1 Exercices d`introduction

Universit´e Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 2 : Introduction `a la cin´ematique `a une dimension
1 Exercices d’introduction
Exercice 1 - Notion de taux d’accroissement moyen
1. La figure 1 est une fonction P(t) qui repr´esente la position P d’un objet selon une
direction en fonction du temps t.
(a) Ecrire sous la forme d’une ´equation le taux d’accroissement moyen de la fonction P
entre p et p’.
(b) En quelle unit´e sera exprim´ee ce taux d’accroissement moyen?
(c) Que repr´esente graphiquement ce taux d’accroissement moyen pour la fonction P?
(d) Que repr´esente physiquement pour l’objet le taux d’accroissement moyen de la
fonction P?
2. Si P(t) est une fonction qui d´ecrit le volume d’un fluide qui varie au cours du temps,
que repr´esente le taux d’accroissement moyen de P et quelle est son unit´e?
3. Si P(t) est une fonction qui d´ecrit l’´energie fournit par un barrage au cours du temps,
que repr´esente le taux d’accroissement moyen de P et quelle est son unit´e?
4. Si l’unit´e du taux d’accroissement moyen de P s’exprime en m/s2que repr´esente physique-
ment P et en fonction de quelle grandeur s’exprime P?

Exercice 2 - Vitesses moyennes
1. En Aoˆut 2009, le jama¨ıcain Usain Bolt a ´etabli un nouveau record du monde en courant
100m en 9,58 s.
(a) Quelle ´etait sa vitesse moyenne ?
(b) Serait-il en infraction `a cette allure `a l’abord d’une ´ecole o`u la vitesse est limit´ee `a
30 km/h ?
2. Un voyage en voiture dure 4h30 min `a 80 km/h, en faisant une demi-heure de pause.
Combien de temps gagnerait-on en roulant `a 100km/h sans faire de pause ?
3. D’apr`es le graphe de la figure 2 repr´esentant l’´equation horaire x(t), trouvez la vitesse
moyenne entre les instants suivants :
(a) 0 et 2s;
(b) 1 et 3s.
Fig. 2 Fig. 3
4. D’apr`es le graphe de la figure 3 repr´esentant l’´equation horaire x(t), trouvez la vitesse
moyenne pour chacun des intervalles suivants : 0 `a 2s; 1 `a 3s; 2 `a 4s; 4 `a 6s.
Exercice 3 - Vitesses instantan´ees
1. Que signifie une vitesse ”`a un instant donn´e” autrement nomm´ee vitesse instantan´ee?
2. ` A partir du graphe de la figure 3, estimez la vitesse instantan´ee pour chacun des instants
suivants : 1s; 2.5s; 3.5s; 4.5s; 5s.
3. Le mouvement repr´esent´e sur ce graphe est physiquement impossible, pourquoi ?
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2 Mise en application
Exercice 1 - Mouvement rectiligne
Deux points mat´eriels P1et P2se d´eplacent sur une trajectoire rectiligne au long de l’axe
xselon une loi horaire du type:
x(t) = At2+Bt +C
x´etant exprim´e en m`etres et ten secondes. En unit´es du S.I. les param`etres A,B et C valent:
A1= 0, B1= 20 et C1= 105 pour P1et A2= 5, B2= 0 et C2= 0 pour P2. R´epondez aux
questions suivantes :
1. Quelles dimensions physiques ont les quantit´es A,Bet C?
2. Quel est l’´etat des positions et des vitesses des deux points au temps t= 0 s?
3. Pour quelle valeur de tles vitesses des deux points sont ´egales? Et quelle est la distance
entre les deux points `a ce temps?
4. Pour quelle valeur du temps t(>0) P2“double” P1?
5. Quelle est la vitesse relative de P2par rapport a P1au temps t= 2.6 s? Et de P1par
rapport a P2?
6. Est-ce que les r´esultats obtenus pr´ec´edemment changeraient si au lieu d’une trajectoire
rectiligne on consid´erait une trajectoire circulaire?
