Contents - Pages personnelles Université Rennes 2

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Fonctions affines
3
Fonctions usuelles
7
Dérivation
11
Fonctions de plusieurs variables
15
Optimisation sous contraintes
23
i
Fonctions affines
1
Définition - représentation graphique
Les fonctions affines constituent un modèle très utilisé en économie, en raison de leur simplicité technique. Cela
ne signifie pas que les fonctions affines traduisent toujours bien la réalité observée mais elles constituent une
simplification admissible.
Définition
Une fonction f est dite affine si elle est telle que f : x 7−→ f (x) = mx + p où m et p sont des réels. Dans le cas
particulier où p = 0, c’est à dire lorsqu’on a f (x) = mx alors f est dite linéaire.
Exercice 1
La société de télécommunications A propose le forfait mensuel suivant :
– abonnement : 15 e par mois,
– chaque minute de communication est facturée 0,1 e.
La société B propose un forfait sans abonnement où chaque minute est facturée 0,2 e.
1. Définir dans chaque cas la facture correspondant à x minutes de communication.
2. Quel est l’abonnement le plus rentable suivant la durée de communication ?
Exercice 2
Justifier la réponse dans chaque cas.
1. La taille peut-elle être une fonction linéaire ou affine de l’âge ?
2. Un contrat de travail prévoit un salaire annuel de départ de 12000 e puis une augmentation régulière de
1000 e tous les ans. Le salaire annuel est-il une fonction affine du nombre d’années ?
3. Même question mais avec cette fois une augmentation régulière de 5% tous les ans.
4. Vous achetez une voiture 20 000 e et devez régler 30% de la somme immédiatement puis chaque mois la
même somme correspondant à 5% du reste. Le montant remboursé est-il une fonction affine du nombre
de mois de remboursemement ? Quelle est la durée du crédit ?
Propriété
Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d’accroissement est constant. En effet, si x1 et x2
sont deux réels, f (x2 ) − f (x1 ) = m × (x2 − x1 ) donc :
f (x2 ) − f (x1 )
= m.
x2 − x1
Exercice 3
On considère que la consommation mensuelle d’un ménage C (en e) est liée au revenu mensuel R (en e) par la
relation C = 500 + 0, 8 × R.
1. Que représente C(0) ?
2. Quelle est la consommation d’un ménage dont le revenu est R = 3000 ?
3. La consommation est-elle propotionnelle au revenu ?
4. Quelle sera l’augmentation de la consommation du ménage si son revenu mensuel augmente de 200 e ?
5. Peut-on dire que l’augmentation de la consommation est proportionnelle à l’augmentation du revenu ?
6. Keynes considère que la forme de la fonction de consommation se déduit de ce qu’il appelle la “loi psychologique fondamentale” : “en moyenne et la plupart du temps, les hommes tendent à accroı̂tre leur
consommation à mesure que leur revenu croı̂t, mais non d’une quantité aussi grande que l’accroissement
du revenu”. Est-ce que la fonction étudiée dans les premières questions rentre dans ce cadre ?
1
Représentation graphique
La fonction affine f : x 7−→ mx + p est représentée par la droite d’équation y = mx + p. m correspond au
coefficient directeur (la pente) de la droite et p à son ordonnée à l’origine. Si f (x) = mx, la droite passe par
l’origine.
Exercice 4
1. Déterminer une équation de D1 puis une équation de D2 représentées en figure 1.
2. Déterminer l’équation de la droite D3 passant par les points A(1, 4) et B(5, 2).
3. Déterminer le points d’intersection de D1 et D3 .
4. Dans le système d’axes de droite de la figure 1, représenter, pour x ∈ [0, 1000], la fonction f définie par
f (x) = 5000 − 4, 8x et la droite d’équation 10y − 6x = 20000.
5. Résoudre le système
y = 5000 − 4, 8x
10y − 6x = 20000
5
4
3
D1
2
1
D2
1
2
3
4
5
Fig. 1 – Représentation des fonctions affines.
2
Régionnement du plan
Une droite ou de façon générale la courbe d’une fonction f définit trois zones distinctes (cf figure 2) :
– l’ensemble des points (x, y) tels que y > f (x) (la région au dessus de la courbe),
– ceux tels que y < f (x) (sous la courbe)
– et ceux tels que y = f (x) (sur la courbe).
2
y
y > f (x)
y = f (x)
y < f (x)
x
Fig. 2 – Régionnement du plan.
Exercice 5
Sur le graphique de l’exercice précédent, hachurer la zone définie par :

 x ≥ 200
y ≤ 5000 − 4, 8x

10y − 6x > 20000
3
Applications
Exercice 6 (La droite de budget)
On considère qu’un consommateur peut acquérir deux biens : le bien 1 et le bien 2. S’il acquiert le bien 1 en
quantité x et le bien 2 en quatité y, on dira que le panier de bien du consommateur est représenté par (x, y). Si
p1 et p2 désignent respectivement les prix des biens 1 et 2, la droite de budget B est par définition l’ensemble
des paniers de biens (x, y) tels que xp1 + yp2 = B.
