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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/12
3D’après la question 2, on a ρ1=p1χ0ρ0. La conservation de la masse s’écrit donc
ρ0div −→
v+χ0ρ0
∂p1
∂t = 0
Soit, après dérivation par rapport au temps :
ρ0
∂
∂t(div −→
v) + χ0ρ0
∂2p1
∂t2= 0
Les variables spatiales et temporelles sont indépendantes, on peut donc permuter
l’ordre des dérivations pour obtenir
ρ0div ∂−→
v
∂t +χ0ρ0
∂2p1
∂t2= 0
La divergence de l’équation d’Euler donne
ρ0div ∂−→
v
∂t =−∆p1
Par identification de ces deux résultats, on aboutit à l’équation d’évolution de p1:
∆p1−χ0ρ0
∂2p1
∂t2= 0
Pour des ondes planes se propageant suivant +
−x, celle-ci s’écrit :
∂2p1
∂x2−1
c2
∂2p1
∂t2= 0 avec c=1
√χ0ρ0
C’est une équation de d’Alembert, dont la solution générale est la superposition de
deux ondes se propageant suivant +
−−→
uxavec la célérité c(fet gsont deux fonctions
arbitraires) :
p1(x, t) = f(x−c t) + g(x+c t)
4L’application numérique donne
c=rγ p0
ρ0
= 328 m.s−1
La plage de longueur d’onde du domaine audio est déterminée grâce à la formule
classique λ=c/f :
3,3 cm < λ < 3,3 m
2. Étude d’une bulle d’air
5Une éventuelle inhomogénéité de pression dans la bulle peut provenir, soit de
phénomènes statiques (augmentation de la pression avec la profondeur, tension su-
perficielle), soit des variations dynamiques de pression dues aux ondes de pression
qui se déplacent dans la bulle.
•L’énoncé demande de négliger la tension superficielle et la variation de pression
hydrostatique dans l’eau. A fortiori, comme la masse volumique de l’air ρ0est
très faible devant celle de l’eau ρE, l’augmentation statique de pression dans
l’air est elle aussi négligeable.
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