4 mai 2012 09:26 Page 5/8
III.A.3) Montrer que la suite (un)n∈Nvérifie la relation de récurrence ∀n∈N∗, un+1 =un+ 2n.
Considérons ncercles tracés sur la sphère. Traçons un (n+ 1)-ième cercle sur la sphère qui rencontre
les ncercles existants en délimitant un nombre maximal de zones. En notant ple nombre de points
d’intersection entre le (n+ 1)-ième cercle et les cercles précédemment tracés, on pourra remarquer que
les arcs du n+ 1-ième cercle délimités par les ppoints d’intersections sont des frontières entre deux
nouvelles zones.
III.B – Étude des suites (tn)n∈Nvérifiant la relation de récurrence ∀n∈N, tn+1 =tn+ 2n
Soit Tl’endomorphisme de RNqui, à toute suite (tn)n∈N, associe la suite (tn+1)n∈N. Soit vla suite de Ndans
Rdéfinie par vn= 2npour tout n∈N. Soit enfin Φl’endomorphisme de RNdéfini par Φ = T−Id, où Id est
l’application identité de RN.
III.B.1) Montrer qu’une suite t= (tn)vérifie la relation de récurrence ∀n∈N, tn+1 =tn+ 2nsi et seulement
si Φ(t) = v. On note Sl’ensemble des suites vérifiant cette relation de récurrence. Préciser la structure de S.
III.B.2) Déterminer le noyau de Φ.
III.B.3) Pour tout entier naturel p > 0, soit Epl’espace vectoriel des suites réelles polynomiales de degré
inférieur ou égal à p, c’est-à-dire l’ensemble des suites (wn)pour lesquelles il existe un polynôme P, à coefficients
réels et de degré inférieur ou égal à p, vérifiant wn=P(n)pour tout n∈N.
Quelle est la dimension de Ep?
Vérifier que, pour tout entier p > 0,Epest stable par Φ. On note Ψpla restriction de ΦàEp.
Comparer Ker (Ψp)et Ker(Φ).
Montrer que, pour tout p > 1, Im (Ψp) = Ep−1.
III.C – Conclusion
Déduire des questions précédentes qu’il existe un polynôme Pde degré 62tel que, pour tout entier n>1, on
ait un=P(n).
Écrire le système d’équations donnant u1,u2et u3. En déduire, pour tout n∈N, une expression de unen
fonction de n.
IV Équations fonctionnelles linéaires
Dans cette partie, on va d’abord explorer l’effet de la composition des applications sur des exemples simples
d’équations fonctionnelles. On se concentrera ensuite sur l’équation fonctionnelle
y(x+ 1) −y(x) = 1
(1 + x)2(IV.1)
en utilisant des propriétés linéaires en analyse.
IV.A – Résultats préliminaires
IV.A.1) Soit Tl’ensemble des fonctions continues yde ]−1,+∞[dans Rtelles que, pour tout x∈]−1,+∞[,
on ait y(x+ 1) −y(x) = 1
(1 + x)2. Quelle structure Tpossède-t-il ? (On vérifiera les hypothèses du théorème
invoqué).
IV.A.2) Quelles sont les fonctions périodiques de ]−1,+∞[dans Rpossédant une limite en +∞?
IV.B – Quelques équations fonctionnelles linéaires élémentaires
IV.B.1) On considère l’équation fonctionnelle
f(x+ 1) −f(x)=1 (IV.2)
Préciser l’ensemble Kdes fonctions continues de Rdans Rvérifiant l’équation IV.2 pour tout réel x.
IV.B.2) On note lb la fonction logarithme binaire, définie par lb(x) = ln(x)/ln(2). Soit fune solution sur R
de l’équation fonctionnelle IV.2. Déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par g=f◦lb sur ]0,+∞[, ainsi
qu’une équation fonctionnelle vérifiée par h=f◦lb ◦ln sur ]1,+∞[.
Si fest en outre de classe C1, déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction dérivée kde h.
IV.B.3) Préciser l’ensemble L(resp. M,N) des fonctions continues gde ]0,+∞[dans R(resp. hde ]1,+∞[
dans R,kde ]1,+∞[dans R), telles que, pour tout x∈]0,+∞[(resp. ]1,+∞[,]1,+∞[), on ait
g(2x)−g(x)=1 (IV.3)
hx2−h(x)=1 (IV.4)
Zx2
x
k= 1 (IV.5)