2012 Mathématiques 2 PC

Centrale Maths 2 PC 2012 — Énoncé 1/8
2012
Mathématiques2
PC
4heuresCalculatricesautorisées
Danstoutleproblème, le corpsdebasedesespacesvectorielsestR.Lesmatricesetles systèmeslinéaires sont
àcoefficientsréels.Les suitesetlesfonctions sontàvaleursréelles.
Équations linéaires
Ceproblèmeportesurdesapplicationsdu théorèmedestructuredel’ensembledes solutionsd’une équation
linéaire.
Lesparties sontlargementindépendantes,maislesrésultatsnumériquesdelapartieIsontutilisésdansles
partiesII etIII.
Question préliminaire
SoitEetFdeuxespacesvectoriels surR;soitfuneapplication linéairedeEdansF,etbun élémentdeF.
Quellestructurepossèdel’ensembleSdes solutionsdel’équation f(x)=b?
IPivots
Onvaétudierdanscettepartiedifférentesdéclinaisonsdel’algorithmedu pivot.
I.A–Résolutiond’unsystèmelinéaire: interprétationgraphique
Onconsidèrelesystèmelinéaire
x+y+z=2
x+2y+4z=4
x+3y+9z=8
Afin derésoudre ce système,on autiliséun algorithmedu pivot :eneffectuantdesopérations surleslignes,
on aobtenu uneséquence desystèmeséquivalentsavec deplusen plusde coefficientsnuls.L’objectifestde
résoudrelesystème enaboutissantàun systèmedelaforme
Ix=a
y=b
z=c
où on aannulétouslescoefficientsnon diagonauxdelamatrice du système(lescoefficientsau-dessousdela
diagonaleet lescoefficientsau-dessusdeladiagonale).L’ordre choisipoureffectuerlesopérationsestindiqué
surleschémaquevoici
3 5 =
16=
2 4 =
Chaquenuméroindiqueaprèscombien d’opérationsélémentairesle coefficientcorrespondantaétéannulé.
Chaqueopération élémentaire estdelaformeLi←αLi+βLj(avec αÓ=0)etpermetd’annulerle coefficient
situé enligneietcolonnej.Par exemple, latroisième étapeaétéuneopération élémentairedelaforme
L1←α3L1+β3L2(avec α3Ó=0)quiapermisd’annulerle coefficientplacéàlaposition marquée du chiffre3
surleschéma.
Àchaque étapedel’algorithme,on areprésentépar un schémalestroisplansdeR3correspondantauxéquations
du systèmelinéaire.Ces schémas sontreproduitsenfigure1,dansledésordre.
Reconstituerlesétapesdu calcul, etindiquerquelschémacorrespondàchaque étape.
I.B–Résolutiond’unsystèmelinéaire: interprétationvectorielle
Danscettequestion,on s’intéressedenouveau au système
x+y+z=2
x+2y+4z=4
x+3y+9z=8
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Onconsidèreici lesvecteurscolonnes
u=
1
1
1
,v=
1
2
3
,w=
1
4
9
,t=
2
4
8
Pour résoudrelesystème,on cherchedesréelsx,yetztelsquexu +yv+zw=t.Pourcela, on vaconsidérer
letableau
uvwt
1 1 1 2
1 2 4 4
1 3 9 8
qu’on interprète commeunematrice.On utiliseun algorithmedu pivot surlescolonnes:par desopérations
élémentaires surlescolonnes,on obtientdeszéros àtouslesemplacementsmarquésd’un numérodansleschéma
ci-dessous:
∗∗∗∗
•123
• • 4 5
•••6
Commepourlaquestion précédente,chaquenuméroindiqueaprèscombien d’opérationsélémentairesle co-
efficientcorrespondantaétéannulé.Chaqueopération élémentaire estdelaformeCj←αCj+βCi(avec
αÓ=0).Par exemple, lapremière étapeaétélaréalisation del’opération élémentaireC2←C2−C1,quiafourni
letableau
uv−uwt
1 0 1 2
1 1 4 4
1 2 9 8
LesdeuxdernièresétapesontétédesopérationsélémentairesdelaformeC4←α5C4+β5C2(avec α5Ó=0)
pourl’avant-dernière,etenfin C4←α6C4+β6C3(avec α6Ó=0)pourladernière.
Àchaque étapedel’algorithme,on areprésentésurlafigure2lesquatrevecteurscolonnesindiqués surla
premièrelignedelamatrice.Pourqueledessinsoitplusfacileàinterpréter,surtoutlorsquedeux vecteurs sont
presque colinéaires, lesdroitesengendréespar lesvecteursontétéreprésentéespar un traitfin.Onaégalement
représentélaconstruction géométriquetraduisantl’opération élémentaire, levecteurayantétéremplacéàune
étape étantreprésentépar unelignediscontinue.Lesfigurescorrespondantàchacunedesétapesdelarésolution
sontreprésentéesdansledésordre.
