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Centrale Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 1/6
Concours Centrale -Supélec 2007
Épreuve :MATHÉMATIQUES II Filière PSI
La repr´esentation planedefigurestridimensionnellessuppose le choix d’une appli-
cation pde R3dans R2,grˆace`a laquelle une figure F⊂R3devient, dansR2, le
croquis :p(F). Ici, on fait le choixd’une application plin´eaire,connuesous le nom
de perspective cavali`ere.Toutefois, pourla commodit´edes calculs, on apr´ef´er´efaire
jouer aux vecteurs de la base canonique (−→ i,−→ j,−→ k)deR3desrˆoles diff´erents de
ceuxqu’ils ontd’habitude dans ce typedeperspective.
Danstout le probl`eme, lesespaces R2et R3sontmunis de leur structure euclidienne
canonique orient´ee etpourrontˆetre consid´er´es comme des espaces vectoriels r´eelsde
vecteurs-colonnes, ou desespaces affines r´eels de vecteurs-colonnes. Aussibien pour
ce quiconcerneR2queR3,le produit scalaire canoniqueseranot´e<,>et la norme
euclidienne canoniqueseranot´ee ·.
On donnedeux r´eels strictementpositifs αet βet on consid`ere l’application,not´ee p,
de R3dansR2quiau vecteur-colonne
x
y
z
associe x−αz
y−βz.SiPestune partie
de R3,on dira qu’elle est repr´esent´ee en vraie grandeurpar psi, quelsque soientM
et M′dansP,on a−−−−−−−−→
p(M)p(M′)=−−−→ MM′.
Partie I-G´en´eralit´es
I.A-
I.A.1) Montrerquepestuneapplication lin´eaire.D´eterminerla matrice dep
relativementauxbasescanoniques de R3et R2.
D´eterminer le noyau etl’image de p.
Pourtoute la suite du probl`eme,on d´esignepar −→ νle vecteur
α
β
1
de R3.
I.A.2) Repr´esenter surun mˆeme dessin lesimages par pdes vecteursde labase
canonique de R3.
Ce dessindonne une repr´esentation en perspectivede la base form´ee par cestrois
vecteurs.
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Centrale Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 2/6
I.B-Interpr´etation g´eom´etrique de p
Pourcetteseule question, on introduit l’endomorphisme pde R3quiau vecteur-
colonne
x
y
z
associe 
x−αz
y−βz
0
.
Interpr´eterg´eom´etriquementpgrˆace `a p(on pourra former p◦p).
Est-il vrai que p(X)6Xpour toutvecteurX∈R3?
I.C-
I.C.1) Soit M0un pointet−→
uun vecteurde R3.
On consid`erela droite affine D=M0+R−→
u={M0+λ−→ u}.
Montrer que p(D)=p(M0)+Rp(−→
u).
I.C.2) Soit Dunedroite affine deR3.Montrer que son image par pestunedroite
affine ou est r´eduite `a un point,en discutantselon un vecteur directeur deD.
I.C.3) Soit Det D′deuxdroites affines deR3dontles imagespar psontdes
droites affines de R2.
a) Si Det D′sonts´ecantes, montrer queleursimages par ple sontaussi. La r´eci-
proqueest-elle vraie ?
b) Si Det D′sontparall`eles,montrer que leursimages par ple sontaussi. La
r´eciproque est-ellevraie ?
I.C.4) Soit Πun plan affine deR3.Discuter la nature dep(Π) suivant−→
νet Π.
I.D-Une propri´et´em´etrique de p
Soitun vecteur X=
x
y
z
∈R3;on poseq(X)=X2−p(X)2.
I.D.1) Montrerque l’ensemble des X∈R3tels que q(X)=0est lar´eunion de
deux plansΠ1et Π2quel’on caract´erisera par leurs´equations cart´esiennes.
En d´eduire que lesplansaffines parall`eles `a l’unou l’autre de ces deux plans sont
repr´esent´esenvraie grandeurpar p.
I.D.2)
a) Montrer,en le d´eterminant, qu’il existe un unique endomorphismeautoadjointu
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de R3,tel que q(X)=<u(X),X>pour toutX∈R3.
b) D´eterminerle polynˆome caract´eristiqueχude upuis le signedes valeurspropres
non nullesde u.
I.E-Une g´en´eralisation
I.E.1) Soit Pun plan vectoriel deR3;montrer qu’ilexiste une baseorthonor-
male Bde R3dontlesdeux premiers vecteurs soientdansP.
I.E.2) Soitu′un endomorphisme autoadjointde R3;on poseq′(X)=<u′(X),X>
pour tout X∈R3,on suppose qu’il existeP,plan vectoriel deR3,tel que q′(X)=0
pour tout X∈Pet, P´etantsuppos´e choisi, on choisit Bcomme dansla question
I.E.1. Montrerque lamatrice de u′relativement`a Bestde la forme
M=
0 0 a
0 0 b
abc
.
I.E.3) Si (a, b)6=(0,0), montrer que l’ensemble desX∈R3tels queq′(X)=0est
la r´eunion dedeux plans puis ´etudier le signe des valeurs propres non nullesde u′.
I.E.4) Discuter le rang de u′en fonction de (a, b, c).
DanslespartiesII et III,on selimite au cas o`uα=cos θet β=sin θpour un
θ∈i0,π
2hsuppos´e choisi et, R>0 ´etantdonn´e,on consid`ere la sph`ereSd’´equation
cart´esiennex2+y2+z2=R2.
Partie II -L’image d’une sph`ere
Le but de cette partie est d’´etudier l’image p(S)de Spar p.
