Mines Physique 1 MP 2011 — Énoncé 1/6
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT´
ETIENNE,MINESDENANCY,
T´
EL ´
ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI`
ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI`
ERE TSI)
CONCOURS DADMISSION 2011
PREMI `
ERE´
EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili`
ere MP
(Dur´
ee del´
epreuve:3heures)
Lusagedelacalculatrice estautoris´
e
Sujetmis `
adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPEEIVP
Lescandidats sontpri´
esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi`
erepagedelacopie:
PHYSIQUEIMP.
L´
enonc´
ede cette´
epreuve comporte6 pages.
Si, aucoursdel’´
epreuve,un candidatrep`
ere ce quiluisemble ˆ
etreune erreurd´
enonc´
e,il estinvit´
e`
ale
signalersursa copie et`
apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquil aura´
et´
e
amen´
e`
aprendre.
Ilnefaudrapash´
esiter`
aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´
erationsnum´
eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ
eme lorsquel’´
enonc´
enele demandepasexplicitement. Lebar`
eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´
esder´
edaction dela copie.
TRANSPORTSPLAN ´
ETAIRES
Ce probl`
eme´
etudiediversaspectsphysiquesdu voyage`
al´
echelleplan´
etaire.Ilestcompos´
ede
deux partiesind´
ependantes,lapremi`
ere envisageled´
eplacementdun train dansun tunnelcreus´
e
danslasph`
ereterrestre,laseconde´
etudielamont´
ee dun ascenseurlelong dun cˆ
ableverticalx´
e`
a
l´
equateur.Danstout leprobl`
emelaTerre estassimil´
ee `
aun corps sph´
eriquehomog`
enederayon rT,
de centreOTetdemassevolumiquehomog`
ene
µ
T.
Pourlesapplicationsnum´
eriqueson prendra
µ
T=5,50·103kg.m3,rT=6,38·106m,eton utilisera
3chiffres signicatifs.Onrappellelavaleurdela constanteuniverselledelagravitation deNewton
G=6,67 ·1011m3.kg1.s2.Lesvecteurs sontsurmont´
esdun chapeausils sontunitairesb
uxou
dune`
echedansle casg´
en´
eral
OP.Unequantit´
esurmont´
ee dun pointd´
esignelad´
eriv´
ee totalepar
rapportautempsde cettequantit´
e˙
θ
=d
θ
dt.
I.Lem´
etro gravitationnel
Danstoute cettepartieon n´
egligetousleseffetsdelarotation delaterresurelle-mˆ
eme eton seplace
dansler´
ef´
erentielg´
eocentriquequelon supposeragalil´
een.
I.A.Etudepr´
eliminaire
Onconsid`
ereun pointPsitu´
e`
alint´
erieurdelasph`
ereterrestre.On note
OTP=
r=rb
uret
g(P)
le champ gravitationnelcr´
e´
eparlaterre enP.
1Justierque
g(P)estport´
eparb
uretqueson modulened´
epend queder,on noteradonc
g(P)=g(r)b
ur.En utilisant leth´
eor`
emedeGauss gravitationneld´
eterminerlexpression deg(r)en
fonction de
ω
2=4
3
π
G
µ
Tetr.
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Mines Physique 1 MP 2011 — Énoncé 2/6
2D´
eduiredelaquestion pr´
ec´
edentequelaforce degravitation sexerc¸antsurun pointdemasse
msitu´
e enPd´
erivedel´
energiepotentielle
Ep(r)=Ep0+1
2m
ω
2r2
o`
uEp0estune constantequid´
epend delar´
ef´
erence choisie etquelon nedemandepasdexpliciter.
Quelle est ladimension de
ω
?
I.B.Letunneldroit
Onreliedeux pointsAetBdel´
equateurterrestreparun tunnelcylindriquetraversant laTerreselon
lesch´
emadelagure1 quipr´
esente´
egalement lesnotationsutilis´
ees.