Application On considère qu’une personne consacre son budget ”loisirs” au cinéma et à l’achat de disques.
On considère de plus que le prix moyen d’une place de cinéma est 5 eet que le prix moyen d’un CD est 10
e. Représenter dans un même graphique les droites de budget 50 e et 80 e. Quels sont les paniers de bien
possibles associés à ces deux budgets ?
Exercice 7 (Programmation linéaire)
Une entreprise fabrique deux modèles de pantalons : le modèle A et le modèle B. La fabrication du modèle A
nécessite 2,5 mètres de tissu, 5 heures de travail et rapporte 3 euros ; celle du modèle B exige 3 mètres de tissu,
3 heures de travail et rapporte 2,5 euros.
L’atelier dispose quotidiennement de 300 mètres de tissu (contrainte de stockage) et de 375 heures de travail
(contrainte de main-d’oeuvre). On désigne par x le nombre de modèles A et par y le nombre de modèles B
confectionnés chaque jour.
1. Ecrire les contraintes sous forme d’un système d’inéquations.
2. Représenter, sur le graphique proposé en figure 3, l’ensemble des couples respectant les contraintes (on
hachurera la partie non-solution).
3. Tracer sur le graphique la droite correspondant à un bénéfice de 250 euros.
4. Déterminer graphiquement la production assurant un bénéfice maximum. Quel est ce bénéfice ?
3
y
10
x
10
Fig. 3 – Programmation linéaire.
Exercice 8
La fonction de demande globale de sucre aux Etats-Unis pour la période 1915-1929 a été représentée par Henry
SCHULTZ par la formule
Q = 135 − 8p
1. Quelle est la quantité demandée si le prix est égal à 5 ? à 10 ?
2. Quel est le niveau de prix correspondant à une demande de 50 ? de 80 ?
3. Quelle serait la demande si le sucre était un bien gratuit ?
Exercice 9
Une usine fabrique deux sortes de pièces p1 et p2 à l’aide de deux machines m1 et m2 . Chaque pièce doit passer
sur les deux machines, dans un ordre indifférent, pendant les temps suivants exprimés en minutes :
p1
p2
m1
50
40
m2
30
50
La machine m1 est disponible 2000 minutes par mois. La machine m2 est disponible 1500 minutes par mois. Le
profit réalisé sur p1 est de 400 euros. Le profit réalisé sur p2 est de 200 euros. Quelle production peut assurer
un profit maximum ?
4
Exemples d’utilisation de fonctions usuelles
On se propose de revoir quelques notions sur certaines fonctions usuelles par le biais d’exemples.
1
Polynômes
Les fonctions polynômes sont de la forme f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an−1 xn−1 + an xn où a0 , · · · , an sont
des réels. L’entier n est le degré du polynôme.
Classiquement, l’expression d’une fonction polynôme de degré 2 est plutôt notée f (x) = ax2 + bx + c. La courbe
d’un tel polynôme est une parabole.
Exercice 1 (étude du signe d’un second degré)
Les coûts journaliers (en euros) liés à la production de x objets sont définis par C(x) = x2 − 20x + 200. On
précise que la production est limitée à 50 objets par jour.
1. Que représente C(0) ?
2. Vérifier que C(x) = (x − 10)2 + 100 puis en déduire la production minimisant les coûts.
3. Chaque objet est vendu 34 e. Déterminer le nombre d’objets à produire (et à vendre) pour que l’entreprise
soit bénéficiaire.
2
Fonctions puissances
Ce sont les fonctions du type f (x) = bxa avec a et b ∈ R. La fonction racine carrée x 7−→
exemple.
√
x = x1/2 en est un
Exercice 2 (relation entre superficie et population d’une ville)
Des études ont cherché à modeliser la superficie d’une ville exprimée en ha (S) en fonction du nombre d’habitants
(N ). Les résultats ont par exemple conduit aux relations SF = 5.7N 0.635 en France et ST = 0.238N 0.84 en
Tunisie.
1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
N
SF
ST
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
2. Représenter les fonctions sur un même graphique.
3. Calculer dans chaque cas les quantités
S(11000)
S(10000)
3
S(22000)
S(20000)
S(110000)
S(100000)
Fonction exponentielle de base e
On rappelle la définition de la fonction exponentielle
R
exp
x
−→ R+
7−→ ex
On rappelle les égalités : ∀a, b ∈ R, ea+b = ea eb et ea−b = ea /eb .
Exercice 3 (Evolution du P IB de la Chine)
L’évolution, depuis 1982, du P IB de la Chine (en milliards de dollars) en fonction de l’année t est modelisée
par la relation :
P IB = 235e0,077(t−1982).
1
1. Représenter rapidemement la courbe jusqu’à l’année 2007.
2. Si le modèle reste valable, calculer le P IB de la Chine en 2010.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Exercice 4 (distribution normale)
On a représenté en figure 1 la répartition des observations d’une variable quantitative. Représenter sur le même
2
graphique la fonction x 7−→ √12π e−x /2 .
