Extrait du livre - Editions Ellipses

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT– ´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL ´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI ` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI ` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2011
PREMI ` ERE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere MP
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE I — MP.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` ale
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. Le bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
TRANSPORTS PLAN ´ ETAIRES
Ce probl` eme ´ etudie divers aspects physiques du voyage ` al’
´
echelle plan´ etaire. Il est compos´ ede
deux parties ind´ ependantes, la premi` ere envisage le d´ eplacement d’un train dans un tunnel creus´ e
dans la sph` ere terrestre, la seconde ´ etudie la mont´ ee d’un ascenseur le long d’un cˆ able vertical fix´ e` a
l’´ equateur. Dans tout le probl` eme la Terre est assimil´ ee ` a un corps sph´ erique homog` ene de rayon rT,
de centre OTet de masse volumique homog`
ene μ
T.
Pour les applications num´ eriques on prendra
μ
T=5,50·103kg.m−3,rT=6,38·106m,et on utilisera
3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de la gravitation de Newton
G=6,67 ·10−11m3.kg−1.s−2. Les vecteurs sont surmont´
es d’un chapeau s’ils sont unitaires  uxou
d’une fl` eche dans le cas g´ en´ eral −→ OP. Une quantit´ e surmont´ ee d’un point d´ esigne la d´ eriv´ ee totale par
rapport au temps de cette quantit´ e˙
θ =d
θ
dt .
I.—Lem
´
etro gravitationnel
Dans toute cette partie on n´ eglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-mˆ eme et on se place
dans le r´ ef´ erentiel g´ eocentrique que l’on supposera galil´ een.
I.A. — Etude pr´ eliminaire
On consid` ere un point Psitu´ e` a l’int´ erieur de la sph` ere terrestre. On note −−→ OTP=−→ r=r uret −−→ g(P)
le champ gravitationnel cr´ e´ e par la terre en P.
1—Justifier que −−→ g(P)est port´ e par  uret que son module ne d´ epend que de r, on notera donc
−−→
g(P)=g(r) ur. En utilisant le th´
eor` eme de Gauss gravitationnel d´ eterminer l’expression de g(r)en
fonction de
ω
2=4
3
π G μ
Tet r.

2Énoncé Mines Ponts 2011 MP épreuve I
2— D´ eduire de la question pr´
ec´ edente que la force de gravitation s’exerc¸ant sur un point de masse
msitu´ eenPd´ erive de l’´ energie potentielle
Ep(r)=Ep0+1
2m
ω
2r2
o` uEp0est une constante qui d´ epend de la r´ ef´ erence choisie et que l’on ne demande pas d’expliciter.
Quelle est la dimension de
ω ?
I.B. — Le tunnel droit
On relie deux points Aet Bde l’´ equateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon
le sch´ ema de la figure 1 qui pr´ esente ´ egalement les notations utilis´ ees.
FIG. 1 – Le tunnel droit
On consid` ere un mobile ponctuel Pde masse mse d´ eplac¸ant dans le tunnel sous l’effet du champ
gravitationnel terrestre. La position du mobile est rep´ er´ ee sur le segment [AB]par la coordonn´ ee x
telle que −→ PH =x uxo`
u le vecteur unitaire  uxest colin´ eaire ` a−→ AB et de mˆ eme sens et Hest la projection
orthogonale de OTsur [AB]. On note finalement h=OTH.
Dans toute la partie I, on suppose que le point Preste en permanence dans l’axe du tunnel grˆ ace ` aun
syst` eme de confinement. Il n’y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec
celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magn´ etiques ! On suppose enfin
qu’un vide suffisament pouss´ ea´ et´ ecr
´
e´ e dans le tunnel. Sous toutes ces hypoth` eses, on consid´ erera
que la seule force qui s’applique au mobile est la force de gravitation qu’exerce sur lui la terre.
`
A l’instant t=0, on abandonne le mobile au point Asans vitesse initiale.
3— D´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle (lin´ eaire) du second ordre v´ erifi´ ee par x(t).End
´
eduire
l’expression de x(t)en fonction de h,rT,
ω et t.
4— D´ eterminer la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point Psur le trajet. En quel point
cette vitesse est-elle atteinte ?
5—Exprimer la dur´ ee τ
0du trajet entre AB et calculer sa valeur num´
erique.
I.C. — Projet de m´ etro
Pour desservir plusieurs points sur l’´ equateur, on consid` ere un syst` eme de tunnels repr´ esent´ es sur la
figure 2.
Un tunnel circulaire est perc´ e` a une distance rHdu centre de la Terre dans le plan de l’´
equateur et l’on
creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remont´ ee A1H1A2H2, etc... Ces tunnels se raccordent
au tunnel circulaire interne en des points H1,H2,··· . Chaque jonction est tangentielle, c’est-`
a-dire que
−−−→
A1H1.−−−→
OTH1=−−−→ A2H2.−−−→ OTH2=··· =0. Les points H1,H2,... sont ´ equip´ es d’un syst` eme d’aiguillage