FIG.1 – Letunneldroit
Onconsid`
ereun mobileponctuelPdemassemsed´
eplac¸antdansletunnelsousleffetdu champ
gravitationnel terrestre.Laposition du mobile estrep´
er´
ee surlesegment[AB]parla coordonn´
ee x
telleque
PH=xb
uxo`
ulevecteurunitaireb
uxestcolin´
eaire`
a
AB etdemˆ
emesensetHest laprojection
orthogonaledeOTsur[AB].On notenalementh=OTH.
DanstoutelapartieI,on supposequelepointPreste en permanence danslaxedu tunnelgrˆ
ace `
aun
syst`
emede connement.Ilnyadoncpasde contactavec lesparoisetdoncpasdefrottementavec
celles-ci.Untelconnementestenvisageable en utilisantdesparoismagn´
etiques!Onsuppose enn
quun videsufsamentpouss´
e a ´
et´
e cr´
e´
edansletunnel.Soustoutesceshypoth`
eses,on consid´
erera
quelaseuleforce quisapplique aumobile est laforce degravitation quexerce surlui laterre.
`
Alinstantt=0,on abandonnelemobile au pointAsansvitesseinitiale.
3D´
eterminerl´
equation diff´
erentielle(lin´
eaire)du second ordrev´
eri´
ee parx(t).En d´
eduire
lexpression dex(t)enfonction deh,rT,
ω
ett.
4D´
eterminerlavaleurdelavitessemaximale atteinteparlepointPsurletrajet.En quelpoint
cettevitesse est-elle atteinte ?
5Exprimerladur´
ee
τ
0du trajetentreAB etcalculersavaleurnum´
erique.
I.C.Projetdem´
etro
Pourdesservirplusieurspoints surl´
equateur,on consid`
ereun syst`
emedetunnelsrepr´
esent´
es surla
gure2.
Untunnelcirculaire estperc´
e`
aunedistance rHdu centredelaTerredansleplan del´
equateuret lon
creusedestunnelsrectilignesdedescenteou deremont´
ee A1H1A2H2,etc... Cestunnels seraccordent
autunnelcirculaireinterne en despointsH1,H2,··· .Chaquejonction est tangentielle,cest-`
a-direque
A1H1.
OTH1=
A2H2.
OTH2=··· =0.LespointsH1,H2,... sont´
equip´
esdun syst`
emedaiguillage
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Mines Physique 1 MP 2011 — Énoncé 3/6
FIG.2 – Lesyst`
emedetunnels
assurant la continuit´
edu vecteurvitessedelaramedetransportdesvoyageurslorsdu transfertentre
letunneldedescenteou deremont´
ee et letunnelcirculaire.
Onassimile cetterame`
aun pointmat´
erielPdemassemastreint`
a circulerdanslaxedu tunnelet
sanscontactavec sesparoisgrˆ
ace ausyst`
emede connement.`
Alinstantt=0,on laissetomberune
ramedu pointA1etsansvitesseinitiale.
6Quelle est lanaturedu mouvementdelaramesurletrajetcirculaireinterneH1H2.D´
eterminer
lavitessedelaramesurcetteportion,en d´
eduirequeladur´
ee
τ
1du transfertdeH1versH2semet
souslaforme
τ
1=
θ
ω
f(y)
o`
uy=rT/rHetfestunefonction quelon d´
eterminera.
7D´
eterminerladur´
ee totale
τ
du voyagedeA1versA2enfonction de
θ
,
ω
ety.D´
eterminerla
valeurnum´
eriquede
τ
pourun voyagetelque
θ
=
π
/3avec rH=rT/2.Comparerlescaract´
eristiques
de ce voyage avec son ´
equivalent`
alasurface delaterre.
8Avec un diam`
etremoyen de7m,´
evaluerlaquantit´
eded´
eblais`
a´
evacuerpourcreuserle
tunnelcirculaire,ainsiquun tunnelradial.Commenterler´
esultatobtenu.
