Mathématiques 2 - Concours Centrale

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2012
Mathématiques 2
PC
4 heures Calculatrices autorisées
Dans tout le problème, le corps de base des espaces vectoriels est R. Les matrices et les systèmes linéaires sont
à coefficients réels. Les suites et les fonctions sont à valeurs réelles.
Équations linéaires
Ce problème porte sur des applications du théorème de structure de l’ensemble des solutions d’une équation
linéaire.
Les parties sont largement indépendantes, mais les résultats numériques de la partie Isont utilisés dans les
parties II et III.
Question préliminaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels sur R; soit fune application linéaire de Edans F, et bun élément de F.
Quelle structure possède l’ensemble Sdes solutions de l’équation f(x) = b?
I Pivots
On va étudier dans cette partie différentes déclinaisons de l’algorithme du pivot.
I.A – Résolution d’un système linéaire : interprétation graphique
On considère le système linéaire
x+y+z= 2
x+ 2y+ 4z= 4
x+ 3y+ 9z= 8
Afin de résoudre ce système, on a utilisé un algorithme du pivot : en effectuant des opérations sur les lignes,
on a obtenu une séquence de systèmes équivalents avec de plus en plus de coefficients nuls. L’objectif est de
résoudre le système en aboutissant à un système de la forme
(x=a
y=b
z=c
où on a annulé tous les coefficients non diagonaux de la matrice du système (les coefficients au-dessous de la
diagonale et les coefficients au-dessus de la diagonale). L’ordre choisi pour effectuer les opérations est indiqué
sur le schéma que voici
3 5 = 
16 = 
2 4 =
Chaque numéro indique après combien d’opérations élémentaires le coefficient correspondant a été annulé.
Chaque opération élémentaire est de la forme Li←αLi+βLj(avec α6= 0) et permet d’annuler le coefficient
situé en ligne iet colonne j. Par exemple, la troisième étape a été une opération élémentaire de la forme
L1←α3L1+β3L2(avec α36= 0) qui a permis d’annuler le coefficient placé à la position marquée du chiffre 3
sur le schéma.
À chaque étape de l’algorithme, on a représenté par un schéma les trois plans de R3correspondant aux équations
du système linéaire. Ces schémas sont reproduits en figure 1, dans le désordre.
Reconstituer les étapes du calcul, et indiquer quel schéma correspond à chaque étape.
I.B – Résolution d’un système linéaire : interprétation vectorielle
Dans cette question, on s’intéresse de nouveau au système
x+y+z= 2
x+ 2y+ 4z= 4
x+ 3y+ 9z= 8

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On considère ici les vecteurs colonnes
u=
1
1
1
, v =
1
2
3
, w =
1
4
9
, t =
2
4
8
Pour résoudre le système, on cherche des réels x,yet ztels que xu +yv +zw =t. Pour cela, on va considérer
le tableau
u v w t
1 1 1 2
1 2 4 4
1 3 9 8
qu’on interprète comme une matrice. On utilise un algorithme du pivot sur les colonnes : par des opérations
élémentaires sur les colonnes, on obtient des zéros à tous les emplacements marqués d’un numéro dans le schéma
ci-dessous :
∗∗∗∗
•123
• • 4 5
•••6
Comme pour la question précédente, chaque numéro indique après combien d’opérations élémentaires le co-
efficient correspondant a été annulé. Chaque opération élémentaire est de la forme Cj←αCj+βCi(avec
α6= 0).Par exemple, la première étape a été la réalisation de l’opération élémentaire C2←C2−C1, qui a fourni
le tableau
u v −u w t
1 0 1 2
1 1 4 4
1 2 9 8
Les deux dernières étapes ont été des opérations élémentaires de la forme C4←α5C4+β5C2(avec α56= 0)
pour l’avant-dernière, et enfin C4←α6C4+β6C3(avec α66= 0) pour la dernière.
À chaque étape de l’algorithme, on a représenté sur la figure 2 les quatre vecteurs colonnes indiqués sur la
première ligne de la matrice. Pour que le dessin soit plus facile à interpréter, surtout lorsque deux vecteurs sont
presque colinéaires, les droites engendrées par les vecteurs ont été représentées par un trait fin. On a également
représenté la construction géométrique traduisant l’opération élémentaire, le vecteur ayant été remplacé à une
étape étant représenté par une ligne discontinue. Les figures correspondant à chacune des étapes de la résolution
sont représentées dans le désordre.