−3
−2
−1
0
1
2
3
Fig. 1 – Distribution d’une variable quantitative.
4
Fonction logarithme népérien
∗
R+ −→ R
On rappelle que la fonction ln :
est la réciproque de la fonction exponentielle.
x
7−→ ln(x)
– On a donc les propriétés :
∀x ∈ R, ln(ex ) = x et ∀x > 0, eln(x) = x
– On rapelle que ln(1) = 0.
– On a les égalités : ∀a, b ∈ R∗+ , ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(a/b) = ln(a) − ln(b).
– La courbe de la fonction ln se déduit de la courbe de la fonction exp par symétrie par rapport à la droite
d’équation y = x.
Exercice 5 (relation densité résidentielle et prix des valeurs foncières)
A Tunis, au début des années 80, la relation entre la densité résidentielle d et le prix des valeurs foncières P est
approché par la relation P = 1229, 8e−2,82d.
1. Exprimer d en fonction de P .
2. d est-elle une fonction croissante ou décroissante de P ?
5
Fonctions exponentielles de base a
Ce sont les fonctions de la forme f (x) = ax où a > 0.
– Pour a = e, on retrouve la fonction exp.
– De manière générale, on a : ax = ex ln(a) .
– ∀x1 , x2 ∈ R, ax1 +x2 = ax1 ax2 .
Exercice 6 (évolution de population)
En raison de l’exode rural, on considère qu’une petite ville de 5000 habitants perdra dans les prochaines années
7% de ses habitants tous les ans. Exprimer le nombre d’habitants de cette ville en fonction du nombre d’années.
2
Exercice 7 (intérêts bancaires)
Une banque rémunère un compte d’épargne au taux annuel de 4%.
1. Quel capital obtient-on si on place une somme de 10 000 e pendant 10 ans ?
2. Quelle somme faut-il placer pendant 10 ans pour constituer un capital de 30 000 e ?
3. Quelle doit être la durée minimum du placement pour qu’une somme de 10 000 e donne un capital de 18
000 e ?
6
Utilisation d’un repère semi-logarithmique
Principe de la construction du repère
1. Sans calculatrice vérifier les égalités :
ln(1000) − ln(100) = ln(100) − ln(10) = ln(10) − ln(1)
ln(2000) − ln(1000) = ln(200) − ln(100) = ln(20) − ln(10) = ln(2) − ln(1)
ln(3000) − ln(1000) = ln(300) − ln(100) = ln(30) − ln(10) = ln(3) − ln(1)
2. En n’utilisant qu’une règle graduée, porter les valeurs présentes dans la question 1 sur l’axe ci-dessous :
ln(1)
ln(2)
ln(3)
ln(10)
Fig. 2 – Construction d’une échelle logarithmique.
3. Calculer à la machine ln(5) et porter sur le graphique les valeurs ln(5), ln(50), ln(500), ln(5000).
Un axe est gradué selon une échelle logarithmique lorsqu’il est gradué proportionnellement au logarithme des
valeurs indiquées. Ainsi, l’axe suivant est gradué selon un échelle logarithmique :
1
5
10
50
100
500
1000
Fig. 3 – Axe gradué selon une échelle logarithmique.
Exercice 8
Une grandeur économique G est donnée en fonction du temps t en années par la relation G(t) = 3 × (1, 7)t .
1. Représenter sur la feuille jointe la fonction G.
2. Justifier l’allure de la courbe obtenue.
3
Applications de la dérivation
1
Taux d’accroissement, nombre dérivé, interprétation graphique
Taux d’accroissement On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Pour des valeurs de a et b
distinctes de I, le taux d’accroissement de f entre a et b est défini par
f (b) − f (a)
.
b−a
Il correspond à la pente de la droite reliant les points A et B de coordonnées respectives (a, f (a)) et (b, f (b))
(cf figure 1).
A
f (a)
B
f (b)
a
b
Fig. 1 – Interprétation du taux d’accroissement.
Remarque
On rappelle que le taux d’accroissement d’une fonction affine x 7−→ mx + p est constant égal à m.
Exercice 1
On considère que la consommation C d’un bien est fonction du prix p (en euros) de celui-ci et la relation entre
√
ces deux grandeurs est C(p) = 10/ p. On considère qu’actuellement le prix du marché est p = 1 e.
1. Quelle conséquence sur la consommation aurait une augmentation des prix de 5 e, de 1 e, de 0,1 e, de
0,01 e ?
2. Calculer le taux de variations de C entre 1 et chacun des prix considérés à la question précédente. De
quelle valeur semble se rapprocher ce taux de variation pour une augmentation de prix très faible ?