Lunedesnombreuseshypoth`
esesn´
ecessaires`
alar´
ealisation dun telprojetest la cr´
eation et le
maintien dun videsufsantdansletunnel.Enfait,ce videnepeutˆ
etrequepartielsurun telvolume
et letunnelcontientdelairdedensit´
evolumiquedemasse
ρ
maintenu `
alapression pet`
ala
temp´
erature ambiante.Ce dernierpointserait `
adiscuterdansle cadredune´
etudepluscompl`
eteque
nousnem`
eneronspasici.Onsupposeraquepet
ρ
sontconstantesdanslenceintedu tunneletque
lairsycomporte commeun gaz parfait.Pourcette´
etudeon seplace dansle casdu mouvementdans
letunnelcirculaire.
Desexp´
eriencesda´
erodynamiquemontrentquelemouvementdun solidedansun gaz aureposest
soumis`
auneforce defrottement,ditetraˆ
ın´
ee.Cettetraˆ
ın´
ee d´
epend delataille caract´
eristiqueLetde
lavitessevdu solide ainsiquedeladensit´
e
ρ
du gaz danslequelseffectuelemouvement.
9Eneffectuantune analysedimensionnelle,d´
eterminerlexpression de cetteforce defrotte-
ment.
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Mines Physique 1 MP 2011 — Énoncé 4/6
10 On notePlapuissance d´
evelopp´
ee parlatraˆ
ın´
ee subieparlaramedem´
etrolorsquelle
circuledanslaportion circulairedu tunnel.D´
eterminerlapression quil fautmaintenirdansletunnel
an quePsoit comparable`
alapuissance qued´
eveloppelaforce detraˆ
ın´
ee dansle casdunerame
deTGV circulant`
alavitessede360 km.h1`
alasurface delaterre.Onsupposeraquen dehors
delavitesselaramedem´
etroet laramedeTGV poss`
edent lesmˆ
emescarat´
eristiquesphysiques.
Commenterler´
esultatobtenu.
FIN DELA PARTIEI
II.Ascenseurspatial
Ce probl`
eme´
etudie certainsaspectsphysiquesdelar´
ealisation duneid´
ee r´
ecurrentedansdenom-
breux contextes«lascenseurspatial».Ilsagit dun m´
ecanismepermettantdesextrairedu champ
depesanteurterrestresansutiliserdefus´
ee.Onsupposepourcelaquun cˆ
abler´
ealis´
eparlagede
nanotubesde carbone,deplusde100 000 kmdelong,inextensible,apu ˆ
etredress´
e`
alaverticaledun
pointdel´
equateurdelaTerre.Ce cˆ
ableposs`
edeunemasselin´
eique
λ
=1,00 kg.m1extrˆ
emement
faible etuner´
esistance m´
ecanique extrˆ
emementfortepar rapport`
aun cˆ
able enacier,qui lerend ca-
pabledesupporterdetr`
esfortestensions sanscasser.Danscettepartie,ler´
ef´
erentiel terrestre esten
rotation uniforme autourdelaxedespˆ
olespar rapportaur´
ef´
erentielg´
eocentriquesuppos´
egalil´
een.Il
effectueun touren un joursid´
eraldedur´
ee T
σ
=8,62 ·104s.Laterre est toujours suppos´
ee sph´
erique
ethomog`
enedemassemT=4
3
π
r3
T
µ
T=5,98 ·1024kg.
II.A.´
Etudedel´
equilibre du cˆ
able
Lesnotations sontcellesdelagure3:LepointdancrageEdu cˆ
able estun pointdel´
equateur
terrestre,rTest lerayon delaTerre etOTson centre.Laltitudedun pointMdu lestnot´
ee z,
r=rT+zest lerayon OTMethest lahauteurtotaledu cˆ
able.LepointHrepr´
esentelextr´
emit´
e
hautedu cˆ
able:zH=hetrH=rT+h.Ce pointest libre.On pourra enn utiliserlevecteurunitaire
b
ur=
OTM/r.
