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Mines Physique 1 PSI 2011 — Énoncé 1/7
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2011
PREMI ` ERE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEI—PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte7 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Lebar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
TRANSPORTSPLAN ´ ETAIRES
Ce probl` eme´ etudiediversaspectsphysiquesdu voyage` al’´ echelleplan´ etaire.Ilestcompos´ ede
deux partiesind´ ependantes,lapremi` ere envisageled´ eplacementd’un train dansun tunnelcreus´ e
danslasph` ereterrestre,laseconde´ etudielamont´ ee d’un ascenseurlelong d’un cˆ ableverticalfix´ e` a
l’´ equateur.Danstout leprobl` emelaTerre estassimil´ ee ` aun corps sph´ eriquehomog` enederayon rT,
de centreOTetdemassevolumiquehomog` ene
µ
T.
Pourlesapplicationsnum´ eriqueson prendra
µ
T=5,50·103kg.m−3,rT=6,38·106m,eton utilisera
3chiffres significatifs.Onrappellelavaleurdela constanteuniverselledegravitation deNewton
G=6,67 ·10−11m3.kg−1.s−2.Lesvecteurs sontsurmont´ esd’un chapeaus’ils sontunitairesb uxou
d’unefl` echedansle casg´ en´ eral−→ OP.Unequantit´ esurmont´ ee d’un pointd´ esignelad´ eriv´ ee totalepar
rapportautempsde cettequantit´ e˙
θ =d
θ
dt.Lesnombrescomplexes sontsoulign´
esz∈C,`
al’exception
dejtelquej2=−1.
I.—Lem´ etro gravitationnel
Danstoute cettepartieon n´ egligetousleseffetsdelarotation delaterresurelle-mˆ eme eton seplace
dansler´ ef´ erentielg´ eocentriquequel’on supposeragalil´ een.
I.A.—Etudepr´ eliminaire
Onconsid` ereun pointPsitu´ e` al’int´ erieurdelasph` ereterrestre.On note−−→ OTP=−→ r=rb uret−−→ g(P)
le champ gravitationnelcr´ e´ eparlaterre enP.
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Mines Physique 1 PSI 2011 — Énoncé 2/7
1—Justifierque−−→ g(P)estport´ eparb uretqueson modulened´ epend queder,on noteradonc
−−→
g(P)=g(r)b ur.En utilisant leth´ eor` emedeGauss gravitationnel,d´ eterminerl’expression deg(r)en
fonction de
ω
2=4
3
π G µ
Tetr.
2—D´ eduiredelaquestion pr´ ec´ edentequelaforce degravitation s’exerc¸antsurun pointdemasse
msitu´ e enPd´ erivedel’´ energiepotentielle
Ep(r)=Ep0+1
2m
ω
2r2
o` uEp0estune constantequid´
epend delar´ ef´ erence choisie etquel’on nedemandepasd’expliciter.
Quelle est ladimension de
ω ?
I.B.—Letunneldroit
Onreliedeux pointsAetBdel’´ equateurterrestreparun tunnelcylindriquetraversant laTerreselon
lesch´ emadelafigure1 quipr´ esente´ egalement lesnotationsutilis´ ees.
FIG.1 – Letunneldroit
Onconsid` ereun mobileponctuelPdemassemsed´ eplac¸antdansletunnelsousl’effetdu champ
gravitationnel terrestre.Laposition du mobile estrep´ er´ ee surlesegment[AB]parla coordonn´ ee x
telleque−→ PH=xb uxo` ulevecteurunitaireb uxestcolin´ eaire` a−→ AB etdemˆ emesensetHest laprojection
orthogonaledeOTsur[AB].On notefinalementh=OTH.
DanstoutelapartieI,on supposequelepointPreste en permanence dansl’axedu tunnelgrˆ ace ` aun
syst` emede confinement.Iln’yadoncpasde contactavec lesparoisetdoncpasdefrottementavec
celles-ci.Untelconfinementestenvisageable en utilisantdesparoismagn´ etiques!Onsuppose enfin
qu’un videsuffisamentpouss´ e a ´ et´ e cr´ e´ edansletunnel.Soustoutesceshypoth` eses,on consid´ erera
quelaseuleforce quis’applique aumobile est laforce degravitation qu’exerce surlui laterre.
`
Al’instantt=0,on abandonnelemobile au pointAsansvitesseinitiale.
3—D´ eterminerl’´ equation diff´ erentielle(lin´ eaire)du second ordrev´ erifi´ ee parx(t).En d´ eduire
l’expression dex(t)enfonction deh,rT,
ω ett.
4—D´ eterminerlavaleurdelavitessemaximale atteinteparlepointPsurletrajet.En quelpoint
cettevitesse est-elle atteinte ?
5—Exprimerladur´ ee τ
0du trajetentreAB etcalculersavaleurnum´
erique.
I.C.—Projetdem´ etro
Pourdesservirplusieurspoints surl’´ equateur,on consid` ereun syst` emedetunnelsrepr´ esent´ es surla
figure2.
