logique

CHAPITRE 1
LOGIQUE
1.1
Proposition - Fonction propositionnelle
Définition 1.1
On appelle proposition tout texte mathématique qu’a un sens et pouvant être vrai ou faux. On dit
alors que les deux valeurs de vérité d’une proposition sont « vraie » et « fausse »
Pour s’implifier, on note vrai par V ou 1 et fausse par F ou 0.
Exemple :
La proposition
1<0
3 est une solution de l’équation x2 − 5x + 6 = 0
sa valeur
0
1
Définition 1.2
On appelle fonction propositionnelle P (.) (ou P (., ., ..., .)) tout texte mathématique qui contient une
variable (ou plusieurs variables) d’un ensemble non vide donné E tel qu’il devient une proposition
dès qu’on remaplace cette variable par une valeur précise appartenant à E.
Exemples :
(1) P (x) : ” x2 − 5x + 6 = 0 , x ∈ R ” est une fonction proportionnelle.
P (3) et P (2) sont des propositions vraies.
P (0) est une proposition fausse.
(2) Q(x, y) : ” x + y > 0 , x, y ∈ R ” est une fonction proportionnelle.
Q(3, −1) et Q(−2, 5) sont des propositions vraies.
Q(0, 0), Q(4, −5) et Q(1/2, −1) sont des propositions fausses.
(3) R(a, b, c) : ” a2 + b2 = c2 , a, b, c ∈ R ” est une fonction proportionnelle.
√
R(1, 1, 2) est une proposition vraie.
R(1, 1, −2) est une proposition fausse.
1
1.2. QUANTIFICATEURS - PROPOSITIONS QUANTIFIÉES
1.2
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Quantificateurs - Propositions quantifiées
Définition 1.3
Soit P (x) une fonction propositionnelle de la variable x d’un ensemble non vide donné E. On définit :
(i) "(∃x ∈ E) : P (x)" est une proposition qui sera vraie s’il existe au moins un x de E qui vérifie
P (x).
Le symbole ∃ s’appelle le quantificateur existentiel et se lit "il existe au moins".
(ii) "(∃!x ∈ E) : P (x)" est une proposition qui sera vraie s’il existe un unique x de E qui vérifie
P (x).
(iii) "(∀x ∈ E) : P (x)" est une proposition qui sera vraie si tout x de E vérifie P (x).
Le symbole ∀ s’appelle le quantificateur universel et se lit "pour tout" ou "quelque soit".
Exemples :
(1) "(∃x ∈ R) : x2 − 5x + 6 = 0" est une proposition vraie.
(2) "(∃!x ∈ [1, +∞[) : x2 − 5x + 6 = 0" est une proposition fausse.
(3) "(∀x ∈ R) : x2 − 5x + 6 = 0" est une proposition fausse.
1.3
Les opérations sur les propositions
Définition 1.4 (négation d’une proposition)
La négation d’une proposition P est une proposition notée P ou P qu’a une valeur de vérité contraire
à celle de P .
On résume la vérité de P dans un tableau :
vérité de P
1
0
vérité de P
0
1
appelé tableau de vérité de P
Définition 1.5 (disjonction de deux propositions)
La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition qu’est fausse sauf si les deux propositions P et Q sont fausses. On la note par (P ou Q) ou P ∨ Q.
vérité de P
1
1
0
0
vérité de Q
1
0
1
0
vérité de P ∨ Q
1
1
1
0
Remarque :la disjonction est une opération commutative ( (P ou Q) a le même sens que (Q ou P )) et
associative ([(P ou Q) ou R] et [P ou (Q ou R)] ont le même sens).
Définition 1.6 (conjonction de deux propositions)
La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition qu’est vraie sauf si les deux propositions P et Q sont vraies. On la note par (P et Q) ou P ∧ Q.
fb: @1BACMATHS
2
yb : 1 BAC MATHS - Pr. KARZA ZOUHAIR
1.3. LES OPÉRATIONS SUR LES PROPOSITIONS
vérité de P
1
1
0
0
vérité de Q
1
0
1
0
CHAPITRE 1. LOGIQUE
vérité de P ∧ Q
1
0
0
0
Remarque :la conjonction est une opération commutative et associative.
Définition 1.7 (implication de deux propositions)
L’implication des propositions P et Q, dans cette ordre, est la proposition ( P ou Q) qu’on note
P ⇒ Q et se lit ”P implique Q”.
Remarque :P ⇒ Q est fausse sauf si P est vraie et Q est fausse, car :
vérité de P
1
1
0
0
vérité de Q
1
0
1
0
vérité de P ⇒ Q
1
0
1
1
De plus l’implication est une opération non commutative.
