •« ª
−
¦ ∆Œ¬ ©
−
¦ •¬ © = m ,
⋮
¦ ⋮ ©
− '
¦∆Œ¯©
¥ •¯ ¨
∆Œ«
−
−
, …
,, …
⋮ − ', …
−
−
'
,'
⋮
−
''
om
∆
∆
∆
⋮
,
'
o(3.70)
Dans les équations (3.69) et (3.70), les matrices B' et B'' contiennent seulement la partie
imaginaire du nœud de la matrice admittance. Ainsi elles sont des matrices symétriquement
constantes et elles besoin d'être triangulaires une fois seulement au début du programme.
Ainsi les équations (3.69) et (3.70) s'appellent "le
le modèle de l’écoulement de puissance découplé
rapide ".
Dans l'application pratique, les modules de la tension dans les équations (3.67) et (3.69)
sont supposés égaux à 1,0. De cette façon, l’équation ajustée de la puissance active dans le
modèle de l’écoulement de puissance découplée rapide peut être simplifiée comme :
∆‹
•
∆‹«
§ •« ª
−
¦ ∆‹¬ ©
−
,
¦ •¬ © = m
⋮
¦ ⋮ ©
− Q
¦∆‹-®« ©
¥ •-®« ¨
,
−
−
=
C
∆ (3.71)
, …
−
−
,, …
⋮ − Q ,, …
−
, Q
,, Q
⋮
Q , Q
om
∆
∆
∆
⋮
,
Q
o(3.72)
En outre, il y a deux version de l’écoulement de puissance découplé rapide selon les
différentes traitements des matrices constantes B', B''. Ce sont les versions BX et les XB.
Pour la version XB, la résistance est ignorée pendant le calcul de B '.
Les éléments de B', B'' sont calculés comme :
C
CC
Où
6
CC
=
C
= −∑
=
= −2
(3.73)
C
Ž
¬
¬
°‰£
J/‰£
6
°‰£
−∑
(3.74)
(3.75)
Ž
CC
(3.76)
est la réactance shunt mise à la terre.
44
Chapitre 3
Répartition des charges
Dans le calcul pratique, les suppositions suivantes sont également adoptées dans la version
XB du modèle de l’écoulement de puissance découplée rapide.
Supposons ” ≪ 3 , ce qui conduit à:
=−
*‰£
Éliminer toutes les réactances shunt mise à la terre.
Négliger tous les effets de déphasage des transformateurs.
La version XB du modèle de l’écoulement de puissance découplée rapide peut alors être
exprimée en :
C
CC
CC
CC
=−
=∑
*‰£
(3.77)
Ž *
‰£
(3.78)
‰£
= − ² ¬ J*
¬
*
‰£
= −∑
(3.79)
‰£
CC
Ž
Où ” , 3 sont la résistance et la réactance de la branche i-j, respectivement.
(3.80)
Pour la version BX, la résistance est ignorée lors du calcul de B ".
Les éléments de B ', B "sont calculés comme :
C
C
CC
CC
=−
¬
¬
°‰£
J/‰£
°‰£
= −∑
=
= −2
6
(3.81)
C
Ž
−∑
(3.82)
(3.83)
Ž
CC
(3.84)
De même, la version de BX du modèle de l’écoulement de puissance découplée rapide peut
aussi être simplifiée en :
*‰£
C
= − ² ¬ J*
(3.85)
¬
C
= −∑
CC
CC
‰£
‰£
*‰£
Ž ² ¬ J* ¬ ‰£
‰£
= −*
= −∑
Ž
‰£
(3.86)
(3.87)
CC
(3.88)
On note que l’algorithme de découplée rapide peut ne converge pas quand certaines des
prépositions principales telles que ” ≪ 3 ne se tiennent pas. Dans cette situation, les méthodes
de Newton ou découplée sans approximation principale sont recommandées.
45
Chapitre 3
Répartition des charges
3.4.3.2.1. Algorithme méthode découplée rapide :
3.71
3.68
Figure (3.1) : Organigramme de la méthode découplée rapide
3.5. Illustration sur un exemple :
Dans ce présent chapitre, nous enrichissons la théorie par un exemple pratique. Nous
présentons une simulation du calcul de la répartition des charges par les trois méthodes
suivantes :
La méthode de Newton- Raphson ;
La méthode de Gauss-Seidel ;
La méthode découplée rapide.
Nous choisissons un réseau de neuf nœuds (réseau de la Western Council Coordinating USA)
qui comporte trois nœuds générateurs et trois nœuds consommateurs.
46
Chapitre 3
Répartition des charges
3.5.1. Caractéristique du réseau et les valeurs planifiées:
Liaison
i-j
Résistance
(pu)
Réactance
(pu)
Impédance (pu)
Admittance
shunt (pu)
1-4
0.00
0.0576
j0.0576
-
2-7
0.00
0.0625
j0.0625
-
3-9
0.00
0.0586
j0.0586
-
4-5
0.01
0.085
0.01+ j 0.085
0.088
4-6
0.017
0.0926
0.017 + j 0.0926
0.079
5-7
0.032
0.161
0.032+ j 0.161
0.153
6-9
0.039
0.17
0.039 + j 0.17
0.179
7-8
0.0085
0.0720
0.0085 + j 0.0720
0.0745
8-9
0.012
0.01008
0.012 + j 0.01008
0.1045
Tableau (3.2): Caractéristiques des lignes du réseau
3.5.2. Planification :
Nœud i
Tension
Tension
(pu)
Générateurs
Charge
Angle
³´
·´
³¸¹
·¸¹
(degré)
(µ¶)
(MVAR)
(µ¶)
(MVAR)
1
1.04
0.00
0.00
0.00
-
-
2
1.00
0.00
1.63
0.067
-
-
3
1.00
0.00
0.85
0.109
-
-
4
1.00
0.00
-
-
-
-
5
1.00
0.00
-
-
1.25
0.50
6
1.00
0.00
-
-
0.9
0.30
7
1.00
0.00
-
-
-
-
8
1.00
0.00
-
-
1.0
0.35
9
1.00
0.00
-
-
-
-
Tableau (3.3): Planification
47
Chapitre 3
Répartition des charges
3.5.3. Les paramètres de l’alternateur
Générateur
1
2
3
º»
¼»
½¾
½C¾
½¿
½C¿
ÀC¾Á
ÀC¿Á
[pu]
[pu]
[pu]
[pu]
[pu]
[pu]
[pu]
[pu]
8.96
6
5.89
0
0.535
0.6
247.5
192
128
16.5
0.146
0.0608 0.0969 0.0969
18
0.8958
0.1198 0.8645 0.1969
0.25
13.8
1.3125
0.1813 1.2578
Tableau (3.4): Les limites de fonctionnement
La valeur des paramètres sont exprimées en p.u et
Â
= 100 Ã Ä.
3.5.4. Calcul de l’écoulement de puissance :
Ce calcul est généralement effectué pour déterminer les conditions initiales du système avant
un défaut. Dans ce paragraphe, nous allons calculer l’écoulement de puissance par différentes
méthodes et faire une comparaison et déterminer laquelle est la plus fiable et à utiliser pour la
suite du calcul.
3.5.4.1. Ecoulement de puissance par la méthode de Newton-Raphson :
Le système a convergé à l’itération 5 et le temps de convergence est estimé à 0.188 s.
Pertes totales dans le réseau
Pertes actives [MW]
Pertes réactives [MVar]
4.6417
-92.1446
Tableau (3.5) : Pertes totales dans le réseau par Newton-Raphson
3.5.4.2. Ecoulement de puissance par la méthode de Gauss-Seidel :
Le système a convergé à l’itération 58 et le temps de convergence est estimé à 0.125 s.
Pertes totales dans le réseau
Pertes actives [MW]
Pertes réactives [MVar]
4.642
-92.144
Tableau (3.6) : Pertes totales dans le réseau par Gauss-Seidel
3.5.4.3. Ecoulement de puissance par la méthode de découplée rapide :
Le système a convergé à l’itération 4 et le temps de convergence est estimé à 0.143 s.
Pertes totales dans le réseau
Pertes actives [MW]
Pertes réactives [MVar]
4.6418
-92.1438
Tableau (3.7) : Pertes totales dans le réseau par la méthode découplée rapide
48
Chapitre 3
Répartition des charges
3.5.4.4. Tableau récapitulatif :
Newton-Raphson
Précision
Temps
Nombre d’itération
³Å [MW]
·Å [MVAR]
Gauss-Seidel
0.00001
0.00001
0.188
0.125
5
58
4.6417
4.642
-92.1446
-92.144
Tableau (3.8) : Tableau récapitulatif
Découplée rapide
0.00001
0.143
4
4.6418
-92.1438
3.6. Conclusion :
L’étude de l’écoulement de puissances dans un réseau électrique est une étape très
importante pour bien maitriser l’état du réseau à partir duquel nous avons appliqué le système
de minimisation des pertes réelles. D’après la comparaison entre les trois méthodes, on remarque
que les résultats obtenus des pertes de puissances active et réactive sont presque semblables
avec une petite différence dans le temps du calcul. Evidemment, chaque méthode a ses
avantages et ses inconvénients et le choix d’une par rapport à une autre dépend surtout de la
taille du réseau à calculer. L’écoulement de puissance de Newton-Raphson est très robuste
surtout pour les réseaux de grandes tailles. Il est aussi appelé écoulement de puissance
complet[16] puisqu'il n’y a pas de simplification dans le calcul et les termes dans la matrice
jacobienne doit être recalculés à chaque itération. La méthode de Gauss-Seidel converge très
bien pour les réseaux de petites tailles par contre dans les réseaux de grandes tailles, elle diverge
à cause de la matrice inverse qui devient très difficile à calculer. En revanche, la méthode
découplée rapide est une méthode qui converge rapidement puisque la matrice utilisée par cette
méthode est constante. Elle est utilisée dans les systèmes de contrôle de la tension basée sur le
calcul des sensibilités. Comme la plupart des réseaux électriques sont de grandes tailles et grâce
à sa robustesse surtout pour ce type de réseau et en tenant compte du calcul des matrices
jacobéennes pour chaque itération, on a choisi la méthode de Newton Raphson.
49
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.1. Introduction :
Les métaheuristiques sont apparues dans les années 1980 et forment une famille
d'algorithmes d'optimisation dont le but est la résolution des problèmes d'optimisation qui est
difficile à réaliser.
Les métaheuristiques sont souvent inspirées par des systèmes naturels, qu'ils soient pris en
physique (les méthodes de voisinage comme le recuit simulé et la recherche Tabou), en biologie
de l'évolution (les algorithmes évolutifs comme les algorithmes génétiques et les stratégies
d'évolution) ou encore en étiologie (les algorithmes de colonies de fourmis, l’essaim de
particules, etc..).
Les algorithmes métaheuristiques permettent de s'approcher d'une ou de plusieurs solutions
à des problèmes dits "difficiles" qui s'apparentent à des problèmes d'optimisations. Le principe
d'une métaheuristique est de minimiser ou de maximiser une fonction objective, qui décrit la
qualité d’une solution au problème c’est-à-dire la précision ou le degré de l’approximation de la
solution exacte et même la rapidité de la méthode. L’avantage des métaheuristiques est de
trouver un minimum global à un problème de minimisation et de ne pas rester bloqué sur un
minimum local [51].
4.2. Les méthodes métaheuristiques :
Le mot « métaheuristique » est composé d’un suffixe « méta » qui signifie niveau supérieur
et du mot "heuristique" qui vient du grec « heurein » signifie « découvrir » et qualifie tout ce qui
sert à la découverte, à l'invention et à la recherche. Donc, le terme métaheuristique signifie
trouver un niveau supérieur ou un niveau meilleur de recherche.[14,52]
Les métaheuristiques sont généralement des ensembles de concepts ou des algorithmes
stochastiques itératifs, qui progressent vers un optimum global par l’échantillonnage d’une
fonction objective[15,52,]. Elles se comportent comme des algorithmes de recherche, tentant
d’apprendre les caractéristiques d’un problème afin d’en trouver une approximation de la
meilleure solution (d'une manière proche des algorithmes d'approximation)[15] c’est-à-dire elles
donnent des solutions approchées sans nécessiter de changements profonds dans l’algorithme
employé[14,53]. C’est pour cela qu’on les appelle parfois « méthodes approchées »[52].
4.3. Classifications possibles des métaheuristiques :
4.3.1. Fonctionnement général des métaheuristiques :
D'une manière générale, les métaheuristiques s'articulent autour de trois
notions[14,51,53,54,55]:
• La diversification /l’exploration : est la recherche de nouvelles informations, afin
d'augmenter la connaissance du problème optimisé.
• L'intensification/ l’exploitation: elle consiste en l'utilisation des informations
disponibles pour améliorer la pertinence de celles-ci. Du point de vue des
métaheuristiques, il s'agit dans les exemples extrêmes d'une recherche locale
déterministe.
• La mémoire: est le support de l'apprentissage, qui permet à l'algorithme de ne tenir
compte que des zones où l'optimum global est susceptible de se trouver et de garder en
mémoire les résultats passés, évitant ainsi les optimums locaux. Citons des méthodes
ayant une mémoire à court terme et d’autres à long terme.
Dans le cas le plus simple, elles se limitent à considérer l’état de la recherche à une
itération donnée, pour déterminer la prochaine itération, on parlera donc de méthode sans
mémoire. C’est le cas de la plupart des méthodes de recherche locale.
50
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Les notions d’intensification et de diversifications sont liées à l’utilisation de la fonction
objective et aux processus aléatoires et combinées avec la notion de mémoire, elles permettent de
positionner les différents aspects des métaheuristiques entre eux.
Les métaheuristiques progressent de façon itérative, en alternant des phases
d'intensification, de diversification et d'apprentissage. L'état de départ est souvent choisi
aléatoirement, l'algorithme se déroulant ensuite jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt (Fonctions
objectives= optimums).
Les notions d’intensification et de diversifications sont prépondérantes dans la conception
des métaheuristiques, qui doivent atteindre un équilibre délicat entre ces deux dynamiques de
recherche. Les deux notions ne sont donc pas contradictoires, mais complémentaires, et il existe
de nombreuses stratégies mêlant à la fois l’un et l’autre des aspects.
4.3.2. Classification selon la nature de la solution (unique ou plusieurs) :
Les métaheuristiques sont regroupées en deux grands types de famille :
4.3.2.1. Méthodes évolutives (à population) :
Elles travaillent sur une population de solution et non pas une solution unique. Elles
comportent deux grandes classes : la technique des Essaim de particules (OEP) et les méthodes
évolutionnaires (les algorithmes génétiques (AG) et les algorithmes de colonies de fourmis
(ACO). Ces dernières sont les plus fameuses et les plus utilisées, et même l’OEP a occupé
l’arène dans ces derniers temps.
4.3.2.2. Méthodes hybrides (de voisinages / de recherche locale) :[15]
Les méthodes de recherche locale ou métaheuristiques à base de voisinages s’appuient sur
un même principe, à partir d’une solution x0 considérée comme un point de départ et non pas
une population. La recherche consiste à passer d’une solution de mauvaise qualité à une solution
voisine optimale par déplacements successifs. L’ensemble des solutions que l’on peut atteindre à
partir d’une solution x est appelé voisinage de cette solution. Déterminer une solution voisine de
x dépend bien entendu du problème traité.
De manière générale, les opérateurs de recherche locale s’arrêtent quand une solution
localement optimale trouvée, c'est-à-dire quand il n’existe pas de meilleure solution dans le
voisinage.
On peut illustrer l’ensemble par la figure (4.1) :
Méthodes Métaheuristiques
Méthodes à population
Méthodes de voisinage
Méthodes Evolutionnaires
AG
SE
PE
CF
OEP
Autres
RS
RT
Autres
Figure (4.1) : classification des métaheuristiques selon le type de solution
51
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Où :
AG : Algorithmes Génétiques
SE : Stratégie d’Evolution
PE : Programmation Evolutionnaire
CF : Colonie de Fourmi
RS : Recuit Simulé
RT : Recherche Tabou
OEP : Optimisation par Essaim de Particules.