II.A-Unein´equation d´efinissantle domaine p(S)
II.A.1) Soit ξ=x
y∈R2.Montrerquel’image r´eciproque p−1({ξ})est ladroite
affine Dξpassantpar le point
x
y
0
et devecteur directeur−→
ν.En conclure que
ξ∈p(S)⇐⇒ S∩Dξ6=∅
et que cela ´equivaut `a direquel’´equation en t
(x+tcos θ)2+(y+tsin θ)2+t2−R2=0
admet au moins une racine r´eelle.
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II.A.2) En d´eduire quep(S)estd´efinie par l’in´equation Φ(x, y)62R2,o`ul’on a
pos´e
Φ(x,y)=2(x2+y2)−(xcos θ+ysin θ)2.
On d´esignepar Ela partie deR2d’´equation Φ(x,y)−2R2=0.
II.A.3) On consid`ere le rep`ereaffine R′d´eduit du rep`ere canonique Rde R2par
la rotation d’angle θautour del’origine.
a) Soit Mun pointde R2de coordonn´ees(x,y)dans Ret de coordonn´ees (x′,y′)
dansR′.
D´eterminer x′et y′en fonction de xet y.
b) Montrer queEestuneellipse etdonner son ´equation cart´esienne dansR′.
c) Indiquer les´el´ements remarquablesde E:axe focal, demi-longueur des axes et
excentricit´e.Montrerquelesfoyers deEsontles points Fet F′dontles coordonn´ees
relatives`a R′sontrespectivementR
0et −R
0.
d) D´eterminer unein´equation de p(S)dansle rep`ereR′et en d´eduireque p(S)est
le domaine born´elimit´epar E.
Repr´esenter enfin p(S)soigneusementdans le rep`ereR′.
II.B-´ Etudedu contour apparentde S
II.B.1) Montrer, en led´eterminant,quetout´el´ementξ∈Ene poss`ede qu’unseul
ant´ec´edentpar pdans S.
Indication :On pourra d´eterminer t0∈Rtel que π(ξ)=ξ+t0−→ ν.
Cetant´ec´edentseranot´eπ(ξ)et on d´esignera par Σl’ensemble des π(ξ), lorsque ξ
d´ecrit E.
II.B.2) Pour chaqueξ=x
y∈E,calculer <π(ξ),−→
ν>et en d´eduire que Σest
inclusdans P0,le plan vectoriel orthogonal `a −→ ν.
II.B.3) R´eciproquement, soit X∈Stel que<−→ ν,X>=0. Montrer quep(X)∈E.
Indication :On pourra calculer Φp(X)ou s’aiderd’un dessin.
Conclure quant`a lanature deΣ. La repr´esentation deΣpar pest-elle envraie
grandeur ?Quelle conclusion peut-on en tirer en termede repr´esentation cavali`ere
d’unesph`ere ?
II.C-De certaines sym´etries vectorielles laissantstableE
II.C.1) Montrer quela restriction p0de p`a P0estunebijection de P0sur R2.
On en noterap1la bijection r´eciproque.
II.C.2) Soit σuneapplication lin´eaire deP0sur lui-mˆeme, suppos´ee involutive,
c’est-`a-dire v´erifiantσ◦σ=IdP0.
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a) Montrerque s=p0◦σ◦p1estuneinvolution lin´eaire deR2sur lui-mˆeme.
b) Commentobtient-on les sous-espaces propresdesen fonction de ceux de σ?
c) Montrer queslaisse stable Esi, etseulementsi, σlaisse stable Σ.
PartieIII -Balayage de p(S)par des cercles
III.A-Question pr´eliminaire
On suppose donn´eun intervalle ouvertInon vide et un arcΓde classe C1de I
dansR3.On supposeque, pour un t0∈I,le vecteur-d´eriv´ee Γ′(t0)n’appartientpas
`a Vect(−→ ν). Dans cesconditions,montrerquele pointp(Γ(t0)) est r´egulier pourl’arc
p◦Γ, de IdansR2,etdonnerun vecteurdirecteur dela tangente `a l’arcen ce point.
III.B-
III.B.1) Soit un r´eel δ∈[−π/2;π/2] ; montrer que l’intersection deSet du plan
de R3d’´equation z=Rsin δestle cercle Cδparam´etr´epar
ϕ∈R7−→Mδ(ϕ)=
Rcos δcos ϕ
Rcos δsin ϕ
Rsin δ
En donner le centre et le rayon.
III.B.2) Montrer quel’intersection de P0et deCδestnon vide si, etseulementsi,
|δ|6π
4.Montrer plus pr´ecis´ementque cette intersection se composealors de deux
points lorsque |δ|<π
4·
III.B.3) Soit δ∈[−π/4;π/4]etun pointM∈P0∩Cδ.On choisit un r´eelϕ0
tel queM=Mδ(ϕ0). Montrer queM∈Σpuis quesontorthogonaux `a −−→ OM:le
vecteur −→ ν,le vecteurdMδ
dϕϕ=ϕ0
ainsiquetoutvecteurtangenten M`a Σ.
III.B.4) Montrer que les p(Cδ), o`uδd´ecrit [−π/2;π/2] , sontdescercles etque
p(S)enest lar´eunion.
D´eterminer le centre Ωδet lerayon Rδdu cercle p(Cδ).
En utilisanten particulierIII.A et III.B.3, montrerque, lorsque |δ|<π
4,le cercle
p(Cδ)est tangent`a Een deux points distincts. ´
Etudieraussi le cas dep(Cπ/4).
III.B.5) Lorsque 0 6δ<δ′6π
4,montrer quep(Cδ′)etp(Cδ)sonts´ecants.Lorsque
π
46δ<δ′6π 2,montrer quep(Cδ′)est int´erieur`a p(Cδ).
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