logique

CHAPITRE 1
LOGIQUE
1.1 Proposition - Fonction propositionnelle
Définition 1.1
On appelle proposition tout texte mathématique qu’a un sens et pouvant être vrai ou faux. On dit
alors que les deux valeurs de vérité d’une proposition sont « vraie » et « fausse »
Pour s’implifier, on note vrai par V ou 1 et fausse par F ou 0.
Exemple :
La proposition sa valeur
1<00
3est une solution de l’équation x2−5x+ 6 = 0 1
Définition 1.2
On appelle fonction propositionnelle P(.)(ou P(., ., ..., .)) tout texte mathématique qui contient une
variable (ou plusieurs variables) d’un ensemble non vide donné Etel qu’il devient une proposition
dès qu’on remaplace cette variable par une valeur précise appartenant à E.
Exemples :
(1) P(x):”x2−5x+ 6 = 0 , x ∈R”est une fonction proportionnelle.
P(3) et P(2) sont des propositions vraies.
P(0) est une proposition fausse.
(2) Q(x, y):”x+y > 0, x, y ∈R”est une fonction proportionnelle.
Q(3,−1) et Q(−2,5) sont des propositions vraies.
Q(0,0),Q(4,−5) et Q(1/2,−1) sont des propositions fausses.
(3) R(a, b, c) : ” a2+b2=c2, a, b, c ∈R”est une fonction proportionnelle.
R(1,1,√2) est une proposition vraie.
R(1,1,−2) est une proposition fausse.
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1.2. QUANTIFICATEURS - PROPOSITIONS QUANTIFIÉES CHAPITRE 1. LOGIQUE
1.2 Quantificateurs - Propositions quantifiées
Définition 1.3
Soit P(x)une fonction propositionnelle de la variable xd’un ensemble non vide donné E. On définit :
(i) "(∃x∈E) : P(x)" est une proposition qui sera vraie s’il existe au moins un xde Equi vérifie
P(x).
Le symbole ∃s’appelle le quantificateur existentiel et se lit "il existe au moins".
(ii) "(∃!x∈E) : P(x)" est une proposition qui sera vraie s’il existe un unique xde Equi vérifie
P(x).
(iii) "(∀x∈E) : P(x)" est une proposition qui sera vraie si tout xde Evérifie P(x).
Le symbole ∀s’appelle le quantificateur universel et se lit "pour tout" ou "quelque soit".
Exemples :
(1) "(∃x∈R) : x2−5x+ 6 = 0" est une proposition vraie.
(2) "(∃!x∈[1,+∞[) : x2−5x+ 6 = 0" est une proposition fausse.
(3) "(∀x∈R) : x2−5x+ 6 = 0" est une proposition fausse.
1.3 Les opérations sur les propositions
Définition 1.4(négation d’une proposition)
La négation d’une proposition Pest une proposition notée Pou Pqu’a une valeur de vérité contraire
à celle de P.
On résume la vérité de Pdans un tableau :
vérité de Pvérité de P
1 0
0 1
appelé tableau de vérité de P
Définition 1.5(disjonction de deux propositions)
La disjonction de deux propositions Pet Qest la proposition qu’est fausse sauf si les deux proposi-
tions Pet Qsont fausses. On la note par (Pou Q) ou P∨Q.
vérité de Pvérité de Qvérité de P∨Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Remarque :la disjonction est une opération commutative ( (Pou Q) a le même sens que (Qou P)) et
associative ([(Pou Q)ou R]et [Pou (Qou R)] ont le même sens).
Définition 1.6(conjonction de deux propositions)
La conjonction de deux propositions Pet Qest la proposition qu’est vraie sauf si les deux proposi-
tions Pet Qsont vraies. On la note par (Pet Q) ou P∧Q.
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1.3. LES OPÉRATIONS SUR LES PROPOSITIONS CHAPITRE 1. LOGIQUE
vérité de Pvérité de Qvérité de P∧Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Remarque :la conjonction est une opération commutative et associative.
Définition 1.7(implication de deux propositions)
L’implication des propositions Pet Q, dans cette ordre, est la proposition ( Pou Q) qu’on note
P⇒Qet se lit ”Pimplique Q”.