Énoncé Mines Ponts 2011 MP épreuve I 3
FIG. 2 – Le syst` eme de tunnels
assurant la continuit´ e du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre
le tunnel de descente ou de remont´ ee et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame ` a un point mat´ eriel Pde masse mastreint ` a circuler dans l’axe du tunnel et
sans contact avec ses parois grˆ ace au syst` eme de confinement. ` A l’instant t=0, on laisse tomber une
rame du point A1et sans vitesse initiale.
6— Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1H2.D
´
eterminer
la vitesse de la rame sur cette portion, en d´ eduire que la dur´ ee
τ
1du transfert de H1vers H2se met
sous la forme
τ
1=
θ
ω
f(y)
o` uy=rT/rHet fest une fonction que l’on d´
eterminera.
7— D´ eterminer la dur´ ee totale τ du voyage de A1vers A2en fonction de θ , ω et y.D
´
eterminer la
valeur num´ erique de
τ pour un voyage tel que θ = π /3avecrH=rT/2. Comparer les caract´ eristiques
de ce voyage avec son ´ equivalent ` a la surface de la terre.
8—Avec un diam` etre moyen de 7 m, ´ evaluer la quantit´ eded
´
eblais ` a´ evacuer pour creuser le
tunnel circulaire, ainsi qu’un tunnel radial. Commenter le r´ esultat obtenu.
L’une des nombreuses hypoth` eses n´ ecessaires ` alar
´
ealisation d’un tel projet est la cr´ eation et le
maintien d’un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut ˆ etre que partiel sur un tel volume
et le tunnel contient de l’air de densit´ e volumique de masse
ρ maintenu ` a la pression pet ` ala
temp´ erature ambiante. Ce dernier point serait ` a discuter dans le cadre d’une ´ etude plus compl` ete que
nous ne m` enerons pas ici. On supposera que pet
ρ sont constantes dans l’enceinte du tunnel et que
l’air s’y comporte comme un gaz parfait. Pour cette ´ etude on se place dans le cas du mouvement dans
le tunnel circulaire.
Des exp´ eriences d’a´ erodynamique montrent que le mouvement d’un solide dans un gaz au repos est
soumis ` a une force de frottement, dite traˆ ın´ ee. Cette traˆ ın´ ee d´ epend de la taille caract´ eristique Let de
la vitesse vdu solide ainsi que de la densit´ e
ρ du gaz dans lequel s’effectue le mouvement.
9—En effectuant une analyse dimensionnelle, d´ eterminer l’expression de cette force de frotte-
ment.

4Énoncé Mines Ponts 2011 MP épreuve I
10 — On note Pla puissance d´ evelopp´ ee par la traˆ ın´ ee subie par la rame de m´ etro lorsqu’elle
circule dans la portion circulaire du tunnel. D´ eterminer la pression qu’il faut maintenir dans le tunnel
afin que Psoit comparable ` a la puissance que d´ eveloppe la force de traˆ ın´ ee dans le cas d’une rame
de TGV circulant `
a la vitesse de 360 km.h−1`
a la surface de la terre. On supposera qu’en dehors
de la vitesse la rame de m´ etro et la rame de TGV poss`
edent les mˆ emes carat´ eristiques physiques.
Commenter le r´ esultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE I
II. — Ascenseur spatial
Ce probl` eme ´ etudie certains aspects physiques de la r´ ealisation d’une id´ ee r´ ecurrente dans de nom-
breux contextes «l’ascenseur spatial ». Il s’agit d’un m´ ecanisme permettant de s’extraire du champ
de pesanteur terrestre sans utiliser de fus´ ee. On suppose pour cela qu’un cˆ able r´ ealis´ e par filage de
nanotubes de carbone, de plus de 100 000 km de long, inextensible, a pu ˆ etre dress´ e` a la verticale d’un
point de l’´ equateur de la Terre. Ce cˆ able poss` ede une masse lin´ eique
λ =1,00 kg.m−1extrˆ emement
faible et une r´ esistance m´ ecanique extrˆ emement forte par rapport ` aunc
ˆ
able en acier, qui le rend ca-
pable de supporter de tr` es fortes tensions sans casser. Dans cette partie, le r´ ef´ erentiel terrestre est en
rotation uniforme autour de l’axe des pˆ oles par rapport au r´ ef´ erentiel g´ eocentrique suppos´ e galil´ een. Il
effectue un tour en un jour sid´ eral de dur´ ee T
σ
=8,62 ·104s. La terre est toujours suppos´ ee sph´ erique
et homog` ene de masse mT=4
3
π r3
T
μ
T=5,98 ·1024kg.
II.A. — ´ Etude de l’´ equilibre du cˆ able
Les notations sont celles de la figure3:Lepoint d’ancrage Edu cˆ able est un point de l’´ equateur
terrestre, rTest le rayon de la Terre et OTson centre. L’altitude d’un point Mdu fil est not´
ee z,
r=rT+zest le rayon OTMet hest la hauteur totale du cˆ
able. Le point Hrepr´ esente l’extr´ emit´ e
haute du cˆ able : zH=het rH=rT+h. Ce point est libre. On pourra enfin utiliser le vecteur unitaire
ur=−−−→
OTM/r.
M
z
r
rT
OT
H
h
E
FIG. 3 – Vue g´ en´ erale de la Terre et du cˆ able
11 — Rappeler la d´ efinition de l’orbite g´ eostationnaire terrestre. ´ Etablir l’expression litt´ erale du
rayon rscorrespondant `
a cette orbite en fonction de la masse mTde la terre, de Get de la pulsation
sid´ erale terrestre
ωσ =2
π
T
σ
.
Dans toute la suite du probl` eme, on consid` erera un cˆ able de longueur totale h=4rs−rT, on a donc
OTH=rH=4rs. On note gsle module du champ de gravitation en r=rs, c’est-`
a-dire la quantit´ e
telle que fs=mgso`
ufsest le module de la force de gravitation subie par un corps de masse msitu´ e
en r=rs. Enfin, on note gle module du champ de gravitation en r=rT.

