2—D´
eduiredelaquestion pr´
ec´
edentequelaforce degravitation s’exerc¸antsurun pointdemasse
msitu´
e enPd´
erivedel’´
energiepotentielle
Ep(r)=Ep0+1
2m
ω
2r2
o`
uEp0estune constantequid´
epend delar´
ef´
erence choisie etquel’on nedemandepasd’expliciter.
Quelle est ladimension de
ω
?
I.B.—Letunneldroit
Onreliedeux pointsAetBdel’´
equateurterrestreparun tunnelcylindriquetraversant laTerreselon
lesch´
emadelafigure1 quipr´
esente´
egalement lesnotationsutilis´
ees.
FIG.1 – Letunneldroit
Onconsid`
ereun mobileponctuelPdemassemsed´
eplac¸antdansletunnelsousl’effetdu champ
gravitationnel terrestre.Laposition du mobile estrep´
er´
ee surlesegment[AB]parla coordonn´
ee x
telleque−→
PH=xb
uxo`
ulevecteurunitaireb
uxestcolin´
eaire`
a−→
AB etdemˆ
emesensetHest laprojection
orthogonaledeOTsur[AB].On notefinalementh=OTH.
DanstoutelapartieI,on supposequelepointPreste en permanence dansl’axedu tunnelgrˆ
ace `
aun
syst`
emede confinement.Iln’yadoncpasde contactavec lesparoisetdoncpasdefrottementavec
celles-ci.Untelconfinementestenvisageable en utilisantdesparoismagn´
etiques!Onsuppose enfin
qu’un videsuffisamentpouss´
e a ´
et´
e cr´
e´
edansletunnel.Soustoutesceshypoth`
eses,on consid´
erera
quelaseuleforce quis’applique aumobile est laforce degravitation qu’exerce surlui laterre.
`
Al’instantt=0,on abandonnelemobile au pointAsansvitesseinitiale.
3—D´
eterminerl’´
equation diff´
erentielle(lin´
eaire)du second ordrev´
erifi´
ee parx(t).En d´
eduire
l’expression dex(t)enfonction deh,rT,
ω
ett.
4—D´
eterminerlavaleurdelavitessemaximale atteinteparlepointPsurletrajet.En quelpoint
cettevitesse est-elle atteinte ?
5—Exprimerladur´
ee
τ
0du trajetentreAB etcalculersavaleurnum´
erique.
I.C.—Projetdem´
etro
Pourdesservirplusieurspoints surl’´
equateur,on consid`
ereun syst`
emedetunnelsrepr´
esent´
es surla
figure2.
Untunnelcirculaire estperc´
e`
aunedistance rHdu centredelaTerredansleplan del’´
equateuret l’on
creusedestunnelsrectilignesdedescenteou deremont´
ee A1H1A2H2,etc... Cestunnels seraccordent
autunnelcirculaireinterne en despointsH1,H2,··· .Chaquejonction est tangentielle,c’est-`
a-direque
−−−→
A1H1.−−−→
OTH1=−−−→
A2H2.−−−→
OTH2=··· =0.LespointsH1,H2,... sont´
equip´
esd’un syst`
emed’aiguillage