cours algebre lineaire mias semestre 1

Cours d’alg`ebre lin´eaire
MIAS1, premier semestre
Rapha¨el Danchin
Ann´ee 2003-2004

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Table des mati`eres
Structures usuelles 5
1 Les nombres complexes 9
1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 D´efinition d’une loi ⊕dans R2........................ 9
1.1.3 D´efinition d’une loi ∗dans R2......................... 10
1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Propri´et´es de C..................................... 11
1.2.1 Propri´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Repr´esentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Formules de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Racines n-i`eme de l’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 R´esolution d’´equations du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Racine carr´ee d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 R´esolution d’´equations du second degr´e dans le cas g´en´eral . . . . . . . . 20
2 Syst`emes lin´eaires 21
2.1 Quelques exemples ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Matrice associ´ee `a un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 R´esolution des syst`emes ´echelonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Syst`emes triangulaires `a diagonale non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Syst`emes ´echelonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 M´ethode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Structure de l’ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2 Cas des syst`emes homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Familles de vecteurs 33
3.1 Vecteurs de Kn..................................... 33
3.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Combinaisons lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Familles libres et familles li´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Bases ...................................... 38
3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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4TABLE DES MATI ` ERES
3.3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Calcul pratique du rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . 43
4 D´eterminants 45
4.1 D´efinition du d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Propri´et´es ´el´ementaires du d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Calcul du d´eterminant par pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 D´eveloppement de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Le d´eterminant et le rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 R´esolution d’un syst`eme lin´eaire par la m´ethode de Cramer . . . . . . . . . . . . 57
5 Polynˆomes 59
5.1 L’ensemble des polynˆomes `a une ind´etermin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.2 Op´erations sur K[X].............................. 60
5.1.3 Propri´et´es alg´ebriques de K[X] ........................ 61
5.2 Division des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 PGCD...................................... 64
5.3.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 PPCM...................................... 67
5.3.4 Polynˆomes irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Fonctions polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 D´efinition des fonctions polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Racines ..................................... 71
5.4.3 Polynˆomes d´eriv´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Polynˆomes scind´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.1 Le th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.2 Polynˆomes irr´eductibles de C[X] ....................... 74
5.5.3 Polynˆomes irr´eductibles de R[X] ....................... 74
Bibliographie 77

Structures usuelles
Au cours de vos deux ann´ees de MIAS, vous allez d´ecouvrir divers domaines des math´ema-
tiques qui, du moins en apparence, n’ont pas toujours de liens ´evidents entre eux. Certaines des
lois qui r´egissent les objets consid´er´es, pourtant, ont un caract`ere universel. Ainsi, des notions
comme celles de lois internes, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels vont apparaˆıtre `a
maintes reprises. Leur caract`ere “unificateur” explique l’importance qu’on leur accorde. Le jeu
consistant `a les identifier est `a la fois “rassurant” et pratique puisque l’on peut d`es lors manipuler
des objets math´ematiques sans trop se soucier de leur nature profonde...
Dans cette section pr´eliminaire, nous pr´esentons bri`evement quelques-unes des notions qui
reviendront fr´equemment dans ce cours d’alg`ebre du premier semestre.
Lois internes
D´efinition 0.0.1 Soit Eun ensemble non vide. Une loi interne Tsur Eest une application de
E×Evers Equi `a tout couple (a, b)de E×Eassocie un ´el´ement cde Enot´e a T b.
Remarque : Pour ´eviter de faire un rapprochement trop hˆatif et r´educteur avec des lois internes
bien connues (on en verra des exemples par la suite), on note Tune loi interne “abstraite”. Le
symbole Test traditionnellement appel´e “truc”.
Pour avoir un int´erˆet pratique, une loi interne doit avoir des propri´et´es suppl´ementaires. Les
plus courantes sont les suivantes :
•Associativit´e : On dit que la loi interne Test associative si
∀(a, b, c)∈E×E×E, (a T b)T c =a T (b T c).
•Commutativit´e : On dit que la loi interne Test commutative si
∀(a, b)∈E×E, a T b =b T a.
•´ El´ement neutre : On dit que e∈Eest ´el´ement neutre de Tsi
∀a∈E, a T e =e T a =a.
Remarque : L’´el´ement neutre, lorsqu’il existe, est unique. En effet, si eet e0sont neutres
pour Talors on a e=e T e0=e0.
•Inverse : Supposons que Tait un ´el´ement neutre e. On dit que l’´el´ement ade Ea pour
inverse (ou sym´etrique ) l’´el´ement bde Esi
a T b =b T a =e.
Proposition 0.0.2 Si la loi Test associative et a un ´el´ement neutre ealors l’inverse, s’il
existe, est unique.
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