TD de mécanique no4 Oscillations mécaniques - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD de mécanique no4
Oscillations mécaniques libres à un degré de liberté
Exercice 1 -
Association en série ou en parallèle de ressorts verticaux.
(k ′ , ℓ′0 )
(k ′ , ℓ0 )
(k, ℓ0 )
Montrer que les systèmes ci-contre sont équivalents à un ressort
unique dont on calculera la constante de raideur et la longueur
au repos.
(k, ℓ0 )
Figure 1
1. Considérer le point A situé entre les deux ressorts de masse nulle, lui appliquer le Principe Fondamental de
la Dynamiqueet déterminer la position du point A.
Considérer le point M de masse m suspendu au bout des deux ressorts et exprimer la force exercée par le ressort
sur M.
k k′
et de
Réponse : les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique de constante de raideur keq =
k + k′
longueur au repos ℓeq = ℓ′0 + ℓ0 .
2. Considérer le point M de masse m suspendu au bout des deux ressorts et exprimer la force exercée par les
deux ressorts sur M.
Réponse : les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique de constante de raideur keq = k + k ′ et de
longueur au repos ℓeq = ℓ0
Exercice 2 -
Pendule en régime pseudo-périodique.
Un pendule dont la période des petites oscillations dans le vide est T0 = 2, 00s est placé dans un milieu résistant fluide.
On observe que son amplitude à chaque période est la moitié de la précédente.
Quelle est la pseudo période ?
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule soumis à une force de frottement fluide
−
→
→
F = −h−
v pour de petites oscillations.
Déterminer l’équation horaire correspondante.
Utiliser les données de l’énoncé pour en déduire l’expression de la pseudo période.
Exercice 3 -
Nombre d’oscillations d’un système peu amorti.
Considérons un oscillateur harmonique amorti de période propre T0 et de facteur de qualité Q = 4. On suppose que
les oscillations sont observables tant que x(t) > 10−2 x0 .
1 . Montrer que la pseudo période peut être assimilée à T0 avec une précision à indiquer.
S. Bénet
1
2 . Quel est le nombre d’oscillations observables ? Commentaires.
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement de l’oscillateur harmonique amorti.
Déterminer l’équation horaire correspondante.
1
T − T0
1. Exprimer la pseudo période et en considérant que
≪ 1 simplifier son expression. Calculer alors
4Q2
T0
2. Déterminer l’expression du décrément logarithmique le relier au nombre d’oscillations observables.
Exercice 4 -
Mesure d’un coefficient de viscosité.
Une sphère M , de masse m et de rayon r, de faible vitesse v, est plongée dans un liquide de cœfficient de viscosité η.
−
→
→
On montre qu’elle est soumise à une force de frottement du type f = 6πηr−
v . La sphère est suspendue à un ressort
de raideur k. La période des oscillations dans l’air (frottements négligeables) est T0 .
On note T la pseudo-période du mouvement de M dans le liquide. On supposera le mouvement vertical.
Exprimer η en fonction de m, r, T0 et T .
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement de la sphère dans l’air, en déduire l’expression de la
période propre de l’oscillateur.
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement de la sphère dans le fluide visqueux, en déduire
l’expression de la pseudo
période de l’oscillateur.
r
2m
1
1
Réponse : η =
−
3r T02 T 2
Exercice 5 -
Mouvement d’un point attaché à deux ressorts.
Un point matériel M de masse m est fixé à deux ressorts verticaux identiques de
longueur au repos ℓ0 et de raideur k.
Calculer, à l’équilibre, les longueurs des ressorts en fonction de m, g, k et a.
On considère un petit déplacement vertical de M à partir de sa position d’équilibre.
Calculer x(t) sachant que x(0) = x0 et v(0) = 0.
1. Réponse : (ℓ1 )eq = a −
mg
mg
et (ℓ2 )eq = a +
2k
2k
2. Réponse : x(t) = xeq + (x0 − xeq ) cos(ω0 t) avec ω0 =
(k ′ , ℓ′0 )
2a
(k, ℓ0 )
r
2k
m
Figure 2
Exercice 6 -
Oscillateur harmonique amorti et portrait de phase.
Un point matériel M (masse m), attaché à un ressort horizontal (constante de raideur k, longueur ℓ0 au repos), est
suspendu à un fil inextensible de longueur L.
On considère des petits mouvements quasi horizontaux du point M , repéré par son abscisse x telle que x ≪ L.
−
→
→
→
→
En outre, le point matériel M , de vitesse −
v = v−
ex , est soumis à l’action d’une force de frottement fluide fd = −α−
v
(cœfficient positif α).
1 . Montrer que l’équation différentielle du mouvement de M peut se mettre sous la forme suivante :
ẍ + 2λω0 ẋ + ω02 x = 0
Identifier les paramètres λ , ω0 et préciser la dimension de λ.
2 . La trajectoire de phase de cet oscillateur est représentée sur la figure ??.
S. Bénet
2/??
On note P0 le point initial de phase (à t = 0) OP0 = x0 .
2.1 . Quelle est la nature du régime de variation de x(t) ? Justifier votre réponse.
2.2 . Déterminer l’expression de x(t), en tenant compte des conditions initiales.
2.3 . Trouver la valeur du paramètre λ, à partir du graphe représenté sur la figure ??, en comparant x0 = OP0 et
x2 = OP2 .
y
y
0
b
P2
b
P1
b
P0
b
x
θ
L
ℓ0
M
A
x
O
Figure 3
Exercice 7 -
Figure 4
Couplage élastique.
Considérons les deux points matériels M1 et M2 , de masse m, astreints sous l’effet de trois ressorts identiques (raideur
k) à se déplacer horizontalement sans frottements.
A l’instant t = 0, on écarte M1 et M2 , de leurs positions d’équilibre respectives O1 et O2 .
On note OM1 = x1 et OM2 = x2
1 . Quelles sont les équations différentielles couplées satisfaites par x1 et x2 ?
2 . On suppose pour x1 (t) et x2 (t) des solutions sinusoïdales du type xi (t) = Xi cos(ωt + ϕi ) .
Déterminer les pulsations ω1 et ω2 permisses pour ce système, appelées pulsations propres.
M1
O1 x1
M2
O2 x2
Figure 5
S. Bénet
3/??