3. Cette valeur est-elle la même si on considère qu’actuellement, le prix du marché est 4 e ?
(a)
Dérivabilité, nombre dérivé On dit que f est dérivable au point a de I si le taux d’accroissement f (b)−f
b−a
admet une limite finie lorsque b tend vers a. Dans ce cas la limite obtenue est appelée nombre dérivé de f en a
et est notée f ′ (a).
(a)
Il revient au même de dire : f dérivable en a si limh→0 f (a+h)−f
existe et est finie.
h
Remarque
Pour prolonger l’exercice précédent, on peut montrer que
lim
p→1
C(p) − C(1)
= −5 = C ′ (1).
p−1
1
Cette quantité mesure (au moment où le prix vaut 1) l’effet qu’aurait une augmentation infinitésimale du prix
sur la consommation : c’est une mesure de la ”sensibilité”’ de la demande par rapport au prix qu’on appelle
propention marginale à consommer.
Interprétation graphique Lorsque le point M se rapproche du point A (h → 0) la droite (AM ) a pour
position limite la tangente à la courbe au point A. Le nombre dérivé f ′ (a) correspond finalement au coefficient
directeur de la tangente en A (figure 2).
La tangente en A à la courbe a donc pour équation y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
A
f (a)
B
f (b)
M
f (a + h)
a
a+h
b
Fig. 2 – Interprétation graphique du nombre dérivé.
2
2.1
Fonction dérivée, règles de calculs
Fonction dérivée
On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout x de I. On appelle fonction dérivée de f la fonction
(x)
. C’est donc la fonction qui à la valeur x associe la pente
notée f ′ définie sur I par : f ′ (x) = limh→0 f (x+h)−f
h
de la tangente au point d’abscisse x de la courbe.
2.2
Dérivées des fonctions usuelles
Le tableau suivant rappelle les dérivées des fonctions usuelles. k et α désignent des constantes réelles (α 6= 0),
n un entier naturel non nul.
f (x) =
k
x
xn
xα
1/x
√
x
ln x
ex
2.3
f ′ (x) =
0
1
nxn−1
αxα−1
−1/x2
√
1/ (2 x)
1/x
ex
Règles de calcul sur les dérivées
On considère u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I alors :
2
Fonction
f (x) = u(x) + v(x)
f (x) = u(x)v(x)
f (x) = u(x)
v(x)
f (x) = v ◦ u(x) = v(u(x))
Dérivée
f ′ (x) = u′ (x) + v ′ (x)
f ′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x)
′
′
(x)
f ′ (x) = u (x)v(x)−u(x)v
(si v ne s’annule pas)
v 2 (x)
f ′ (x) = u′ (x)v ′ ◦ u(x) = u′ (x)v ′ (u(x))
′
1
Conséquences immédiates : • Si f (x) = v(x)
, f ′ (x) = − vv2(x)
(x) .
n
′
• Si f (x) = [u(x)] , f (x) = nu′ (x)[u(x)]n−1 .
p
u′ (x)
• Si f (x) = u(x), f ′ (x) = √
.
2
u(x)
u′ (x)
u(x) .
u(x)
• Si f (x) = ln(u(x)), f ′ (x) =
• Si f (x) = eu(x) , f ′ (x) = u′ (x)e
.
Remarque
La dernière formule dans le tableau est particulierement importante puisqu’elle permet de dériver une fonction
composée. C’est en l’appliquant qu’on retrouve les quatre derniers points ci-dessus.
Exercice 2
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (on ne se préoccupera pas du domaine de dérivabilité).
f1 (x) = x5 ,
f5 (x) = 2x4 − 5x3 + 10x − 1,
f9 (x) = ln(5x − 1),
3
f2 (x) = x−2 ,
f6 (x) = 1/(x − 3),
f10 (x) = x ln(2x + 3),
f3 (x) = x1/3 ,
f7 (x) = (2x − 1)/(x2 + 1),
f11 (x) = 5e0,5x ,
3/2
f4 (x) = x
√ ,
f8 (x) = x/(3x − 1),
f12 (x) = 1/ex .
Variations des fonctions
Le calcul de la dérivée et l’étude de son signe permettent de déterminer le sens de variation d’une fonction.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
– Si la dérivée f ′ de f est positive sur I, f est croissante sur I.
– Si la dérivée f ′ de f est négative sur I, f est décroissante sur I.
Par exemple, la fonction exponentielle est croissante sur R et la fonction ln est croissante sur ]0, +∞[.
Exercice 3
Les coûts de production (en e) de q objets (q ∈ [0, 100]) sont définis par C(q) = q 3 − 60q 2 + 1500q.
1. Etudier la fonction de coût.
2. Etudier la fonction de coût moyen.
3. Chaque objet est vendu 975 e. Quelle est la production maximisant le bénéfice ?
4
Applications
Exercice 4
1. Elasticité
L’élasticité EQ/p de la demande par rapport au prix est définie comme la variation relative de la demande
divisée par la variation relative du prix.
Ainsi, si on considère un prix p qui subit une variation ∆p, la variation relative du prix est ∆p
p . Considérons
que la demande est Q lorsque le prix est p et que la variation ∆p du prix provoque une variation ∆Q de
la demande : la variation relative de la demande est alors ∆Q
Q .
