Série 11

EPFL -Section de Math´ ematiques
Introduction
`a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre Printemps 2007-2008
15.05.2008
S´erie 11
Exercice 1
Soit Kun corps de nombres de degr´e n. Soient σ1, σ2, . . . , σnles nplongements distincts
de Kdans C. On note r1le nombre de plongements r´eels et 2r2le nombre de plongements
complexes. On suppose en outre que les plongements σisont ordonn´es de telle sorte que
σi(K)⊂Rpour 1 ≤i≤r1et σj+r2(x) = ¯ σj(x) pour r1+ 1 ≤j≤r1+r2.
On note σle plongement canonique de Kdans Rr1×Cr2:
σ:K−→ Rr1×Cr2
x7→ (σ1(x), σ2(x), . . . , σr1+r2(x))
On identifiera Rr1×Cr2avec Rn, c’est-`a-dire, pour tout x∈Kon ´ecrira :
σ(x) = (σ1(x), σ2(x), . . . , σr1(x),Re(σr1+1(x)),Im(σr1+1(x)),...,Re(σr1+r2(x)),Im(σr1+r2(x))).
Soit Gun sous-groupe du groupe additif de K. On suppose que Gest un groupe libre de rang
net on note x1, x2, . . . , xndes g´en´erateurs de G.
1. Montrer que les ´el´ements x1, x2, . . . , xnsont lin´eairement ind´ependants sur Q, en parti-
culier ils forment une base du corps Kconsid´er´e comme Q-espace vectoriel.
2. Soit Ala matrice dont la k-`eme ligne est donn´ee par σ(xk). ` A l’aide d’op´erations
´el´ementaires sur les lignes, montrer la relation :
det(A) = 1
(2i)r2det(σk(xj)).
3. ` A l’aide de la question 1 et du fait que le discriminant d’une base est non nul (exercice
1 de la s´erie 10), montrer que les lignes de la matrice Asont lin´eairement ind´ependantes
sur R. En d´eduire que σ(G) est un r´eseau de Rndont le volume d’un parall´elotope
fondamental est : 1
2r2|det(σk(xj))|.
4. Soit dle discriminant absolu de K, soit OKl’anneau des entiers de Ket soit Iun id´eal
non nul de OK. Montrer que σ(OK) et σ(I) sont des r´eseaux et que leurs parall´elotopes
fondamentaux sont de volume :
v(σ(OK)) = 1
2r2p|d|

et
v(σ(I)) = 1
2r2p|d|N(I)
respectivement, o`u N(I) d´esigne la norme de l’id´eal I.
Exercice 2
On conserve les notations pr´ec´edentes. Le but de cet exercice est de montrer que tout id´eal
non nul Ide OKcontient un ´el´ement non nul xtel que :
|NK/Q(x)| ≤ 4
πr2n! nnp|d|N(I).
Dans la suite, on fixe un id´eal non nul Ide OK.
1. Soit t∈R, on consid`ere l’ensemble suivant :
Bt:= {(y1,...yr1, z1, . . . , zr2|
r1
X
i=1 |yi|+ 2
r2
X
j=1 |zj| ≤ t}.
On admet que l’ensemble Btest compact, convexe et sym´etrique par rapport `a 0, on
admet ´egalement que son volume est donn´e par :
v(Bt) = 2r1π
2r2tn n!.
Trouver la valeur optimale de tpour laquelle il existe un ´el´ement non nul x∈Itel que
σ(x)∈Bt.
2. Pour un tel x∈I, montrer l’in´egalit´e :
|NK/Q(x)| ≤ 4
πr2n! nnp|d|N(I).
Indication : on pourra utiliser l’in´egalit´e suivante entre moyennes arithm´etique et g´eom´etrique
pour des nombres r´eels positifs x1, x2, . . . , xn:
x1+x2+. . . +xn
n≥n
√x1·x2···xn.