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Fonctions affines 3
Fonctions usuelles 7
Dérivation 11
Fonctions de plusieurs variables 15
Optimisation sous contraintes 23
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Fonctions affines
1 D´efinition - repr´esentation graphique
Les fonctions affines constituent un mod`ele tr`es utilis´e en ´economie, en raison de leur simplicit´e technique. Cela
ne signifie pas que les fonctions affines traduisent toujours bien la r´ealit´e observ´ee mais elles constituent une
simplification admissible.
D´efinition
Une fonction fest dite affine si elle est telle que f:x7−→ f(x) = mx +po`u met psont des r´eels. Dans le cas
particulier o`u p= 0, c’est `a dire lorsqu’on a f(x) = mx alors fest dite lin´eaire.
Exercice 1
La soci´et´e de t´el´ecommunications Apropose le forfait mensuel suivant :
– abonnement : 15 epar mois,
– chaque minute de communication est factur´ee 0,1 e.
La soci´et´e Bpropose un forfait sans abonnement o`u chaque minute est factur´ee 0,2 e.
1. D´efinir dans chaque cas la facture correspondant `a xminutes de communication.
2. Quel est l’abonnement le plus rentable suivant la dur´ee de communication ?
Exercice 2
Justifier la r´eponse dans chaque cas.
1. La taille peut-elle ˆetre une fonction lin´eaire ou affine de l’ˆage ?
2. Un contrat de travail pr´evoit un salaire annuel de d´epart de 12000 epuis une augmentation r´eguli`ere de
1000 etous les ans. Le salaire annuel est-il une fonction affine du nombre d’ann´ees ?
3. Mˆeme question mais avec cette fois une augmentation r´eguli`ere de 5% tous les ans.
4. Vous achetez une voiture 20 000 eet devez r´egler 30% de la somme imm´ediatement puis chaque mois la
mˆeme somme correspondant `a 5% du reste. Le montant rembours´e est-il une fonction affine du nombre
de mois de remboursemement ? Quelle est la dur´ee du cr´edit ?
Propri´et´e
Une fonction affine est caract´eris´ee par le fait que son taux d’accroissement est constant. En effet, si x1et x2
sont deux r´eels, f(x2)−f(x1) = m×(x2−x1) donc :
f(x2)−f(x1)
x2−x1
=m.
Exercice 3
On consid`ere que la consommation mensuelle d’un m´enage C(en e) est li´ee au revenu mensuel R(en e) par la
relation C= 500 + 0,8×R.
1. Que repr´esente C(0) ?
2. Quelle est la consommation d’un m´enage dont le revenu est R= 3000 ?
3. La consommation est-elle propotionnelle au revenu ?
4. Quelle sera l’augmentation de la consommation du m´enage si son revenu mensuel augmente de 200 e?
5. Peut-on dire que l’augmentation de la consommation est proportionnelle `a l’augmentation du revenu ?
6. Keynes consid`ere que la forme de la fonction de consommation se d´eduit de ce qu’il appelle la “loi psy-
chologique fondamentale” : “en moyenne et la plupart du temps, les hommes tendent `a accroˆıtre leur
consommation `a mesure que leur revenu croˆıt, mais non d’une quantit´e aussi grande que l’accroissement
du revenu”. Est-ce que la fonction ´etudi´ee dans les premi`eres questions rentre dans ce cadre ?
1

Repr´esentation graphique
La fonction affine f:x7−→ mx +pest repr´esent´ee par la droite d’´equation y=mx +p.mcorrespond au
coefficient directeur (la pente) de la droite et p`a son ordonn´ee `a l’origine. Si f(x) = mx, la droite passe par
l’origine.
Exercice 4
1. D´eterminer une ´equation de D1puis une ´equation de D2repr´esent´ees en figure 1.
2. D´eterminer l’´equation de la droite D3passant par les points A(1,4) et B(5,2).
3. D´eterminer le points d’intersection de D1et D3.
4. Dans le syst`eme d’axes de droite de la figure 1, repr´esenter, pour x∈[0,1000], la fonction fd´efinie par
f(x) = 5000 −4,8xet la droite d’´equation 10y−6x= 20000.
5. R´esoudre le syst`eme
y= 5000 −4,8x
10y−6x= 20000
D2
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
D1
Fig. 1 – Repr´esentation des fonctions affines.
2 R´egionnement du plan
Une droite ou de fa¸con g´en´erale la courbe d’une fonction fd´efinit trois zones distinctes (cf figure 2) :
– l’ensemble des points (x, y) tels que y > f (x) (la r´egion au dessus de la courbe),
– ceux tels que y < f(x) (sous la courbe)
– et ceux tels que y=f(x) (sur la courbe).
2

x
y
y > f (x)
y=f(x)
y < f (x)
Fig. 2 – R´egionnement du plan.
Exercice 5
Sur le graphique de l’exercice pr´ec´edent, hachurer la zone d´efinie par :
x≥200
y≤5000 −4,8x
10y−6x > 20000
3 Applications
Exercice 6 (La droite de budget)
On consid`ere qu’un consommateur peut acqu´erir deux biens : le bien 1 et le bien 2. S’il acquiert le bien 1en
quantit´e xet le bien 2en quatit´e y, on dira que le panier de bien du consommateur est repr´esent´e par (x, y). Si
p1et p2d´esignent respectivement les prix des biens 1 et 2, la droite de budget Best par d´efinition l’ensemble
des paniers de biens (x, y)tels que xp1+yp2=B.
Application On consid`ere qu’une personne consacre son budget ”loisirs” au cin´ema et `a l’achat de disques.
On consid`ere de plus que le prix moyen d’une place de cin´ema est 5 eet que le prix moyen d’un CD est 10
e. Repr´esenter dans un mˆeme graphique les droites de budget 50 eet 80 e. Quels sont les paniers de bien
possibles associ´es `a ces deux budgets ?
Exercice 7 (Programmation lin´eaire)
Une entreprise fabrique deux mod`eles de pantalons : le mod`ele A et le mod`ele B. La fabrication du mod`ele A
n´ecessite 2,5 m`etres de tissu, 5 heures de travail et rapporte 3 euros ; celle du mod`ele B exige 3 m`etres de tissu,
3 heures de travail et rapporte 2,5 euros.
L’atelier dispose quotidiennement de 300 m`etres de tissu (contrainte de stockage) et de 375 heures de travail
(contrainte de main-d’oeuvre). On d´esigne par xle nombre de mod`eles A et par yle nombre de mod`eles B
confectionn´es chaque jour.
1. Ecrire les contraintes sous forme d’un syst`eme d’in´equations.
2. Repr´esenter, sur le graphique propos´e en figure 3, l’ensemble des couples respectant les contraintes (on
hachurera la partie non-solution).
3. Tracer sur le graphique la droite correspondant `a un b´en´efice de 250 euros.
4. D´eterminer graphiquement la production assurant un b´en´efice maximum. Quel est ce b´en´efice ?
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