M
z
r
rT
OT
H
h
E
FIG.3 – Vueg´
en´
eraledelaTerre etdu cˆ
able
11 Rappelerlad´
enition delorbiteg´
eostationnaireterrestre.´
Etablirlexpression litt´
eraledu
rayon rscorrespondant`
a cetteorbite enfonction delamassemTdelaterre,deGetdelapulsation
sid´
eraleterrestre
ωσ
=2
π
T
σ
.
Danstoutelasuitedu probl`
eme,on consid`
ereraun cˆ
abledelongueurtotaleh=4rsrT,on adonc
OTH=rH=4rs.On notegslemoduledu champ degravitation enr=rs,cest-`
a-direlaquantit´
e
tellequefs=mgso`
ufsest lemoduledelaforce degravitation subieparun corpsdemassemsitu´
e
enr=rs.Enn,on noteglemoduledu champ degravitation enr=rT.
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Mines Physique 1 MP 2011 — Énoncé 5/6
12 En´
ecrivantquele cˆ
able esten´
equilibre,montrerquelad´
eriv´
ee delatension du cˆ
able enM
v´
erielarelation
dT
dr=
χ
r2
s
r2r
rs
o`
u
χ
estun param`
etrequelon exprimera enfonction de
λ
etgs.EnadmettantqueT(rH)=0,
d´
eterminerlexpression delatension T(r)enfonction de
χ
,retrs.
13 D´
eterminerlesvaleursnum´
eriquesders,gsdelatension du lau pointdancragenot´
ee
TE=T(rT),ainsiquelavaleurmaximaleTmaxdeT(r).Commenterler´
esultatobtenu,on pourrapar
exemplese«servir»delaquestion 8,on donne aussi lemoduledYoung delacier
ε
a=210 GPa et
dun cˆ
able en nanotubesde carbonne
ε
c=1TPa.
II.B.Mont´
ee delacage dascenseurlelongdu fil
Lesyst`
emedepropulsion dela cabine estmod´
elis´
esurlagure4.Lamont´
ee estassur´
ee parlarotation
ensensinversesdedeux groscylindresde caoutchoucidentiques,chacun derayon Rc=1,00 m,de
massemc=2,00 ·103kg,demomentdinertiepar rapport`
ason axeJ=1
2mcR2
c.Cescylindres sont
mˆ
usparun moteur´
electrique exerc¸antsurchacun un couple.Lemomentr´
esultantde ce couple est
Γg= +Γ0b
uypourle cylindredegauche et
Γd=Γ0b
uypourle cylindrededroite.Lesdeux cylindres
serrent le cˆ
ablegrˆ
ace `
aun ressortreliant leurscentres.Lalongueur`
avide0=Rcet la constantede
raideurkdu ressortpermettentdassurerun roulementsansglissementaucontactdu cˆ
able.On prend
fs=0,5 pourle coefcientdefrottementstatique entrele caoutchoucdescylindreset le cˆ
able.On
n´
egligelesmassesdela cabine,desesoccupantsetdesmoteurspar rapport`
a celledescylindres.
FIG.4 – Vueg´
en´
eraledescylindresassurant lamont´
ee dela cabine
On n´
egligeratoute action delair (frottementetvent)surlesyst`
eme.
Dansler´
ef´
erentiel(E,b
ux,b
uy,b
uz)avec b
uz=b
urla cabine,rep´
er´
ee parlepointM,estenE`
at=0.
Lamont´
ee dez=0(o`
ulavitesse estnulle)`
az=hdure autotaltm=4joursetsed´
ecompose en
unephasedacc´
el´
eration constantedintensit´
ea=1m.s2pendantunedur´
ee t0suiviedunephase`
a
vitesse constantedemodulev0.
14 Calculerlesvaleursnum´
eriquesdeladur´
ee t0,delavitessev0etdelaltitudez0atteintes`
a
lan delapremi`
erephase.On v´
erieraquez0h.
15 Justierlefait quelon puisse consid´
ererquependant lapremi`
erephase,laforce de
gravitation exerc´
ee parlaTerresurlesyst`
eme estsensiblementconstante etn´
egligerunedesforces
par rapport`
a celle-ci.
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