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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2010
DEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
⋆ ⋆ ⋆
Surles sous-groupesfinisdeGL2(C)
Lebutde ce problème estde caractériserles sous-groupesfinisdeGL2(C)
ne contenantpasd’homothétieautrequel’identité.
Notationsetconventions
SoitGun groupefini(notémultiplicativement) de cardinal|G|.On note1Gl’unitédeG.On
rappellequetoutélémentgdeGvérifieg|G|=1Getonadmetquesipestun nombrepremier
quidivise|G|,alorsil existeg∈G\ {1G}telquegp=1G.
SiEestun C-espace vectorieldedimensionfinie,on noteGL(E)legroupedesendomor-
phismesinversiblesdeEetIdEl’identitédeE.Siϕun endomorphismedeE,on noteTr(ϕ)la
trace deϕetdet(ϕ)son déterminant.
SiGestun sous-groupefinideGL(E),etVun sous-espace vectorieldeE,on noteVG
l’ensembledesvecteursfixésparG:VG={v∈V|∀g∈G,g(v)=v}.On ditqueVeststable
parGsiquelsquesoientg∈G,v∈V,onag(v)∈Veton ditqueEestirréductiblepourG
sises seuls sous-espaces stablesparGsontEet{0}.
On noteMn(C)l’espace desmatricescarréesdetaillenàcoefficientscomplexesetGLn(C)
legroupedesmatricesinversiblesdansMn(C).
On noteDnlesous-groupedeGL2(C)à2nélémentsformédesmatricesÇck0
0c−kået
Ç0−ck
−c−k0å,oùkestun entiercomprisentre0etn−1etc=e2iπ/n(on nedemandepasde
vérifierqueDnestun groupe).
I–Sous-groupesfinisdeGL(E)
1.SoitEun C-espace vectorieldedimensionfinie etsoitGun sous-groupefinideGL(E).
Démontrerque,pour toutg∈G,gestdiagonalisable etque,siGestcommutatif,tousles
élémentsdeGsontdiagonalisablesdansunemêmebase.
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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 2/4
II –Isométriesdu triangle
2.Onseplace dansleplaneuclidien,munid’un repèreorthonormé centré enO.Ons’inté-
resseausous-groupe‹ D3desisométriesdu planquipréserventun triangle équilatéralABCde
centreO.
2a.Fairel’inventairedesélémentsde‹ D3etdémontrerque‹
D3estde cardinal6.
2b.Enseplaçantdanslabase(nonorthonormée) (−→ OA,−→ OB),démontrerquelegroupe‹ D3
estisomorpheàun sous-groupedeGL2(C)formédematricesÇab
cdåoùa,b,c,dsontdans
{−1,0,1}.
2c.DiagonaliserdansClamatrice Ç0−1
1−1å.En déduirequelegroupe‹
D3estisomorpheau
groupeD3.
III –LemmedeSchur
NotonsA=Mn(C)etE=Cn.NotonsInlamatrice identitédeMn(C).Onappelle
homothétieunematrice delaformeλIn,λ∈C.SoitGun sous-groupefinideGLn(C).Pour
toutB∈G,on notei(B)l’application:
i(B):(A−→A
M7→ BMB−1.
3.Montrerquei:B7→ i(B)estun morphismedegroupesdeGdansGL(A),etqueiest
injectifsietseulementsiGne contientpasd’homothétiesautresquel’identité.
On note‹ Gl’imageparideGetAe
Gl’ensembledesmatricesM∈Atellesquei(B)(M)=M
pour toutBdansG.
4.SoitM∈Ae
G.DémontrerqueKer(M)etIm(M)sontdes sous-espaces stablesparG.
5.OnsupposequeEestirréductiblepourG.SoitM∈Ae
G,démontrerqueMestsoitnulle,
soitinversible.En déduirequeAe
Gestdedimension1.
6.SoientM,N∈A.Onconsidèrel’endomorphismedeAsuivant,Φ:X7→ MXN.
DémontrerqueTr(Φ)=Tr(M)Tr(N).
7.SoitP=1
|G|X
B∈G
B.
7a.DémontrerqueP2=P.En déduirequePestdiagonalisable.
7b.DémontrerqueIm(P)=EGeten déduirequedim(EG)=1
|G|X
B∈G
Tr(B).
8.Démontrerquedim(Ae
G)=1
|G|X
B∈G
Tr(B−1)Tr(B).
(On pourraconsidérerd’abordle casoùiestinjectif.)
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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 3/4
On suppose,jusqu’àlafin decettepartie,queEestirréductiblepourG.
9a.SoitXdansAunematrice quicommuteavec touteslesmatricesdeG.Démontrerque
X=1
nTr(X)In.
9b.SoitY=X
B∈G
Tr(B−1)B.DémontrerqueY=|G|
nIn.
