Démonstration automatique

Démonstration automatique
Traitement de l’égalité par la récriture
Évelyne Contejean Xavier Urbain
20 janvier 2011

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Table des matières
1 Petits rappels sur le principe d’induction 7
2 Les algèbres de termes 9
2.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Les termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Une première définition des termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Positions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Une deuxième définition des termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.5 Sous-termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Les substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Subsumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Renommages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Interprétation des termes non clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Les F-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Algèbres quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Logique équationnelle 17
3.1 La congruence =E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Problème du mot, problème d’unification, problème inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Raisonnement équationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Étape équationnelle, théorie équationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Unification 23
4.1 Unification syntaxique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Formes résolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Règles de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.3 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.4 Terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.5 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.6 Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Quelques définitions pour l’unification modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Unification AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1 Formes canoniques et égalité modulo AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3

4.3.2 Unification AC élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Résolution d’équations diophantiennes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.1 Algorithme de Clausen-Fortenbacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4.2 Algorithme de Contejean-Devie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Combinaison d’algorithmes d’unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.1 Règles d’inférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.2 Terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5.3 Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.4 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5.5 Obtenir des formes résolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Récriture 47
5.1 Règles de récriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Confluence sur les relations abstraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Paires critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Algèbre de formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.5 Systèmes de récriture canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6 Récriture modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.6.1 Récriture dans les classes, récriture étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6.2 Confluence de la récriture modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6.3 Récriture AC-étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Ordres sur les termes 67
6.1 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Comment combiner des ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.1 Combinaison lexicographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.2 Combinaison multi-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 RPO : ordre récursif sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 KBO : Knuth-Bendix Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 Terminaison 79
7.1 Notion de terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.1 Indécidabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.2 Schéma de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.1 Manna & Ness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.2 Paires de dépendances (DP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2.3 Graphes de dépendance (GRAPH, S/GRAPH) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2.4 Subterm-criterion (S/TERM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.5 Filtrage d’arguments (AFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2.6 Prouver que DPR(D,R) termine à l’aide d’ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3 Modularité de la terminaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4 Terminaison avec théorie AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4.1 Compatibilité AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4.2 Paires de dépendance AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4.3 Prouver la terminaison AC à l’aide d’ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4

7.5 Terminaison sous stratégies de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.5.1 Innermost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 Compilation du fitrage 103
8.1 Réseaux de discrimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Réseaux de discrimination non déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 Complétion 105
9.1 Règles de complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Stratégies et contrôle équitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.3 Algèbres de preuves, la complétion vue comme récriture de preuves . . . . . . . . . . . . . 107
9.4 Complétion ordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.4.1 Les règles de la complétion ordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.5 Complétion modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10 Clôture par congruence 113
10.1 Clôture par congruence standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.2 Clôture par congruence modulo X:CC(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5