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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/12
2Montrons d’abord qu’une matrice définie positive est positive et inversible.
La matrice A est définie positive si et seulement si, pour toute matrice colonne X
non nulle, tX AX >0. En particulier, Aest une matrice symétrique positive.
De plus, pour tout vecteur Xnon nul, AX est distinct du vecteur nul (sinon tX AX
serait nul). On a donc montré que pour toute matrice colonne X,AX = 0 entraîne
que X = 0. Ainsi, le noyau de Aest réduit au vecteur nul et Aest inversible.
Réciproquement, supposons Apositive et inversible. D’après la question précé-
dente, les valeurs propres de Asont positives ou nulles. Comme Aest inversible,
son noyau est réduit au vecteur nul et 0n’est pas valeur propre de A. Les valeurs
propres de A sont strictement positives.
Soit Xun vecteur propre de A. Il est en particulier non nul. Avec les notations
de la question précédente, tPétant une matrice inversible, Y = tP X n’est pas nul.
Il existe donc un indice ipour lequel yiest non nul. La somme n
P
i=1
λiyi2est alors
strictement positive comme somme de termes positifs ou nuls dont l’un au moins est
non nul. Ceci montre que tX AX est strictement positif pour tout vecteur Xnon nul
et donc que Aest définie positive. En conclusion,
A est définie positive si et seulement si A est positive et inversible.
3D’après la question 1, si A est positive, toutes ses valeurs propres sont positives.
Il existe donc une matrice orthogonale Pet une matrice diagonale Dà éléments
diagonaux positifs telle que
D = tP AP soit A = PD tP
La matrice D s’écrit D = Diag(λ1,...λn)avec les λiréels positifs. On peut définir
une matrice D′
D′=Diag(√λ1,...,√λn)vérifiant D′2= D
On a alors A = PD′2tP
= PD′tP PD′tPcar tP P = In
A = C2en posant C = PD′tP
Dest diagonale et de ce fait tD = D. Ainsi,
tC = ttPtDtP = PD tP = C
et C est symétrique.
Enfin, A étant définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives
d’après la question 2. On en déduit que les valeurs propres √λide C sont stric-
tement positives et, toujours d’après la question 2, il en résulte que Cest définie
positive.
Si A est définie positive, il existe Csymétrique définie positive telle que C2= A.
4Soit Xun élément de Ker (C −√λIn),
CX = √λXdonc C2X = √λCX = λX
Par conséquent AX = λXet X∈Ker (A −λIn)
Il s’ensuit Ker (C −√λIn)⊂Ker (A −λIn)
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