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CCP Physique 1 PC 2008 — Énoncé 1/10
Lescalculatrices sontautoris´ ees
Lesdeuxprobl` emes sont ind´ ependants.Onferal’application num´ erique chaquefoisque celaest
possible,enveillant` a pr´ eciserl’unit´ e et` a nedonnerqueleschiffres significatifsdu r´ esultat.
****
N.B.:Le candidatattacherala plusgrandeimportance ` alaclart´ e,` ala pr´ ecision et` alaconcision dela
r´ edaction.Siun candidatestamen´ e` arep´ ererce quipeut luisemblerˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il lesignalera
sur sacopie etdevra poursuivresacomposition enexpliquant les raisonsdesinitiativesqu’il a´ et´ eamen´ e` a
prendre.
****
PROBL` EMEI
EAU ET MICRO-ONDES
Ceprobl`eme abordediversaspectsdel’interaction entrelesmol´eculesd’eauetun rayonnement
micro-onde.
I.1Traitementclassiquedelarotation d’unemol´ eculed’eau
Unemol´eculed’eauestconstitu´ee d’un atomed’oxyg`eneOetdedeux atomesd’hydrog`eneH1
etH2.Lalongueurdelaliaison O-H,centre`a centre,esta=96 pm,et l’angle entrelesdeux liaisons
O-Hestβ=104,5◦(figureI.1).Lesatomes sontconsid´er´escommedesmassesponctuelles.L’eau
poss`edeun momentdipolairepermanent~p(repr´esent´esurlafigure):||~p|| =6,11 ×10−30 C.m.
x
y
O
H1
H2
a
z
β
p
Figure I.1
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CCP Physique 1 PC 2008 — Énoncé 2/10
On donnelesvaleursnum´eriquesdesconstantesphysiques suivantes:
−massed’un nucl´eon (proton ou neutron):mn=1,67 ×10−27 kg
−nombredenucl´eonsd’un noyau d’oxyg`ene(nombredemasse):A=16
−perm´eabilit´emagn´etiquedu vide:µ0=4π×10−7H.m−1=1,26 ×10−6Ω.s.m−1
−permittivit´edu vide:ǫ0=8,85 ×10−12 F.m−1
−constantedePlanck:h=6,62 ×10−34 J.s
−c´el´erit´edelalumi`eredanslevide:c=3,00 ×108m.s−1
−constantedeBoltzmann :kB=1,38 ×10−23 J.K−1
−conductivit´e´electriquedu cuivre:γ=5,96 ×107Ω−1.m−1
Onrappellequ’un picom`etre(pm)vaut10−12 m,quelepr´efixegiga(G) repr´esente109,quele
symboledel’unit´eder´esistance ohmestnot´eΩ,etquelehenry(H)s’exprime´egalementen“ohm-
seconde” (Ω.s).
On donnelesvaleursnum´eriques suivantes:cos(β/2)=0,61 ;sin(β/2)=0,79.
On donnerasipossibleler´esultatdesapplicationsnum´eriquesavec troischiffres significatifs.
-I.1.1
Calculeretdonnerlavaleur,en picom`etre(pm),descoordonn´eesxH1,yH1du premieratome
d’hydrog`ene,puisdescoordonn´eesxH2,yH2du second atomed’hydrog`ene,ensupposantque
l’atomed’oxyg`eneoccupel’originedu rep`ere,etquel’orientation delamol´ecule est telleque
repr´esent´ee surlafigureI.1.
-I.1.2
Calculeretdonnerlavaleur,en picom`etre,descoordonn´eesxGetyGdu centredemasseGde
lamol´eculed’eau.
Repr´esenter,surun sch´emasemblable`a celuidelafigureI.1,laposition deGpar rapportaux
autresatomesconstituant lamol´eculed’eau.
-I.1.3
Calculeretdonnerlavaleur,en picom`etre,descoordonn´eesxO,yOdel’atomed’oxyg`ene,
puisdescoordonn´eesxH1,yH1,xH2,etyH2desdeux atomesd’hydrog`ene,exprim´eesdansle
r´ef´erentieldu centredemassedelamol´eculed’eau.