4.3.3. Classification selon sa nature de sa fonction objective:
On peut classer les méthodes métaheuristiques selon la nature de sa fonction objective qui
existe suivant deux types :
a- Statique : ou la fonction objective demeure inchangée tout au long de l’optimisation
b- Dynamique : quand la fonction objective est modifiée au cours de la recherche.
4.3.4. Classification selon sa nature ou bien le type de l’échantillonnage:
Les méthodes métaheuristiques peuvent être classées selon le choix de l’échantillonnage de
la fonction objective comme base d’apprentissage et se fait sur une base aléatoire. Cette
classification est adaptée particulièrement aux métaheuristiques à population (vues comme des
algorithmes d'échantillonnage probabiliste d'une distribution[23]). Donc, il existe trois classes de
métaheuristiques :
4.3.4.1. Méthodes métaheuristiques implicites :
Elles signifient que la distribution de probabilité n'est pas connue ou n'est pas utilisée : le
choix de l'échantillonnage entre deux itérations ne suit pas une loi donnée, mais est fonction de
règles locales. On prend comme exemple le cas des algorithmes génétiques.
4.3.4.2. Méthodes métaheuristiques explicites :
Par contre, les métaheuristiques se basant sur les méthodes explicites utilisent une
distribution de probabilité choisie à chaque itération. C'est le cas, entre autre, des algorithmes à
estimation de distribution qui, comme leur nom l'indique, estime à chacune de leur itération et
via une distribution de probabilité (issue des fonctions objectives) l'espace de recherche local
optimal.
4.3.4.3. Méthodes métaheuristiques directes :
La classification est dite directe si l’échantillonnage de la fonction objective est utilisé
directement comme une distribution de probabilité où les meilleures solutions ayant une
probabilité plus grande d’être tirées. C’est le cas de la méthode de recuit simulé.
52
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
On peut résumer toutes ces classifications possibles des métaheuristiques dans le tableau
(4.1) :
classification
Fonctionnement
fonction
Nature de la
générale
objective
solution
métaheuristique
Diversi-
Intensi- mémoire
fication
fication
statique dynamique
√
√
√
√
Stratégies
√
(ST)
(PE)
Optimisation par
Essaim de
Particules
√
√
√
√
√
√
√
√
Recherche
Taboue
√
√
(OEP)
Recuit
Simulé
explicite
direct
√
√
Programmation
Evolutionnaire
(CF)
Implicite
√
D’Evolution
Colonie de
Fourmies
à
population
Algorithme
génétique
(AG)
unique
échantillonnage
√
√
√
√
√
Tableau (4.1) : Classifications possibles des méthodes métaheuristiques
4.5. Comment faire le choix d’une méthode métaheuristique :
Il est crucial que le choix d’une méthode à une autre soit influé par la solution (le dilemme
précision-rapidité) et repose essentiellement sur les points suivants :
La nature du problème à optimiser en adaptant l’algorithme choisi.
L’adaptation des diverses étapes de l’algorithme notamment l’initialisation
Le choix de la représentation des solutions manipulées.
Dans ce chapitre, on s’intéresse seulement aux méthodes métaheuristiques à population et
plus particulièrement par les algorithmes génétiques (AG), les colonies de Fourmies (CF), et
l’optimisation par Essaim de particules (OEP).
53
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.7. Les métaheuristiques à population :
4.7.1. Les algorithmes génétiques :
4.7.1.1. Introduction :
Les principes fondamentaux des algorithmes génétiques ont été exposés par John Holland
et ses collègues[6] au début des années 1960 de l’université du Michigan.Ses travaux ont trouvé
un premier aboutissement en 1975 avec la publication de « Adaptation in Natural and Artificial
System »[6]. En 1989, Golberg les a approfondi et a publié un livre de référence pour les
algorithmes génétiques « Genetic algorithms in search, optimization and machine learning »
[56].
Les algorithmes génétiques sont des méthodes qui appartiennent à une famille de
méthodes stochastiques appelées méthodes évolutionnistes reposant sur une analogie directe [57]
avec la théorie de l’évolution naturelle, selon laquelle les individus d’une population les mieux
adaptés à leur environnement ont une plus grande probabilité de survivre, de se reproduire de
génération en génération, en donnant des descendants encore mieux adaptés. Leurs applications
se sont étendues à tous les niveaux et ont été bien exploitées dans les domaines techniques. Ils
ont été choisis pour les quatre propriétés suivantes :
Les AGs utilisent un codage des paramètres et non les paramètres eux-mêmes.
Les AGs travaillent sur une population de points, au lieu d’un point unique.
Les AGs n’utilisent que les valeurs de la fonction étudiée, pas sa dérivée ou une autre
connaissance auxiliaire.
Les AGs utilisent des règles de transition probabilistes, et non déterministes.
En général, ces algorithmes sont simples et très performants dans la recherche d’une
solution optimale.
4.7.1.2. Principe de base :
Les AGs fonctionnent avec une population regroupant un ensemble d’individus appelés
Chromosomes. Chaque chromosome est constitué d’un ensemble de gènes.
Chromosomes
gènes Pour chaque individu, on
attribue une valeur calculée par une fonction appelée « fonction d’adaptation ou fitness ».
En pratique, à partir d’une population, des chromosomes sont générés d’une façon aléatoire lors
de l’initialisation.
Dans chaque cycle d’opérations génétiques, une nouvelle population appelée génération est
créée à partir des chromosomes de la population courante. Pour cela, certains chromosomes
appelés « parents » sont sélectionnés afin d’élaborer les opérations génétiques. Les gènes de ces
parents sont mixés et recombinés pour la production d’autres chromosomes appelés « enfants »
constituant la nouvelle génération.
Les algorithmes génétiques cherchent le ou les extrema d’une fonction définie par un
espace donné. Pour les utiliser, on doit disposer les cinq éléments suivants :
1. Initialement une population (un ensemble de solutions) est choisie au hasard;
2. Un mécanisme de génération de la population initiale. Ce mécanisme doit être capable de
produire une population d’individus non homogène qui servira de base pour les
générations futures où chaque individu voit son indice d’adaptation (fitness) évalué. Le
choix de la population est important car il rend plus ou moins rapide la convergence vers
l’optimum ;
54
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
3. Une nouvelle population est crée pour la génération suivante en réitérant les étapes
suivantes jusqu’à ce que celle-ci soit complète :
a. Sélection de deux parents de la population dépendant de leur fitness,
b. Croisement d’après un taux de croisement. S’il y a croisement, deux enfants sont
produits, sinon les parents sont conservés tel quel dans la génération suivante.
c. Mutation d’un individu par modification
d’un locus (position dans le
chromosome) de son chromosome d’après un taux de mutation ;
4. Le remplacement de la nouvelle population par l’ancienne ;
5. L’algorithme s’arrête si le critère d’arrêt est atteint et renvoie la meilleure solution (le
meilleur individu) de la génération sinon l’algorithme reprend l’évaluation de la fitness.
Citons que :
a. Les opérateurs (sélection, croisement et mutation) permettant de diversifier la population au
cours des générations et d’explorer et d’accéder l’espace de recherche.
b. La taille de population est variée d’un problème à un autre et pour le critère d’arrêt, on peut
avoir plusieurs types :
Le nombre de génération fixé initialement a été atteint.
La valeur de la fonction d’adaptation a atteint une valeur fixée a priori.
L’absence d’évolution de la valeur de la fonction d’adaptation des individus d’une
population à une autre.
Les chromosomes ont atteint certain homogénéité.
Dans cet algorithme, la sélection et le croisement permettent de converger rapidement vers
une bonne solution et les mutations permettent d’éviter les maxima locaux (recherche dans
l’espace d’état). Il est donc important et nécessaire que les mutations figurent dans l’algorithme
pour éviter d’aboutir à une stagnation médiocre.
Les étapes des AG sont illustrées par la figure suivante :
Figure (4.2) : Principe d’un Algorithme génétique
55
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.7.1.3. Application d’un AG (Description détaillée) :
4.7.1.3.1. Le codage :
La première étape, lors de l’application d’un AG, est le choix du codage des paramètres qui
influe sur l’efficacité de l’algorithme. Ce choix se fait sous la forme de chaines maniables
contenant des caractères ou gènes d’un alphabet prédéterminé.
Il existe 3 types de codage :
A. Codage binaire :
C’est le plus utilisé en pratique dans lequel chaque solution est représentée par une chaine de
bit (0 et 1)[6,54]. Il présente plusieurs avantages : alphabet minimum, facilité de mise en place
d’opérateurs génétiques et existences de résultats théoriques. Néanmoins,[52] il présente un
inconvénient majeur tel que les performances de l’algorithme sont diminuées lorsque la
longueur de la chaine augmente.
B. Codage réel :
Le codage réel se base directement sur les paramètres eux même (les individus se présentent
sous forme de nombres entiers[6]). C’est le plus proche des besoins et des habitudes des
praticiens industriels, notamment dans les domaines applicatifs pour l’optimisation de problèmes
à variables réelles. C’est pour cela, ce codage est désormais largement utilisé dans le cas où l'on
recherche le maximum d'une fonction réelle. Néanmoins[52], il possède deux inconvénients, son
alphabet est infini, et il a besoin d’opérateurs appropriés.
C. Codage sous forme d'arbre [23,53]
Ce codage est représenté sous forme d’une structure arborescente avec une racine de
laquelle peuvent être issus un ou plusieurs fils. Il est utilisé dans le cas de problèmes où les
solutions peuvent être infinies.
4.7.1.3.2. Génération aléatoire de la population initiale :
Le choix de la population initiale d’individus conditionne fortement la rapidité de
l’algorithme. Si la position de l’optimum dans l’espace d’état est totalement inconnue, il est
naturel de générer aléatoirement des individus en faisant des tirages uniformes dans chacun des
domaines associés aux composantes de l’espace d’état en veillant à ce que les individus produits
respectent les contraintes. Si par contre, des informations à priori sur le problème sont
disponibles, il parait bien évidemment naturel de générer les individus dans un sous-domaine
particulier afin d’accélérer la convergence.[52]
4.7.1.3.3. Fonction d’évaluation :
La fonction d’évaluation ou d’adaptation (fitness) associe un coût à chaque chromosome où
la solution optimale du problème est obtenue à partir d’elle.
La fonction d’adaptation peur être soit monocritère
monocritère ou multicritère.
multicritère La première signifie que la
fonction dépend d’une seule fonction objective par contre la fonction d’adaptation multicritère
dépend d’une combinaison de plusieurs fonctions objectives d’où la notion objective unique et
objectives multiples.
56
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.7.1.3.4. La sélection (Selection) :
La sélection consiste à sélectionner un individu au sein de la population puis le recopier
dans la nouvelle population. La probabilité de reproduire ou de sélectionner un individu dépend
directement de la valeur de sa fonction objective. Ainsi, l’individu le plus adapté gagne la
compétition de la reproduction, tandis que les moins adaptés meurent avant la reproduction. Ce
qui améliore globalement l’adaptation.
Il existe différentes techniques de sélection des individus à reproduire. On les représente cidessous:
Sélection par roulette (Roulette Wheel selection):
Cette sélection proposée par Holland, est le meilleur type des sélections[13,26]. Ce
principe consiste à associer à chaque individu un segment dont la longueur est
proportionnelle à sa fitness. On reproduit ici le principe de tirage aléatoire utilisé dans les
roulettes de casinos avec une structure linéaire.
Ce type de sélection rencontre des problèmes lorsque la valeur d’adaptation des
chromosomes varie énormément. Si la meilleure fonction d’évaluation d’un chromosome
représente 90% de la roulette alors les autres chromosomes auront très peu de chance
d’être sélectionnés et on arriverait à une stagnation de l’évolution.
Selection par rang (Rank selection):
La sélection par rang trie d’abord la population par fitness. Chaque chromosome se voit
associe un rang en fonction de sa position. Le plus mauvais chromosome aura le rang 1,
le suivant 2, et ainsi de suite jusqu’au meilleur chromosome qui aura le rang n (pour une
population de n chromosomes). La sélection par rang d’un chromosome est la même que
par roulette, mais les propositions sont en relation avec le rang plutôt qu’avec la valeur de
l’évaluation. Avec cette méthode de sélection, tous les chromosomes ont une chance
d’être sélectionnés. Cependant, elle conduit à une convergence plus lente vers la bonne
solution.
Ceci est dû au fait que les meilleurs chromosomes ne diffèrent pas énormément des plus
mauvais.
Sélection uniforme (uniform selection) :
C’est une technique très simple qui consiste à sélectionner un individu x aléatoirement de
la population N. La probabilité pour qu’un individu soit sélectionné est :
1
=
Sélection par tournoi (tournement sélection) :
Deux individus sont choisis au hasard et combattent (on compare leurs fonctions
d’adaptation) pour accéder à la génération à introduire. Le plus adapté l’emporte avec
une probabilité 0.5 ≤p ≤1, que nous avons généralement pris égale à 1 .Cette étape est
répétée jusqu'à ce que la génération intermédiaire soit remplie. Il est tout à fait possible
que certaine individus participent à plusieurs tournois. S’ils gagnent plusieurs fois, ils
auront donc le droit d’être copiés plusieurs fois dans la génération intermédiaire, ce qui
favorisera l’amélioration de la qualité de la population[39].
Sélection Steady-State :
L’idée principale est qu’une grande partie de la population puisse survivre à la prochaine
génération. L’algorithme génétique marche alors de la manière suivante :
• A chaque génération sont sélectionnés quelques chromosomes (parmi ceux
qui ont le meilleur coût) pour créer des chromosomes fils.
57
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
•
Les chromosomes les plus mauvais sont retirés et remplacés par les
nouveaux
Le reste de la population survie à la nouvelle génération.
•
4.7.1.3.5. Le croisement (Crossover) :
L'opérateur de croisement sert à croiser deux individus au sens biologique. Deux individus
(parents) croisés créent des descendants mélangeant les gènes (héritant les gènes) de leurs
parents avec une probabilité de croisement comprise entre 0.6 et 0.9. Plus cette probabilité est
élevée plus la population subira de changement. Plusieurs types de croisement, on distingue :
Croisement simple ( à un point) :
Consiste à tirer une position au hasard et à échanger les caractéristiques des deux individus à
partir de ce point.
Le double croisement (croisement à deux points) :
Dans ce cas, l’échange a eu lieu entre deux positions tirées aléatoirement.
Le croisement uniforme :
Ce type de croisement a été proposé par Syswerda[13,26]et introduit un masque croisement
généré de manière aléatoire.
Dans la figure (4.3), les différents types de croisement sont illustrés comme suit :
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
Croisement simple
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Croisement double
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
Croisement uniforme
Figure (4.3): différents types de croisement
58
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.7.1.3.6. Mutation :
L’action de l’opérateur de mutation consiste à changer ou à permuter des valeurs des gènes
du chromosome. Cela revient à modifier aléatoirement la valeur d'un paramètre du dispositif .Le
rôle de mutations est de ne créer généralement pas de meilleures solutions au problème mais
pour éviter l’établissement de populations uniformes incapables d’évoluer. Elles permettent
d'assurer une recherche aussi bien globale que locale, selon le poids et le nombre des bits mutés.
Donc, elles garantissent mathématiquement que l’AG va converger vers des solutions globales.
Figure (4.4): L'opérateur de mutation dans le codage binaire.
On peut dire pour l’AG fait évoluer une population, la sélection réduit la diversité de la
population, tandis que les opérateurs génétiques, croisement et mutation, augmentent cette
diversité.
