TD de mécanique no4 Oscillations mécaniques - mpsi

Lycée François Arago
Perpignan
M.P.S.I.
2012-2013
TD de mécanique no4
Oscillations mécaniques libres à un degré de liberté
Exercice 1 - Association en série ou en parallèle de ressorts verticaux.
Montrer que les systèmes ci-contre sont équivalents à un ressort
unique dont on calculera la constante de raideur et la longueur
au repos.
(k, ℓ0)
(k′, ℓ′
0)
(k′, ℓ0) (k, ℓ0)
Figure 1
1. Considérer le point A situé entre les deux ressorts de masse nulle, lui appliquer le Principe Fondamental de
la Dynamiqueet déterminer la position du point A.
Considérer le point M de masse m suspendu au bout des deux ressorts et exprimer la force exercée par le ressort
sur M.
Réponse : les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique de constante de raideur keq =k k′
k+k′et de
longueur au repos ℓeq =ℓ′
0+ℓ0.
2. Considérer le point M de masse m suspendu au bout des deux ressorts et exprimer la force exercée par les
deux ressorts sur M.
Réponse : les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique de constante de raideur keq =k+k′et de
longueur au repos ℓeq =ℓ0
Exercice 2 - Pendule en régime pseudo-périodique.
Un pendule dont la période des petites oscillations dans le vide est T0= 2,00sest placé dans un milieu résistant fluide.
On observe que son amplitude à chaque période est la moitié de la précédente.
Quelle est la pseudo période ?
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule soumis à une force de frottement fluide
−→
F=−h−→ vpour de petites oscillations.
Déterminer l’équation horaire correspondante.
Utiliser les données de l’énoncé pour en déduire l’expression de la pseudo période.
Exercice 3 - Nombre d’oscillations d’un système peu amorti.
Considérons un oscillateur harmonique amorti de période propre T0et de facteur de qualité Q= 4. On suppose que
les oscillations sont observables tant que x(t)>10−2x0.
1 . Montrer que la pseudo période peut être assimilée à T0avec une précision à indiquer.
S. Bénet 1

2 . Quel est le nombre d’oscillations observables ? Commentaires.
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement de l’oscillateur harmonique amorti.
Déterminer l’équation horaire correspondante.
1. Exprimer la pseudo période et en considérant que 1
4Q2≪1simplifier son expression. Calculer alors T−T0 T0
2. Déterminer l’expression du décrément logarithmique le relier au nombre d’oscillations observables.
Exercice 4 - Mesure d’un coefficient de viscosité.
Une sphère M, de masse met de rayon r, de faible vitesse v, est plongée dans un liquide de cœfficient de viscosité η.
On montre qu’elle est soumise à une force de frottement du type −→ f= 6πηr−→ v. La sphère est suspendue à un ressort
de raideur k. La période des oscillations dans l’air (frottements négligeables) est T0.
On note Tla pseudo-période du mouvement de Mdans le liquide. On supposera le mouvement vertical.
Exprimer ηen fonction de m,r,T0et T.
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement de la sphère dans l’air, en déduire l’expression de la
période propre de l’oscillateur.
Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement de la sphère dans le fluide visqueux, en déduire
l’expression de la pseudo période de l’oscillateur.
Réponse : η=2m
3rr1 T2
0
−1
T2
Exercice 5 - Mouvement d’un point attaché à deux ressorts.
Un point matériel Mde masse mest fixé à deux ressorts verticaux identiques de
longueur au repos ℓ0et de raideur k.
Calculer, à l’équilibre, les longueurs des ressorts en fonction de m,g,ket a.
On considère un petit déplacement vertical de Mà partir de sa position d’équilibre.
Calculer x(t) sachant que x(0) = x0et v(0) = 0.
1. Réponse : (ℓ1)eq =a−mg
2ket (ℓ2)eq =a+mg 2k
2. Réponse : x(t) = xeq + (x0−xeq ) cos(ω0t)avec ω0=r2k
m
(k, ℓ0)
(k′, ℓ′
0)
2a
Figure 2
Exercice 6 - Oscillateur harmonique amorti et portrait de phase.
Un point matériel M(masse m), attaché à un ressort horizontal (constante de raideur k, longueur ℓ0au repos), est
suspendu à un fil inextensible de longueur L.
On considère des petits mouvements quasi horizontaux du point M, repéré par son abscisse xtelle que x≪L.
En outre, le point matériel M, de vitesse −→ v=v−→ ex, est soumis à l’action d’une force de frottement fluide −→ fd=−α−→ v
(cœfficient positif α).
1 . Montrer que l’équation différentielle du mouvement de Mpeut se mettre sous la forme suivante :
¨x+ 2λω0˙x+ω2
0x= 0
Identifier les paramètres λ,ω0et préciser la dimension de λ.
2 . La trajectoire de phase de cet oscillateur est représentée sur la figure ??.
S. Bénet 2/??

On note P0le point initial de phase (à t= 0) OP0=x0.
2.1 . Quelle est la nature du régime de variation de x(t) ? Justifier votre réponse.
2.2 . Déterminer l’expression de x(t), en tenant compte des conditions initiales.
2.3 . Trouver la valeur du paramètre λ, à partir du graphe représenté sur la figure ??, en comparant x0=OP0et
x2=OP2.
θ
Ox
M
A
ℓ0
L
y
Figure 3
x
y
0P2P1P0
Figure 4
Exercice 7 - Couplage élastique.
Considérons les deux points matériels M1et M2, de masse m, astreints sous l’effet de trois ressorts identiques (raideur
k) à se déplacer horizontalement sans frottements.
A l’instant t= 0, on écarte M1et M2, de leurs positions d’équilibre respectives O1et O2.
On note OM1=x1et OM2=x2
1 . Quelles sont les équations différentielles couplées satisfaites par x1et x2?
2 . On suppose pour x1(t) et x2(t) des solutions sinusoïdales du type xi(t) = Xicos(ωt +ϕi) .
Déterminer les pulsations ω1et ω2permisses pour ce système, appelées pulsations propres.
M1M2
O1O2
x1x2
Figure 5
S. Bénet 3/??