10.OngardelanotationYjusqu’àlafin de cettepartie.Soitζ=e2iπ/|G|.On note
ZG={a0ζ0+a1ζ1+···+a|G|−1ζ|G|−1,ai∈Z}
etZG[G]lescombinaisonslinéaires,àcoefficientsdansZG,dematricesdeG.
10a.Démontrerquepour toutB∈G,Tr(B)estdansZG,puisqueYestdansZG[G].
10b.On note(Ck)1≤k≤|G|2les|G|2matricesζiB(où1≤i≤|G|etB∈G)deZG[G].
Démontrerquepour tous1≤k≤|G|2,on peut trouverdescoefficients(aij)1≤i,j≤|G|2dansZ
telsqueYCk=X
1≤ℓ≤|G|2
aℓkCℓ.
10c.On poseA=(aij)1≤i,j≤|G|2etR=|G|
nI|G|2−A.Démontrerquedet(R)=0.
10d.Démontrerque|G|
nest racined’un polynômeàcoefficientsdansZdedegré|G|2etde
termedominantégalà1.En déduirequendivise|G|.
IV-Unecaractérisation deDn,nimpair
SoitGun sous-groupefinideGL2(C).Notonsh.,.ileproduitscalairehermitien usuelsur
C2,etposonspour toutv,w∈C2
hv,wi0=1
|G|X
B∈G
hB(v),B(w)i.
11a.Montrerqueh.,.i0estun produitscalairehermitiensurC2,vérifiantquelsquesoient
v,w∈C2etB∈G,hB(v),B(w)i0=hv,wi0.
11b.DémontrerquesiC2n’estpasirréductiblepourG, il existeunebaseorthogonalede
C2pourleproduitscalairehermitienh.,.i0quidiagonaliselesmatricesdeG.En déduirequeG
estcommutatif.
12a.On noteSL2(C)lesous-groupedeGL2(C)desmatricesdedéterminant1.Quels sont
lesmatricesB∈SL2(C)tellesqueB2=I2?
12b.DémontrerquesiG⊂SL2(C)estnoncommutatif,alors|G|estpair.En déduireque
−I2∈G.(Utiliserlesrappelsdu préambule.)
On supposeparlasuitequeGestun sousgroupefinideGL2(C)necontenant
aucunehomothétieautrequel’identité.On noteG0=G∩SL2(C)
13a.DémontrerqueG0estcommutatif.En déduirequ’il existePdansGL2(C)etun sous-
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X Maths 2 MP 2010 — Énoncé 4/4
groupeΓ0deGL2(C)formédematricesdiagonalesdelaformeÇλ0
0λ−1åtelsqueB7→ PBP−1
soitun isomorphismedeG0surΓ0.
13b.Démontrerqu’il existeun entiermtelqueΓ0soitlegroupeZmdesmatricesÇck0
0c−kå
oùc=e2iπ/metkprend lesvaleursde0àm−1.
13c.SiG0={I2}démontrerqu’alorsGestcommutatif(considérerlemorphismedegroupe
det:G→C∗).
On supposedanslesquestions14 et15 queGn’estpascommutatifetqueG0est
exactementlegroupeZm.
14.SoitB0unematrice dansGquin’estpasdiagonale.
14a.Démontrerquepour toutC∈ZmonaB0CB−1
0∈Zm.En déduirequeB0estdela
formeB0=Ç0b
b′0åavec b,b′∈C.
14b.CalculerB2
0eten déduirequeb′=b−1.
14c.Montrerqu’il existeQ∈GL2(C)diagonaletellequeQB0Q−1=Ç0−1
−1 0 å.
15a.SoitBunematrice diagonaledansG.MontrerqueB∈Zm.
15b.MontrerqueB7→ QBQ−1estun isomorphismedeGsurlegroupeDm.
16.SoitGun sous-groupefinicommutatifdeGL2(C)quine contientpasd’homothétieautre
quel’identité.
16a.Montrerqu’il existeunematrice P∈GL2(C)etdeuxmorphismesdegroupes
χ1,χ2:G→C∗telsquetoutematrice deGs’écriveB=PÇχ1(B)0
0χ2(B)åP−1.
16b.MontrerqueB7→ χ1(B)χ2(B)−1estun isomorphismedeGdanslegroupedesracines
|G|-ièmesdel’unité.
16c.MontrerqueGestlegroupedesmatricesdelaformePÇck0
0dkåP−1,kvariantde0
à|G|−1,oùl’onaposéc=e2iπp/|G|etd=e2iπq/|G|,petqétantdeuxentierstelsquep−qest
premieravec |G|.
17.Décrireàpartirdesquestionsprécédentestousles sous-groupesfinisdeGL2(C)ne
contenantpasd’homothétieautrequel’identité.
18.MontrerquelegroupefinicommutatifZ/2Z×Z/2Z×Z/2Znepeutpasêtreisomorphe
àun sous-groupedeGL2(C).
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