Reconstituerlesétapesdu calcul, etindiquerquellefigure correspondàchaque étape.Expliqueraussioù on lit
lasolution du systèmedansladernièrematrice obtenue.
I.C–Pivots synchronisés
Danscettequestion,on étudieun algorithmepermettantd’obtenirdansun unique calculunebasedu noyau
d’uneapplication linéaire etunebasedeson image.Commel’image estdansl’espaced’arrivée etquelenoyau
estdansl’espacededépart, l’algorithmede calculs’interprète commedeuxpivots synchronisés, l’un avec des
vecteursdel’espacededépart, l’autreavec desvecteursdel’espaced’arrivée.
SoitEetFdeuxespacesvectoriels surRdedimensionsfiniesnetp;soitB=(e1,e2,...,en)unebasedeE,
etCunebasedeF;soitfuneapplication linéairedeEdansFetMsamatrice danslesbasesBetC.On note
Y1,Y2,...,YnlescolonnesdeM.
SoitNletableau formé enajoutantàMlalignesupplémentaire(e1,e2,...,en).Le tableau Ncomportedonc
ncolonnesetp+1lignes, la(p+1)-ièmeligne étant(e1,e2,...,en); lescoefficientsdesppremièreslignes
sontdoncdes scalaires,tandisque ceuxdeladernièrelignesontdesvecteurs.On noteC1,...,Cnlescolonnes
deN.L’algorithmederecherchesimultanée d’unebasedeKer(f)etd’unebasedeIm(f)s’effectuegrâceà
desopérationsélémentaires surlescolonnesdeN.Conformémentàl’usage pourcesalgorithmes,on notera
encoreC1,...,Cnlescolonnesdestableauxobtenusauxdifférentesétapes.On noteraC′
1,...,C′
n, lescolonnes
correspondantauxppremièreslignesdestableauxobtenusauxdifférentesétapesdel’algorithme,etC′′
1,...,C′′
n
lescoefficientsdeladernièrelignede cestableaux(on rappelleque ce sontdesvecteursdeE).Conformément
àl’usage,on identifielesvecteursdeFetleurscolonnesassociéesdanslabaseC.
Exemple—SiE=R3,F=R2,etsifestl’application deR3dansR2dematrice
M=3123
4564
letableau Ns’écrit
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N=3123
4564
!e1e2e3"
Poursimplifier,on lenotera avec un seuljeu deparenthèses,
N=
123
456
e1e2e3
Onaalors
C1=
1
4
e1
,C′
1=31
44,C′′
1=!e1"
La doubleopération élémentaireC2←C2−2C1,C3←C3−3C1conduità
1 0 0
4−3−6
e1e2−2e1e3−3e1
I.C.1) Au départ,quels sontlesliensentreeketYk,pour16k6n?QuereprésententY1,Y2,...,Ynpour
Im(f)?
I.C.2) Aprèschaque étapedel’algorithme,préciserlesliensentreC′
ketC′′ k,pour16k6n.Quereprésentent
C′′
1,...,C′′
npourE?QuereprésententC′
1,...,C′
npourIm(f)?
I.C.3) Àlafin del’algorithme,on obtientun tableau pourlequel lescolonnesC′
1,C′ 2,...,C′
qformentune
matrice échelonnée de colonnesnon nulles,etlescolonnesC′
q+1,C′ q+2,...,C′
nsontnulles.Expliqueroù on lit
unebasedeKer(f)etoù on litunebasedeIm(f).
I.C.4) Exemplesnumériques
En utilisantl’algorithmequel’on vientd’étudier,déterminerunebasedu noyau etunebasedel’image des
endomorphismesf1etf2deR4dontlesmatricesrespectives,danslabase canoniquedeR4sont
−3 0 1 0
0−3 0 1
0 0 0 3/2
2 3 −2/3−2
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 3 3/2
2 3 −2/3 1
II Équationsdifférentiellesetéquationsderécurrence
Danscettepartie,nousallonsexplorersurdesexempleslesliensentre équationsdifférentielleslinéaireset
relationsderécurrence linéaires.
II.A–Questionde coursetexemple élémentaire
II.A.1) Déterminerlenoyau del’application T,deRNdansRNqui, àunesuite(un)n∈N=(u0,u1,u2, . . .)
associelasuite(un+1)n∈N=(u1,u2,u3, . . .).
Soita,betctroisréels,avec aÓ=0.Onconsidèrelarelation derécurrence ∀n∈N,aun+2 +bun+1 +cun=0
II.A.2) Quelle estlastructurealgébriquedel’ensembledes suitesréelles solutionsde cetterécurrence ?Quelle
estsadimension ?Commentfait-on pourdéterminerl’ensembledes suitesréelles(un)n∈Nvérifiantcetterelation
derécurrence ?Quelscas doit-on distinguerpourlarecherchedes suites solutions?