Reconstituer les étapes du calcul, et indiquer quelle figure correspond à chaque étape. Expliquer aussi où on lit
la solution du système dans la dernière matrice obtenue.
I.C – Pivots synchronisés
Dans cette question, on étudie un algorithme permettant d’obtenir dans un unique calcul une base du noyau
d’une application linéaire et une base de son image. Comme l’image est dans l’espace d’arrivée et que le noyau
est dans l’espace de départ, l’algorithme de calcul s’interprète comme deux pivots synchronisés, l’un avec des
vecteurs de l’espace de départ, l’autre avec des vecteurs de l’espace d’arrivée.
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels sur Rde dimensions finies net p; soit B= (e1, e2, . . . , en)une base de E,
et Cune base de F; soit fune application linéaire de Edans Fet Msa matrice dans les bases Bet C. On note
Y1, Y2, . . . , Ynles colonnes de M.
Soit Nle tableau formé en ajoutant à Mla ligne supplémentaire (e1, e2, . . . , en). Le tableau Ncomporte donc
ncolonnes et p+ 1 lignes, la (p+ 1)-ième ligne étant (e1, e2, . . . , en); les coefficients des ppremières lignes
sont donc des scalaires, tandis que ceux de la dernière ligne sont des vecteurs. On note C1, . . . , Cnles colonnes
de N. L’algorithme de recherche simultanée d’une base de Ker(f)et d’une base de Im(f)s’effectue grâce à
des opérations élémentaires sur les colonnes de N. Conformément à l’usage pour ces algorithmes, on notera
encore C1, . . . , Cnles colonnes des tableaux obtenus aux différentes étapes. On notera C0
1, . . . , C0
n, les colonnes
correspondant aux ppremières lignes des tableaux obtenus aux différentes étapes de l’algorithme, et C00
1, . . . , C00
n
les coefficients de la dernière ligne de ces tableaux (on rappelle que ce sont des vecteurs de E). Conformément
à l’usage, on identifie les vecteurs de Fet leurs colonnes associées dans la base C.
Exemple — Si E=R3,F=R2, et si fest l’application de R3dans R2de matrice
M=123
456
le tableau Ns’écrit

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N=123
456
e1e2e3
Pour simplifier, on le notera avec un seul jeu de parenthèses,
N=
123
456
e1e2e3
On a alors
C1=
1
4
e1
, C0
1=1
4, C00
1=e1
La double opération élémentaire C2←C2−2C1, C3←C3−3C1conduit à
1 0 0
4−3−6
e1e2−2e1e3−3e1
I.C.1) Au départ, quels sont les liens entre eket Yk, pour 16k6n? Que représentent Y1,Y2, . . . , Ynpour
Im(f)?
I.C.2) Après chaque étape de l’algorithme, préciser les liens entre C0
ket C00 k, pour 16k6n. Que représentent
C00
1, . . . , C00
npour E? Que représentent C0
1, . . . , C0
npour Im(f)?
I.C.3) À la fin de l’algorithme, on obtient un tableau pour lequel les colonnes C0
1,C0 2, . . . , C0
qforment une
matrice échelonnée de colonnes non nulles, et les colonnes C0
q+1,C0 q+2, . . . , C0
nsont nulles. Expliquer où on lit
une base de Ker(f)et où on lit une base de Im(f).
I.C.4) Exemples numériques
En utilisant l’algorithme que l’on vient d’étudier, déterminer une base du noyau et une base de l’image des
endomorphismes f1et f2de R4dont les matrices respectives, dans la base canonique de R4sont
−3 0 1 0
0−3 0 1
0 0 0 3/2
2 3 −2/3−2
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 3 3/2
2 3 −2/3 1
II Équations différentielles et équations de récurrence
Dans cette partie, nous allons explorer sur des exemples les liens entre équations différentielles linéaires et
relations de récurrence linéaires.
II.A – Question de cours et exemple élémentaire
II.A.1) Déterminer le noyau de l’application T, de RNdans RNqui, à une suite (un)n∈N= (u0, u1, u2, . . .)
associe la suite (un+1)n∈N= (u1, u2, u3, . . .).
Soit a,bet ctrois réels, avec a6= 0. On considère la relation de récurrence ∀n∈N, aun+2 +bun+1 +cun= 0
II.A.2) Quelle est la structure algébrique de l’ensemble des suites réelles solutions de cette récurrence ? Quelle
est sa dimension ? Comment fait-on pour déterminer l’ensemble des suites réelles (un)n∈Nvérifiant cette relation
de récurrence ? Quels cas doit-on distinguer pour la recherche des suites solutions ?