-I.1.4
On d´efinit lemomentd’inertied’un syst`emeind´ eformabledeNpointsmat´eriels,index´espar
i,demassemi,par rapport`aun axeDcomme
JD=
N
X
i=1
mid2
i(D)
o`udi(D)d´esigneladistance du pointi`al’axeD.
Donnerl’unit´e,dansle cadredu Syst`emeInternational,d’un momentd’inertie.
Calculerlestroismomentsd’inertieJx,JyetJzdelamol´eculed’eau par rapportaux axes
passantparle centredemasseG,etorient´esrespectivementsuivant lesvecteursunitaires~ex,
~ey,~ez.
Fairelesapplicationsnum´eriques.
-I.1.5
Onconsid`ereunemol´eculed’eau,enrotation `avitesse angulaire constanteωxautourdel’axe
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CCP Physique 1 PC 2008 — Énoncé 3/10
(Gx)passantparle centredemasse etorient´epar~ex.Donnerl’expression,dansler´ef´erentiel
du centredemasse,del’´energie cin´etiqueEcxassoci´ee `a ce mouvementderotation,enfonc-
tion deωxetdu momentd’inertieJx.
-I.1.6
Donner,danslesmˆemesconditions,l’expression du momentcin´etiqueσxassoci´e`aunevitesse
angulairederotation ωxautourdel’axe(Gx).
En d´eduireunerelation entreEcx,σxetJx.
-I.1.7
Leth´eor`emed’´equipartition del’´energiepr´edit quelavaleurmoyennedel’´energie cin´etique
derotation,not´ee hEcxi,est´egale,pourunetemp´eratureT,`a
hEcxi=kBT
2
Appliquerleth´eor`emed’´equipartition del’´energie`aunemol´eculed’eauen phasevapeur `a
100◦C.
En d´eduirelavaleurnum´eriquedelavitesse angulairequadratiquemoyenneωq=phω2
xi,la
fr´equence fq,ainsiquelap´eriodeτqassoci´ees`a cettevitesse angulaireωq.
I.2Lesrayonnementsmicro-ondes
-I.2.1
Danslevide,un rayonnement´electromagn´etiquedefr´equence fest transport´epardespho-
tonsd’´energieE=hf.
Quelle´energie,enJoule,est transport´ee parun photon defr´equence f=2,45 GHz ?
Quelle est lalongueurd’ondeλd’un rayonnementdefr´equence f=2,45 GHz ?
Peut-on n´egliger,dansun circuit ´electriquedont lesfilsconducteurspr´esententunedizainede
centim`etresdelongueur,leseffetsderetardetdepropagation d’un telsignal?
-I.2.2
Onsait qu’aux fr´equences´elev´ees,le courant´electrique circule au voisinagedelasurface des
conducteursm´etalliques(effetdepeau).Laprofondeurdepeauδ,d´epend dela conductivit´e
γdu mat´eriau d’unepart,delafr´equence du courantf,etdelaperm´eabilit´emagn´etiquedu
videµ0d’autrepart.Trouver,parun raisonnementd’analysedimensionnelle,lad´ependance
delalongueurδ,fonction deγ,fetµ0.
Estimerδdansle casd’un courantdefr´equence f=2,45 GHz,circulantdansdu cuivre.
-I.2.3
Dansun four `amicro-ondes,on supposequetoutelapuissance du fourestconvertie enrayon-
nement´electromagn´etique.Lebutdesquestions suivantesestd’estimerlavaleurdu champ
´electrique~ Er´egnantdansla cavit´edu four.
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CCP Physique 1 PC 2008 — Énoncé 4/10
ezey
ex
Flux incident d’énergie
Section S
Modélisation
Four
Figure I.2
Pourcela,on commence parmod´eliserl’onde´electromagn´etique commeuneondeplanemo-
nochromatiquesepropageantdanslevidesuivant ladirection −~ez(figureI.2)
~
E=ReE0exp2πjft+z
λ~ex
jest lenombreimaginairepurde carr´e-1,etRe{·}d´esignelapartier´eelledesnombrescom-
plexes.
