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Mines Maths 2 PSI 2012 — Énoncé 1/4
ÉCOLE DESPONTSPARISTECH.
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINESPARISTECH
MINESDESAINTÉTIENNE,MINESDENANCY,
TÉLÉCOMBRETAGNE,ENSAE PARISTECH(FilièrePC).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE(FilièreTSI).
CONCOURS2012
SECONDE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES
FilièrePSI
(Durée del’épreuve:troisheures)
L’usaged’ordinateurou decalculatriceestinterdit.
Sujet misàladisposition des concours:
Cycleinternational, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Lescandidats sontpriésdementionnerdefaçonapparente
surla premièrepagedela copie :
MATHÉMATIQUESII -PSI
L’énoncé de cette épreuve comporte4pagesdetexte.
Si, aucoursdel’épreuve,un candidat repère ce qui luisemble êtreune erreurd’énoncé,
il lesignalesursacopie etpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdes
initiativesqu’il estamenéàprendre.
Fonctionsd’endomorphismes
Dansce texteon noteRl’ensembledesnombresréels,R+l’ensembledesréels
positifsou nuletR+∗l’ensembledesréels strictementpositifs.
Pour toutentier𝑛strictementpositifon noteℒ𝑛l’ensembledesendomorphismes
deR𝑛;l’identitédeℒ𝑛estnotée i.LeproduitscalaireEuclidien deR𝑛estnoté(𝑥,𝑦)
etlanormeassociée ∥𝑥∥=(𝑥,𝑥)1/2.Sis∈ℒ𝑛,l’ensembledesvaleurspropresdes
estnoté𝜎(s).On définitlafonction𝒬ssurR𝑛∖ {0}àvaleursdansRdelafaçon
suivante:
𝒬s(𝑥)=(s(𝑥),𝑥)
∥𝑥∥2;(1)
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Mines Maths 2 PSI 2012 — Énoncé 2/4
c’estlequotientdeRayleigh des.
On note𝒮𝑛l’ensembledesendomorphismes symétriquesdeR𝑛.Sit∈𝒮𝑛,on
noterespectivement𝑚(t)et𝑀(t)leminimumetlemaximumde𝜎(t).On ditque
t∈𝒮𝑛estun endomorphismepositif(resp.strictementpositif)si∀𝑥∕=0,𝑥∈R𝑛,
ona(t(𝑥),𝑥)≥0(resp.(t(𝑥),𝑥)>0).L’ensembledesendomorphismespositifs
(resp.strictementpositifs)estnoté𝒮+
𝑛(resp.𝒮+∗ 𝑛).
1Fonctionsd’endomorphismessymétriques
Danscettepartieonconsidèret∈𝒮𝑛.
Question 1Soientt1ett2appartenantà𝒮𝑛,démontrerquet1+t2∈𝒮𝑛.
Question 2Montrerque𝒬t(𝑥):R𝑛∖{0}−→Ratteintlesvaleurs𝑚(t)et𝑀(t).
Question 3Démontrerquel’on a
𝑚(t)=min
𝑥∈R𝑛,𝑥∕=0𝒬t(𝑥)et𝑀(t)=max 𝑥∈R𝑛,𝑥∕=0𝒬t(𝑥).(2)
On pourrafaireappelàune base de vecteurspropresde tàceteffet.
Question 4Montrerquet∈𝒮+
𝑛(resp. t∈𝒮+∗ 𝑛) sietseulementsi𝜎(t)⊂R+(resp.
𝜎(t)⊂R+∗).
Soit𝐽un intervalle contenant𝜎(t)et𝑓unefonction définiesur𝐽,àvaleursdans
R.
Question 5Montrerqu’ilexisteune etuneseule application linéaireutelle que
u(𝑦)=𝑓(𝜆)𝑦,∀𝜆∈𝜎(t),∀𝑦∈ker (t−𝜆i)(3)
etqueu∈𝒮𝑛.
On noterau=𝑓(t)l’endomorphismesymétriqueainsidéfini, ce quiconduità
considérer𝑓commeuneapplication de𝒮𝑛danslui-même.
Question 6Soit𝑝la restriction à𝐽d’unefonction polynômiale àcoefficientsréels ;
on note𝑝(𝑡)=𝑘
𝑗=0𝛼𝑗𝑡𝑗,avec 𝛼𝑗∈Rpourtout𝑗vérifiant0≤𝑗≤𝑘.Démontrer
quel’endomorphismesymétrique𝑝(t)estégal à𝛼0i+𝑘
𝑗=1𝛼𝑗t𝑗,où
t𝑗=t∘t∘⋅⋅⋅∘t
𝑗fois
.
Question 7Y-a-t-ildesfonctions𝑔:𝐽−→Rtellesque𝑔(t)nesoitpas égal àun
polynômede t?
Question 8Déterminerlesvaleursetlesvecteurspropresde 𝑓(t)enfonction de
ceuxde t.
Question 9Pourdesfonctions𝑓et𝑔définies surl’intervalle 𝐽,démontrerque
(𝑓𝑔) (t)=𝑓(t)∘𝑔(t).