4.7.1.4. Paramètres de la méthode :
Taille de la population :
La taille de la population est un paramètre important dans l’application des algorithmes
génétiques. Elle doit être suffisamment grande pour qu’un grand nombre de schémas soient
représentés. Typiquement, la taille de la population est comprise entre 30 et 200
individus[14,23,26]. Toutefois, lorsque le gène utilisé possède un grand nombre de bits, la taille
de la population peut être augmentée en conséquence.
Probabilité des opérateurs :
Le croisement n’est pas forcément appliqué pour chaque paire d’individus. Il a lieu avec
une certaine probabilité Pc qui est en général proche de 1.
L’opérateur de mutation Pm est appliqué avec une très faible probabilité, typiquement de l’ordre
de 1%.Toutefois, comme la diversité des individus diminue au fil des générations, il est possible
de faire augmenter la probabilité de mutation au cours de mutation de l’algorithme.
4.7.1.5. Application des AGs aux réseaux électriques[53] :
A. Application :
Une fois que la fonction d’adaptation soit définie dans le module des AGs, alors on peut
adapter un modèle de calcul optimal de la répartition des puissances dans les réseaux électriques
qui obéira au modèle de l’algorithme suivant[53] :
59
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
1ére étape : Les données suivantes du réseau sont introduites à savoir les fonctions coûts, la
précision du calcul, les contraintes de type égalité et inégalité, les puissances planifiées et les
tensions spécifiées.
2éme étape : On applique la méthode de Newton-Raphson pour calculer l’écoulement de
puissances afin d’en déduire les pertes de puissance.
3éme étape : En se basant sur les résultats de la deuxième étape, nous calculons les puissances
optimales, en utilisant la méthode de l’algorithme génétique.
4éme étape : Les puissances optimales déterminées à la troisième étape sont vérifiées par
l’équation de la conservation des puissances : si cette relation est vérifiée, alors on affiche les
puissances optimales sinon on revient à la deuxième étape en modifiant les puissances
initialement données par le tableau de planification.
On fixe à λ une valeur initiale à partir de la relation :
∑
∑
B. Organigramme du modèle :
Figure (4.5) : Organigramme du modèle
4.7.2. Algorithmes de Colonies de Fourmis :
4.7.2.1. Introduction :
Les algorithmes de colonies de fourmis (ACO,‘Ant Colony Optimization’) sont des
algorithmes inspirés du comportement des fourmis et très étudiés dans la recherche en
optimisation qui est relativement récente. Elle a été introduite en 1991 par Colorni, Dorigo et
Maniezzo[9,24,51,53] pour résoudre le problème du Voyageur de commerce[9,58].
60
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Elle s’est popularisée et a été appliquée avec succès à d’autres problèmes d’optimisation
combinatoire dès 1994[9,51,58] en touchant plusieurs domaines et spécialités puis a été l’objet
d’améliorations dés 1995. Leur succès vient de leur rapidité à trouver des solutions acceptables
tout en évitant des convergences prématurées et leur robustesse.[8,24]
3.7.2.2. Optimisation par colonies de fourmis :
L'optimisation par colonies de fourmis s'inspire du comportement des fourmis lorsque
celles-ci sont à la recherche de nourriture. Les fourmis en se déplaçant déposent des phéromones,
substances olfactives et volatiles. Chaque fourmi se dirige en tenant compte des phéromones qui
sont déposées par les autres membres de la colonie. Les fourmis choisissent leur chemin de
manière probabiliste. Comme les phéromones s'évaporent progressivement, le choix probabiliste
que prend une fourmi pour choisir son chemin évolue continuellement.
3.7.2.3. L'intelligence collective des fourmis :
On parle d’intelligence collective quand un groupe social peut résoudre un problème dans
un cas où un agent isolé en serait incapable. Cette intelligence est basée sur les processus d’autoorganisation en exploitant les capacités des fourmis en matière de coopération, de
communication, de compétition et d'apprentissage, entre autres, peuvent être mises à profit pour
des algorithmes de résolution de problèmes.
3.7.2.3.1. L’auto-organisation :
L’auto-organisation se prête bien à l’étude des insectes sociaux qui montrent des
comportements collectifs complexes issus de comportements individuels simples tel que :
•
•
•
•
La division du travail et l’organisation des rôles à l’intérieur de la société en partageant
les taches comme la recherche de nourriture, la défense du nid,…. ;
L’organisation de l’environnement en construisant le nid sans que les insectes soient
dirigés;
La connaissance interindividuelle où chaque fourmi est capable d’identifier ses
congénères tout en participant elle-même à l’identité de sa colonie (par exemple :
l’échange d’aliments entre les individus d’une même colonie ‘trophalaxie’) ;
Le recrutement et l’exploitation collective des sources de nourriture tel que le
fourragement est parmi les stratégies capitales qui permettent aux insectes une grande
adaptation à leur milieu.
3.7.2.3.2. La communication :
Les fourmis ont développé des mécanismes de communication entre eux très élaborés,
parmi lesquels on peut citer:
L'alarme ;
Le recrutement (pour une source de nourriture ou un site de nidification);
L'entretien et la mue ;
La trophallaxie (échange de liquides) ;
L'échange d'aliments solides ;
La détermination de caste ;
Le marquage du territoire et du nid ;
61
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
La communication chimique est de loin la plus présente chez les fourmis. Les phéromones
(mélange d'hydrocarbures) sont à la base de la communication de nombreuses espèces. La
chémoréception présente les avantages suivants :
La diversité des molécules pouvant intervenir permet de fournir des informations
qualitatives.
La stabilité du signal pour une molécule peu volatile permet d'assurer une certaine
permanence.
Par contre, les principaux inconvénients de la communication chimique sont les suivants :
Elle n'offre que peu d'informations sur la direction ;
Sa propagation est relativement lente et elle est peu adaptée pour la transmission de
messages urgents ou pour l'intégration de deux stimulations successives sous une forme
temporelle.
La communication chimique est aussi mise à l'œuvre pour déclencher des alarmes quand le
nid est attaqué et ainsi mobiliser un grand nombre d'individus pour défendre la fourmilière.
Ces deux mécanismes font partie des comportements de recrutement. De plus, plusieurs
phéromones peuvent être utilisées et avec des concentrations différentes, constituant ainsi une
sorte de langage chimique. Les principales manifestations du recrutement sont la recherche de
nourriture, la construction du nid, la défense de la colonie et la migration vers de nouveaux sites
de nidification.
La communication entre les individus peut se faire directement ou indirectement.
L'utilisation des phéromones est majoritairement une forme indirecte puisque l'échange
d'information se fait grâce au support du sol. Quand deux individus interagissent indirectement
en modifiant l'environnement on parle de stigmergie. Ce terme a été introduit par Grassé à
propos des mécanismes collectifs de construction du nid chez les termites.
D'un point de vue plus général, la communication mise en œuvre pour la recherche de
nourriture peut être considérée comme une forme de mémoire collective quand elle s'appuie sur
la modification de l'environnement telle que l'utilisation des phéromones.
4.7.2.3.3. Stigmergie :
La stigmergie est un des concepts à la base de la création des méta- heuristiques de colonies
de fourmis. Elle est précisément définie comme une «forme de communication passant par le
biais de modifications de l'environnement», mais on peut rencontrer le terme « interactions
sociales indirectes » pour décrire le même phénomène. La spécificité de la stigmergie est que les
individus échangent des informations par le biais du travail en cours, de l'état d'avancement de la
tache globale à accomplir [51,53].
4.7.2.3.4. Les pistes de phéromones :
Les fourmis ont la particularité d'employer pour communiquer des substances volatiles
appelées phéromones. Elles sont attirées par ces substances, qu'elles perçoivent grâce à des
récepteurs situés dans leurs antennes. Ces substances sont nombreuses et varient selon les
62
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
espèces. Les fourmis peuvent déposer des phéromones au sol, grâce à une glande située dans leur
abdomen, et former ainsi des pistes odorantes, qui pourront être suivies par leurs congénères[13].
Les fourmis utilisent les pistes de phéromone pour marquer leur trajet entre le nid et une
source de nourriture en choisissant le plus court chemin sans que les individus aient une vision
globale du trajet.
Un petit exemple illustre le problème de test standard pour l'optimisation de colonie de
fourmis est double pont le plus simple problème avec les deux chemins (figure 4.6) où le
chemin (2) est plus court que le chemin (1). Les angles de ces deux chemins sont égaux à la fois
le point A (le nid) et point B (la nourriture) de telle sorte que les fourmis ont des chances égales
( la probabilité) de choisir chaque chemin au hasard dans la phase initiale au point A[24].
Figure (4.6) : Le problème à double pont ou le chemin (2) est plus court que le chemin (1)
Figure (4.7) :(a) les fourmis choisissent chaque chemin avec une probabilité égale, et (b)
presque toutes les fourmis se déplacent le long du chemin le plus court
Au départ, cinquante pour cent des fourmis irait le long du chemin le plus long (1) et la
phéromone s'évapore à une vitesse constante, mais la concentration de phéromone deviendra plus
petite dans le chemin (1) est plus long et prend donc plus de temps pour déplacer. À l'inverse, la
concentration de phéromone sur le chemin le plus court sera augmentée régulièrement. Après
quelques instants, presque toutes les fourmis se déplacent le long du chemin le plus court.
4.8. Les fourmis artificielles (virtuelles) :
La fourmi artificielle se présente sous la forme d'un ensemble de procédures qui définissent
son comportement. Celui-ci est très semblable à celui de la fourmi naturelle quand elle recherche
de la nourriture. Le code qui définit leur comportement permet aux fourmis artificielles de se
déplacer dans l'espace combinatoire formé par les différents éléments qui peuvent être utilisés
pour le problème à résoudre (nous dirons qu'elle construit une solution). La mémorisation de ces
déplacements donne la forme d'une solution où chaque étape est désignée par l'indice de
l'élément et où l'ordre de parcours désigne la position des éléments dans la solution.
63
Chapitre 4
4.9. Similarités et différences
réelles[9,31,51,53] :
Les méthodes métaheuristiques
entre les fourmis artificielles et les fourmis
Les fourmis virtuelles (artificielles) ont une double nature. D’une part, elles modélisent les
comportements abstraits de fourmis réelles, et d’autre part, elles peuvent être enrichies par des
capacités que ne possèdent pas les fourmis réelles, afin de les rendre plus efficaces que ces
dernières. Nous allons maintenant synthétiser ces ressemblances et différences.
4.9.1. Points communs :
Colonie d’individus coopérants : Comme pour les fourmis réelles, une colonie virtuelle
est un ensemble d’entités non-synchronisés, qui se rassemblent ensemble pour trouver
une "bonne" solution au problème considéré.
Pistes de phéromones : son rôle principal est de changer la manière dont
l’environnement est perçu par les fourmis, en fonction de l’historique laissée par ces
phéromones.
Évaporation des phéromones : La métaheuristique ACO comprend aussi la possibilité
d’évaporation des phéromones. Ce mécanisme permet d’oublier lentement ce qui s’est
passé avant. C’est ainsi qu’elle peut diriger sa recherche vers de nouvelles directions,
sans être trop contrainte par ses anciennes décisions.
Recherche du plus petit chemin : Les fourmis réelles et virtuelles partagent un but
commun de rechercher le chemin le plus court.
Déplacement locaux : Les vraies fourmis ne sautent pas des cases, tout comme les
fourmis virtuelles. Elles se contentent de se déplacer entre sites adjacents du terrain.
Choix aléatoire lors des transitions : Les fourmis réelles et virtuelles doivent décider sur
quel site adjacent se déplacer. Cette prise de décision se fait au hasard et dépend de
l’information locale déposée sur le site courant. Elle doit tenir compte des pistes de
phéromones, mais aussi du contexte de départ (ce qui revient à prendre en considération
les données du problème d’optimisation combinatoire pour une fourmi virtuelle).
4.9.2. Différences :
Citons quelques caractéristiques que possèdent les fourmis virtuelles et n’existent pas dans
les fourmis réelles :
Elles vivent dans un monde non-continu : leurs déplacements consistent en des
transitions d’état et peuvent sauter d’un élément à un autre, tandis que les fourmis
naturelles progressent de façon continue sur le chemin.
Mémoire (état interne) de la fourmi : les fourmis réelles ont une mémoire très limitée.
Tandis que les fourmis virtuelles mémorisent l’historique de leurs actions. Elles peuvent
aussi retenir des données supplémentaires sur leurs performances.
Nature des phéromones déposées : Les fourmis réelles déposent une information
physique sur la piste qu’elles parcourent, là où les fourmis virtuelles modifient des
informations dans les variables d’états associées au problème. Ainsi, l’évaporation des
phéromones est une simple décrémentation de la valeur des variables d’états à chaque
itération.
Qualité de la solution : les fourmis virtuelles déposent une quantité de phéromone
proportionnelle à la qualité de la solution qu’elles ont découvert.
Retard dans le dépôt de phéromone : Les fourmis virtuelles peuvent mettre à jour les
pistes de phéromones de façon non immédiate : souvent elles attendent d’avoir terminé la
construction de leur solution. Ce choix dépend du problème considéré bien évidemment.
Capacités supplémentaires : les fourmis virtuelles peuvent être pourvues de capacités
artificielles afin d’améliorer les performances du système. Ces possibilités sont liées au
problème et peuvent être :
64
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
1. l’anticipation : la fourmi étudie les états suivants pour faire son choix et non
seulement l’état local.
2. le retour en arrière : une fourmi peut revenir à un état déjà parcouru car la
décision qu’elle avait prise à cet état a été mauvaise.
On prend le problème du voyageur de commerce comme un exemple pour illustrer la
démarche de CF.
4.10. Algorithme d’optimisation de colonie de fourmis pour le problème des voyageurs de
commerce :
Le problème du voyageur de commerce (Travelling Salesman Problem, TSP) a fait l'objet de
la première implémentation d'un algorithme de colonies de fourmis : le Ant System (AS) où 3
versions ont proposé (Dorigo et al en 1991 ;Colonrni, Dorigo et Maniezzo en 1991 ; Dorigo en
1992) ont été appelés ant-density, ant-quantity, et ant-cycle[24,31,53,58].
4.10.1. Algorithme de base :
Le problème du voyageur de commerce consiste à trouver le trajet le plus court (désigne par
« tournée » ou plus loin par « tour ») reliant n villes données, chaque ville ne devant être visitée
qu'une seule fois. Le problème est plus généralement défini comme un graphe complètement
connecte (N,A), où les villes sont les nœuds N et les trajets entre ces villes, les arêtes A.
A chaque itération 1
construit un trajet complet de
, chaque fourmi k(k=1,….m) parcourt le graphe et
| | étapes (on note| |le cardinal de l'ensemble N).
Pour chaque fourmi, le trajet entre une ville i et une ville j dépend de :
La liste des villes déjà visitées, qui définit les mouvements possibles à chaque pas, quand
la fourmi k est sur la ville i : ;
L'inverse de la distance entre les villes:
=
appelée visibilité. Cette information
!
«statique» est utilisée pour diriger le choix des fourmis vers des villes proches, et éviter
les villes trop lointaines ;
La quantité de phéromone déposée sur l'arête reliant les deux villes, appelée l'intensité de
la piste" . Ce paramètre définit l'attractivité d'une partie du trajet global et change à
chaque passage d'une fourmi. C'est, en quelque sorte, une mémoire globale du système,
qui évolue par apprentissage.
Figure (4.8) : Une fourmi qui arrive dans la ville i choisit la prochaine ville en fonction de la
sur les arcs reliant la ville i à la ville j
valeur de phéromone " et les valeurs heuristiques
dont la fourmi n'a pas encore visité.
65
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
La règle de déplacement appelée «règle aléatoire de transition proportionnelle» est la
suivante :
=#
∑
∝
$% ! & ' .*+ ! ,
*% .