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Mines Physique 1 PSI 2011 — Énoncé 3/7
FIG.2 – Lesyst` emedetunnels
Untunnelcirculaire estperc´ e` aunedistance rHdu centredelaTerredansleplan del’´ equateuret l’on
creusedestunnelsrectilignesdedescenteou deremont´ ee A1H1A2H2,etc... Cestunnels seraccordent
autunnelcirculaireinterne en despointsH1,H2,··· .Chaquejonction est tangentielle,c’est-` a-direque
−−−→
A1H1.−−−→ OTH1=−−−→ A2H2.−−−→ OTH2=··· =0.LespointsH1,H2,... sont´ equip´ esd’un syst` emed’aiguillage
assurant la continuit´ edu vecteurvitessedelaramedetransportdesvoyageurslorsdu transfertentre
letunneldedescenteou deremont´ ee et letunnelcirculaire.
Onassimile cetterame` aun pointmat´ erielPdemassemastreint` a circulerdansl’axedu tunnelet
sanscontactavec sesparoisgrˆ ace ausyst` emede confinement.` Al’instantt=0,on laissetomberune
ramedu pointA1etsansvitesseinitiale.
6—Quelle est lanaturedu mouvementdelaramesurletrajetcirculaireinterneH1H2.D´ eterminer
lavitessedelaramesurcetteportion,en d´ eduirequeladur´ ee
τ
1du transfertdeH1versH2semet
souslaforme
τ
1=
θ
ω
f(y)
o` uy=rT/rHetfestunefonction quel’on d´ eterminera.
7—D´ eterminerladur´ ee totale τ du voyagedeA1versA2enfonction de θ , ω ety.D´ eterminerla
valeurnum´ eriquede
τ pourun voyagetelque θ = π /3avec rH=rT/2.Comparerlescaract´ eristiques
de ce voyage avec son ´ equivalent` alasurface delaterre.
8—Avec un diam` etremoyen de7m,´ evaluerlaquantit´ eded´ eblais` a´ evacuerpourcreuserle
tunnelcirculaire,ainsiqu’un tunnelradial.Commenterler´ esultatobtenu.
L’unedesnombreuseshypoth` esesn´ ecessaires` alar´ ealisation d’un telprojetest la cr´ eation et le
maintien d’un videsuffisantdansletunnel.Enfait,ce videnepeutˆ etrequepartielsurun telvolume
et letunnelcontientdel’airdedensit´ evolumiquedemasse
ρ maintenu ` alapression pet` ala
temp´ erature ambiante.Ce dernierpointserait ` adiscuterdansle cadred’une´ etudepluscompl` eteque
nousnem` eneronspasici.Onsupposeraquepet
ρ sontconstantesdansl’enceintedu tunneletque
l’airs’ycomporte commeun gaz parfait.Pourcette´ etudeon seplace dansle casdu mouvementdans
letunnelcirculaire.
Desexp´ eriencesd’a´ erodynamiquemontrentquelemouvementd’un solidedansun gaz aureposest
soumis` auneforce defrottement,ditetraˆ ın´ ee.Cettetraˆ ın´ ee d´ epend delataille caract´ eristiqueLetde
lavitessevdu solide ainsiquedeladensit´ e
ρ du gaz danslequels’effectuelemouvement.
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Mines Physique 1 PSI 2011 — Énoncé 4/7
9—Eneffectuantune analysedimensionnelle,d´ eterminerl’expression de cetteforce defrotte-
ment.
10 —On notePlapuissance d´ evelopp´ ee parlatraˆ ın´ ee subieparlaramedem´ etrolorsqu’elle
circuledanslaportion circulairedu tunnel.D´ eterminerlapression qu’il fautmaintenirdansletunnel
afin quePsoit comparable` alapuissance qued´ eveloppelaforce detraˆ ın´ ee dansle casd’unerame
deTGV circulant` alavitessede360 km.h−1`
alasurface delaterre.Onsupposeraqu’en dehors
delavitesselaramedem´ etroet laramedeTGV poss` edent lesmˆ emescarat´ eristiquesphysiques.
Commenterler´ esultatobtenu.
FIN DELA PARTIEI
II.—Ascenseurspatial
Ce probl` eme´ etudie certainsaspectsphysiquesdelar´ ealisation d’uneid´ ee r´ ecurrentedansdenom-
breux contextes«l’ascenseurspatial».Ils’agit d’un m´ ecanismepermettantdes’extrairedu champ
depesanteurterrestresansutiliserdefus´ ee.Onsupposepourcelaqu’un cˆ abler´ ealis´ eparfilagede
nanotubesde carbone,deplusde100 000 kmdelong,inextensible,apu ˆ etredress´ e` alaverticaled’un
pointdel’´ equateurdelaTerre.Ce cˆ ableposs` edeunemasselin´ eique
λ =1,00 kg.m−1extrˆ emement
faible etuner´ esistance m´ ecanique extrˆ emementfortepar rapport` aun cˆ able enacier,qui lerend ca-
pabledesupporterdetr` esfortestensions sanscasser.Danscettepartie,ler´ ef´ erentiel terrestre esten
rotation uniforme autourdel’axedespˆ olespar rapportaur´ ef´ erentielg´ eocentriquesuppos´ egalil´ een.Il
effectueun touren un joursid´ eraldedur´ ee T
σ
=8,62 ·104s.Laterre est toujours suppos´ ee sph´ erique
ethomog` enedemassemT=4
3
π r3
T
µ
T=5,98 ·1024kg.
