Exercices 1 Associations de ressorts

Exercices
1
Associations de ressorts
1. On assimile la
double roue de certains véhicules à deux ressorts semblables en parallèle
(figure1.(a)) de constante de raideur k et de longueur à vide l0.
Déterminer les caractéristiques ( k
e , le0) du ressort
équivalent. On note M la masse du
véhicule appuyant sur l’ensemble des deux r essorts.
2. Maintenant, si l’on s’intéresse seulement à une roue et son amortisseur (sans tenir compte
du système d’amortissement visqueux), on peut assimiler l’ensemble à deux r essorts
K
1
, l01 et K2, l02 en série(figure 6.1.(b)). Déterminer les caractéristiques du ressort équi-
valent. On note M la masse du véhicule appuyant sur l’ensemble des deux ressorts et A
le point de masse nulle entre les deux r essorts.
F I G U R E1 – ressorts en parallèles (a), ressorts en série (b)
2 Ressorts et
Poulies
Soit un
système constitué de deux ressorts de caractéristiques ( K
1
, l01) et(K2, l02) et de deux
poulies A et B reliés par un fil inélastique comme c’est indiqué sur la figure2. Sous l’effet de
la masse M , l’extrémité du fil s’allonge de la quantité x0 à partir de la position à vide (prise
comme origine des abscisses).
1. Exprimer, x01 et x02 les déplacements des centres des poulies A et B à partir de leurs
positions à vide, en fonction deK1, K2, M et g. En déduire x0.
On remplace ce système par un seul ressort équivalent, de raideur Ke et de longueur à
vide l0. Exprimer Ke en fonction de K1 et K2. Conclusion.
2. On écarte la masse de sa position d’équilibre, établir l’équation différentielle du mouve-
ment (on prendra comme origine des abscisses l’extrémité fixe du ressort équivalent).
Chercher les solutions dans les cas suivants :
(a) On accroche la masse M au ressort et on la lâche (à t=0) sans vitesse initiale
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3. ÉTUDE D’UN OSCILLATEUR
À L’AIDE DE SON PORTRAIT DE PHASE .
EXERCICES
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F I G U R E 2
(b) On accroche la masse M au ressort et on la libère à l’instant t
= t0, en la poussant
avec une vitesse initiale v0.
3 Étude d’un
oscillateur
à l’aide de son portrait de phase
On fait l’étude d’un
oscillateur M de masse M = 0, 2 kg astreint à se déplacer suivant l’axe O x
de vecteur unitaire e~x . Il est soumis uniquement aux forces suivantes :
– la force de rappel d’un ressort de caractéristiques (K, l0).
– une force de frottement visqueux :
~
f
v
= − αx e ~
x
– une force constante F
~C
= F
C e~x
1. (a) Établir
l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la forme :
x
¨
+
ω0
x
˙
+ ω2 = ω
2 X0
Q 0
0
où x est
l’allongement du ressort (par rapport à l0). Les grandeurs ω0, Q et x0 sont à
exprimer en fonction des données.
(b) Dans le cas d’une solution pseudo-périodique, chercher l’expression de x(t) solution
de l’équation ci dessous, on définira le temps caractéristique τ et la pseudo-pulsation
Ω que l’on exprimera en fonction de ω0 et Q .
2. Le portrait de phase (v(t) = x ˙ , x(t)) de l’oscillateur étudié est donné sur la figure (3 )
On souhaite pouvoir en tirer les valeurs des différents paramètres de l’oscillateur .
(a) Quel est le type de mouvement ?
(b) Déterminer la vitesse et l’élongation au début et à la fin du mouvement
(c) Déterminer la vitesse maximale atteinte ainsi que l’élongation maximale.
(d) On donne les différentes dates correspondant aux croisements de la trajectoire de
phase avec l’axe des abscisses :
t(s)
0,31
0,65
0,97
1,3
1,62
En déduire le pseudo-période T et la pseudo-pulsation ω .

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4. PROBLÈME
EXERCICES
F I G U R E 3 – diagramme de phase
(e) On définit le
décrément logarithmique par
1
δ =
n
ln
x (t) − x
B
(t)
x(t + nT) − x
B
(t)
où x(t) sont les
élongations aux instants t et t + nT (n entier naturel) et xB l’élonga-
tion finale de M. Exprimer δ en fonction de T et τ . En choisissant une valeur de n la
plus grande possible pour les données dont on dispose, déterminer δ puis τ .
(f) Déduire des résultats précédents le facteur de qualité Q et la pulsation propre ω
0
.
(g) Déterminer la raideur du ressort K, le coefficient de frottement α et la force FC sa-
chant que l0 = 1 cm.
4
Problème
F I G U R E 4
On se
propose d’étudier le comportement vibratoire de matériaux en caoutchouc (figure 4
(a)). en vue de leur utilisation dans la construction.