.∈01
∝
-
& , .*+ ! ,
-
; 345 ∈
(4.1)
0; 345 ∈ Où :
∝et7 sont deux paramètres contrôlant l'importance relative de l'intensité de la piste,"
la visibilité .
Avec :
, et de
∝ 0, seule la visibilité de la ville est prise en compte; la ville la plus proche est donc
choisie à chaque pas.
7 0, seules les pistes de phéromone jouent.
Pour éviter une sélection trop rapide d'un trajet, un compromis entre ces deux paramètres,
jouant sur les comportements de diversification et d'intensification est nécessaire.
Après un tour complet, chaque fourmi laisse une certaine quantité de phéromone∆"
l'ensemble de son parcours, quantité qui dépend de la qualité de la solution trouvée :
∆"
=:
Où :
;
1
&
; 34 4, 5 ∈ =
0; 34 4, 5 ∈ =
=
: est le trajet effectué par la fourmi k à l'itérationt
>
: la longueur de la tournée et Q un paramètre fixé.
sur
(4.2)
L'algorithme ne serait pas complet sans le processus d'évaporation des pistes de phéromone.
En effet, pour éviter d'être piégé dans des solutions sous optimales, il est nécessaire de permettre
au système «d'oublier» les mauvaises solutions. On contrebalance donc l'additivité des pistes par
une décroissance constante des valeurs des arêtes à chaque itération. La règle de mise à jour des
pistes est donc :
Où :
"45
+ 1 = 1 − @ . "45
∆"
= ∑AB ∆" A
+ ∆"45
(4.3)
(4.4)
66
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Et m est le nombre de fourmis. La quantité initiale de phéromone sur les arêtes est une
distribution uniforme d'une petite quantitéτD E 0.
La figure (4.9) présente un exemple simplifié de problème du voyageur de commerce.
Figure (4.9) : Le problème du voyageur du commerce, les points représentent les villes et
l'épaisseur des arêtes la quantité de phéromone déposée. (a) exemple de trajet construit par une
fourmi. (b) au début du calcul, tous les chemins sont explorés. (c) le chemin le plus court est plus
renforcé que les autres. (d) l'évaporation permet d'éliminer les moins bonnes solutions.
4.11. Variantes du système de fourmis :
4.11.1. Ant System & elitisme :
Une première variante du « Système de Fourmis » a été introduit dans l'affaire Dorigo
(1992) et Dorigo et al en (1991a, 1996)[26,58] : elle est caractérisée par l'introduction de fourmis
« élitistes ». Dans cette version, la meilleure fourmi (celle qui a effectué le trajet le plus court)
déposé une quantité de phéromone plus grande, dans l'optique d'accroître la probabilité des
autres fourmis d'explorer la solution la plus prometteuse.[31,51,53,58]
4.11.2. Ant-Q :
Dans cette variante de AS, la règle de mise à jour locale est inspirée du « Q learning ».
Cependant, aucune amélioration par rapport à l'algorithme AS n'a pu être démontrée. Cet
algorithme n'est d'ailleurs, de l'aveu même des auteurs, qu'un pré version du « Ant Colony
System ».
4.11.3. Ant Colony System :
L'algorithme « Ant Colony System » (ACS) a été introduit pour améliorer les
performances du premier algorithme sur des problèmes de grandes tailles. ACS est fondé sur des
modifications du AS :[53]
a) ACS introduit une règle de transition dépendant d'un paramètreFD 0 ≤ FD ≤ 1), qui
définit une balance diversification/intensification. Une fourmi k sur une ville i choisira
une ville j par la règle :
67
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
5
G
HIJ KHLM∈NOP*% Q
& ,. + 0 - R;S TUTV
34F > FD
;
(4.5)
Où :
q est une variable aléatoire uniformément distribuée sur [0,1] et
aléatoirement selon la probabilité :
En fonction du paramètre FD , il y a
A
N
=∑
J∈
A
une ville sélectionnée
% 0 & X. + 0 % . & X. + . .∈0O
(4.6)
donc deux comportements possibles :
Si Y > YZ : le choix se fait de la même façon que pour l'algorithme AS, et le système
tend à effectuer une diversification ;
Si Y ≤ YZ :le système tend au contraire vers une intensification.
b) La gestion des pistes est séparée en deux niveaux : une mise à jour locale et une mise à
jour globale. Chaque fourmi dépose une piste lors de la mise à jour locale :
1 = 1 − @ ."
"
Où :
@. "D
(4.7)
"D : est la valeur initiale de la piste.
A chaque passage, les arêtes visitées voient leur quantité de phéromone diminuer, ce qui
favorise la diversification par la prise en compte des trajets non explorés. A chaque itération, la
mise à jour globale s'effectue comme ceci :
"
1 = 1−@ ."
@. ∆"
Où : les arêtes (i, j) appartiennent au meilleur tour T+ de longueur L+ et où∆"
(4.8)
=
[
.
Ici, seule la meilleure piste est donc mise à jour, ce qui participe à une intensification par
sélection de la meilleure solution.
c) Le système utilise une liste de candidats. Cette liste stocke pour chaque ville les plus
proches voisines, classées par distances croissantes. Une fourmi ne prendra en compte
une arête vers une ville en dehors de la liste que si celle-ci a déjà été explorée.
Concrètement, si toutes les arêtes ont déjà été visitées dans la liste de candidats, le choix
se fera en fonction de la règle (4.5) si non c'est la plus proche des villes non visitées qui
seront choisies.
68
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.12. Application des ACF aux réseaux électriques :
L’algorithme appliqué peut être décrit comme suit [41]:
Etape 1: entrer les paramètres du système (les contraintes d’égalité et d’inégalité)
Etape 2: chaque fourmi est placée sur l’état initial qui est produit aléatoirement d’une
gamme raisonnable dans chaque dimension en plaçant les éléments de Pg comme Pg=U
(Pgmin, Pgmax) où U (Pgmin, Pgmax) dénote les résultats d’une variable aléatoire
uniformément distribuée s’étendant au-dessus de la valeur plus bas liée donnée et des
valeurs liées supérieures des sorties de puissance active des générateurs.
Etape 3: dans cette étape, selon la fonction objective, leur exécution sera pesée comme
valeur de forme physique pour chaque fourmi. L’influence directe de cette valeur dépend
du niveau de la quantité de phéromone s’ajoutant aux directions particulières que les
fourmis ont choisies.
Etape 4: les fourmis sont expédiées ont basé au niveau de l’intensité et de la visibilité de
phéromone.
Etape 5: à chaque fourmi, calculer le flux de puissance afin de faire des ajustements
précis sur les valeurs optimales obtenues en étape 4. Ceci fournira des tensions mises à
jour, pêche et précise des générateurs ayant dépassé des limites réactives.
Organigramme du modèle :
Figure (4.10) : Organigramme de l’ACO-OPF
69
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.13. L’optimisation par essaim de particules (OEP) :
L’optimisation par Essaim de Particules (OEP) est une métaheuristique née en 1995 aux
Etats-Unis et inventée par Russel Eberhart et James Kennedy sous le nom de Particle Swarm
Optimization (PSO)[16,24,26,59,60]. Cette technique est fondée sur l'analogie des essaims
d'oiseaux et de la scolarisation des poissons dans la nature. Elle a été présentée comme
alternative aux AGs et possède des similitudes avec l’algorithme des colonies de fourmis.[9,11]
L’algorithme d’essaim de particules peut avoir des ressemblances avec des algorithmes
génétiques et des algorithmes de fourmis. Notamment car il fait intervenir des agents pouvant
communiquer entre eux de manière très simple et permettant l’émergence de comportements
complexes. Les individus de l'algorithme sont appelés particules et la population est appelée
essaim. Mais il est beaucoup plus simple car il n'utilise pas les opérateurs de mutation,
croisement / ou phéromone. Au lieu de cela, il utilise le caractère aléatoire du nombre réel et la
communication global entre les particules essaim. En ce sens, il est aussi plus facile à mettre en
œuvre car il n'y a pas d'encodage ou de décodage des paramètres en binaire chaînes que celles
des algorithmes génétiques qui peuvent également utiliser des chaînes de nombres réels.
Cet algorithme est initialisé par une population de solutions potentielles aléatoires,
interprétées comme des particules se déplaçant dans l’espace de recherche. Chaque particule est
attirée vers sa meilleure position découverte par le passé ainsi que vers la meilleure position
découverte par les particules de son voisinage (ou de tout l’essaim, dans la version globale de
l’algorithme).
4.13.1. Description informelle [13,60] :
La version standard actuelle peut facilement être décrite en se plaçant du point de vue d’une
particule. Au départ de l’algorithme, un essaim est réparti au hasard dans l’espace de recherche,
chaque particule ayant également une vitesse aléatoire. Ensuite, à chaque pas de temps:
chaque particule est capable d’évaluer la qualité de sa position et de garder en mémoire
sa meilleure position qu’elle a atteinte jusqu’ici (qui peut en fait être parfois la position
courante), et sa qualité (la valeur en cette position de la fonction à optimiser),
chaque particule est capable d’interroger un certain nombre de ses congénères (ses
informatrices, dont elle-même) et d’obtenir de chacune d’entre elles sa propre meilleure
performance,
chaque particule choisit la meilleure des meilleures performances dont elle a
connaissance, modifie sa vitesse en fonction de cette informatrice et de ses propres
données, et se déplace en conséquence.
Une fois la meilleure informatrice détectée, la modification de la vitesse est une simple
combinaison linéaire de trois tendances, à l’aide de coefficients de confiance :
la tendance « aventureuse » consistant à continuer selon la vitesse actuelle ;
70
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
la tendance « conservatrice » ramenant plus ou moins vers la meilleure position déjà
trouvée ;
et la tendance « panaurgienne » orientant approximativement vers la meilleure
informatrice.
Les termes « plus ou moins » ou « approximativement » font référence au fait que le hasard
joue un rôle, grâce à une modification aléatoire limitée des coefficients de confiance, ce qui
favorise l’exploration de l’espace de recherche. Naturellement, pour pouvoir être programmé,
tout ceci est formalisé dans des équations de mouvement. Un point intéressant est que,
contrairement à d’autres heuristiques, il existe des analyses mathématiques précisant les
conditions de convergence et le choix des paramètres.
4.13.2. Concept de base :
PSO démarre le processus d’optimisation par une population des solutions aléatoires qui se
déplacent dans l’espace de recherche par une vitesse V où le déplacement de chaque particule
dans l’espace de recherche, est basé sur sa position actuelle et la mise à jour de sa vitesse.
\
]
Tel que :
\
^
]
]
=\
^
]
(4.9)
, \ : Position de la particule i à l’itération k+1 et k respectivement,
: Vitesse de la particule i à l’itération k+1.
Chaque particule dans l’essaim, change sa vitesse suivant deux informations essentielles.
Une, est liée à son expérience personnelle, qui est la meilleure position trouvée par la particule
durant le processus de recherche pbest. La deuxième information, concernant la meilleure
position trouvée par les voisins (lbest) (ou par tout l’essaim, dans la version globale de
l’algorithme gbest). Cette information est obtenue à partir de la connaissance de la façon dont les
autres agents ont exécuté leurs recherches et change sa position actuelle via l’intégration de trois
vecteurs vbest, vgbest et v. La Figure (4.11) présente le principe de déplacement des particules
dans l’espace de recherche à chaque itération.
Le principe de changement de la vitesse est défini par l’équation (4.10).
^
D’où :
]
= _^
` . IH a * bc3 − \ ,
`d . IH ad Jbc3 − \
(4.10)
_: La fonction de pondération,
C , Cd : Les facteurs de pondération,
71
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
^ : La vitesse de l’agent (de particule) i à l’itération k,
IH a , IH ad: Deux nombres aléatoires répartis uniformément générés séparément entre 0 et 1,
\ : La position actuelle d’agent i à l’itération k,
bc3 : La meilleure position trouvée par la particule i,
Jbc3 : La meilleure position trouvée par l’essaim (de tout le groupe).
La fonction de pondération _ qui est donnée par l’équation suivante :
_=_
−
fghi jfg k
&lmghi
n 4 cI
(4.11)
où :
_
_
: Poids initial,
o
4 cI
: Poids final,
: Nombre d’itération maximum,
4 cI : Itération courante.
La fonction de pondération w joue un rôle important dans la procédure de recherche. Elle
permet de s’approcher graduellement de bc3 et de Jbc3 et garantit un équilibre entre la
recherche locale et la recherche globale. Un bon choix de cette fonction augmente l’efficacité de
la méthode pour avoir une solution globale. L’expérience a montré que la diminution linéaire de
la valeur de w de 0.9 à 0.4 au cours de la procédure de recherche donne des meilleurs
résultats[14,59].
Figure (4.11) : Principe de déplacement d’un point de recherche par PSO.
72
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.13.3. Organigramme :
L’organigramme général du PSO, est présenté selon la procédure illustrée par la figure (4.12)
[59].
Etape 1 : Génération d’un état initial de chaque particule.
Les points de recherche initiaux, la position (\ D ) et la vitesse (^ D ) de chaque particule sont
habituellement générés aléatoirement dans l’espace de recherche. Le point de recherche courant
est placé à pbest pour chaque agent. La meilleure valeur évaluée de pbest est placée à gbest.
Etape 2 : Recherche d’une nouvelle position pour chaque agent
La valeur de la fonction objective est calculée pour chacun des agents. Si la valeur d’un
agent est meilleure que son pbest courant, pbest prend cette nouvelle valeur. Si la meilleure
valeur de pbest est meilleure que gbest courant, gbest est remplacé par celle-ci et l’agent qui
correspond à cette valeur est ainsi stocké.
Etape 3 : Modification de chaque point de recherche
Le point de recherche courant du chaque agent est changé en utilisant les équations (4.9),
(4.10) et (4.11).
Etape 4 : Vérification de l’état de sortie
Le nombre courant d’itération atteint le nombre maximum d’itération itertuv , alors fin du
programme, autrement, retourner à l’étape 2.
Figure (4.12) : Organigramme général de PSO
73
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
4.14. Applications des méthodes métaheuristiques à l’OPF :
4.14.1. Réseau modèle IEEE à 14 nœuds :
Le réseau test IEEE 14 nœud étudié est constitué de 14 nœuds, 20 branches dont 3
transformateurs et 4 nœuds sont contrôlables. Ce réseau contient alors 8 variables de contrôle (y
compris le nœud balancier). Les tests sont faits dans une première étape pour les conditions
limites suivantes : sur les tensions et rapports de transformateurs en p.u[44]:
0.9 ≤ VL ≤ 1.1 ;
0 .9 ≤ V g ≤ 1 . 1 ;
0.9 ≤ a ≤ 1.1
Les valeurs planifiées des puissances et les caractéristiques du réseau sont données par
les tableaux suivants :
xw (Mvar)
x (Mvar)
N°
du Tension
Noeud
(p.u)
Angle (°)
1
1.06
0.00
-
-
-
-
2
1.00
-
70
30
21.7
12.7
3
1.00
-
0.00
0.00
94.2
19.0
4
1.00
-
0.00
0.00
47.8
-3.9
5
1.00
-
0.00
0.00
7.6
1.6
6
1.00
-
0.00
0.00
11.2
7.5
7
1.00
-
0.00
0.00
0.00
0.00
8
1.00
-
0.00
0.00
0.00
24.0
9
1.00
-
0.00
0.00
29.5
16.6
10
1.00
-
0.00
0.00
9.0
5.8
11
1.00
-
0.00
0.00
3.5
1.8
12
1.00
-
0.00
0.00
6.1
1.6
13
1.00
-
0.00
0.00
13.5
5.8
14
1.00
-
0.00
0.00
14.9
5.0
w
(MW)
(MW)
Tableau (4.2) : Caractéristiques des lignes du réseau IEEE 14 nœuds
74
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Liaison i-j
R[p.u]
X[p.u]
yz{/} [p.u]
1-2
0.01938
0.05917
0.05280
1-5
0.05403
0.22304
0.04920
2-3
0.04699
0.19797
0.30438
2-4
0.05811
0.17632
0.03400
2-5
0.05695
0.17388
0.0346
4-3
0.06701
0.17103
0.0128
4-7
0.0000
0.20912
0.0000
5-4
0.01335
0.04211
0.0000
5-6
0.0000
0.25202
0.0000
6-11
0.09498
0.19890
0.0000
6-12
0.012291
0.25581
0.0000
6-13
0.06615
0.13027
0.0000
7-8
0.0000
0.17615
0.0000
7-9
0.0000
0.11001
0.0000
9-4
0.0000
0.55618
0.0000
9-10
0.03181
0.0845
0.0000
9-14
0.012711
0.27038
0.0000
10-11
0.08205
0.19207
0.0000
12-13
0.22092
0.19988
0.0000
13-14
0.17039
0.34802
0.0000
Tableau (4.3) : Les valeurs planifiées du réseau IEEE 14 nœuds
Nous avons appliqué au réseau testé (IEEE 14 nœuds) seulement les deux méthodes
métaheuristiques détaillées précédemment: la méthode des algorithmes génétiques et la méthode
des essaims particulaires. Nous choisissons les paramètres de contrôle présentés dans le tableau
(4.4) qui ont été obtenus avec un ajustement approprié après plusieurs tests dans le but
d’obtenir des bons résultats. Notons ici que la représentation de chaque chromosome dans l’AG
est faite en code binaire par 16 bits. . Dans ce cas, la valeur attribuée au facteur de pénalisation α
est prise égale à 10 et ceci après plusieurs exécutions faites.
