Résumé du cours

E E∗
E E

ERE
h·,·i:E×E→R
x, y ∈Ehx, yi
x, y ∈E
hx, yi=hy, xi ∀x, y ∈E.
x∈E
y7→ hx, yiy, y0∈E α ∈R
hx, y +αy0i=hx, yi+αhx, y0i.
x∈E x 6= 0
hx, xi>0.
kxk=phx, xi
x∈E
Rn
hX, Y i=tXY =
n
X
1
xiyi,kXk=v
u
u
t
n
X
1
x2
i.
E=C([a, b], R)
hf, gi=Zb
a
f(t)g(t)dt.
h·,·i RE
x= 0 hx, xi= 0 hx, xi ≥ 0x∈E
kx+yk2=kxk2+ 2hx, yi+kyk2,kαxk2=α2kxk2
h·,·i
x= 0 ⇐⇒ ∀yhx, yi= 0 ⇐⇒ kxk= 0.

h·,·i Rk·k
|hx, yi| ≤ kxkkykx y
x= 0 x6= 0
htx +y, tx +yi
h·,·i Rk·k k·k
E d(x, y) = kx−yk
hx, yi=1
4kx+yk2− kx−yk2.
Ch·,·i
x6= 0
hx, xi>0,hix, ixi>0,
hix, ixi=i2hx, xi=−hx, xi,
ECE
h·,·i:E×E→C
x, y ∈Ehx, yi
x, y ∈E
hx, yi=hy, xi.
hy, xia+ib =a−ib a, b ∈R
hx, xi=hx, xi hx, xi ∈ R
x∈E
y7→ hx, yiy, y0∈E α ∈C
hx, y +αy0i=hx, yi+αhx, y0i.
x∈E x 6= 0
hx, xi>0.
kxk=phx, xi
x∈E
Cn
hX, Y i=tXY =
n
X
i=1
xiyi.
h·,·i CE

hx+αx0, yi=hx, yi+αhx0, yi.
x= 0 hx, xi= 0 hx, xi ≥ 0x∈E
kx+yk2=kxk2+ 2<hx, yi+kyk2,kαxk2=|α|2kxk2
C
R
h·,·i Ck·k k·k
<hx, yi=1
4kx+yk2− kx−yk2.
=hx, yi=<ihx, yi=<hyx, yi
hx, yi=1
4kx+yk2− kx−yk2+ikix +yk2−ikix −yk2.
KR C
K E K ∈
{R,C}E, h·,·iE E
E F ⊆E
F E F
E
kx+yk2+kx−yk2= 2kxk2+ 2kyk2.
kxk1=|x1|+|x2|R2C2