II.A.3) Illustrer la méthode en déterminant l’ensemble Ades suites réelles (un)n∈Nvérifiant la relation de
récurrence ∀n∈N, un+2 +un+1 = 0. On indiquera la dimension de l’espace vectoriel des solutions.
II.A.4) On suppose a6= 0. Écrire en Maple ou en Mathematica une fonction fde six variables telle que,
pour tous a,b,c,d,eréels et tout pentier naturel, f(a, b, c, d, e, p)soit le terme d’ordre p, c’est-à-dire up, de la
suite récurrente (un)définie par
u0=d
u1=e
∀n∈N, aun+2 +bun+1 +cun= 0
Dans la suite de cette partie, on va étudier en parallèle un système différentiel linéaire SDet un système
d’équations de récurrence SRs’écrivant de façon analogue.
Le système différentiel SDa comme fonctions inconnues deux fonctions réelles xet yde classe C2sur R, et
s’écrit
SD:2x00 + 3y00 −4x0−6y0−6x−9y= 0
−6x00 −6y00 + 14x0+ 15y0+ 12x+ 18y= 0

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Le système d’équations de récurrence SRporte sur deux suites réelles inconnues (un)et (vn), et s’écrit, pour
tout n∈N,
SR:2un+2 + 3vn+2 −4un+1 −6vn+1 −6un−9vn= 0
−6un+2 −6vn+2 + 14un+1 + 15vn+1 + 12un+ 18vn= 0
Pour déterminer les solutions de SDet de SR, on va d’abord transformer leurs écritures pour se ramener à des
systèmes équivalents écrits sous forme standard. On note
X=
x
y
x0
y0
, Un=
un
vn
un+1
vn+1
On a alors
X0=
x0
y0
x00
y00
, Un+1 =
un+1
vn+1
un+2
vn+2
On cherche une matrice carrée Ade taille 4×4permettant d’écrire SDet SRsous la forme X0=AX et
Un+1 =AUn.
II.B – Découplage des systèmes d’équations
En utilisant l’algorithme du pivot, déterminer un système S0
Dd’équations différentielles équivalent à SDet
pouvant s’écrire sous la forme voulue X0=AX.
Par la même méthode, déterminer un système S0
Rd’équations de récurrence équivalent à SRet pouvant s’écrire
sous la forme voulue Un+1 =AUn.
On pourra diviser la feuille en deux colonnes pour traiter en parallèle les deux systèmes. Les calculs communs
aux deux systèmes pourront alors n’être effectués qu’une seule fois.
II.C – Interprétation de la réduction matricielle
On considère à présent le système différentiel S0
D:X0=AX et le système de récurrence S0 R:∀n∈N,
Un+1 =AUn. On admettra que les dimensions de l’espace vectoriel des solutions de S0
Det de l’espace vectoriel
des solutions de S0
Rsont égales.
II.C.1) Si λest une valeur propre réelle de A, et si uλest un vecteur propre de Apour la valeur propre λ,
justifier que la fonction ϕλ:R→R4,t7→ eλtuλest une solution de S0
D.
Justifier aussi que la suite vectorielle ωλ:N→R4,n7→ λnuλest une solution de S0
R.
II.C.2) Si Aest diagonalisable sur Ret si (uλ, uµ, uν, uξ)est une base de vecteurs propres associés respective-
ment aux valeurs propres λ,µ,νet ξ(pas nécessairement distinctes), que représente la famille (ϕλ, ϕµ, ϕν, ϕξ)
pour l’ensemble des solutions de S0
D? Que représente la famille (ωλ, ωµ, ων, ωξ)pour l’ensemble des solutions
de S0
R?
II.D – Résolution numérique
II.D.1) On considère à présent
A=
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 3 3/2
2 3 −2/3 1
À l’aide éventuellement de la calculatrice, calculer le polynôme caractéristique de A, puis déterminer les valeurs
propres de cette matrice, ainsi que des vecteurs propres associés à ces valeurs propres.
II.D.2) En déduire l’ensemble des solutions de S0
Det l’ensemble des solutions de S0 R. Déterminer enfin les
ensembles de solutions respectifs de SDet de SR.
III Exemple en géométrie
III.A – Nombre de zones découpées sur une sphère par ncercles
Soit unle nombre maximal de zones distinctes de la sphère unité que ncercles distincts tracés sur cette sphère
peuvent déterminer.