Rappelerl’expression du vecteurdePoynting ~ Πdanslevide.
Quevaut lavaleurmoyennetemporelleh~ Πidu vecteurdePoynting pourl’onde´electro-
magn´etique consid´er´ee ici?
-I.2.4
Pourquellevaleurdu champ´electriqueE0,lapuissance del’onde´electromagn´etiquetraver-
santunesection carr´ee S=0,1m2est-elle´egale`a103W?
-I.2.5
L’application num´eriquedelaquestion I.1.7 nousmontrequelavariation temporelledu champ
´electrique estlentedevant lavitessederotation desmol´eculesd’eau.Le champ´electriquepeut
donc,`al’´echelledelapicoseconde,ˆetre consid´er´e comme constant.Donnerl’expression de
l’´energiepotentielled’interaction entrelemomentdipolaire~ppermanentdelamol´eculed’eau,
et le champ~ E0=E0~expr´ec´edemmentcalcul´e.CalculerenJoule,l’ordredegrandeurde cette
´energiepotentielle.Comparercette´energie`al’´energied’agitation thermiquedesmol´ecules
d’eauen phasevapeur `a100◦C.Conclure.
I.3Absorption du rayonnement´ electromagn´ etique
-I.3.1
Alafr´equence consid´er´ee,levecteurd’ondeket lapulsation ωdel’onde´electromagn´etique
~
E0exp[j(ωt+kz)]ayantp´en´etr´edanslemilieu di´electrique etnon conducteur,v´erifient la
relation :
k2−ǫr(ω)
c2ω2=0
o`ula constantedi´electriquerelativeǫr(ω)estun nombre complexequised´ecompose en
ǫr(ω)=ǫ′(ω)−jǫ′′(ω),avec ǫ′partier´eelle,ǫ′′ partieimaginaire etǫ′′ ≪ǫ′.
Quepeut-on diredelanaturedel’ondedansun telmilieu?
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CCP Physique 1 PC 2008 — Énoncé 5/10
Quelle est la cons´equence physique,pource milieu,du passagedel’onde´electromagn´etique ?
-I.3.2
En 1912,P.Debye a propos´eun mod`eleth´eoriquepourlavariation deǫr(ω)etobtenu,dans
le casdel’eau,l’expression suivante:
ǫr(ω)=1,77 +65,00
1+jωτ
o`uτestun tempsderelaxation,d´ependantdelatemp´eraturedu fluide,etvalant`a60◦C,
τ(60◦C)=4,0×10−12 s.
Donnerl’expression litt´erale,puisl’application num´erique,delapartier´eelleǫ′et imagi-
naire−ǫ′′ dela constantedi´electrique`a60◦C,pouruneondedepulsation
ω=1,54 ×1010 rad.s−1correspondant`alafr´equence de2,45 GHz ci-dessus.
-I.3.3
D´eduiredelarelation dedispersion quelevecteurd’ondekestcomplexe etsemetsousla
formek=k′−jk′′.Donnerl’expression dek′etk′′ enfonction deω,c,ǫ′etǫ′′,enfaisant
l’hypoth`esequek′estgrand devantk′′.
-I.3.4
Quelle´epaisseurd’eauL`a60◦Cl’ondedevrait-elletraverserpourqueson flux d’´energie
soit divis´epar2,dansle cadredu pr´esentmod`ele ?
Remarques:en pratique,lesondesvontˆ etrer´ efl´ echiesun grand nombredefoisparles
bordsm´ etalliquesdelacavit´ edu four.Laconstantedi´ electriqueǫr(ω)d´
epend fortementdela
temp´ erature.Letempsderelaxation τestdu mˆ emeordredegrandeurqueletempsderotation
desmol´ eculesd’eau d´ etermin´ edansla partieI.1.
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