Remarque :P⇒Qest fausse sauf si Pest vraie et Qest fausse, car :
vérité de Pvérité de Qvérité de P⇒Q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
De plus l’implication est une opération non commutative.
L’implication Q⇒Pest l’implication réciproque de l’implication P⇒Q.
Proposition 1.8
les opérations suivantes sont vraies :
[(∀x∈E) : A(x)⇒B(x)] ⇒[(∀x∈E) : A(x)⇒(∀x∈E) : B(x)]
(∃x∈E)(∀y∈F) : A(x, y)⇒(∀y∈F)(∃x∈E) : A(x, y).
Définition 1.9(équivalence de deux propositions)
On appelle l’équivalence de deux propositions Pet Qla proposition (P⇒Qet Q⇒P).
On la note P⇔Qet on lit (Pest équivalente à Q) ou (Psi et seulement si Q).
Remarque :la proposition P⇔Qest vraie si les deux propositions Pet Qont la même valeur de
vérité, car :
P Q P ⇒Q Q ⇒P P ⇔Q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
De plus cette opération est commutative, associative et transitive ([P⇔Qet Q⇔R]⇒[P⇔R]).
Proposition 1.10
Soient P(x)et Q(x)deux fonctions proportionnelles telles que xest une variable appartenant à un
ensemble non vide E. On a les équivalences suivantes :
[(∀x∈E) : P(x)et Q(x)] ⇔[(∀x∈E) : P(x)et (∀x∈E) : Q(x)] ,
[(∃x∈E) : P(x)ou Q(x)] ⇔[(∃x∈E) : P(x)ou (∃x∈E) : Q(x)].
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1.4. LES LOIS LOGIQUES CHAPITRE 1. LOGIQUE
1.4 Les lois logiques
Définition 1.11 (loi logique)
Soit Pune proposition composée de propositions Q1, Q2, ..., Qnliées avec des connecteurs logiques.
On dit que Pest une loi logique s’elle est vraie quelque soit la valeur de vérité des propositions
Q1, Q2, ..., Qn.
Proposition 1.12 (loi de Morgan)
Soient Pet Qdeux propositions. On a les deux lois logiques suivantes :
(Pou Q)⇔(Pet Q)et (Pet Q)⇔(Pou Q).
Proposition 1.13 (loi de la contraposition)
Soient Pet Qdeux propositions. La proposition suivante :
(P⇒Q)⇔(Q⇒P)
est une loi logique. Q⇒Ps’appelle la contraposée de P⇒Q.
Pour montrer que P⇒Qest vraie, on suppose que Pest vraie et on montre que Qest aussi vraie.
Dans certaines situations ce raisonnement est difficile. Alors selon la loi de la contraposition, il suffit de
montrer que Q⇒Pest vraie au lieu de montrer que P⇒Qest vraie . Ce type de raisonnement
s’appelle le raisonnement par contraposition.
Proposition 1.14 (loi d’absurde)
Soient Pet Qdeux propositions. La proposition suivante :
[( P⇒Q)et (P⇒Q)] ⇒P
est une loi logique.
Pour montrer que Pest un proposition vraie, on suppose que Pest fausse et on cherche une proposition
Qtelle qu’on aura : [( P⇒Q)et (P⇒Q)] est vraie. Ceci aboutit à une contradiction car Pest vraie
et l’un des propositions Qet Qest fausse (donc (P⇒Q)ou (P⇒Q)est fausse).
Ce type de raisonnement est appelé le raisonnement par absurde.
Proposition 1.15 (distinction des cas)
Soient P,Qet Rtrois propositions. La proposition suivante
[(P⇒R)et (Q⇒R)] ⇒[(Pou Q)⇒R]
est une loi logique.
Proposition 1.16 (principe de récurrence)
Soient n0∈Net P(n)une fonction proportionnelle d’une variable n∈Ntelle que n>n0. Si
(i) Vérification :P(n0)est vraie,
(ii) Héridité : pour tout n>n0, on a P(n)⇒P(n+ 1) est vraie,
alors (∀n>n0) : P(n)est vraie.
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