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Centrale Physique PSI 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jany Keochkerian (École Supérieure de Physique et
de Chimie de Paris) et Julien Derr (École Supérieure de Physique et de Chimie de
Paris) ; il a été relu par Franck Stauffer (ENS Lyon).
L’épreuve se compose de cinq parties reliées par un même thème : l’utilisation des
portraits de phase dans les problèmes de commande d’un moteur à courant continu.
Les parties abordent successivement les problématiques suivantes : modélisation,
commande en boucle ouverte, étude en chaîne bouclée, commande en courant, et
enfin classification des systèmes auto-oscillants.
Cette épreuve, assez longue mais globalement abordable, fait le point sur de nombreuses questions classiques du domaine.
Indications
I.B Utiliser la loi d’ Ohm et le théorème du moment cinétique.
I.C La puissance utile d’un moteur est ei.
I.D Pour trouver τ em , considérer la fonction de transfert comme un filtre fréquentiel (car p = jω).
II.A p représente une dérivée temporelle ; on peut donc exprimer l’équation différentielle correspondant à la fonction de transfert.
II.B Réécrire le théorème du moment cinétique (sans frottements fluides).
II.C Faire des études asymptotiques (pour t proche de 0, de +∞)
II.D.1 Réécrire le théorème du moment cinétique (avec frottements fluides mais sans
courant d’induit).
II.D.2 La loi d’Ohm devrait servir pour passer de la condition initiale sur i à l’évolution de ω.
II.D.3 La valeur maximale de αω est atteinte à l’instant initial.
III.B.1 Écrire l’équation différentielle du premier ordre en v, puis celle du second en
x, transformer x et t en leurs homologues tildées. Le coefficient du terme du
second ordre est homogène à T−2 .
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I. Modélisation
Le moteur à courant continu est modélisé par la force électromotrice e de sa source
de tension, la résistance d’induit R et le moment C des forces électromagnétiques par
rapport à l’axe de rotation. L’inductance est négligée.
On a :
et
e = Φ0 ω
C = Φ0 i
I.A La machine est équivalente au schéma suivant :
i
Si la machine fonctionne avec e > 0, le déplacement se
fait vers les x croissants. La conversion du mouvement
de rotation du moteur en mouvement de translation du
mobile se fait par : x = Dθ (v = Dω). L’inertie totale
est modélisée par J.
R
u
e
En convention récepteur, le courant d’intensité i est orienté dans le sens
contraire à celui de la flèche de tension aux bornes du moteur. Le sens dans
lequel i est positif d’après cette convention est totalement décorrelé du sens
dans lequel se fait réellement le mouvement des électrons dans le circuit.
Le pendant de la convention récepteur est la convention générateur, dans
laquelle courant et tension ont même orientation.
I.B On impose la tension E aux bornes du moteur, donc u = E. La vitesse du
mobile en présence de frottements fluides est notée v ′ ; le couple dû à ces frottements
fluides est égal à −αω.
– Équation électrique :
E = Ri + Φ0 ω
dω
= Φ0 i − αω
dt
dω
Le régime permanent impose de plus
=0.
dt


Φ ω
si α = 0

 0
Rαω ′
E=
donc
Φ
ω
=
+ Φ0 ω ′
0

R α ω′
Φ0

′

+ Φ0 ω sinon
Φ0
– Équation mécanique :
J
v′
ω′
=
v
ω
Or
v′
=
v
donc finalement :
Application numérique :
v′
=
v
1+
1
Rα
1+ 2
Φ0
1
= 0, 95
1, 5.10−3
2
(0, 17)
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I.C Sans frottements internes, le rendement énergétique r est égal à :
ei
e
Φ0 ω ′
ω′
r=
= =
=
Ei
E
E
ω
donc
r=
Application numérique :
1
Rα
1+ 2
Φ0
r = 0, 95
I.D On néglige dorénavant les frottements, donc :
dω
u = Ri + Φ0 ω
et
J
= Φ0 i
dt
On introduit par la suite la variable p = jω, utile lorsque l’on effectue la
transformation de Laplace. Quelques rappels à ce sujet :
– la transformation de Laplace est linéaire ;
– l’opérateur dérivation par rapport au temps est transformé en une
multiplication par p dans l’espace des transformées de Laplace ;
– la transformée d’une variable dépendant du temps est notée par la
majuscule correspondante.
En prenant les transformées de Laplace des équations précédentes, on a :
et
JpΩ = Φ0 I
d’où
U=
RJpΩ
+ Φ0 Ω =
Φ0
Ω
=
U
puis
Par conséquent :
TV.U =
V = pX, donc
U = RI + Φ0 Ω
TX.U =
RJ
1 + p 2 Φ0 Ω
Φ0
1/Φ0
RJ
1+p 2
Φ0
V
=
U
X
=
U
D/Φ0
RJ
1+p 2
Φ0
D/Φ0
RJ
p 1+p 2
Φ0
Cette commande en tension peut être caractérisée par une constante de temps
électromécanique τ em telle que
τ em =
Application numérique :
τ em =
1, 5.10−3
2
(0, 17)
RJ
Φ20
= 5, 2.10−2 s
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La constante de temps se définit de la même façon que pour un filtre
1
1
1
fréquentiel :
ω devient 1 + pτ puisque τ = ω .
0
1+j
ω0
I.E L’absence de frottements conduit à Ω =
commande en courant :
TV.I = R
Φ0
V
DΦ0
I et TV.I =
=
. Soit la
pJ
I
pJ
D/Φ0
J
pR 2
Φ0
II. Commande en boucle ouverte
II.A On applique un échelon de tension d’amplitude v lim = DE/Φ0 . L’équation
différentielle qui régit l’évolution de la vitesse v(t) est :
v(t) + τ em
sa solution est :
v(t) = v lim
dv
(t) = v lim
dt
1 − e−t/τ em
v = 0, 9 v lim quand e−t/τ em = 0, 1 , soit et/τ em = 10 :
t = τ em ln 10
Application numérique :
(3)
t = 0, 12 s
On pourrait calculer la valeur de E :
E − Φ0 ω lim 1 − e−t/τ em
E − Φ0 ω
E
i=
=
= e−t/τ em
R
R
R
imax = i(0) =
E
= Imax
R
donc
E = RImax = 15V
II.B On impose que i = Imax soit constante. Le théorème du moment cinétique
donne alors :
dω
Φ0 E
J
= Φ0 Imax =
dt
R
Par intégration, w =
v = 0, 9 v lim pour
Φ0 E
Φ0 DE
Φ2
t donc v =
t = 0 v lim t, c’est-à-dire
RJ
RJ
RJ
t
v = v lim
τ em
t = 0, 9 τ em = 4, 67.10−2 s
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