On en déduit que l’élasticité définie plus haut est :
EQ/p =
(a) Quel est en général le signe de EQ/p ?
3
∆Q/Q
.
∆p/p
(b) On dit d’un bien vérifiant |EQ/p | > 1 (resp |EQ/p | < 1) qu’il a une demande élastique (resp inélastique). Que cela signifie-t-il ?
2. Etude d’un exemple
On considère la fonction de demande suivante : Q(p) = 300 − p/2 où p désigne le prix de chaque objet
produit.
(a) Quelles valeurs de p ont un sens dans cet exemple ?
(b) Calculer EQ/p pour un prix passant de 100 à 102, pour un prix passant de 200 à 204, pour un prix
passant de 500 à 510.
Q′ (p)
× p.
On montre que pour ∆p → 0, l’élasticité devient EQ/p (p) =
Q(p)
(c) Donner une expression de EQ/p (p) en fonction de p.
(d) Déterminer la valeur de p pour laquelle EQ/p (p) = −1 (élasticité unitaire).
(e) Etudier puis représenter la fonction : p 7−→ EQ/p (p).
Exercice 5
Si q 7−→ C(q) est une fonction de coût, la fonction de coût marginal est définie par q 7−→ C ′ (q).
On reprend la fonction de coût de l’exercice 3.
1. Expliciter la fonction de coût marginal Cm .
2. Sur un même graphique, représenter la fonction de coût marginal et la fonction de coût moyen CM pour
q ∈ [0, 50].
3. Vérifier que la courbe de Cm passe par le minimum de celle de CM .
4. Montrer la proposition précédente dans un cadre général.
4
Fonctions de plusieurs variables
1
Repères dans l’espace
Pour construire un repère de l’espace on trace trois axes non coplanaires sécants en un point origine O : l’axe
des abscisses xOx′ , l’axe des ordonnées yOy ′ et l’axe des cotes zOz ′ . On munit chacun de ces axes d’un vecteur
~i, ~j et ~k. On choisit en général ces vecteurs orthogonaux et de même norme,
directeur, notés respectivement
le repère R = O,~i, ~j, ~k est alors dit orthonormé. Chaque point M de l’espace est alors repéré par ses trois
coordonnées a, b, c et on note M (a, b, c) (cf figure 1).
z
c
M (a, b, c)
~k
~i
~j
b
y
O
a
x
Fig. 1 – Repèrage d’un point dans l’espace.
2
Equations de plans parallèles aux plans de coordonnées
Exemple
Considérons les points du plan parallèle au plan horizontal xOy et passant par le point A(0, 0, 3) (figure 2).
Pour qu’un point quelconque M (x, y, z) soit dans ce plan, il faut et il suffit que sa cote soit égale à 3. Ainsi,
z = 3 est l’équation de ce plan.
z
A(0, 0, 3)
~k
~i
M(x, y, 3)
~j
y
O
x
x
Fig. 2 – Plan parallèle à xOy.
On généralise :
1
y
• x = a est une équation du plan parallèle à yOz et passant par le point (a, 0, 0),
• y = b est une équation du plan parallèle à xOz et passant par le point (0, b, 0),
• z = c est une équation du plan parallèle à xOy et passant par le point (0, 0, c).
3
Définition et représentation des fonctions à deux variables
Définition
En économie, les fonctions ont souvent plusieurs variables. Par exemple, les fonctions de type Cobb-Douglas
qui ont la forme Q = A × K α × L1−α définissent la production Q en fonction des deux variables capital K et
travail L.
De façon générale, une fonction à deux variables est une application f telle que :
D ⊂ R × R −→ R
f
(x, y)
7−→ f (x, y)
Exemple
La fonction f définie sur [−1, 1] × [−1, 1] par f (x, y) = x2 + y 2 associe à tout couple (x, y) où x et y sont des
réels de [−1, 1] une image unique x2 + y 2 . Par exemple, f (0.5, −0.5) = 1/2, f (0, 0.2) = 0.04...
Représentation
On peut représenter une telle fonction en dimension 3 en représentant l’ensemble des points M (x, y, z = f (x, y))
où les couples (x, y) décrivent D. La représentation obtenue est alors une surface (figure 3).
2.0
1.5
z
1.0
0.5
1
0.0
0.5
−1.0
0
−0.5
0.0
−0.5
x
y
0.5
−1
1.0
Fig. 3 – Représentation de (x, y) 7−→ x2 + y 2 sur D = [−1; 1] × [−1; 1].
En coupant la surface par un plan d’équation x = a, on obtient une courbe qui est une représentation de f avec
x fixé égal à a. C’est la courbe de la fonction y 7−→ f (a, y) (figure 4).