Énoncé Mines Ponts 2011 MP épreuve I 5
12 — En ´ ecrivant que le cˆ
able est en ´ equilibre, montrer que la d´ eriv´ ee de la tension du cˆ able en M
v´ erifie la relation
dT
dr =
χ
r2
s
r2−r rs
o` u
χ est un param` etre que l’on exprimera en fonction de λ et gs. En admettant que T(rH)=0,
d´ eterminer l’expression de la tension T(r)en fonction de
χ ,ret rs.
13 — D´ eterminer les valeurs num´ eriques de rs,gsde la tension du fil au point d’ancrage not´ ee
TE=T(rT), ainsi que la valeur maximale Tmax de T(r). Commenter le r´
esultat obtenu, on pourra par
exemple se «servir »de la question 8, on donne aussi le module d’Young de l’acier
ε
a=210 GPa et
d’un cˆ able en nanotubes de carbonne
ε
c=1TPa.
II.B. — Mont´ ee de la cage d’ascenseur le long du fil
Le syst` eme de propulsion de la cabine est mod´ elis´ e sur la figure 4. La mont´ ee est assur´ ee par la rotation
en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de rayon Rc=1,00 m, de
masse mc=2,00 ·103kg, de moment d’inertie par rapport `
a son axe J=1
2mcR2
c. Ces cylindres sont
mˆ us par un moteur ´ electrique exerc¸ant sur chacun un couple. Le moment r´ esultant de ce couple est
−→
Γg=+Γ0
uypour le cylindre de gauche et −→
Γd=−Γ0
uypour le cylindre de droite. Les deux cylindres
serrent le cˆ able grˆ ace ` a un ressort reliant leurs centres. La longueur ` a vide 0=Rcet la constante de
raideur kdu ressort permettent d’assurer un roulement sans glissement au contact du cˆ able. On prend
fs=0,5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des cylindres et le cˆ
able. On
n´ eglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport ` a celle des cylindres.
FIG.4–Vueg
´
en´ erale des cylindres assurant la mont´ ee de la cabine
On n´ egligera toute action de l’air (frottement et vent) sur le syst` eme.
Dans le r´ ef´ erentiel (E, ux,
uy, uz)avec  uz= urla cabine, rep´ er´ ee par le point M, est en E` at=0.
La mont´ ee de z=0(o
`
u la vitesse est nulle) ` az=hdure au total tm=4 jours et se d´
ecompose en
une phase d’acc´ el´ eration constante d’intensit´ ea=1 m.s−2pendant une dur´
ee t0suivie d’une phase ` a
vitesse constante de module v0.
14 — Calculer les valeurs num´ eriques de la dur´ ee t0, de la vitesse v0et de l’altitude z0atteintes ` a
la fin de la premi` ere phase. On v´ erifiera que z0h.
15 — Justifier le fait que l’on puisse consid´ erer que pendant la premi` ere phase, la force de
gravitation exerc´ ee par la Terre sur le syst` eme est sensiblement constante et n´ egliger une des forces
par rapport ` a celle-ci.