75
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Méthode métaheuristique
AG
PSO
N•€•
T‡ˆ‡
150 ;P„
20 ;Wtuv
Paramètres de contrôle
0.9; Pt
0.005; T‡ˆ‡ =20; croisement : double
0.9; Wt‹•
0.4; C1=C2=2.0; itertuv
Tableau (4.4) : Paramètres de contrôle des mathématiques AG et PSO
150
4.14.2. Résultats obtenus :
Figure (4.13): Variation des pertes actives en fonction du nombre de générations par l’AG
Figure (4.14): Variation des pertes actives en fonction du nombre d’itérations par PSO
76
Chapitre 4
Les méthodes métaheuristiques
Nœuds
Avant
optimisation
Après optimisation (p.u)
AG
PSO
1
1.0600
1.1000
1.1000
2
1.0450
1.0877
1.0837
3
1.0100
1.0586
1.0575
6
1.0700
1.0914
1.1000
8
1.0900
1.1000
1.1000
13.637
12.284
12.280
(MW)
Tableau (4.5) : Amplitudes de tension aux nœuds de contrôle et pertes actives avant et après
optimisation
Transformateur
Avant
optimisation
Après optimisation (p.u)
AG
PSO
04-07
0.9780
0.9500
0.9485
04-09
0.9690
0.9004
0.9000
05-06
0.9320
0.9876
0.9789
Tableau (4.6) : Rapports de transformation des régleurs en charge avant et après optimisation
D’après les résultats obtenus et illustrés dans les tableaux (4.5) et (4.6), on remarque que
les deux méthodes métaheuristiques sont efficaces et donnent des meilleurs résultats en
comparant avec ceux obtenus avant l’optimisation. On constate aussi qu’il n y a pas une grande
différence entre les deux méthodes en tenant compte que la méthode PSO est plus robuste que la
méthode d’AG grâce à la simplicité des règles appliquées.
4.15. Conclusion:
Dans ce chapitre, nous essayons de présenter les méthodes métaheuristiques qui connaissent
une large utilisation touchant tous les domaines à cause de leur simple concept et qu’elles
peuvent résoudre en obtenant des solutions acceptables des problèmes assez complexes tels que
le problème d’OPF. La robustesse et la précision de telles méthodes dépendent de la manière de
poser le concept pour la résolution du problème en tenant compte du choix des paramètres. Les
trois méthodes métaheuristiques utilisent des populations d’individus fondées sur des propriétés
d’auto-organisation, mais ayant chacune son domaine de compétence. L’application de la
résolution du problème de l’écoulement optimal de la puissance réactive par les méthodes d’AG
et PSO donnent des bons résultats et surtout ceux résolus par la PSO.
77
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
5.1. Introduction :
Il est remarquable que le domaine de l’optimisation continue a connu une révolution depuis
1984, lorsque Karmarkar Narendra a annoncé la méthode du point interieur en temps
polynominal pour la programmation linéaire et a commencé une nouvelle vague de
recherche[17,34,62]. En 1985, un lien formel a été établi entre sa méthode et des méthodes de
barrière classique. Depuis lors, les méthodes du point interieur ont connu un développement
exceptionnel, donnant lieu à un changement radical dans l’étude théorique et la résolution
numérique des programmes mathématiques linéaires et non linéaires [18,63,64,65] et deviennent
une approche très attrayante pour le problème OPF due à trois raisons: (i) la facilité de la
manipulation des contraintes d'inégalité par des fonctions logarithmiques barrière, (ii) la vitesse
de convergence et (iii) un strict point faisable initial n'est pas nécessaire[62,66].
Ces méthodes sont développées dans le but de résoudre convenablement des programmes
mathématiques non lineaires, ayant des dimensions importantes. Parmi les différentes approches
étudiées, les méthodes de points intérieurs primal-dual semblèrent être les plus performantes et
les plus populaires comparées aux autres algorithmes de points intérieurs et à l’algorithme du
simplex.[18,63,65]
On peut citer les travaux les plus récents dans ce domaine :
Auteur/
Année
Formulation mathématique
Cléments, K et
al / 1991
Formulation PL (Programmation
Linéaire)
Logarithmique fonction
Barrière
Estimation d’état
Quintana, V et
al / 1991
Formulation PL (Programmation
Linéaire)
Variante Duale Affine
Planification
Lu, N.C et al /
1992
Formulation PL (Programmation
Linéaire)
Variante Primale-Affine
Réseau Contraintes
Contrôle et sécurité
Sherkat, V et al
/ 1992
Formulation PL (Programmation
Linéaire)
Variante Projective-Scalling
Planification
Vargas, L et al
/1992
Formulation PL (Programmation
Linéaire)
Variante Duale Affine
Sécurité Contraintes
Répartition Optimale
Granville,
/1993
Formulation non-convexe
(Programmation Linéaire)
Variante Primale-Duale
Répartition Optimale du
réactive
S
Variante de la méthode de Problème du système
PI utilisée
de puissance
Sing, H et all /
1993
Formulation PL (Programmation
Linéaire)
Fonction Barrière
Estimation d’état
Momoh, J et al /
1993
Formulation PQ (Programmation
Quadratique)
Variante Duale Affine
Planification des Var et
répartition économique
Tableau (5.1) : Les différentes variantes de la méthode du point intèrieur[15]
78
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
5.2. Principe de la méthode du point interieur :
L’idée de départ d’une méthode typique de point intèrieur est de ne pas résoudre directement
le problème d’optimisation précédent, mais de résoudre une série de problèmes approchés où à
partir d’une valeur initiale du paramètre de perturbation strictement positif et d’un point initial
strictement réalisable, on résout de manière approchée le problème barrière. On calcule ensuite
un nouveau paramètre de perturbation (de pénalité[51]) strictement positif et infèrieur au
précédent. Donc , on obtient un nouveau problème barrière à résoudre. On le résout de manière
approchée à travers la solution approchée du problème barrière précédent et ainsi de suite
jusqu’à tend vers 0 de plus en plus prés de la solution du problème initial en trouvant la
solution à l’interieur du problème de réalisabilité c-à-d dans le domaine
admissible[15,32,38,64,67].
Le principe de la méthode du point interieur se base sur trois méthodes[62,15,68,69] :
La méthode de Newton pour résoudre les équations non linéaires.
La méthode de Lagrange pour l’optimisation avec contraintes d’égalité.
La méthode de barrière Fiacco et Mc Cormik pour l’optimisation avec contraintes
d’inégalité.
On suppose que le problème d’optimisation, généralement, est représenté par :
Min f x
souscontraintes: h x = 0
g x ≤ 0
(5.1)
Où :
x : vecteur de variables d’optimisation ;
f(x) : la fonction à optimiser ;
h(x) : les contraintes d’égalité ;
g(x) : les contraintes d’inégalité.
Le système d’équations (5.1) est non linéaire. Alors, on utilise la méthode de Newton pour le
résoudre.
La technique du point intérieur commence par déterminer une solution initiale qui est utilisée
pour localiser une solution réalisable ou presque faisable. Il y a alors deux procédures à exécuter
de façon itérative jusqu'à ce que la solution optimale a été trouvée. La première est la
détermination d'une direction de recherche pour chaque variable dans l'espace de recherche par
la méthode de Newton. Cette dernière est la détermination d'une longueur de pas normalement
attribuer une valeur aussi proche que possible à l'unité pour accélérer la convergence de solution
tout en maintenant strictement la faisabilité primal et dual. Une solution calculée à chaque
79
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
itération sera vérifiée pour l'optimalité par les conditions Karush-Kuhn-Tucker (KKT), qui sont
constituées de faisabilité primale, faisabilité duale et la faisabilité des écarts complémentaires.
L’application des conditions d’optimalité de KKT dans le problème (5.1) présente comme
suite[32,70,71,72] :
,
∇
ℎ
$
%
Avec:
∇
,
=0
≤0
! &$
!
≥0
,
!"
,
!"
=0
(5.2)
(5.3)
(5.4)
=0
(5.5)
(5.6)
=∇ (
+ ∇ ℎ
+∇ $
!
(5.7)
Où:
∇
, , ! ": est le vecteur des dérivées premières de la fonction lagrangienne par rapport aux
variables x ;
,
!:
les multiplicateurs de Lagrange des contraintes d’égalité et d’inégalité respectivement.
La méthode du point intèrieur propose une modéfication des conditions d’optimalité KKT
durant le processus de convergence.
Les équations (5.4) sont converties en égalité a travers les variables d'écart (slacks) s> 0 et
le problème strict combinatoire des équations complémentaires (5.5) est perturbé par le
paramètre µ ≥ 0. Cette approche se traduit par les expressions suivantes [32,71,72,73]:
∇
,
$
+* =0
ℎ
%
,
=0
! &*
*,
!"
= 0
− ,=0
!,
≥0
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
(5.13)
80
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
où :
e : vecteur unitaire [1, … . ,1]2 ;
: parramètre barrière
Avec :
=3
465 . 7
89:
(5.14)
Où :
3 : paramètre de direction ou de centrage[51] ( définit le chemin de parcourt vers le point
optimal), ; ∈ [0,1] ;
=?> . @
ABC
: la moyenne des distances ;
NEF : nombre de contraintes type d’inégalité
On note ici que les variables d’écart sont utilisées pour transformer les contraintes
d’inégalité en contraintes d’égalité et pour prendre en compte le fait que les variables primales x
sont libres, c’est-à-dire sans bornes.
Le système des équations non linéaire (5.9) à ( 5.12) est résolu itérativement par la méthode
de Newton, en deux étapes. Dans la première, les variables ∆ et ∆ sont déterminées par
l'ensemble d'équations linéaires suivant :
H
Où :
T=∇
U = ∇ℎ
+ ∇$
VQ = −∇
,∆
VR = −ℎ
∇
J
t
Δx
L.H
L = Pt Q S
0 ∆λO
R
H
JK
=∇ (
2
,∆
P
(5.15)
! S ∇$
*
!" −
+Z ℎ
(5.16)
∇$
2 [* WQ ]
+Z $
X ,+%
! &$
Y
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Dans la deuxième étape, les variables d’écart et les multiplicateurs correspondants sont
obtenus par :
∆
∆* = −$
!
=−
!
− * − ∇$
+ [* WQ ]. [ , − %
∆
! &Δ*\
(5.21)
(5.22)
81
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
Afin d'assurer la non-négativité de S et de λg en (5.13), deux scalaires sont utilisés et
déterminés pour mettre à jour les variables primales et duales, respectivement (5.23 et 5.24).
]^ = _`a Hminc7def g∆7 g , 1L
7d
d
]h = _`a Hminc45def gc4
Avec : ]^ ∈ [0,1] et ]h ∈ [0,1].
45d
5d g
, 1L
(5.23)
(5.24)
Les variables primales et duales sont mises à jour :
i
=
+ 0.99995]^ Δ
(5.25)
* i = * + 0.99995]^ Δ*
i
!
i
=
=
!
+ 0.99995]h Δ
+ 0.99995]h Δ
(5.26)
(5.27)
!
(5.28)
Où le facteur 0.99995 assure que (5.13) est satisfaite.[32,71]
Noter ici que puisque la condition KKT originale (5.5) doit être satisfaite au point optimal, le
paramètre de perturbation doit converger vers zéro au cours des itérations.
D’après le choix de la valeur de 3qui intervient entre l’intervalle [0.1], la valeur de
s’influe ( tend vers 0 ou non) et automatiquement la solution. Ce choix dépend du type de
problème à résoudre et de ces données. D’après sa valeur, on peut classer les differentes
méthodes du point interieur.
5.3. Différentes méthodes du point interieur :
La plupart des méthodes de points intérieurs appartiennent à des trois catégories[17, 38,70] :
5.3.1. Méthodes de mise à l’echelle affine ( affine scalling methods) :
C’est une méthode itérative due a Dikin [18] où σ = 0 à chaque itération. Ce qui correspond
à la soi-disante affine-scaling direction. Dans ce cas, le point optimal est obtenu grâce à la
solution non perturbée des conditions KKT. La solution idéale serait d’effectuer une recherche
dans la direction du pas de Newton et de choisir la valeur de ]l qui donnerait le meilleur itéré
suivant. Vu que cette solution est trop couteuse en temps de calcul, elle est délaissée à l’heure
actuelle.
82
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
5.3.2. Méthodes de suivi de chemin ( path-following methods) :
Famille d'algorithmes qui allient de bonnes performances theorique et pratique. Elles sont
articulées autour du chemin central et se caractérisent par un choix du paramètre σ qui diffèrent
de zéro. Leur principe revient à définir un certain voisinage autour du chemin central, et à faire
évoluer les itérés à l’interieur de ce voisinage, tout en progressant vers la solution. elles sont
fondées sur 3 idées :
5.3.2.1. Méthodes de suivi de chemin à pas court :
Elle est qualifiée par le choix des valeurs de σ constantes, comprises entre « 0 » et « 1 »,
mais proche de « 0 »; ce qui oblige la méthode de Newton d’atteindre un point du chemin central
relativement proche de l’itéré courant, ce qui entraine le calcul d’un pas relativement court et une
progression assez lente vers la solution (l’extrémité du chemin).
5.3.2.2. Méthodes de suivi de chemin à prédicteur-correcteur:
De même, cette méthode cherche à atteindre les deux objectifs : viser une cible de chemin
central, et se rapprocher de l’optimum sans se préocuper de la centralité des itérés, ce qui conduit
très vite aux bords de la zone admissible.
σ = 1 : viser à se rapprocher du chemin central, avec peu de chance de converger vers un
optimum.
Phase de prédiction : partant de l’itéré courant situé à l’interieur de la zone admissible,
on effectue un pas de type σ =0, qui va s’éloigner du chemin central.
Phase de correction : Partant de l’itéré courant, on effectue un pas de recentrage (de type
σ =1). Ce recentrage permet des pas de Newton plus long.
5.3.2.3. Méthode de suivi de chemin à pas long :
Le choix de σ est compris entre deux valeurs :3 mno qui garanti un certain recentrag, et 3 mp
qui garanti une certaine progression minimale vers la solution à chaque itération.