2
2.0
1.5
z
Représentation de
1.0
0.5
f0.5 : y 7→ 0.25 + y 2
0.0
−1.0
−0.5
0.0
1.0
x
Plan d’équation x = 0.5
0.5
0.5
0.0
y
−0.5
1.0
−1.0
Fig. 4 – Coupe par le plan d’équation x = 0.5.
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
En coupant cette surface par un plan horizontal d’équation z = k, on observe la ligne de niveau k de la fonction
f c’est-à-dire l’ensemble des couples (x, y) antécédents de k par f (figure 5).
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
Fig. 5 – lignes de niveau (vue de dessus) de x 7→ x2 + y 2 sur [−1, 1] × [−1, 1].
Remarque
De même on définit une fonction de trois variables x1 , x2 , x3 par une application f : (x1 , x2 , x3 ) 7→ f (x1 , x2 , x3 ).
La représentation d’une fonction à trois variables suppose que l’on consacre une dimension à la représentation
de chacune des variables et une dimension à celle des images soit quatre dimensions en tout. Une fonction de
3
plus de deux variables n’est donc plus représentable dans notre espace qui ne comporte que trois dimensions.
4
Exercices
Exercice 1 (Repérage dans l’espace)
1. Placer sur la figure 6 les points A(1, 2, 2), B(3, 1, 4) et C(4, 3, 0).
2. Représenter le plan d’équation y = 3.
3. Quelle est l’équation du plan passant par B et parallèle au plan xOy ?
~k
~i
~j
Fig. 6 – Repérage dans l’espace.
Exercice 2 (Calculs d’images)
Soit les fonctions f , g, U et Q définies par
– f (x, y) = xy
– g(x, y) = 2x3 y − y 2
– U (x1 , x2 ) = 2x1 + 3x2
– Q(K, L) = 3K 0,6 L0,4
Calculer, pour trois couples au choix, les valeurs de la fonction dans chacun des cas proposés.
Exercice 3 (Représentations graphiques)
Identifier les représentations graphiques des fonctions f et g définies par f (x, y) =
5 exp −(x2 + y 2 ) faites en figure 7.
4
1
2
x2 + y 2 + 5 et g(x, y) =
10
8
z
6
4
2
2
0
1
−2
−1
0
0
−1
x
y
1
2
−2
Fig. 7 – Identification de surfaces.
Exercice 4 (Etude d’une fonction à deux variables)
On considère la fonction f définie sur [−1, 1] × [−1, 1] par f (x, y) = x2 + 2y 2 − x + 3.
1. Calculer f (1, 0.2), f (0.5, 0) et f (−1, 0).
2. On a représenté la fonction f sur son ensemble de définition en figure 8. Représenter les points associés
aux images calculées en question 1.
3. Représenter sur ce même graphique la fonction fx=0.5 : y 7→ f (0.5, y) ainsi que la ligne de niveau correpondant à f (x, y) = 5.
4. Quelle valeur de y minimise la fonction fx=0.5 : y 7→ f (0.5, y) (répondre graphiquement à la question et
vérifier par un calcul) ? Quelle est la valeur de ce minimum ?
2
5. Après avoir vérifié que f (x, y) = x − 21 + 2y 2 + 11
4 , déterminer le couple (x, y) qui minimise globalement
la fonction f .
5
7
6
z
5
4
3
−1.0
−0.5
1.0
0.5
0.0
x
0.0
0.5
−0.5
1.0
y
−1.0
Fig. 8 – Représentation de (x, y) 7→ x2 + 2y 2 − x + 3 sur [−1, 1] × [−1, 1].
Exercice 5 (Courbes d’iso-utilité)
On considère la fonction d’utilité U dépendant des quantités de deux biens (fruits et légumes). On note respectivement x et y les quantités
√ en kilos de fruits et de légumes constituant un panier de bien. La fonction d’utilité
est définie par U (x, y) = x × y.
1. Trouver quatre paniers possibles correspondant à un niveau d’utilité 4 pour le consommateur. Interpréter
les résultats.
2. Même question pour un niveau d’utilité 9.
3. Construire sur la figure 9 les courbes d’iso-utilité (ou courbes d’indifférence) de niveau 4 et 9.
4. On se place à un niveau d’utilité 4 et on suppose que le panier initial est constitué d’un kilo de fruits et de
quatre kilos de légumes. Utiliser le graphique pour savoir à quelle quantité de légumes le consommateur
est prêt à renoncer pour acheter un kilo de fruits supplémentaire ? Même question si le panier initial
correspond à x = 4 et y = 1. Interpréter les résultats.
6
y
10
1
O
1
10
Fig. 9 – Courbes d’indifférence.
7
x
Optimisation sous contrainte
1
Exemple introductif
Commençons par dire que par “optimiser” on entend, selon le contexte, “minimiser” ou “maximiser”.
Nous reprenons le cas traité
en exercice 6 au chapitre précédent. On rappelle qu’on y a introduit une fonction
√
d’utilité U : (x, y) 7−→ x × y où les deux variables x et y désignent respectivement des quantités en kilos de
fruits et de légumes. Nous supposons désormais que le prix du kilo de fruits est 2 e et que le prix du kilo de
légumes est 1,5 e. Sur la figure 1 sont représentées les courbes d’indifférence de niveaux 4 et 9.
