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Mines Physique 2 PSI 2006 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Georges Rolland (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Ce sujet se compose de trois parties largement indépendantes et traite d’oscillations de bulles d’air dans l’eau. Mis à part le début de la première partie, l’ensemble
du problème s’écarte très largement du cours.
• La première partie consiste en l’établissement de l’équation des ondes sonores,
raisonnement classique de cours, et à son application à la bulle d’air ; elle doit
être résolue sans problème.
• La deuxième partie introduit deux modèles d’oscillations de bulles et compare leurs prévisions. La sous-partie II.2, qui envisage la propagation des ondes
sonores dans l’eau à vitesse finie, est plus délicate et demande une bonne assimilation des phénomènes propagatifs et de leur dépendance en temps et en
espace.
• La dernière partie du problème traite du couplage acoustique de deux bulles ;
elle présente des questions qualitatives pour tester le sens physique (et l’imagination) du candidat. Son niveau reste abordable.
L’ensemble est d’une longueur raisonnable et ne comporte pas de question très
délicate ou trop calculatoire. De nombreux résultats sont fournis, ce qui aide à leur démonstration et permet de ne pas buter sur une difficulté ponctuelle. Il exige toutefois
du candidat attention et rigueur pour éviter quelques pièges, parfois assez subtils.
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Indications
Partie I
3 Dériver l’équation de conservation de la masse par rapport à t, prendre la divergence de l’équation d’Euler de façon à éliminer les termes en v.
6 Exprimer la (petite) variation de volume de la bulle en fonction de ξ(t) et utiliser
la loi de Laplace.
Partie II
7 Utiliser l’hypothèse d’incompressibilité de l’eau et donc la conservation de son
volume lors de la dilatation de la bulle (R −→ R + dR).
10 Intégrer par rapport à r l’équation obtenue à la question 8 avec les conditions
initiales déterminées à la question 9. Négliger le terme du second ordre pour
obtenir l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique.
13 Utiliser le formulaire fourni pour exprimer le laplacien de p en fonction de π.
L’équation de d’Alembert satisfaite par π(t) admet deux solutions, dont une doit
être rejetée.
14 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à une particule d’eau.
15 Utiliser le fait que r est voisin de R0 .
18 Exprimer ξ ′′′ en fonction de ξ ′ .
19 L’amortissement est faible, la période mesurée sur la figure 1 peut être assimilée à
la période propre. L’enveloppe du signal, une exponentielle décroissante, permet
d’accéder à Γ.
Partie III
20 Il y a ici une erreur d’énoncé, on doit lire cE ≫ ωM d.
Ne pas oublier de prouver que l’on peut confondre u1 , u2 et t pour obtenir les équations demandées. Pour cela, comparer la longueur d’onde des ondes de pression
dans l’eau à la distance séparant les deux bulles.
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Le chant des bulles
I. Évolution de l’air contenu dans une bulle
1.
Propagation du son dans l’air
1 L’équation d’Euler s’écrit en introduisant ρ1 et p1 :
"
#
→
−
−
→
−−→
∂−
v
→
→
(ρ0 + ρ1 )
+ (−
v . grad )−
v = − grad (p0 + p1 )
∂t
−−→ →
→
Puisque |ρ1 | ≪ |ρ0 | et p0 = Cte , et en négligeant le terme convectif (−
v . grad )−
v,
du deuxième ordre, on obtient
→
−−→
∂−
v
ρ0
= − grad (p1 )
∂t
Pour les mêmes raisons, l’équation de conservation de la masse peut se simplifier en
∂ρ1
→
ρ0 div (−
v)+
=0
∂t
2 L’évolution de l’air est isentropique car :
• adiabatique : transformations trop rapides pour permettre un échange de chaleur avec le milieu extérieur ;
• réversible : compressions-détentes de faible amplitude.
Soit une masse m d’air, occupant un volume V. Sa masse volumique vaut ρ = m/V,
le coefficient de compressibilité isentropique s’écrit donc :
1 ∂V
ρ ∂(m/ρ)
∂(1/ρ)
1 ∂ρ
χ0 = −
=−
= −ρ
=
V ∂p S
m
∂p
∂p
ρ ∂p S
S
S
1 ∂ρ
Soit, en assimilant ρ à ρ0
χ0 =
ρ0 ∂p S
ρ1 et p1 représentent respectivement les petites variations de masse volumique et
de pression lors de l’évolution isentropique de l’air contenu dans la bulle, donc
χ0 =
1 ρ1
ρ0 p 1
L’air, considéré comme un gaz parfait, suit, lors de sa transformation isentropique,
la loi de Laplace pVγ = Cte . En en prenant la différentielle logarithmique, il vient
dp
dV
+γ
=0
à entropie constante
p
V
∂V
V
d’où
=−
∂p S
γp
1 ∂V
1
donc
χ0 = −
=
V ∂p S γ p
Soit ici
χ0 =
1 ∼ 1
=
γp
γ p0
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3 D’après la question 2, on a ρ1 = p1 χ0 ρ0 . La conservation de la masse s’écrit donc
∂p1
→
=0
ρ0 div −
v + χ 0 ρ0
∂t
Soit, après dérivation par rapport au temps :
∂
∂ 2 p1
→
ρ0 (div −
v ) + χ 0 ρ0 2 = 0
∂t
∂t
Les variables spatiales et temporelles sont indépendantes, on peut donc permuter
l’ordre des dérivations pour obtenir
→
∂−
v
∂ 2 p1
ρ0 div
+ χ 0 ρ0 2 = 0
∂t
∂t
La divergence de l’équation d’Euler donne
→
∂−
v
= −∆p1
ρ0 div
∂t
Par identification de ces deux résultats, on aboutit à l’équation d’évolution de p1 :
∆p1 − χ0 ρ0
∂ 2 p1
=0
∂t2
Pour des ondes planes se propageant suivant
+
− x,
celle-ci s’écrit :
∂ 2 p1
1 ∂ 2 p1
1
−
= 0 avec c = √
∂x2
c2 ∂t2
χ 0 ρ0
C’est une équation de d’Alembert, dont la solution générale est la superposition de
−
→
deux ondes se propageant suivant +
− ux avec la célérité c (f et g sont deux fonctions
arbitraires) :
p1 (x, t) = f (x − c t) + g(x + c t)
4 L’application numérique donne
r
γ p0
c=
= 328 m.s−1
ρ0
La plage de longueur d’onde du domaine audio est déterminée grâce à la formule
classique λ = c/f :
3, 3 cm < λ < 3, 3 m
2.
Étude d’une bulle d’air
5 Une éventuelle inhomogénéité de pression dans la bulle peut provenir, soit de
phénomènes statiques (augmentation de la pression avec la profondeur, tension superficielle), soit des variations dynamiques de pression dues aux ondes de pression
qui se déplacent dans la bulle.
• L’énoncé demande de négliger la tension superficielle et la variation de pression
hydrostatique dans l’eau. A fortiori, comme la masse volumique de l’air ρ0 est
très faible devant celle de l’eau ρE , l’augmentation statique de pression dans
l’air est elle aussi négligeable.
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