Exercice 2 - Sur la route
()
6
p
(
m
)
2
4
0
0
2 4 6‐2
‐
2
t(s)
‐
2
()
6
p
(
m
)
2
4
0
0
2 4 6‐2
‐
2
t(s)
‐
2
p(m)
4
3
2
1
1
0
0
123 t(s)
456
observation 1 observation 2 observation 3
Un v´ehicule ´electrique se d´eplace sur une route en ligne droite durant 6 secondes. Les
graphiques ci-dessus repr´esentent la position du v´ehicule `a partir du moment o`u il d´emarre
en fonction du temps durant 3 observations diff´erentes de 6 secondes (figure 1 : observation
1, figure 2 : observation 2, ...). Ces graphiques ne repr´esentent ni la trajectoire du v´ehicule,
ni le profil de la route, mais ce qu’on appelle l’´equation horaire du v´ehicule.
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1. Dans chacune des 3 phases,
(a) ´evaluer la vitesse moyenne du v´ehicule entre les instants t=0 et t=6 secondes.
(b) ´evaluer la vitesse moyenne du v´ehicule entre les instants t=0 et t=3 puis entre t=3
et t=6 et comparer les r´esultats obtenus
(c) ´evaluer la vitesse moyenne du v´ehicule entre les instants t=0 et t=1, t=1 et t=2 ...
t=5 et t=6.
2. Vitesse instantan´ee
(a) Uniquement pour la phase 3, estimer la vitesse du mobile aux instants t=0, t=0.5,
t=1, ... et `a partir des r´esultats obtenus esquisser un graphique de la vitesse du
v´ehicule en fonction du temps.
(b) D´ecrire le mouvement du v´ehicule (avance, recule, acc´el`ere, freine).
Exercice 3 - Karat´e
Lorsqu’on donne un coup de poing au karat´e, le mouvement d´emarre avec le poing au repos
au niveau de la taille et le poing est rapidement relev´e jusqu’`a ce que le bras soit totalement
en extension. La figure ci-dessous donne la vitesse du poing pour une personne entrain´ee. A
quel niveau le poing se trouve-t-il :
1. Au temps t= 50ms
2. Quand la vitesse du poing est maximale.
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3 Approfondissement
Exercice 1 - Mouvement d’une particule
La position d’une particule se d´epla¸cant sur une trajectoire rectiligne le long de l’axe x
est donn´ee en centim`etres par l’´equation suivante x= 9.75+1.5t3o`u test donn´e en secondes.
1. Calculez la vitesse moyenne entre les instants t= 2 s `a t= 3 s.
2. Calculez la vitesse instantan´ee aux instants :
(a) t= 2 s
(b) t= 3 s
(c) t= 2.5 s
(d) ` A l’instant auquel la particule se trouve `a mi-chemin entre ses positions `a t= 2 s et
t= 3 s.
3. Tracez l’´equation horaire pour ce d´eplacement et faites apparaˆıtre vos r´eponses aux
questions pr´ec´edentes sur le graphe.
Exercice 2 - Paris-Marseille
Vous vous rendez en voiture de Paris `a Marseille. A l’aller, la moiti´e du temps vous
roulez `a 55 km.h−1et l’autre moiti´e `a 90 km.h−1. Au retour, vous conduisez sur la moiti´e de
la distance `a 55 km.h−1et l’autre moiti´e `a 90 km.h−1.
1. Quelle est votre vitesse moyenne de Paris `a Marseille ?
2. Quelle est votre vitesse moyenne de Marseille `a Paris ?
3. Quelle est votre vitesse moyenne sur l’aller-retour ?
4. Repr´esentez x(t) sur le trajet Paris-Marseille. Indiquez comment la vitesse moyenne
peut ˆetre retrouv´ee sur ce graphe.
Exercice 3 - Le train et la mouche
Un train rentre en gare la tˆete du train a la loi horaire suivante :
x(t) = −0.64 t2+v0t
x´etant exprim´e en m`etres et ten secondes. x= 0 m correspond au d´ebut du quai.
1. D´eterminez la valeur du param`etre v0pour que la tˆete du train s’arr`ete `a x= 100 m. Et
utilisez ce r´esultat pour repondre aux questions suivantes.
2. D´eterminez la vitesse moyenne entre x= 0 m et le point d’arrˆet.
3. Si le train fait 60 m de long, ´ecrivez la loi horaire d’un point situ´e au milieu du train.
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