1.1
Optimisation de la satisfaction à budget fixé
10
Considérons que le consommateur dispose d’un budget de 9 e pour acheter fruits et légumes. Il peut donc
par exemple s’acheter 3 kilos de fruits et 2 kilos de légumes et son niveau de satisfaction sera alors U (3, 2) =
√
3 × 2 ≈ 3, 5. Il préférera sans doute s’acheter
√ 1,5 kilos de fruits et 4 kilos de légumes car cela lui donnera un
niveau de satisfaction supérieur U (1.5, 4) = 1, 5 × 4 ≈ 4, 9.
Si le consommateur achète x kilos de fruits et y kilos de légumes, sa dépense sera 2x + 1, 5y. Pour un budget
de 9 euros, il pourra acheter x kilos de fruits et y kilos de légumes tels que 2x + 1, 5y = 9. Les paniers de
biens possibles peuvent donc être représentés par une droite telle que dessinée en figure 1. On peut donc vérifier
qu’avec un tel budget, il obtiendra facilement un niveau de satisfaction 4 mais pas un niveau 9.
Naturellement, le consommateur cherchera, avec ce budget, à obtenir le niveau de satisfaction le plus élevé
possible. Il s’agit donc de savoir quel panier constitué des deux biens maximisera l’utilité sous la contrainte
imposée par ce budget.
8
Courbe d’indifférence de niveau 9
6
Courbe d’indifférence de niveau 4
0
2
4
y
0
2
4
x
6
8
10
Fig. 1 – Optimisation de l’utilité sous contrainte budgétaire.
On cherche donc à savoir quel couple (x, y) rend maximum U (x, y) =
2x + 1, 5y = 9. Nous donnons une méthode dans le paragraphe suivant.
√
x × y lorsque x et y sont tels que
Méthode par substitution
– Utiliser l’équation de la contrainte pour exprimer l’une des variables en fonction de l’autre. Ici par exemple,
4
nous pouvons écrire y en fonction de x : y = 6 − x.
3
1
– Dans la fonction à optimiser, substituer la variable choisie par l’expression
obtenue
à l’étape précédente. Dans
√
4
4
l’exemple, en remplaçant y par 6 − x, U (x, y) devient devient x 6 − x et c’est la quantité à optimiser.
3
3
√
4
Comme cette quantité ne dépend plus que de la variable x, nous posons h(x) = x 6 − x .
3
– Appliquer à cette fonction h de la seule variable x les techniques connues de recherche d’extremum. Ici,
3 − 2x
h′ (x) = √ , la fonction h est donc croissante pour x ∈ 0, 32 puis décroissante après 32 . Nous avons donc
x
un maximum pour x = 23 = 1, 5.
– Utiliser l’équation de la contrainte pour déterminer la valeur à donner à l’autre variable pour respecter la
4 3
contrainte. Ici, y = 6 − × = 4.
3 2
Conclusion
Avec le budget dont il dispose et au prix où sont fixés les biens en question, le consommateur maximisera sa
satisfaction en achetant 1,5 kilos de fruits et 4 kilos de légumes et celle-ci sera donc U (1.5, 4) ≈ 4.9.
10
Remarque
Nous pouvons tracer sur le graphique la courbe d’indifférence de niveau U (1.5, 4) ≈ 4.9 et on remarque qu’elle
est tangente au point (1.5, 4) à la droite de budget (cf figure 2).
Courbe d’indifference 9
8
Panier de satisfaction maximum sous la contrainte de budget
6
Courbe d’indifference 4,9
0
2
4
y
1,5
0
2
4
6
8
10
x
Fig. 2 – Optimisation de l’utilité sous contrainte budgétaire.
1.2
Optimisation du budget sous contrainte d’utilité
On peut décider d’envisager notre cas différemment en se demandant quel budget devrait avoir le consommateur
pour obtenir un niveau de satisfaction de 9 par exemple. On peut constater qu’un budget B = 15 e sera suffisant
15
4
puisque la droite d’équation 2x + 1, 5y = 15 où y =
− x coupe la courbe d’indifférence de niveau 9 en
1, 5
3
deux points et donc deux paniers seront possibles pour lui donner cette satisfaction (figure 3). On comprend
aussi qu’il pourra obtenir un niveau de satisfaction identique avec un budget inférieur. Nous cherchons donc
dans cette section à savoir quel budget minimum permettra au consommateur d’avoir un niveau de satisfaction
de 9.
2
Nous pouvons introduire la fonction budget dépendant des deux variables x et y qui exprime la dépense correspondant à l’achat de x kilos de fruits et de y kilos de légumes :
B : (x, y) 7−→ B(x, y) = 2x + 1, 5y .
Nous cherchons donc à minimiser cette fonction sous la contrainte d’utilité U (x, y) = 9 c’est à dire
√
x × y = 9.