5.3.3. Méthodes de réduction de potentiel :
Les méthodes de réduction de potentiel (potentiel reduction methods) prennent des pas de
Newton de la même forme que ceux des méthodes de suivi de chemin. Elles utilisent une
fonction potentielle logarithmique répondant aux deux conditions suivantes :
1.Elle tend vers -∞ si et seulement si l’itéré tend vers une solution optimale ;
2.Elle tend vers + ∞ lorsqu’on se rapproche des contraintes de non négativité sans se rapprocher
simultanément de l’optimalité.
Nous avons choisi une des méthodes appartenant à la série des méthodes de suivi de chemin
à pas court ; c’est la méthode Pure Primal Dual Interior Point, où le paramètre σ est constant
durant tout le processus itératif et est égal à la valeur « 0.1 »[32].
Voici l’organigramme des méthodes du point interieur :
83
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
Formulation du problème :
_`a (
*rs*traVuv`aV,*: ℎ
= 0` = 1,2, . . _
$
≤ 0` = 1,2, … a
Calcul du Lagrangien :
x =(
+
2
ℎ
+
2
! $
avec Z=[ ,
Calcul de Gradient et du Hessien :
∆ x =[
T = ∇R
z x
]
zxn
zR x
€
• z nz |
• zR x
zR x
x ={
}=•
zxn zx|
•z n z |
• zR x
•
~z !n z |
,
y
!]
zR x
z nz |
0
0
zR x
ƒ
z n z !| ‚
‚
0 ‚
‚
‚
0 ‚
•
Application des conditions K.K.T :
Z
, , !" = 0
‡
ℎ
= 0…
$
≤ 0 où ∇
% ! &$
= 0†
…
! ≥ 0 „
,
,
!"
= ∇ (
+ ∇ ℎ
+ ∇ $
!
Modification des conditions K.K.T :
Z
, , !"
€
ƒ
ℎ
•
‚
• $
+ * ‚ = 0 avec
•
‚
• % ! &* − , ‚
*, ! ,
~
•
= 3.
465 .7
89:
~
84
~
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
Choix de la méthode du point intérieur à appliquer :
Méthode PDIPM (3 = 0.1
Résoudre le système
1ère étape : résoudre le système :
T
H 2
U
. P !S . ∇ $
*
=Z (
+ Z ℎ
+Z $
U = Zℎ
T=Z
‹
…
…
Z
U
V
∆
L.H
L = PVQ S où
0 ∆
R
Š
…
…VQ = −Z
‰
+∇ $
,∆
,∆
!"
2
− Z$
VR = −ℎ
2 [* WQ ]
X , + % ! &$
Y
2ème étape : résoudre le système :
Œ
∆* = −$
− * − Z$ ∆ ∆ ! = − ! + [* WQ ]. [ , − % ! &•*\
Assurer la non-négativité de S et !
en introduisant les limites :
*
‹ ]^ = _`a { _`a | , 1}
…
Ž7d ef g∆*| g
!|
Š
, 1}
…]h = _`a {Ž4_`a
ef
g•
5d
‰
!| g
Calcul des nouvelles variables primales et duales :
i
= + 0.99995. ]^ . •
‹
… * i = * + 0.99995. ]^ . •*
Š
…
‰
Calcul de :
i
!
i
=
=
!
+ 0.99995. ]h . •
+ 0.99995. ]h . • !
=
≤’
3.
2
! . •
•n‘
NON
OUI
Fin du programme
Figure (5.1) : Organigramme de la méthode du point intérieur
85
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
5.4. Algorithme simplifié du point intèrieur pour la programmation non linéaire :
On simplifie la présentation de la méthode du point intèrieur en la donnant sous la forme
illustrée ci-dessous. La formulation mathématique du problème d'optimisation peut être exprimée
comme un problème de programmation non linéaire[74] :
“`a(
•rs*traVuv`aV,*:ℎ
≤ mp
mno ≤
=0
(5.29)
Où :
f(x) : est la fonction objective
h(x) : sont les contraines d’égalité
mno :
mp
est la limite inférieure de la variable x
: est la limite supérieure de la variable x
Les contraintes d’inégalité de (5.29) sont transformées en des contraintes d'égalité à l'aide de
variables d'écart non-négatives ” , • . Le problème de PNLNE (5.29) devient :
“`a(
‹
= 0
…•rs*traVuv`aV,*:ℎ
” + − mp = 0
Š
• − + mno = 0
…
‰
” , • ≥ 0
(5.30)
Les variables d'écart sont inclus dans f(x) comme des termes logarithmiques (fonction
logarithmique barrière), de sorte que le problème (5.30) devient :
“`a(
− ∑ —a ”| + —a •|
‹
…•rs*traVuv`aV,*:ℎ
= 0
” + − mp = 0
Š
• − + mno = 0
…
‰
” , • ≥ 0
où le paramètre de barrière
progresse.
(5.31)
> 0et est diminué jusqu'à zéro que l'itération algorithme
La fonction Lagrangienne de (5.31) est :
86
Chapitre 5
=(
− ∑ —a
”|
+ —a
•| "
−
2
ℎ
− ™2
”
+
−
Méthode du point intérieur
mp
− š2
Où , ™,Vš sont les vecteurs des multiplicateurs de Lagrange.
•
−
+
mno
(5.32)
Sur la base des conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) du premier ordre de sousproblème, un ensemble de équations algébriques non linéaires est formé et ensuite résolu par
l'algorithme de Newton-Raphson. La procédure d'itération de la méthode du point intèrieur est
arrêtée lorsque les conditions de KKT sont suffisamment petites ou inférieures à la tolérance
spécifiée ’comme est indiqué dans ce qui suit[74]:
‖
‖ = ‖∇(
‖ 4 ‖=‖ℎ
ž
ž
Ÿž
™2
,
=‖
ž=‖
”
+ š2
”
•
− ∇ℎ2
‖≤’
+
−
•
−
+
≤’
mp
− γ − ϕ‖ ≤ ’
‖≤’
mno ‖
≤’
(5.33)
(5.34)
(5.35)
(5.36)
(5.37)
Dans la théorie primal-dual :
” ,V • :
sont les variables primales ;
, ™,Vš: sont les variables duales;
L’équation (5.33) représente les conditions duales réalisables, les équations (5.34),(5.35) et
(5.36) présentent les conditions primales réalisables, et l’équation (5.37) est la condition des
écarts complémentaires. Par conséquent, la solution optimale répondant aux critères d'arrêt de
(5.33) à (5.37), avec la solution réalisable satisfait aux critères d'arrêt dans (5.34) à (5.36).
5.5. Méthode du point intérieur appliquée à l’OPF :
En se référant aux applications précédentes dans le calcul des réseaux électriques où la
première étape dans la transformation de ce problème est d’ajouter les variables d’écarts afin
que toutes les équations deviennent des contraintes d’égalité.
La formulation OPF se compose de trois composantes principales: la fonction objective, les
contraintes d'égalité, et les contraintes d'inégalité.
5.5.1. La fonction objective :
La minimisation des pertes totales de puissance active par le biais de l'optimisation du
générateur et les compensateurs de la puissance réactives, et les sources de changement de
puissance réactive (les condensateurs, les réacteurs), qui peuvent être formulés comme suit
[74,75,76] :
87
Chapitre 5
minimiserf ¡, ¢
Méthode du point intérieur
f x = P¤ = ∑o•
n¦Q ¥n
avec :
(5.38)
(5.39)
¥§ : Perte de la puissance active du système;
¥n : Perte de la puissance active dans la ligne i;
nl : nombre de lignes de transmission.
5.5.2. Les contraintes d’égalité et d’inégalité:
Le système de puissance est mis en vigueur à travers les équations de l’écoulement de
puissance qui exigent que l’injection des puissances active et réactive à chaque nœud doit être
égale à zéro.
¨ ¡, ¢, ¨ = 0
(5.40)
¥| = 0 = ¡| ∑on¦Q[¡o [©|o cos ;| − ;o " + ª|o sin ;| − ;o ]] − ¥«n + ¥¬n
(5.42)
¥ ¡, ¢, ¥ = 0
Avec :
¨| = 0 = ¡| ∑on¦Q[¡o [©|o *`a ;| − ;o " − ª|o tr* ;| − ;o ]] − ¨«n + ¨¬n
8∑8
n¦Q ¥«n − ∑n¦Q ¥¬n − ¥§ = 0
(5.41)
(5.43)
(5.44)
Et les contraintes d’inégalité :
Limites sur les puissances réactives des générateurs et des compensateurs :
mno
mp
¨«n
≤ ¨«n ≤ ¨«n
(5.45)
¡nmno ≤ ¡n ≤ ¡nmp
(5.46)
¨7mno
n ≤ ¨7
(5.47)
Grandeurs de tension à tous les nœuds :
limites sur les sources de puissance réactive (éléments shunts) :
n
≤ ¨7mpn
L’introduction de variables d’écart¡” , ¡• , ¨«” , ¨«• , ¨7 ” , ¨7 • , qui sont inclues en tant que
f(x) comme des termes logarithmiques (fonction logarithmique barrière), le problème peut être
écrit comme suit:
88
Chapitre 5
Méthode du point intérieur
³@O
min( ¡, ¢ −μ ∑on¦Q ln ¡”n + —a¡•n − ∑8«
l¦Q —a¨«”l + —a¨«•l − μ ∑²¦Q ln Q @O±² +
—a¨7 •m
(5.48)
Avec :
n : nombre des nœuds ;
NG : nombre des générateurs ;
nsh : nombre des éléments shunts.
Sous contraintes :
´
Q V, θ, Q = 0
P V, θ, P = 0
(5.49)
Q·± − ¨«mp − Q· = 0
‹
Q·¸ − Q· − ¨«mno = 0
…
…Q
mp
− Q@O = 0
@O± − ¨7
= 0
Š ¨7 • − ¨7 − ¨7
mp
…
− V = 0
… V± − ¡
‰ ¡• − ¡ − ¡ mno = 0
mno
(5.50)
Le lagrangien du problème d'optimisation ci-dessus peut être défini comme suit :
³@O
= min( ¡, ¢ −μ ∑on¦Q ln ¡”n + —a¡•n − ∑8«
l¦Q —a¨«”l + —a¨«•l − μ ∑²¦Q ln Q @O±² +
—a¨7 •m − 2 ¨ ¡, ¢, ¨ − ¹ 2 ¥ ¡, ¢, ¥ − ™”2 ¡” − ¡ mp + ¡ − ™•2 ¡• − ¡ + ¡ mno " −
º”2 ¨«” − ¨«mp + ¨« − º•2 ¨«• − ¨« + ¨«mno " − »”2 ¨7
¨7mno ”
− ¨7mp + ¨7
− »•2 ¨7 • − ¨7 +
(5.51)
Où :
, ¹ 2 , ™”2 , ™•2 , º”2 , º•2 , »”2 , »•2 : sont les multiplicateurs de Lagrange. Les conditions KKT
d'optimalité conduisent à des équations matricielles suivantes :
2
∇¼ = ∇¼ ( − ¨¼2 − ¥¼2 ¹ = 0
(5.52)
∇¾- = −¨¾2 - − º” − º• = 0
(5.54)
∇½ = ∇½ ( − ¨½2 − ¥½2 ¹ − ™” − ™• = 0
∇¾¿À = −¨¾2 ¿À − »” − »• = 0
∇½Á = 0 ⇒ •” ™” = − ,
∇½Ã = 0 ⇒ •• ™• = − ,
∇¾-Á = 0 ⇒ ¨«” º” = − ,
(5.53)
(5.55)
(5.56)
(5.57)
(5.58)
89
Chapitre 5
∇¾-à = 0 ⇒ ¨«• º• = − ,
∇¾¿ÀÁ = 0 ⇒ ¨7 ” »” = − ,
∇¾¿Àà = 0 ⇒ ¨7 • »• = − ,
Méthode du point intérieur
(5.59)
(5.60)
(5.61)
Les équations des conditions d'optimalité KKT ci-dessus sont résolues avec une seule étape
par la méthode de Newton qui pourrait impliquer un système prédicteur-correcteur. deux
approches sont possibles:
a. Le système des équations (5.50) et les équations (5.56) à (5.61) sont d'abord utilisés
pour éliminer les variables d'écart et les multiplicateurs de Lagrange correspondants,
puis le système réduit résultant est linéarisé.
b. l'ensemble du système est tout d'abord linéarisé, puis les équations respectives sont
utilisées pour éliminer les inconnues, ce qui donne un système linéaire réduit.
La procédure pour résoudre les conditions KKT du problème de l’algorithme Primal-Duel
Logarithmique Barrière (APDLB) peut être résumée comme suit :
Etape 1 : nous supposons un point de départ qui satisfait à la condition de positivité sur
f
les variables d'écart, et un paramètre de barrière
> 0qui fait que les termes
logarithmiques de la fonction objective à dominer sur la valeur de l'objectif initial
( ¡ f , ¢ f ".
Etape 2 : les équations de KKT sont résolues par une itération de la méthode de Newton.
Etape 3 : toutes les variables sont mises à jour.
Etape 4 : le paramètre barrière est réduit en conséquence au point suivant. ce processus
itératif est répété jusqu'à ce que les faisabilités primales et duales sont réalisés dans une
précision acceptable, et un critère d'arrêt est satisfait.
5.6. Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons cité les différentes méthodes du point intérieur en détaillant la
méthode la plus utilisée « Primal-Dual » et son application à l’OPF pour obtenir une solution
approchée à ce problème. Cette méthode numérique a l’avantage de prendre en considération
dans le calcul toutes les contraintes d’égalité et d’inégalité. L’idée de base est d’utiliser la
fonction barrière de sorte qu’elle devient très efficace et robuste, qui est l'une des raisons parmi
laquelle certains chercheurs ont maintenant tendance à voir la programmation linéaire comme un
cas particulier de la programmation non linéaire.
90
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
6.1. Introduction :
Dans ce chapitre, nous présentons la simulation et les résultats de l’application de
l’écoulement optimale des puissances réactives et du contrôle des tensions d’un réseau
électrique IEEE-57 nœuds [15,31,43]. Le critère choisi est la minimisation des pertes actives
totales à puissances actives fixes sauf celle du nœud de bilan en utilisant les 3 méthodes déjà
présentées dans les chapitres précédents : les deux méthodes métaheuristiques qui sont la
méthode des algorithmes génétiques et la méthode des essaims de particules et la numérique
qui est la méthode du point intérieur.
6.2. Données et conditions initiales du réseau 57 nœuds :
Le schéma du réseau électrique à 57 nœuds illustré par la figure (6.1), comprend :
04 nœuds de production 1, 3, 8 et 12 ;
18 transformateurs avec régleurs en charge (taps);
03 nœuds de production de la puissance réactive (compensateurs) : 2, 6 et 9 ;
03 batteries de condensateurs aux nœuds: 18, 25 et 53 ;
78 lignes de transports.
Figure (6.1) : Réseau de 57 nœuds de IEEE
91
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
Les données principales et les limites permises de fonctionnement sont résumées dans les tableaux
(6.1), (6.2) et (6.3) où la consommation totale est de 1250.8 MW pour une puissance de base égale à 100
MVA.