II.A.3) Illustrerlaméthode en déterminantl’ensembleAdes suitesréelles(un)n∈Nvérifiantlarelation de
récurrence ∀n∈N,un+2 +un+1 =0.Onindiqueraladimension del’espacevectorieldes solutions.
II.A.4) OnsupposeaÓ=0.Écrire enMapleou enMathematicaunefonction fdesix variablestelleque,
pourtousa,b,c,d,eréelset toutpentiernaturel, f(a,b,c,d,e,p)soitletermed’ordrep,c’est-à-direup,dela
suiterécurrente(un)définiepar
u0=d
u1=e
∀n∈N,aun+2 +bun+1 +cun=0
Danslasuitede cettepartie,on vaétudieren parallèleun systèmedifférentiel linéaireSDetun système
d’équationsderécurrence SRs’écrivantdefaçon analogue.
Le systèmedifférentielSDacommefonctionsinconnuesdeuxfonctionsréellesxetyde classeC2surR,et
s’écrit
SD:;2x′′ +3y′′ −4x′−6y′−6x−9y=0
−6x′′ −6y′′ +14x′+15y′+12x+18y=0
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Le systèmed’équationsderécurrence SRportesurdeuxsuitesréellesinconnues(un)et(vn),ets’écrit,pour
toutn∈N,
SR:;2un+2 +3vn+2 −4un+1 −6vn+1 −6un−9vn=0
−6un+2 −6vn+2 +14un+1 +15vn+1 +12un+18vn=0
Pourdéterminerles solutionsdeSDetdeSR,on vad’abordtransformerleursécriturespourserameneràdes
systèmeséquivalentsécrits sousformestandard.On note
X=
x
y
x′
y′
,Un=
un
vn
un+1
vn+1
Onaalors
X′=
x′
y′
x′′
y′′
,Un+1 =
un+1
vn+1
un+2
vn+2
Onchercheunematrice carrée Adetaille4×4permettantd’écrireSDetSRsouslaformeX′=AX et
Un+1 =AUn.
II.B–Découplage des systèmesd’équations
En utilisantl’algorithmedu pivot,déterminerun systèmeS′
Dd’équationsdifférentielleséquivalentàSDet
pouvants’écriresouslaformevoulueX′=AX.
Par lamêmeméthode,déterminerun systèmeS′
Rd’équationsderécurrence équivalentàSRetpouvants’écrire
souslaformevoulueUn+1 =AUn.
On pourradiviserlafeuille en deuxcolonnespourtraiteren parallèlelesdeuxsystèmes.Lescalculscommuns
auxdeuxsystèmespourrontalorsn’être effectuésqu’uneseulefois.
II.C–Interprétationdelaréductionmatricielle
OnconsidèreàprésentlesystèmedifférentielS′
D:X′=AX etlesystèmederécurrence S′
R:∀n∈N,
Un+1 =AUn.Onadmettraquelesdimensionsdel’espacevectorieldes solutionsdeS′
Detdel’espacevectoriel
des solutionsdeS′
Rsontégales.
II.C.1) SiλestunevaleurpropreréelledeA,etsiuλestun vecteurpropredeApourlavaleurpropreλ,
justifierquelafonction ϕλ:R→R4,tÔ→ eλtuλestunesolution deS′
D.
Justifieraussiquelasuitevectorielleωλ:N→R4,nÔ→ λnuλestunesolution deS′
R.
II.C.2) SiAestdiagonalisablesurRetsi(uλ,uµ,uν,uξ)estunebasedevecteurspropresassociésrespective-
mentaux valeurspropresλ,µ,νetξ(pas nécessairementdistinctes),quereprésentelafamille(ϕλ,ϕµ,ϕν,ϕξ)
pourl’ensembledes solutionsdeS′
D?Quereprésentelafamille(ωλ,ωµ,ων,ωξ)pourl’ensembledes solutions
deS′
R?
II.D–Résolutionnumérique
II.D.1) Onconsidèreàprésent
A=
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 3 3/2
2 3 −2/3 1
Àl’aide éventuellementdelacalculatrice,calculerlepolynôme caractéristiquedeA,puisdéterminerlesvaleurs
propresde cettematrice,ainsiquedesvecteurspropresassociésàcesvaleurspropres.
II.D.2) En déduirel’ensembledes solutionsdeS′
Detl’ensembledes solutionsdeS′
R.Déterminerenfin les
ensemblesdesolutionsrespectifsdeSDetdeSR.
III Exemple engéométrie
III.A–Nombredezonesdécoupées surune sphèreparncercles
Soitunlenombremaximal de zonesdistinctesdelasphèreunitéquencerclesdistinctstracés surcettesphère
peuventdéterminer.