Méthode graphique
La fonction de budget est particulièrement simple puisqu’elle est linéaire en x et y. Les paniers de biens (x, y)
B
4
correspondant à un budget B sont donc représentés sur la droite d’équation y =
− x, droite de pente
1, 5
3
constante (qui dépend du prix des biens) et d’ordonnée à l’origine proportionnelle à B. Nous cherchons à
minimiser B tout en satisfaisant la contrainte d’utilité et graphiquement cela revient donc à tracer la droite
d’ordonnée à l’origine la plus petite possible qui soit tangente à la courbe d’indifférence. Nous pouvons ainsi lire
sur le graphique la valeur du couple (x, y) solution et en déduire le budget correspondant (figure 3).
On peut préciser les valeurs observées en procédant par la méthode de substitution.
Méthode par substitution
Nous reprenons les étapes décrites plus haut :
√
81
x × y = 9, on en déduit : x = 2 .
y
162
– La substitution de cette expression de x dans B(x, y) conduit à poser h(y) = 2 + 1, 5y, nouvelle quantité
y
à minimiser.
162
– L’étude de h : y 7−→ 2 + 1, 5y montre que h(y) est minimum pour y = 6.
y
– L’équation de contrainte permet de déduire x = 2, 25.
– L’équation de la contrainte est cette fois U (x, y) = 9 soit
Conclusion
En achetant 2,25 kilos de fruits et 6 kilos de légumes (donc en dépensant 13,5 e), le consommateur atteindra
une satisfaction de niveau 9 et il ne pourra atteindre ce niveau de satisfaction avec un budget inférieur.
10
Droite de budget 15
2
4
Courbe d’indifference de niveau 9
0
y
6
8
Droite du budget minimum
0
2
4
x
6
8
Fig. 3 – Optimisation du budget sous contrainte d’utilité.
3
10
2
Exercices
Exercice 1
Soit la fonction à maximiser f définie par f (x, y) = 2xy sous la contrainte x + 3y = 18.
1. Tracer les courbes de niveau 40, 54 et 72 de la fonction f .
2. Tracer la droite représentant la contrainte.
3. Quel couple (x, y) de valeurs maximise f sous la contrainte imposée ? Préciser la nature et la valeur de
cet optimum.
4. Reprendre cet exemple avec la contrainte 6x + 4y = 40.
Exercice 2
On cherche à optimiser la fonction g : (x, y) 7−→ x + 5y sous la contrainte xy = 5.
1. Tracer la courbe représentant la contrainte.
2. Tracer les courbes d’équations x + 5y = 5 et x + 5y = 10. Le dessin permet-il de trouver des solutions
respectant la contrainte ?
3. Tracer la courbe de niveau optimal ; quelle est la conclusion de cette optimisation ?
Exercice 3
Avec x et y strictement positifs, optimiser :
1. la fonction f (x, y) 7−→ x2 − 2y 2 sous la contrainte y − x2 = 0.
2. La fonction g(x, y) 7−→ 16y + 7x sous la contrainte yx2 = 49
Exercice 4 (TD économie politique 89-90)
Un budget “loisir” de 300 F mensuel permet d’aller au cinéma (x1 places par mois) au prix moyen de 30 F
la place et d’acheter des disques (x2 par mois) au prix moyen de 60 F. Entre ces deux biens, l’indifférence du
consommateur est définie par la fonction U (x1 , x2 ) = x1 x2 .
1. Quelle est la demande optimale du consommateur ?
2. Par abonnement, le prix moyen de la place de cinéma passe à 25 ; sans autre changement dans les données
initiales, quelle est la nouvelle demande optimale ?
3. On retrouve les conditions initiales mais avec un budget de 600 F. Quelle est la nouvelle situation optimale ?
Exercice 5 (TD économie politique 90-91)
Soit une fonction de production Q définie par Q(K, L) = 10KL (L désigne le travail et K le capital). Le coût
d’une unité de travail est 20 F et celui d’une unité de capital 40 F.
1. Quelles quantités de travail et de capital seront nécessaires pour une production de 500 au coût minimal ?
Quel est alors ce coût ?
2. Pour une nouvelle production on dispose de 240 F supplémentaires. Quelle est alors la production optimale ?
3. Que se passe-t-il si le prix du travail double alors que celui du capital est inchangé ?
Exercice 6
Pour un certain atelier, la fonction de production Q est définie par Q(K, L) = K 0,8 L1,2 et la fonction de coût
C par C(K, L) = 3K + 2L.
1. Pour un niveau de production égal à 5, déterminer la quantité de travail correspondant à un capital de 1,
2, 3, 4, 6 et 8.
2. Tracer les droites d1 , d2 et d3 d’équations respectives 3K + 2L = 6, 3K + 2L = 9 et 3K + 2L = 12. Par
une lecture graphique, quelle est la valeur approximative du niveau de coût optimal ?
3. Calculer le coût optimal pour un niveau de production de 5.
4