L’implication Q ⇒ P est l’implication réciproque de l’implication P ⇒ Q.
Proposition 1.8
les opérations suivantes sont vraies :
[(∀x ∈ E) : A(x) ⇒ B(x)] ⇒ [(∀x ∈ E) : A(x) ⇒ (∀x ∈ E) : B(x)]
(∃x ∈ E)(∀y ∈ F ) : A(x, y) ⇒ (∀y ∈ F )(∃x ∈ E) : A(x, y).
Définition 1.9 (équivalence de deux propositions)
On appelle l’équivalence de deux propositions P et Q la proposition (P ⇒ Q et Q ⇒ P ).
On la note P ⇔ Q et on lit (P est équivalente à Q) ou (P si et seulement si Q).
Remarque :la proposition P ⇔ Q est vraie si les deux propositions P et Q ont la même valeur de
vérité, car :
P
1
1
0
0
Q
1
0
1
0
P ⇒Q
1
0
1
1
Q⇒P
1
1
0
1
P ⇔Q
1
0
0
1
De plus cette opération est commutative, associative et transitive ([P ⇔ Q et Q ⇔ R] ⇒ [P ⇔ R]).
Proposition 1.10
Soient P (x) et Q(x) deux fonctions proportionnelles telles que x est une variable appartenant à un
ensemble non vide E. On a les équivalences suivantes :
[(∀x ∈ E) : P (x) et Q(x)] ⇔ [(∀x ∈ E) : P (x) et (∀x ∈ E) : Q(x)] ,
[(∃x ∈ E) : P (x) ou Q(x)] ⇔ [(∃x ∈ E) : P (x) ou (∃x ∈ E) : Q(x)].
fb: @1BACMATHS
3
yb : 1 BAC MATHS - Pr. KARZA ZOUHAIR
1.4. LES LOIS LOGIQUES
1.4
CHAPITRE 1. LOGIQUE
Les lois logiques
Définition 1.11 (loi logique)
Soit P une proposition composée de propositions Q1 , Q2 , ..., Qn liées avec des connecteurs logiques.
On dit que P est une loi logique s’elle est vraie quelque soit la valeur de vérité des propositions
Q1 , Q2 , ..., Qn .
Proposition 1.12 (loi de Morgan)
Soient P et Q deux propositions. On a les deux lois logiques suivantes :
(P ou Q) ⇔ ( P et Q) et
(P et Q) ⇔ ( P ou Q).
Proposition 1.13 (loi de la contraposition)
Soient P et Q deux propositions. La proposition suivante :
(P ⇒ Q) ⇔ ( Q ⇒ P )
est une loi logique. Q ⇒ P s’appelle la contraposée de P ⇒ Q.
Pour montrer que P ⇒ Q est vraie, on suppose que P est vraie et on montre que Q est aussi vraie.
Dans certaines situations ce raisonnement est difficile. Alors selon la loi de la contraposition, il suffit de
montrer que Q ⇒ P est vraie au lieu de montrer que P ⇒ Q est vraie . Ce type de raisonnement
s’appelle le raisonnement par contraposition.
Proposition 1.14 (loi d’absurde)
Soient P et Q deux propositions. La proposition suivante :
[( P ⇒ Q) et ( P ⇒ Q)] ⇒ P
est une loi logique.
Pour montrer que P est un proposition vraie, on suppose que P est fausse et on cherche une proposition
Q telle qu’on aura : [( P ⇒ Q) et ( P ⇒ Q)] est vraie. Ceci aboutit à une contradiction car P est vraie
et l’un des propositions Q et Q est fausse (donc ( P ⇒ Q) ou ( P ⇒ Q) est fausse).
Ce type de raisonnement est appelé le raisonnement par absurde.
Proposition 1.15 (distinction des cas)
Soient P , Q et R trois propositions. La proposition suivante
[(P ⇒ R) et (Q ⇒ R)] ⇒ [(P ou Q) ⇒ R]
est une loi logique.
Proposition 1.16 (principe de récurrence)
Soient n0 ∈ N et P (n) une fonction proportionnelle d’une variable n ∈ N telle que n > n0 . Si
(i) Vérification : P (n0 ) est vraie,
(ii) Héridité : pour tout n > n0 , on a P (n) ⇒ P (n + 1) est vraie,
alors (∀n > n0 ) : P (n) est vraie.
fb: @1BACMATHS
4
yb : 1 BAC MATHS - Pr. KARZA ZOUHAIR