Question 10 On considères∈𝒮+∗
𝑛etla fonction 𝑓définiesur]0,+∞[par 𝑓(𝑡)=1
𝑡.
Montrerque𝑓(s)=s−1,où s−1notel’inversede l’endomorphismes.
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Mines Maths 2 PSI 2012 — Énoncé 3/4
Question 11 On considères∈𝒮+
𝑛.Lorsque𝑓(𝑡)=√𝑡on note√sl’endomorphisme
𝑓(s).Montrerquel’endomorphisme√sestbiendéfinietque√s2=s.En admettant
quetouteslesvaleurspropresde ssontsimples,combieny-a-t-ilde solutionscdans
𝒮+
𝑛,puisdans𝒮𝑛,àl’équation c2=s?
2Relation d’ordre sur𝒮𝑛
Soientt1ett2deuxélémentsde𝒮𝑛.On notet2≥t1sietseulementsi
t2−t1∈𝒮+
𝑛.
Question 12 Démontrerquela relation ≥définitunerelation d’ordredans𝒮𝑛,est-
elle totale ?
Question 13 Soitu∈𝒮𝑛,démontrerquesit2≥t1,alorsu∘t2∘u≥u∘t1∘u.
Soit𝐽un intervalledeR,on ditquelafonction𝑓:𝐽−→Rdéfinitun opérateur
croissantsipour toutt1et toutt2,endomorphismes symétriquesvérifiant𝜎(t1)⊂𝐽,
𝜎(t2)⊂𝐽,alors
t2≥t1=⇒𝑓(t2)≥𝑓(t1).(4)
Question 14 Démontrerquel’application 𝑓:R+−→Rdonnée par 𝑓(𝑡)=𝑡2ne
définitpas unopérateurcroissant.
On pourraconsidéreràceteffetlesendomorphismest1ett2de matricesrespec-
tives
m1=1 1
1 1 etm2=2 1
1 1 (5)
dansla base canonique.
Question 15 Soientt1ett2∈𝒮+∗
𝑛tels quet2≥t1;ens’aidantde la question 13
avec u=t−1/2
2,montrerquelesvaleurspropresde u∘t1∘usontinférieuresou égales
à1.En déduire queu−1∘t−1
1∘u−1≥i,puisquel’application 𝑓:R+∗−→Rdonnée
par 𝑓(𝑡)=−1/𝑡définitunopérateurcroissant.
Question 16 Soientt1ett2∈𝒮+
𝑛,tels quet2≥t1.Démontrerquelesvaleurs
propresde t1/2
2−t1/2
1sontpositives.En déduire quel’application 𝑓:R+−→R
donnée par 𝑓(𝑡)=√𝑡définitunopérateurcroissant.
3InégalitédeLöwner-Heinz
Onvamontrerquepour tout𝑎∈]0,1[,lafonction𝜑𝑎:R+−→Rdéfiniepar
𝜑𝑎(𝑡)=𝑡𝑎définitun opérateurcroissant.Pour𝑢∈R+,on note𝑓𝑢:R+∗−→Rla
fonction donnée par
𝑓𝑢(𝑡)=𝑡
𝑡+𝑢.
Question 17 Démontrerque𝑓𝑢définitunopérateurcroissant.On pourra à ceteffet
s’aiderde la question 15.
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Mines Maths 2 PSI 2012 — Énoncé 4/4
Soient𝜑uneapplication:R+∗−→ℒ𝑛etℬunebasedeR𝑛.On noteΦ(𝑠)
lamatrice del’endomorphisme𝜑(𝑠)danslabaseℬetΦ(𝑠)𝑖𝑗1≤𝑖,𝑗≤𝑛lesapplica-
tionscoordonnéesdeΦ(𝑠).On diraque𝜑estcontinue etintégrablesur]0,+∞[si
lesfonctionscoordonnées𝑠→Φ(𝑠)𝑖𝑗lesont.Pardéfinitionon notera+∞
0𝜑(𝑠)d𝑠
l’endomorphismedontlamatrice danslabaseℬapourcoefficientsles+∞
0Φ(𝑠)𝑖𝑗d𝑠.
Cettematrice seranotée +∞
0Φ(𝑠)d𝑠.
Question 18 Montrerque cettedéfinition estindépendantedu choixde la base ℬ.
Onconsidères∈𝑆+∗
𝑛et𝑎∈]0,1[.
Question 19 Montrerquela fonction 𝜑àvaleursdansℒ𝑛définiepar 𝜑(𝑢)=𝑓𝑢(s)𝑢𝑎−1
estcontinue etintégrable sur]0,+∞[.On pourratrouverutile de faireappelàune
base orthonormée adaptée às.
Onadmetque
𝑡𝑎=sin𝑎𝜋
𝜋+∞
0
𝑓𝑢(𝑡)𝑢𝑎−1d𝑢.(6)
Question 20 Montrerque
s𝑎=sin𝑎𝜋
𝜋+∞
0
𝑓𝑢(s)𝑢𝑎−1d𝑢.(7)
Question 21 En déduire quela fonction 𝜑𝑎définitunopérateurcroissant.
Fin del’épreuve
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