III.A.1) Combien de points d’intersection peuvent avoir deux cercles tracés sur la sphère unité ? (On justifiera
succinctement.)
III.A.2) Déterminer u1,u2et u3.

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III.A.3) Montrer que la suite (un)n∈Nvérifie la relation de récurrence ∀n∈N∗, un+1 =un+ 2n.
Considérons ncercles tracés sur la sphère. Traçons un (n+ 1)-ième cercle sur la sphère qui rencontre
les ncercles existants en délimitant un nombre maximal de zones. En notant ple nombre de points
d’intersection entre le (n+ 1)-ième cercle et les cercles précédemment tracés, on pourra remarquer que
les arcs du n+ 1-ième cercle délimités par les ppoints d’intersections sont des frontières entre deux
nouvelles zones.
III.B – Étude des suites (tn)n∈Nvérifiant la relation de récurrence ∀n∈N, tn+1 =tn+ 2n
Soit Tl’endomorphisme de RNqui, à toute suite (tn)n∈N, associe la suite (tn+1)n∈N. Soit vla suite de Ndans
Rdéfinie par vn= 2npour tout n∈N. Soit enfin Φl’endomorphisme de RNdéfini par Φ = T−Id, où Id est
l’application identité de RN.
III.B.1) Montrer qu’une suite t= (tn)vérifie la relation de récurrence ∀n∈N, tn+1 =tn+ 2nsi et seulement
si Φ(t) = v. On note Sl’ensemble des suites vérifiant cette relation de récurrence. Préciser la structure de S.
III.B.2) Déterminer le noyau de Φ.
III.B.3) Pour tout entier naturel p > 0, soit Epl’espace vectoriel des suites réelles polynomiales de degré
inférieur ou égal à p, c’est-à-dire l’ensemble des suites (wn)pour lesquelles il existe un polynôme P, à coefficients
réels et de degré inférieur ou égal à p, vérifiant wn=P(n)pour tout n∈N.
Quelle est la dimension de Ep?
Vérifier que, pour tout entier p > 0,Epest stable par Φ. On note Ψpla restriction de ΦàEp.
Comparer Ker (Ψp)et Ker(Φ).
Montrer que, pour tout p > 1, Im (Ψp) = Ep−1.
III.C – Conclusion
Déduire des questions précédentes qu’il existe un polynôme Pde degré 62tel que, pour tout entier n>1, on
ait un=P(n).
Écrire le système d’équations donnant u1,u2et u3. En déduire, pour tout n∈N, une expression de unen
fonction de n.
IV Équations fonctionnelles linéaires
Dans cette partie, on va d’abord explorer l’effet de la composition des applications sur des exemples simples
d’équations fonctionnelles. On se concentrera ensuite sur l’équation fonctionnelle
y(x+ 1) −y(x) = 1
(1 + x)2(IV.1)
en utilisant des propriétés linéaires en analyse.
IV.A – Résultats préliminaires
IV.A.1) Soit Tl’ensemble des fonctions continues yde ]−1,+∞[dans Rtelles que, pour tout x∈]−1,+∞[,
on ait y(x+ 1) −y(x) = 1
(1 + x)2. Quelle structure Tpossède-t-il ? (On vérifiera les hypothèses du théorème
invoqué).
IV.A.2) Quelles sont les fonctions périodiques de ]−1,+∞[dans Rpossédant une limite en +∞?
IV.B – Quelques équations fonctionnelles linéaires élémentaires
IV.B.1) On considère l’équation fonctionnelle
f(x+ 1) −f(x)=1 (IV.2)
Préciser l’ensemble Kdes fonctions continues de Rdans Rvérifiant l’équation IV.2 pour tout réel x.
IV.B.2) On note lb la fonction logarithme binaire, définie par lb(x) = ln(x)/ln(2). Soit fune solution sur R
de l’équation fonctionnelle IV.2. Déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par g=f◦lb sur ]0,+∞[, ainsi
qu’une équation fonctionnelle vérifiée par h=f◦lb ◦ln sur ]1,+∞[.
Si fest en outre de classe C1, déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction dérivée kde h.
IV.B.3) Préciser l’ensemble L(resp. M,N) des fonctions continues gde ]0,+∞[dans R(resp. hde ]1,+∞[
dans R,kde ]1,+∞[dans R), telles que, pour tout x∈]0,+∞[(resp. ]1,+∞[,]1,+∞[), on ait
g(2x)−g(x)=1 (IV.3)
hx2−h(x)=1 (IV.4)
Zx2
x
k= 1 (IV.5)