N° de la ligne
Liaison
R [pu]
X [pu]
Ysh/2 [pu]
Rapport de transformation
(Taps)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
1-2
1-15
1-16
1-17
2-3
3-4
3-15
4-5
4-6
4-18
5-6
6-7
6-8
7-8
7-29
8-9
9-10
9-11
9-12
9-13
9-55
10-12
10-51
11-13
11-41
11-43
12-13
12-16
12-17
13-14
13-15
13-49
14-15
14-46
15-45
18-19
19-20
20-21
21-22
22-23
22-38
23-24
24-25
0.0083
0.0178
0.0454
0.0238
0.0298
0.0112
0.0162
0.0625
0.0430
0.000
0.0302
0.0200
0.0339
0.0139
0.0000
0.0099
0.0369
0.0258
0.0648
0.0481
0.000
0.0277
0.000
0.0223
0.0000
0.0000
0.0178
0.0180
0.0397
0.0132
0.0269
0.0000
0.0171
0.0000
0.0000
0.4210
0.2830
0.0000
0.0736
0.0099
0.0192
0.1660
0.0000
0.280
0.0910
0.2060
0.1080
0.08500
0.0366
0.0530
0.1320
0.1480
0.5555
0.0641
0.1020
0.1730
0.0712
0.0648
0.0505
0.1679
0.0848
0.2950
0.1580
0.1205
0.1262
0.0712
0.0732
07490
0.1530
0.0580
0.0813
0.1790
0.0434
0.0869
0.1910
0.0547
0.0735
0.1042
0.6850
0.4340
0.7767
0.1170
0.0152
0.0295
0.2560
1.1820
0.0645
0.0494
0.0273
0.0143
0.0190
0.0138
0.0272
0.0129
0.0174
0.0000
0.0062
0.0138
0.0235
0.0097
0.0000
0.0274
0.0220
0.0109
0.0386
0.0203
0.0000
0.0164
0.000
0.0094
0.0000
0.0000
0.0302
0.0108
0.0238
0.0055
0.0115
0.0000
0.0074
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0042
0.0000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
92
Chapitre 6
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
24-26
25-30
26-27
27-28
28-29
29-52
30-31
31-32
32-33
32-34
34-35
35-36
36-37
36-40
37-38
37-39
38-44
38-48
38-49
39-57
40-56
41-42
41.43
41-56
42-56
44-45
46-47
47-48
48-49
49-50
50-51
52-53
53-54
54-55
56-57
0.0000
0.1350
0.1650
0.0618
0.0418
0.1442
0.3260
0.5070
0.0392
0.0000
0.0520
0.0430
0.0290
0.0300
0.0651
0.0239
0.0289
0.0312
0.1150
0.0000
0.0000
0.2070
0.0000
0.5530
0.2125
0.0624
0.0230
0.0182
0.0834
0.0834
0.1386
0.0762
0.1878
0.1732
0.1740
0.4730
0.2020
0.2540
0.0954
0.0587
0.1870
0.4970
0.7550
0.0360
0.9530
0.0780
0.0537
0.0366
0.0466
0.1009
0.0379
0.0585
0.0480
0.1770
1.3550
1.1950
0.3520
0.4120
0.5490
0.3540
0.1242
0.0680
0.0233
0.1290
0.1280
0.2200
0.9840
0.2320
0.2265
0.2600
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0016
0.0080
0.0000
0.0000
0.0010
0.0000
0.0010
0.0000
0.0030
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0020
0.0016
0.0000
0.0024
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Tableau (6.1): Les données des lignes et des transformateurs
Les valeurs planifiées des puissances demandées, des tensions et des angles de phases sont
indiquées au tableau suivant :
N° du
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
Tension
[P.U]
1.0400
1.0100
0.9850
1.0000
1.0000
0.9800
1.0000
1.0050
Angle
[Degré]
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[MW]
0.00
40.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-
[Mvar]
0.00
0.00
0.00
-
[MW]
55.50
30.00
41.00
0.00
13.00
75.00
0.00
150.00
[Mvar]
17.00
88.00
21.00
0.00
4.00
2.00
0.00
22.00
93
Chapitre 6
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
0.9800
1.0000
1.0000
1.0150
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
310.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
6.30
0.00
0.00
0.00
0.00
121.00
5.00
0.00
377.00
18.00
10.50
22.00
43.00
42.00
27.20
3.30
2.30
0.00
0.00
6.30
0.00
6.30
0.00
9.30
4.60
17.00
3.60
5.80
1.60
3.80
0.00
6.00
0.00
0.00
14.00
0.00
0.00
6.30
7.10
2.00
12.00
0.00
0.00
29.70
0.00
18.00
21.00
18.00
4.90
20.00
4.10
6.80
7.60
6.70
26.00
2.00
0.00
24.00
2.30
5.30
5.00
3.00
8.00
9.80
0.60
1.00
0.00
0.00
2.10
0.00
3.20
0.00
0.50
2.30
2.60
1.80
2.90
0.80
1.90
0.00
3.00
0.00
0.00
7.00
0.00
0.00
3.00
4.40
1.00
1.80
0.00
0.00
11.60
0.00
8.50
10.50
5.30
2.20
10.00
1.40
3.40
3.20
2.00
Tableau (6.2): Puissances actives et réactives demandées, tensions et phases
94
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
…………
…………
minimales
maximales
0.9
1.1
0.9
1.1
-17.00
50.00
-10.00
60.00
-8.00
25.00
-140.00
200.00
-15.00
90.00
-50.00
155.00
0
20
0
25
0
10
Tableau (6.3) : Les limites
6.3. Les paramètres des méthodes :
Choix des paramètres de l’AG :
o la taille de population = 50,
o probabilité de croissement = 0,9,
o probabilité de mutation = 0,01,
o itération maximum (nombre de génération) = 150.
Choix des paramètres de PSO :
o Tpop = 40 ;
o α = 10 ;
o
= 09;
o
= 0.3;
o C1, C2=2.0 ;
o iter max = 300 itérations.
Choix des paramètres de PI:
o λ
( )
= 1.0;
( )
o λ$ = 1.0;
o σ = 0.1.
6.4. Résultats et analyses :
Dans cette partie, on exposera les différents résultats ainsi la comparaison entre les
différentes applications et simulations qui sont organisées comme suite :
1. Cas N° 1: Résultats état initial
2. Cas N° 2 : Résultats après correction des tensions
3. Cas N° 3 : Résultats par la méthode des algorithmes génétiques après correction des tensions
4. Cas N° 4 : Résultats par la méthode des essaims de particules après correction des tensions
5. Cas N° 5 : Résultats par la méthode du point intérieur sans corrections des tensions
95
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
6.4.1. Cas N° 1 :
Le tableau suivant est tenir compte comme un cas de base et présente les résultats de l’état
initial.
N° du
Tension
Angle
nœud
[P.U]
[Degré]
[MW]
[Mvar]
[MW]
[Mvar]
1
1.0400
0.0
55.50
17.00
479.89
142.32
2
1.0100
-1.2
0.00
30.00
88.00
5.73
3
0.9850
-6.0
41.00
21.00
40.00
14.05
4
0.9792
-7.2
0.00
0.00
0.00
0.00
5
0.9756
-8.5
0.00
0.00
13.00
4.00
6
0.9800
-8.6
0.00
75.00
2.00
8.09
7
0.9823
-7.5
0.00
0.00
0.00
0.00
8
1.0050
-4.5
150.00
22.00
450.00
67.92
9
0.9800
-9.6
0.00
121.00
26.00
11.39
10
0.9818
-11.6
0.00
0.00
5.00
2.00
11
0.9709
-10.2
0.00
0.00
0.00
0.00
12
1.0150
-10.5
377.00
24.00
310.00
139.98
13
0.9793
-9.9
0.00
0.00
18.00
2.30
14
0.9711
-9.4
0.00
0.00
10.50
5.30
15
0.9851
-7.2
0.00
0.00
22.00
5.00
16
1.0122
-8.9
0.00
0.00
43.00
3.00
17
1.0161
-5.4
0.00
0.00
42.00
8.00
18
0.9507
-17.2
0.00
27.20
9.80
10.00
19
0.9244
-17.3
0.00
0.00
3.30
0.60
20
0.9205
-16.4
0.00
0.00
2.30
1.00
21
0.9137
-14.4
0.00
0.00
0.00
0.00
22
0.9160
-14.0
0.00
0.00
0.00
0.00
23
0.9142
-14.1
0.00
0.00
6.30
2.10
24
0.9015
-14.7
0.00
0.00
0.00
0.00
25
-25.4
0.00
6.30
3.20
0.8515
5.90
26
0.9189
-12.2
0.00
0.00
0.00
0.00
27
0.9425
-11.3
0.00
0.00
9.30
0.50
28
0.9582
-10.4
0.00
0.00
4.60
2.30
29
0.9720
-9.8
0.00
0.00
17.00
2.60
30
-25.7
0.00
0.00
3.60
1.80
0.8301
31
-25.7
0.00
0.00
5.80
2.90
0.8030
32
-23.1
0.00
0.00
1.60
0.80
0.8262
33
-23.1
0.00
0.00
3.80
1.90
0.8235
34
-15.9
0.00
0.00
0.00
0.00
0.8638
35
-15.5
0.00
0.00
6.00
3.00
0.8731
36
-15.1
0.00
0.00
0.00
0.00
0.8849
37
-14.8
0.00
0.00
0.00
0.00
0.8939
38
0.9200
-13.8
0.00
0.00
14.00
7.00
39
-14.8
0.00
0.00
0.00
0.00
0.8923
40
-15.2
0.00
0.00
0.00
0.00
0.8837
41
0.9279
-15.1
0.00
0.00
6.30
3.00
42
-16.7
0.00
0.00
7.10
4.40
0.8833
43
0.9574
-11.7
0.00
0.00
2.00
1.00
44
0.9331
-12.8
0.00
0.00
12.00
1.80
96
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
0.9727
0.9571
0.9341
0.9300
0.9368
0.9283
0.9705
0.9351
0.9223
0.9412
0.9701
0.8731
0.8646
-9.9
0.00
0.00
-11.5
0.00
0.00
-13.2
0.00
0.00
-13.4
0.00
0.00
-13.6
0.00
0.00
-14.1
0.00
0.00
-13.0
0.00
0.00
-11.7
0.00
0.00
-12.5
0.00
6.30
-11.9
0.00
0.00
-10.9
0.00
0.00
-17.1
0.00
0.00
-17.8
0.00
0.00
Tableau (6.4) : Résultats état initial
0.00
0.00
29.70
0.00
18.00
21.00
18.00
4.90
20.00
4.10
6.80
7.60
6.70
0.00
0.00
11.60
0.00
8.50
10.50
5.30
2.20
10.00
1.40
3.40
3.20
2.00
&=
1279.89 MW
' =1250.80 MW
( =29.09 MW
1.15
1.1
V sans correction
Vmin
Vmax
tension (p.u)
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0.8
0
10
20
30
nombre de noeuds
40
50
60
Figure (6.2): variation des tensions sans correction en fonction du nombre de nœuds
On remarque que 14 nœuds parmi les 57 qui sont: 25, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40,
42, 56, 57 ont dépassés la limite inférieure imposée de la tension qui est égale à 0.9 p.u. Le nœud
31 a subi la plus grande violation par la valeur de 0.8030 p.u. Pour une recommandation du
système, et d’après les dispositifs de contrôle disponibles, la batterie de condensateur qui existe
déjà au nœud 25 doit produire 13 MVAR de puissance réactive. Le deuxième dispositif est le
transformateur situé entre les nœuds 56-57 doit passer du gradin 1 au gradin 0.97 (c’est-à-dire de
diminuer son rapport de transformation de 0.03). Le troisième dispositif de contrôle est le
97
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
transformateur 11-43 qui doit dépasser du gradin 1 au gradin 0.97. Finalement, le quatrième
dispositif de contrôle est le transformateur 11-41 qui doit diminuer son rapport de transformation
de 0.04.
6.4.2. Cas N° 2 :
Nous présentons ici, les résultats obtenus après la correction des tensions.
N° du
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Tension
[P.U]
1.0400
1.0100
0.9850
0.9801
0.9763
0.9800
0.9840
1.0050
0.9800
0.9845
0.9724
1.0150
0.9828
0.9762
0.9888
1.0134
1.0174
0.9554
0.9342
0.9333
0.9315
0.9345
0.9336
0.9358
0.9990
0.9357
0.9512
0.9638
0.9758
0.9709
0.9236
0.9081
0.9057
0.9016
0.9061
0.9142
0.9203
0.9369
Angle
[Degré]
0.0
-1.2
-6.0
-7.2
-8.5
-8.6
-7.5
-4.4
-9.6
-11.5
-10.3
-10.5
-9.9
-9.4
-9.9
-8.9
-5.4
-17.1
-17.3
-16.6
-14.5
-14.2
-14.3
-15.5
-25.5
-12.9
-11.6
-10.6
-9.8
-25.3
-24.8
-21.9
-22.0
-16.3
-15.8
-15.3
-15.0
-13.8
[MW]
479.33
0.00
40.00
0.00
0.00
0.00
0.00
450.00
0.00
0.00
0.00
310.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[Mvar]
128.04
1.45
2.08
0.00
0.00
6.51
0.00
62.43
-0.30
0.00
0.00
113.24
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
18.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[MW]
55.50
30.00
41.00
0.00
13.00
75.00
0.00
150.00
121.00
5.00
0.00
377.00
18.00
10.50
22.00
43.00
42.00
27.20
3.30
2.30
0.00
0.00
6.30
0.00
6.30
0.00
9.30
4.60
17.00
3.60
5.80
1.60
3.80
0.00
6.00
0.00
0.00
14.00
[Mvar]
17.00
88.00
21.00
0.00
4.00
2.00
0.00
22.00
26.00
2.00
0.00
24.00
2.30
5.30
5.00
3.00
8.00
9.80
0.60
1.00
0.00
0.00
2.10
0.00
3.20
0.00
0.50
2.30
2.60
1.80
2.90
0.80
1.90
0.00
3.00
0.00
0.00
7.00
98
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
0.9196
-15.0
0.00
0.00
0.00
0.9131
-15.4
0.00
0.00
0.00
0.9607
-15.0
0.00
0.00
6.30
0.9141
-16.4
0.00
0.00
7.10
0.9894
-11.6
0.00
0.00
2.00
0.9472
-12.8
0.00
0.00
12.00
0.9810
-9.8
0.00
0.00
0.00
0.9658
-11.4
0.00
0.00
0.00
0.9463
-13.2
0.00
0.00
29.70
0.9434
-13.4
0.00
0.00
0.00
0.9474
-13.5
0.00
0.00
18.00
0.9367
-14.0
0.00
0.00
21.00
0.9743
-12.9
0.00
0.00
18.00
0.9381
-11.7
0.00
0.00
4.90
0.9249
-12.5
0.00
6.30
20.00
0.9427
-11.9
0.00
0.00
4.10
0.9706
-10.8
0.00
0.00
6.80
0.9007
-16.8
0.00
0.00
7.60
0.9155
-17.4
0.00
0.00
6.70
Tableau (6.5) : Résultats après correction des tensions
0.00
0.00
3.00
4.40
1.00
1.80
0.00
0.00
11.60
0.00
8.50
10.50
5.30
2.20
10.00
1.40
3.40
3.20
2.00
&=
1279.33 MW
' =1250.80 MW
( =28.53 MW
1.1
V aprés correction
Vmin
Vmax
tension (p.u)
1.05
1
0.95
0.9
10
20
30
nombre de noeuds
40
50
60
Figure (6.3): variation des tensions après la correction en fonction du nombre de nœuds
99
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
6.4.3. Cas N° 3 :
Dans ce cas, nous illustrons les résultats obtenus par la méthode métaheuristique de
l’algorithme génétique après la correction des tensions
N° du
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Tension
[P.U]
1.1000
1.0870
1.0700
1.0650
1.0607
1.0636
1.0652
1.0858
1.0476
1.0357
1.0366
1.0506
1.0408
1.0385
1.0570
1.0571
1.0699
1.0375
1.0083
1.0015
0.9905
0.9917
0.9903
0.9828
0.9392
1.0021
1.0262
1.0414
1.0547
0.9197
0.9001
0.9146
0.9150
0.9461
0.9541
0.9643
0.9720
0.9946
0.9704
0.9631
0.9990
Angle
[Degré]
0.0
-1.18
-5.54
-6.6
-7.64
-7.7436
-6.80
-4.17
-8.459
-10.00
-8.98
-8.91
-8.60
-8.26
-6.43
-7.59
-4.63
-15.04
-15.04
-14.29
-12.63
-12.31
-12.39
-12.97
-21.80
-10.76
-10.018
-9.29
-8.77
-22.10
-22.05
-19.90
-20.17
-14.00
-13.65
-13.29
-13.00
-12.08
-13.04
-13.33
-13.21
[MW]
474.78
0.00
40.00
0.00
0.00
0.00
0.00
450.00
0.00
0.00
310.00
310.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[Mvar]
75.78
49.82
42.74
0.00
0.00
1.33
0.00
92.88
-4.09
0.00
0.00
39.64
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
18.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[MW]
55.50
30.00
41.00
0.00
13.00
75.00
0.00
150.00
121.00
5.00
0.00
377.00
18.00
10.50
22.00
43.00
42.00
27.20
3.30
2.30
0.00
0.00
6.30
0.00
6.30
0.00
9.30
4.60
17.00
3.60
5.80
1.60
3.80
0.00
6.00
0.00
0.00
14.00
0.00
0.00
6.30
[Mvar]
17.00
88.00
21.00
0.00
4.00
2.00
0.00
22.00
26.00
2.00
0.00
24.00
2.30
5.30
5.00
3.00
8.00
9.80
0.60
1.00
0.00
0.00
2.10
0.00
3.20
0.00
0.50
2.30
2.60
1.80
2.90
0.80
1.90
0.00
3.00
0.00
0.00
7.00
0.00
0.00
3.00
100
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
0.9587
1.0248
1.0073
1.0451
1.0265
1.0058
1.0023
1.0056
0.9939
1.0269
1.0176
1.0041
1.0174
1.0400
0.9501
0.9428
-14.55
0.00
0.00
7.10
-10.22
0.00
0.00
2.00
-11.22
0.00
0.00
12.00
-8.73
0.00
0.00
0.00
-10.07
0.00
0.00
0.00
-11.58
0.00
0.00
29.70
-11.75
0.00
0.00
0.00
-11.84
0.00
0.00
18.00
-12.26
0.00
0.00
21.00
-11.19
0.00
0.00
18.00
-10.34
0.00
0.00
4.90
-11.04
0.00
20.00
6.30
-10.45
0.00
0.00
4.10
-9.51
0.00
0.00
6.80
-14.96
0.00
0.00
7.60
-15.57
0.00
0.00
6.70
Tableau (6.6) : Résultats par la méthode de l’AG
4.40
1.00
1.80
0.00
0.00
11.60
0.00
8.50
10.50
5.30
2.20
10.00
1.40
3.40
3.20
2.00
PG= 1274.78 MW
PC=1250.80 MW
PL=23.98 MW
1.1
V AG
Vmax
Vmin
tension (p.u)
1.05
1
0.95
0.9
10
20
30
40
nombre de noeuds
50
60
Figure (6.4): variation des tensions après la correction par la méthode de l’AG
6.4.4. Cas N° 4 : Le tableau suivant, présente les résultats obtenus des tensions par la méthode
métaheuristique des essaims de particules.