II.A.—´ Etudedel’´ equilibre du cˆ able
Lesnotations sontcellesdelafigure3:Lepointd’ancrageEdu cˆ able estun pointdel’´ equateur
terrestre,rTest lerayon delaTerre etOTson centre.L’altituded’un pointMdu cˆ able estnot´ ee z,
r=rT+zest lerayon OTMethest lahauteurtotaledu cˆ able.LepointHrepr´ esentel’extr´ emit´ e
hautedu cˆ able:zH=hetrH=rT+h.Ce pointest libre.On pourra enfin utiliserlevecteurunitaire
b
ur=−−−→ OTM/r.
M
z
r
rT
OT
H
h
E
FIG.3 – Vueg´ en´ eraledelaTerre etdu cˆ able
11 —Rappelerlad´ efinition del’orbiteg´ eostationnaireterrestre.´ Etablirl’expression litt´ eraledu
rayon rscorrespondant` a cetteorbite enfonction delamassemTdelaterre,deGetdelapulsation
sid´ eraleterrestre
ωσ =2
π
T
σ
.
Danstoutelasuitedu probl` eme,on consid` ereraun cˆ abledelongueurtotaleh=4rs−rT,on adonc
OTH=rH=4rs.On notegslemoduledu champ degravitation enr=rs,c’est-` a-direlaquantit´ e
tellequefs=mgso` ufsest lemoduledelaforce degravitation subieparun corpsdemassemsitu´ e
enr=rs.Enfin,on noteglemoduledu champ degravitation enr=rT.
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Mines Physique 1 PSI 2011 — Énoncé 5/7
12 —En´ ecrivantquele cˆ able esten´ equilibre,montrerquelad´ eriv´ ee delatension du cˆ able enM
v´ erifielarelation
dT
dr=
χ
r2
s
r2−r rs
o` u
χ estun param` etrequel’on exprimera enfonction de λ etgs.EnadmettantqueT(rH)=0,
d´ eterminerl’expression delatension T(r)enfonction de
χ ,retrs.
13 —D´ eterminerlesvaleursnum´ eriquesders,gsdelatension du cˆ able au pointd’ancragenot´ ee
TE=T(rT),ainsiquelavaleurmaximaleTmaxdeT(r).Commenterler´ esultatobtenu,on pourrapar
exemplese«servir»delaquestion 8,on donne aussi lemoduled’Young del’acier
ε
a=210 GPa et
d’un cˆ able en nanotubesde carbonne
ε
c=1TPa.
II.B.—Mont´ ee delacage d’ascenseurlelongdu cˆ able
Lesyst` emedepropulsion dela cabine estmod´ elis´ esurlafigure4.Lamont´ ee estassur´ ee parlarotation
ensensinversesdedeux groscylindresde caoutchoucidentiques,chacun derayon Rc=1,00 m,de
massemc=2,00 ·103kg,demomentd’inertiepar rapport` ason axeJ=1
2mcR2
c.Cescylindres sont
mˆ usparun moteur´ electrique exerc¸antsurchacun un couple.Lemomentr´ esultantde ce couple est
−→
Γg= +Γ0b uypourle cylindredegauche et−→ Γd=−Γ0b uypourle cylindrededroite.Lesdeux cylindres
serrent le cˆ ablegrˆ ace ` aun ressortreliant leurscentres.Lalongueur` avideℓ0=Rcet la constantede
raideurkdu ressortpermettentd’assurerun roulementsansglissementaucontactdu cˆ able.On prend
fs=0,5 pourle coefficientdefrottementstatique entrele caoutchoucdescylindreset le cˆ able.On
n´ egligelesmassesdela cabine,desesoccupantsetdesmoteurspar rapport` a celledescylindres.
FIG.4 – Vueg´ en´ eraledescylindresassurant lamont´ ee dela cabine
On n´ egligeratoute action del’air (frottementetvent)surlesyst` eme.
Dansler´ ef´ erentiel(E,b ux,b uy,b uz)avec b uz=b urla cabine,rep´ er´ ee parlepointM,estenE` at=0.
Lamont´ ee dez=0(o` ulavitesse estnulle)` az=hdure autotaltm=4joursetsed´ ecompose en
unephased’acc´ el´ eration constanted’intensit´ ea=1m.s−2pendantunedur´ ee t0suivied’unephase` a
vitesse constantedemodulev0.
14 —Calculerlesvaleursnum´ eriquesdeladur´ ee t0,delavitessev0etdel’altitudez0atteintes` a
lafin delapremi` erephase.On v´ erifieraquez0≪h.
15 —Justifierlefait quel’on puisse consid´ ererquependant lapremi` erephase,laforce de
gravitation exerc´ ee parlaTerresurlesyst` eme estsensiblementconstante etn´ egligerunedesforces
par rapport` a celle-ci.
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