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4. PROBLÈME (DEVOIR LIBRE)
EXERCICES
Pour leur
modélisation, nous assimilons l’élasticité du matériau à celle d’un ressort de raideur
k et les pertes énergétiques par frottement à celles ayant lieu dans un amortisseur de coef ficient
de frottement α. Le ressort et l’amortisseur ainsi considérés sont associés en parallèle (figure 4
(b)). On suppose, de plus, que le poids du caoutchouc est négligeable devant les forces mises
en jeu.
1. On place une masse m
= 1 t sur un bloc en caoutchouc qui se comprime, alors, d’une
distance d.
Après une compression supplémentaire, la masse m relâchée prend un mouvement oscil-
latoire amorti autour de sa position d’équilibre que l’on repère par la coordonnée y. On
mesure l’intervalle de temps, ∆t séparant le 1er et le 6ème maximum. On trouve ∆t = 0, 2
s . La diminution d’amplitude correspondante est de 60%.
(a) Etablir
l’équation différentielle du mouvement de la masse m.
(b) Donner la forme générale de la solution y(t). Comment varie l’amplitude des oscil-
lations ?
(c) Déduire de ce qui précède les valeurs de k et α.
(d) On refait la même expérience avec un autre caoutchouc. On trouve α = 4, 5103
k g.s
− 1
. Au bout de combien de temps, ∆ t
0 ,
obtient-on la même diminution d’am-
plitude que dans l’expérience précédente ?
(e) Quel est le matériau le plus approprié pour la construction ?
2. Un
caoutchouc avec les paramètres physiques k = 25.106 N .m
− 1 et α
= 104 k g.s
− 1 est,
à
présent, utilisé dans la construction d’un pont d’autoroute, de masse M = 12, 5 t. On as-
simile l’effet du passage des véhicules le pont à celui d’une force sinusoïdale d’amplitude
F0 = 103 N et de fréquence f , appliquée perpendiculairement au pont (Fig. 5 ).
F I G U R E 5
(a) Ecrire
l’équation du mouvement du pont pour la coordonnée y donnant son dépla-
cement par rapport à l’équilibr e.
(b) Donner l’expression du déplacement, y(t), en régime permanent, en fonction de la
fréquence.
(c) Quelle est la fréquence de résonance, f
r
du pont ? Montrer qu’on peut l’assimiler â
sa fréquence propre f
0
.
3. En déduire l’amplitude maximale à laquelle le pont peut vibrer. Quelle est la phase cor -
respondante ?
4. Calculer l’énergie communiquée au pont pendant un intervalle de temps égal à une pé-
riode, lorsque le passage des véhicules le fait vibrer à la résonance.
5. Calculer l’énergie correspondante qui se dissipe dans l’amortisseur, pendant le même
intervalle de temps. Conclusion ?

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5. ETUDE DE LA RÉSONANCE( TP 2èmeSÉANCE )
EXERCICES
2
5 Etude de la
résonance( TP 2
ème
séance )
F I G U R E 6
Une masse m
= 0, 1kg accrochée l’extrémité R d’un ressort de raideur k = 20 N / m peut se
déplacer sur un axe horizontale. On admettra que les frottements se réduisent à une force
~
f =
− α ~ v où désigne la vitesse instantanée de la masse m. Le coefficient α est positif.
1.
Oscillations libres amorties
L’extrémité E est fixe.
(a) Etablir l’équation différentielle caractéristique du mouvement du corps.
(b) Chercher les solutions x(t) et v(t) selon la valeur du coefficient d’amortissement.
• α = 5 k g / s (régime apériodique)
• α = 0, 4 k g / s (régime pseudo-périodique)
• α = 2, 828 k g / s
On notera
k α
ω
A.N
0
=
m ;
2λ =
m
À t = 0 , x = x0 = 0, 05cm , v = v0 = 0, 25m / s
2. Oscillations for cées
Le point E effectue des oscillations sinusoïdales xe = a0 sin Ω autour de sa position
d’équilibr e
3. Chercher les solutions de x (t)
4. Déterminer les maximums de x(t) et de v (t)
5. Déterminer la bande passante ∆ Ω
6. Le coefficient de surtension Q
6
Modélisation d’un amortisseur
On
considère l’amortisseur d’un véhicule (figure. 7). Chaque roue supporte un quart de la
masse de la voiture assimilé à un point M de masse m = 500 kg et est reliée à un amortisseur
dont le ressort a une constante de raideur k = 2, 5.104 N .m
− 1
. Le point M subit aussi un frotte-
ment visqueux
~
f
v
= − α ~ v où ~v est la vitesse de M et α = 5.103 k g.s
− 1
.
Le véhicule franchit à vitesse constante un défaut de la chaussée de hauteur h = 5 cm. Son
inertie est suffisante pour qu’il ne se soulève pas immédiatement mais acquiert une vitesse
verticale v0 = 0, 5 m.s
− 1. On pose :
λ =
α
2m
On note Zi la cote du point M avant le passage du défaut.
1. (a) On note Z(t) la cote de M. Établir l’équation différentielle pour Z après le passage
de l’obstacle. Déterminer Z(t) en fonction des données. On remarquera que λ = Ω
où Ω est la pseudo-pulsation.
(b) Les passagers sont sensibles à l’accélération verticale de la voiture, calculer sa valeur
maximale. On utilisera le fait que λ = Ω