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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/18
Centrale Physique PSI 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jany Keochkerian (École Supérieure de Physique et
de Chimie de Paris) et Julien Derr (École Supérieure de Physique et de Chimie de
Paris) ; il a été relu par Franck Stauffer (ENS Lyon).
L’épreuve se compose de cinq parties reliées par un même thème : l’utilisation des
portraits de phase dans les problèmes de commande d’un moteur à courant continu.
Les parties abordent successivement les problématiques suivantes : modélisation,
commande en boucle ouverte, étude en chaîne bouclée, commande en courant, et
enfin classification des systèmes auto-oscillants.
Cette épreuve, assez longue mais globalement abordable, fait le point sur de nom-
breuses questions classiques du domaine.
Indications
I.B Utiliser la loi d’ Ohm et le théorème du moment cinétique.
I.C La puissance utile d’un moteur est ei.
I.D Pour trouver τem, considérer la fonction de transfert comme un filtre fréquen-
tiel (car p=jω).
II.A preprésente une dérivée temporelle ; on peut donc exprimer l’équation diffé-
rentielle correspondant à la fonction de transfert.
II.B Réécrire le théorème du moment cinétique (sans frottements fluides).
II.C Faire des études asymptotiques (pour t proche de 0, de +∞)
II.D.1 Réécrire le théorème du moment cinétique (avec frottements fluides mais sans
courant d’induit).
II.D.2 La loi d’Ohm devrait servir pour passer de la condition initiale sur ià l’évo-
lution de ω.
II.D.3 La valeur maximale de αω est atteinte à l’instant initial.
III.B.1 Écrire l’équation différentielle du premier ordre en v, puis celle du second en
x, transformer xet ten leurs homologues tildées. Le coefficient du terme du
second ordre est homogène à T−2.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/18
I. Modélisation
Le moteur à courant continu est modélisé par la force électromotrice ede sa source
de tension, la résistance d’induit Ret le moment C des forces électromagnétiques par
rapport à l’axe de rotation. L’inductance est négligée.
On a : e= Φ0ωet C = Φ0i
I.A La machine est équivalente au schéma suivant :
Si la machine fonctionne avec e > 0, le déplacement se
fait vers les xcroissants. La conversion du mouvement
de rotation du moteur en mouvement de translation du
mobile se fait par : x= Dθ(v= Dω). L’inertie totale
est modélisée par J.
En convention récepteur, le courant d’intensité iest orienté dans le sens
contraire à celui de la flèche de tension aux bornes du moteur. Le sens dans
lequel iest positif d’après cette convention est totalement décorrelé du sens
dans lequel se fait réellement le mouvement des électrons dans le circuit.
Le pendant de la convention récepteur est la convention générateur, dans
laquelle courant et tension ont même orientation.
I.B On impose la tension Eaux bornes du moteur, donc u= E. La vitesse du
mobile en présence de frottements fluides est notée v′; le couple dû à ces frottements
fluides est égal à −αω.
– Équation électrique : E = Ri+ Φ0ω
– Équation mécanique : Jdω
dt= Φ0i−αω
Le régime permanent impose de plus dω
dt= 0 .
E = 
Φ0ωsi α= 0
Rα ω′
Φ0
+ Φ0ω′sinon
donc Φ0ω=Rαω′
Φ0
+ Φ0ω′
Or v′
v=ω′ ω
donc finalement : v′
v=1
1 + Rα
Φ2
0
(1)
Application numérique :v′
v=1
1 + 1,5.10−3
(0,17)2
= 0,95
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/18
I.C Sans frottements internes, le rendement énergétique rest égal à :
r=ei
Ei=e E=Φ0ω′ E=ω′ ω
donc r=1
1 + Rα
Φ2
0
Application numérique :r= 0,95
I.D On néglige dorénavant les frottements, donc :
u= Ri+ Φ0ωet Jdω
dt= Φ0i
On introduit par la suite la variable p=jω, utile lorsque l’on effectue la
transformation de Laplace. Quelques rappels à ce sujet :
– la transformation de Laplace est linéaire ;
– l’opérateur dérivation par rapport au temps est transformé en une
multiplication par pdans l’espace des transformées de Laplace ;
– la transformée d’une variable dépendant du temps est notée par la
majuscule correspondante.
En prenant les transformées de Laplace des équations précédentes, on a :
JpΩ = Φ0Iet U = RI + Φ0Ω
d’où U = RJpΩ
Φ0
+ Φ0Ω = 1 + pRJ
Φ2
0Φ0Ω
puis Ω
U=1/Φ0
1 + pRJ
Φ2
0
Par conséquent : TV.U =V
U=D/Φ0
1 + pRJ
Φ2
0
V = pX, donc TX.U =X
U=D/Φ0
p1 + pRJ
Φ2
0
Cette commande en tension peut être caractérisée par une constante de temps
électromécanique τem telle que
τem =RJ
Φ2
0
(2)
Application numérique :τem =1,5.10−3
(0,17)2= 5,2.10−2s
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/18
La constante de temps se définit de la même façon que pour un filtre
fréquentiel : 1
1 + jω
ω0
devient 1
1 + pτ puisque τ=1 ω0
.
I.E L’absence de frottements conduit à Ω = Φ0
pJIet TV.I =V I=DΦ0 pJ. Soit la
commande en courant :
TV.I = R D/Φ0
pRJ
Φ2
0
II. Commande en boucle ouverte
II.A On applique un échelon de tension d’amplitude vlim = DE/Φ0. L’équation
différentielle qui régit l’évolution de la vitesse v(t)est :
v(t) + τem
dv
dt(t) = vlim
sa solution est : v(t) = vlim 1−e−t/τ em 
v= 0,9vlim quand e−t/τ em = 0,1, soit et/τ em = 10 :
t=τem ln 10 (3)
Application numérique :t= 0,12 s
On pourrait calculer la valeur de E:
i=E−Φ0ω
R=E−Φ0ωlim 1−e−t/τ em  R=E Re−t/τ em
imax =i(0) = E
R= Imax donc E = RImax = 15V
II.B On impose que i= Imax soit constante. Le théorème du moment cinétique
donne alors :
Jdω
dt= Φ0Imax =Φ0E R
Par intégration, w=Φ0E
RJ tdonc v=Φ0DE RJ t=Φ2
0
RJvlimt, c’est-à-dire
v=vlim
t
τem
v= 0,9vlim pour t= 0,9τem = 4,67.10−2s
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