Propriétés électroniques des métaux

Cours de physique du solide
avanc´ee III & IV
Propri´et´es ´electroniques
des m´etaux
Prof. Bernard Giovannini
Notes r´edig´ees par Damien Stucki et Christophe Berthod
Ann´ee acad´emique 2001/2002

Table des mati` eres i
Table des mati`eres
Introduction 1
1 Mesures et fonctions de corr´elation: introduction 3
1.1 Mesures et th´eorie. Rappel de m´ecanique statistique. Potentiels thermodynamiques 3
1.1.1 Mesures et th´eorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Rappel de m´ecanique statistique classique et quantique . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Potentiels et grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Diffusion de particules et corr´elation des densit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Diffusion ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Fonction de distribution de paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 La mol´ecule d’Hydrog`ene: approximation de Heitler-London . . . . . . . . 11
1.2.4 Diffusion in´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Th´eorie de la r´eponse lin´eaire 15
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Rappel de m´
ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Repr´esentation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Repr´esentation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Matrice densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Repr´esentation d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Formule de Kubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Susceptibilit´
e d’un syst`eme de spins ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Repr´esentation spectrale (ou de Lehman) de χ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Corr´elation des densit´es et fonction di´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 Fonction di´electrique des ´electrons: approximation de Thomas-Fermi . . 27
2.6.2 Fonction di´electrique des ions: approximation du plasma . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Mod`ele de fonction di´electrique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Bases de la th´eorie du probl`eme `a N-corps 33
3.1 Formalisme de la deuxi`eme quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Op´erateurs `a une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Op´erateurs `a deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.4 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 M´ethode de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Fonction de Green des ´electrons libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Repr´esentation spectrale de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . 41
Relation entre Im Gk(ε) et A(k, ε). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Fonction spectrale des ´electrons libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Interpr´etation physique de la fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . 44
Electrons libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ii Table des mati` eres
Electrons en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4 Fonction de Green et effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Calcul de la fonction de Green. M´ethode de l’´equation de mouvement . . . . . . 48
3.3.1 Approche g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Approximation Hartree-Fock .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Calcul de la fonction de Green. M´ethode de perturbation . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 S´erie de perturbation pour l’op´erateur d’´evolution . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Enclenchement adiabatique de l’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.3 M´ethode diagrammatique: l’interaction de Coulomb . . . . . . . . . . . . 54
3.4.4 Calcul de la fonction de Green en th´eorie de perturbation . . . . . . . . . 57
4 Th´eories de champ moyen 59
4.1 Approximation Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Approche traditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Application au gaz d’´electrons homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Energie totale du gaz d’´electrons homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Stabilit´e de la mati`ere: ´energie de coh´esion . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Propri´et´es thermodynamiques du gaz d’´electrons homog`ene . . . . . . . . 67
Energie d’´echange et ferromagn´etisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 M´ethode de l’´equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.3 M´ethode de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Ecrantage en th´eorie de perturbation ......................... 71
4.2.1 Limite statique: oscillations de Friedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.2 Hautes fr´
equences: oscillations de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2.3 Absorption ................................... 74
4.3 Th´eorie de Landau des liquides de Fermi ....................... 75
4.3.1 Propri´et´es d’un gaz d’´electrons m´etalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2 Th´eorie de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Th´eorie de la fonctionnelle de densit´
e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1 Qu’est-ce qu’une fonctionnelle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2 Approximation de Thomas-Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.3 Th´eorie de Hohenberg-Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Th´eor`emes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Equations de Kohn et Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Approximation de la densit´e locale (LDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Approximation de la densit´e de spin locale (LSD) . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Syst`emes ´electroniques fortement corr´el´es: introduction et exemples 87
5.1 Exemple introductif: deux ´electrons, deux orbitales, dont l’une avec une forte
r´epulsion coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Syst`emes ´electroniques fortement corr´el´es: quelques exemples actuels . . . . . . . 92
5.2.1 Effet Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.2 Fermions lourds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.3 Syst`emes 1d ou quasi 1d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.4 Effet Hall quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.5 Supraconducteurs `a haute temp´erature de transition . . . . . . . . . . . . 96
6 Impuret´es magn´etiques dans un m´etal et effet Kondo 97
6.1 Survol des mod`eles ................................... 97
6.1.1 Mod`ele de diffusion sur une impuret´e non magn´etique . . . . . . . . . . . 97
6.1.2 Mod`ele de Anderson sans interaction de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.3 Mod`ele de Anderson avec interaction de Coulomb . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.4 Mod`ele sd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Table des mati` eres iii
6.2 Diffusion par un potentiel et r`egle de somme de Friedel . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.1 Matrice de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Modification de la densit´e d’´etats et “phase shift” . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.3 Etat li´e virtuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Mod`ele de Anderson sans interaction de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Mod`ele de Anderson avec interaction de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.1 Analyse qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.2 Transformation de Schrieffer-Wolff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.5 Calcul du minimum de r´esistivit´e par Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6 Groupe de renormalisation en m´ecanique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.6.1 Exemple: le mod`ele d’Ising `a deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.6.2 D´efinition du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6.3 Le mod`ele d’Ising `a une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Solution par la matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Solution par la m´ethode du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . 117
6.6.4 Transitions de phase continues et exposants critiques . . . . . . . . . . . . 121
6.6.5 Calcul g´en´
eral par la m´ethode du groupe de renormalisation . . . . . . . . 121
6.6.6 Exemple: syst`emes magn´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.7 Le groupe de renormalisation et le probl`eme `a N-corps . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.7.1 “Poor man’s scaling” ..............................126
6.8 La solution de Wilson au probl`eme de Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Les m´ethodes num´eriques en probl`eme `a N-corps 131
7.1 M´
ethode Monte-Carlo en m´ecanique statistique classique . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.1 Calcul d’int´egrales multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.2 Exemple: fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1.3 Algorithme de Metropolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2 M´ethode Monte-Carlo en m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.1 Calcul d’une moyenne quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.2 Recherche de l’´etat fondamental par la m´ethode de projection . . . . . . . 136
Formule de Trotter et transformation de Hubbard-Stratonovich . . . . . . 137
Equivalence entre syst`emes classiques et quantiques: la mol´ecule H+
2. . . 137
Syst`eme de N´electrons avec un nombre fini d’´etats `a une particule . . . . 139
7.2.3 Calcul des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.3 M´ethode de Lanczos pour l’´etat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8 Effet Hall quantique 145
8.1 Effet Hall classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2 Rappel: les niveaux de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.3 Effet Hall quantique entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.4 Effet Hall quantique fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4.1 La fonction d’onde de Laughlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4.2 Effet Aharonov-Bohm ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.4.3 Charges fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4.4 Ordre topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4.5 Etats de bord (“edge states”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9 Supraconducteurs `a haute temp´erature critique 155
9.1 Introduction: structure et diagramme de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.2 Propri´et´es anormales des HTS. Introduction exp´erimentale et th´eorique . . . . . 158
9.2.1 Quelques propri´et´es anormales des HTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
La sym´etrie du param`etre d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
L’existence de “stripes” (rayures) dans certains compos´es . . . . . . . . . 163