101
Chapitre 6
N° du
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
Tension
[P.U]
1.0998
1.0865
1.0732
1.0690
1.0601
1.0798
1.0723
1.0855
1.0612
1.0597
1.0610
1.0772
1.0547
1.0492
1.0634
1.0657
1.0781
1.0387
1.0166
1.0123
0.9927
0.9943
0.9926
0.9933
0.9948
1.0165
1.0379
1.0531
1.0614
0.9108
0.9081
0.9275
0.9186
0.9452
0.9636
0.9674
0.9732
0.9946
0.9578
0.9853
0.9991
1.0173
1.0321
1.0072
1.0463
1.0274
Angle
[Degré]
0.0
-1.18
-5.58
-6.64
-7.71
-7.77
-6.83
-4.29
-8.56
-10.07
-8.81
-8.78
-8.63
-8.34
-6.57
-7.69
-4.72
-14.93
-14.95
-14.32
-12.58
-12.31
-12.36
-12.87
-21.54
-10.73
-10.015
-9.27
-8.79
-21.72
-21.67
-19.52
-20.15
-13.86
-13.65
-13.21
-12.97
-12.00
-13.11
-13.29
-13.17
-14.43
-10.27
-11.20
-8.73
-10.07
[MW]
474.56
0.00
40.00
0.00
0.00
0.00
0.00
450.00
0.00
0.00
310.00
310.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[Mvar]
69.23
47.59
52.78
0.00
0.00
1.33
0.00
54.39
23.15
0.00
0.00
62.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
18.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[MW]
55.50
30.00
41.00
0.00
13.00
75.00
0.00
150.00
121.00
5.00
0.00
377.00
18.00
10.50
22.00
43.00
42.00
27.20
3.30
2.30
0.00
0.00
6.30
0.00
6.30
0.00
9.30
4.60
17.00
3.60
5.80
1.60
3.80
0.00
6.00
0.00
0.00
14.00
0.00
0.00
6.30
7.10
2.00
12.00
0.00
0.00
[Mvar]
17.00
88.00
21.00
0.00
4.00
2.00
0.00
22.00
26.00
2.00
0.00
24.00
2.30
5.30
5.00
3.00
8.00
9.80
0.60
1.00
0.00
0.00
2.10
0.00
3.20
0.00
0.50
2.30
2.60
1.80
2.90
0.80
1.90
0.00
3.00
0.00
0.00
7.00
0.00
0.00
3.00
4.40
1.00
1.80
0.00
0.00
102
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
1.0066
-11.55
0.00
0.00
29.70
1.0041
-11.72
0.00
0.00
0.00
1.0075
-11.81
0.00
0.00
18.00
0.9813
-12.25
0.00
0.00
21.00
1.0351
-11.23
0.00
0.00
18.00
1.0182
-10.31
0.00
0.00
4.90
1.0056
-11.06
0.00
20.00
6.30
1.0198
-10.49
0.00
0.00
4.10
1.0600
-9.58
0.00
0.00
6.80
0.9703
-14.86
0.00
0.00
7.60
0.9587
-15.43
0.00
0.00
6.70
Tableau (6.7) : Résultats par la méthode des essaims de particules
11.60
0.00
8.50
10.50
5.30
2.20
10.00
1.40
3.40
3.20
2.00
PG= 1274.67 MW
PC=1250.80 MW
PL=23.87 MW
1.1
tension (p.u)
1.05
1
V PSO
Vmin
Vmax
0.95
0.9
0
10
20
30
nombre de noeuds
40
50
60
Figure (6.5): variation des tensions par la méthode des essaims de particules
6.4.5. Cas N° 5 :
Nous présentons à travers le tableau ci-dessous les résultats obtenus des tensions par la
méthode numérique du Point intérieur (Primal-Dual) des tensions.
103
Chapitre 6
N° du
nœud
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
Tension
[P.U]
1.0999
1.0898
1.0855
1.0813
1.0791
1.0831
1.0824
1.0999
1.0851
1.0670
1.0670
1.0810
1.0658
1.0595
1.0726
1.0778
1.0800
1.0552
1.0278
1.0218
1.0118
1.0132
1.0118
1.0039
0.9620
1.0225
1.0457
1.0604
1.0733
0.9431
0.9188
0.9382
0.9358
0.9685
0.9763
0.9865
0.9941
1.0162
0.9928
0.9855
1.0283
0.9880
1.0550
1.0276
1.0626
1.0478
Angle
[Degré]
0
-1.19
-5.66
-6.73
-7.76
-7.87
-6.94
-4.39
-8.74
-10.14
-9.16
-9.08
-8.73
-8.35
-6.51
-7.72
-4.72
-14.84
-14.85
-14.14
-12.51
-12.21
-12.29
-12.83
-21.19
-10.75
-10.02
-9.32
-8.81
-21.47
-21.42
-19.40
-20.16
-13.83
-13.50
-13.16
-12.89
-11.99
-12.92
-13.21
-13.14
-14.37
-10.32
-11.15
-8.7165
-10.07
[MW]
474.18
0.00
40.00
0.00
0.00
0.00
0.00
450.00
0.00
0.00
0.00
310.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[Mvar]
34.62
50.00
60.00
0.00
0.00
16.28
0.00
39.38
76.68
0.00
0.00
78.55
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
10.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5.90
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
[MW]
55.50
30.00
41.00
0.00
13.00
75.00
0.00
150.00
121.00
5.00
0.00
377.00
18.00
10.50
22.00
43.00
42.00
27.20
3.30
2.30
0.00
0.00
6.30
0.00
6.30
0.00
9.30
4.60
17.00
3.60
5.80
1.60
3.80
0.00
6.00
0.00
0.00
14.00
0.00
0.00
6.30
7.10
2.00
12.00
0.00
0.00
[Mvar]
17.00
88.00
21.00
0.00
4.00
2.00
0.00
22.00
26.00
2.00
0.00
24.00
2.30
5.30
5.00
3.00
8.00
9.80
0.60
1.00
0.00
0.00
2.10
0.00
3.20
0.00
0.50
2.30
2.60
1.80
2.90
0.80
1.90
0.00
3.00
0.00
0.00
7.00
0.00
0.00
3.00
4.40
1.00
1.80
0.00
0.00
104
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
1.0277
-11.52
0.00
0.00
29.70
1.0243
-11.68
0.00
0.00
0.00
1.0295
-11.81
0.00
0.00
18.00
1.0207
-12.24
0.00
0.00
21.00
1.0572
-11.29
0.00
0.00
18.00
1.0414
-10.38
0.00
0.00
4.90
1.0305
-11.07
0.00
20.00
6.30
1.0487
-10.59
0.00
0.00
4.10
1.0758
-9.77
0.00
0.00
6.80
0.9784
-14.72
0.00
0.00
7.60
0.9703
-15.27
0.00
0.00
6.70
Tableau (6.8) : Résultats par la méthode du point intérieur
11.60
0.00
8.50
10.50
5.30
2.20
10.00
1.40
3.40
3.20
2.00
PG= 1274.18 MW
PC=1250.80 MW
PL=23.38 MW
1.1
tension (p.u)
1.05
1
0.95
V PI
Vmin
Vmax
0.9
10
20
30
nombre de noeuds
40
50
60
Figure (6.6): variation des tensions par la méthode du point intérieur
6.4.6. Analyse :
6.4.6.1 : Le profil des tensions
On remarque dans le premier cas qu’il y a des violations de tension importantes surtout pour
le nœud 31 et les nœuds qui lui sont proche (25, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39) et que la figure
des tensions est non adéquate. Pour remédier ce problème, nous avons injectés de la puissance
réactive par batteries de condensateurs au nœud 25. Cela représente un premier contrôle. La
105
Chapitre 6
Optimisation de la puissance réactive et le contrôle de
la tension : Application au réseau de 57 nœuds
puissance réactive à installer est de 13 Mvar. Pour les autres contrôles, on a agi sur les régleurs
en charge des transformateurs 56-57, 11-43, 11-41. Le changement des rapports a été fait par pas
de 0.01. En fait, considérant la gravité des violations, ceux-ci sont probablement les seules
actions de contrôle qu’un opérateur expérimenté, en se basant sur des règles heuristiques, puisse
entamer afin de gérer convenablement le réseau.
Dans le deuxième cas, nous remarquons que toutes les tensions ont été corrigées et on a
obtenu des tensions adéquates.
Après la correction des tensions, on passe à l’optimisation. Dans les cas 3 et 4, nous avons
obtenus de tensions adéquates. Pour le cas 5, il s’avère que sans modification du réseau c’est à
dire sans modifier les contrôles, on a une bonne variation de tension.
Cas
Nœud
N° du nœud
18
25
53
Cas 1
Cas 2
Cas 3
Cas 4
Cas 5
)*+,-
)*+,-
)*+,-
)*+,-
)*+,-
[Mvar]
[Mvar]
[Mvar]
[Mvar]
10.00
10.00
10.00
10.00
5.90
18.90
18.90
18.90
6.30
6.30
6.30
6.30
Tableau (6.9) : Les puissances réactives shunts
[Mvar]
10.00
5.90
6.30
6.4.6.2 : Les pertes actives totales :
D’après les résultats des pertes actives totales illustrées dans le tableau ci-dessous, on
constate que les résultats de la méthode du point intérieur est plus meilleure que les quatre autres
résultats en donnant une valeur qui est égale à 23.38 MW avec une diminution de 19.63%. La
comparaison entre les trois méthodes (cas 3, cas 4 et cas 5) nous permet de remarquer qu’il n y a
pas une grande différence entre eux et elles sont presque identiques.
PGT [MW]
PCT [MW]
PL [MW]
Réduction %
Cas 1
1279.89
1250.80
29.09
Cas 2
Cas 3
Cas 4
1279.33
1274.78
1274.67
1250.80
1250.80
1250.80
28.53
23.98
23.87
1.92
17.56
17.94
Tableau (6.10) : Les pertes actives totales
Cas 5
1274.18
1250.80
23.38
19.63
6.5. Conclusion :
Les résultats obtenus montrent que la méthode numérique du Point intérieur Primal-Dual est
très satisfaisante par rapport aux méthodes métaheuristiques de l’algorithme génétique et les
essaims de particules malgré qu’il n’y pas une grande différence entre eux. Toutes les tensions
ont été corrigées. Ce qui démontre que la méthode du point intérieur est très efficace pour
satisfaire toutes les contraintes d’inégalité. Pour les pertes, on constate une diminution de
19.63% par rapport au cas initial.
106
Conclusion générale
Conclusion
L’objectif de notre travail consistait essentiellement à présenter une étude comparative de
la répartition optimale des puissances d’un réseau d’énergie électrique en basant sur deux
sortes de méthodes à savoir les méthodes numériques et les métaheuristiques. Les méthodes
numériques sont fondées sur une méthode récente qui est la méthode du point intérieur et les
méthodes métaheuristiques qui sont l’algorithme génétique et les essaims de particules. Ces
méthodes sont consacrées à la compréhension, à la maîtrise puis à la programmation où
cette dernière est appliquée à un réseau électrique de 57 nœuds modèle IEEE au but de
réduire les pertes actives et d’approcher le plus possible aux tensions de leurs limites.
On constate que les chapitres traités sont reliés entre eux et nous permettre de bien
connaitre l’historique de l’optimisation et d’apprendre une idée sur les différents éléments
du réseau électrique ainsi les étapes et les méthodes utilisées pour calculer l’écoulement de
puissance en déterminant les puissances à chaque nœud.
Nous conclurons aussi que les méthodes métaheuristiques
étudiées présentent
globalement l’avantage de mieux minimiser les pertes actives en respectant le plan de tension
dans les limites admissibles qui assure mieux le service et la sécurité.
Les méthodes du point intérieur sont nombreuses et distinctes l’une de l’autre. Nous avons
choisi la méthode « Primal Dual », pour son algorithme simple et clair.
Une comparaison entre les trois méthodes : méthode de points intérieurs Primal-Dual,
les algorithmes génétiques et les essaims de particules a permis de déterminer que la
méthode du point intérieur a donné des résultats très satisfaisants permettant une
amélioration avec succès du profil des tensions et une réduction des pertes actives de
puissance.
Selon la topologie du réseau, des règles heuristiques générales ou particulières sur des
moyens d’action ont été élaborées pour le contrôle et la correction des tensions ne répondant
pas aux limites imposées. Ces règles nous ont permis de prendre des décisions adéquates
dans l’exploitation de tout réseau en temps réel.
Les difficultés rencontrées durant notre travail résidaient principalement en deux points :
1. La nécessité de partir d’un point initial proche de l’optimum, spécialement pour les
multiplicateurs des équations de type inégalité qui influençaient beaucoup sur le
processus de calcul.
2. Ces méthodes sont basées sur le calcul des dérivées premières et secondes qui
viennent plus compliquées en augmentant le nombre de contraintes.
L’optimisation des réseaux électrique et surtout celle de la puissance réactive reste toujours un
éventail de recherche très intéressent.
107
Bibliographie
Bibliographies
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