III.A.1) Combien depointsd’intersection peuventavoirdeuxcerclestracés surlasphèreunité?(Onjustifiera
succinctement.)
III.A.2) Détermineru1,u2etu3.
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Centrale Maths 2 PC 2012 — Énoncé 5/8
III.A.3) Montrerquelasuite(un)n∈Nvérifielarelation derécurrence ∀n∈N∗,un+1 =un+2n.
Considéronsncerclestracés surlasphère.Traçonsun (n+1)-ième cerclesurlasphèrequirencontre
lesncerclesexistantsen délimitantun nombremaximaldezones.En notantplenombredepoints
d’intersection entrele(n+1)-ième cercle etlescerclesprécédemment tracés,on pourraremarquerque
lesarcsdu n+1-ième cercledélimitésparlesppointsd’intersections sontdesfrontièresentredeux
nouvelleszones.
III.B–Étudedes suites(tn)n∈Nvérifiant larelationderécurrence∀n∈N,tn+1 =tn+2n
SoitTl’endomorphismedeRNqui, àtoutesuite(tn)n∈N,associelasuite(tn+1)n∈N.SoitvlasuitedeNdans
Rdéfiniepar vn=2npourtoutn∈N.Soitenfin Φl’endomorphismedeRNdéfinipar Φ=T−Id,où Idest
l’application identitédeRN.
III.B.1) Montrerqu’unesuitet=(tn)vérifielarelation derécurrence ∀n∈N,tn+1 =tn+2nsietseulement
siΦ(t)=v.On noteSl’ensembledes suitesvérifiantcetterelation derécurrence.PréciserlastructuredeS.
III.B.2) Déterminerlenoyau deΦ.
III.B.3) Pourtoutentiernaturelp>0,soitEpl’espacevectorieldes suitesréellespolynomialesdedegré
inférieurou égal àp,c’est-à-direl’ensembledes suites(wn)pourlesquellesil existeun polynômeP,àcoefficients
réelsetdedegréinférieurou égal àp,vérifiantwn=P(n)pourtoutn∈N.
Quelle estladimension deEp?
Vérifierque,pourtoutentierp>0,Epeststablepar Φ.On noteΨplarestriction deΦàEp.
ComparerKer(Ψp)etKer(Φ).
Montrerque,pourtoutp>1,Im(Ψp)=Ep−1.
III.C–Conclusion
Déduiredesquestionsprécédentesqu’il existeun polynômePdedegré62telque,pourtoutentiern>1,on
aitun=P(n).
Écrirelesystèmed’équationsdonnantu1,u2etu3.En déduire,pourtoutn∈N,une expression deunen
fonction den.
IVÉquationsfonctionnelleslinéaires
Danscettepartie,on vad’abordexplorerl’effetdelacomposition desapplications surdesexemples simples
d’équationsfonctionnelles.Onse concentreraensuitesurl’équation fonctionnelle
y(x+1) −y(x)=1
(1+x)2(IV.1)
en utilisantdespropriétéslinéairesenanalyse.
IV.A–Résultats préliminaires
IV.A.1) SoitTl’ensembledesfonctionscontinuesyde]−1,+∞[dansRtellesque,pourtoutx∈]−1,+∞[,
on aity(x+1) −y(x)=1
(1+x)2.QuellestructureTpossède-t-il ?(Onvérifieraleshypothèsesdu théorème
invoqué).
IV.A.2) Quelles sontlesfonctionspériodiquesde]−1,+∞[dansRpossédantunelimite en+∞?
IV.B–Quelqueséquations fonctionnelleslinéairesélémentaires
IV.B.1) Onconsidèrel’équation fonctionnelle
f(x+1) −f(x)=1(IV.2)
Préciserl’ensembleKdesfonctionscontinuesdeRdansRvérifiantl’équation IV.2pourtoutréelx.
IV.B.2) On notelblafonction logarithmebinaire,définiepar lb(x)=ln(x)/ln(2).Soitfunesolution surR
del’équation fonctionnelleIV.2.Déterminerune équation fonctionnellevérifiée par g=f◦lbsur]0,+∞[,ainsi
qu’une équation fonctionnellevérifiée par h=f◦lb◦lnsur]1,+∞[.
Sifestenoutrede classeC1,déterminerune équation fonctionnellevérifiée par lafonction dérivée kdeh.
IV.B.3) Préciserl’ensembleL(resp.M,N)desfonctionscontinuesgde]0,+∞[dansR(resp.hde]1,+∞[
dansR,kde]1,+∞[dansR),tellesque,pourtoutx∈]0,+∞[(resp.]1,+∞[,]1,+∞[),on ait
g(2x)−g(x)=1(IV.3)
h!x2"−h(x)=1(IV.4)
Úx2
x
k=1(IV.5)
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