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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/15
X Maths 2 MP 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Walter Appel (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
L’objet du problème est clairement annoncé en préambule dans l’énoncé : il s’agit
d’étudier deux caractéristiques classiques que l’on peut définir sur des surfaces de R3,
la courbure moyenne et la courbure totale.
•La première partie introduit rigoureusement quelques notions concernant des
hypersurfaces de dimension nde Rn+1. Les deux premières questions concer-
nent la définition du produit vectoriel de nvecteurs dans Rn+1. Cet objet est
utilisé, dans les questions suivantes, pour définir convenablement la normale à
une hypersurface paramétrée.
•La deuxième partie revient aux surfaces paramétrées de R3. On y définit la
courbure moyenne et la courbure totale ; suivent quelques exemples, dans les-
quels des calculs sont effectués sur des cylindres et des surfaces de révolution.
•La dernière partie consiste à montrer que les notions de courbure moyenne et
de courbure totale sont invariantes par changement de paramétrage.
Ce problème est assez classique dans sa problématique globale, et correspond
globalement à un chapitre d’un cours de niveau première année de master de
géométrie différentielle. Le fait de rendre un tel sujet accessible à des élèves de classe
préparatoire est une démarche classique des sujets de l’École polytechnique. Remar-
quons également qu’il est possible de traiter la quasi-totalité du sujet sans comprendre
vraiment la problématique.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/15
Indications
Première partie
1.a Reconnaître dans le produit scalaire de Vavec eile déterminant d’un
(n+ 1)-uplet de vecteurs contenant deux fois ei.
1.c Développer le déterminant par rapport à sa première colonne.
2.b Utiliser la caractérisation de Wétablie à la question 2.a.
3.a Vérifier que Q = tP P, où Pest la matrice ayant pour vecteurs colonnes les ei.
3.b Exprimer (v|ej)en fonction des qij et des ei, puis ramener les égalités obtenues
à une seule égalité matricielle.
4.b Reconnaître, dans la somme des deux termes, la dérivée partielle par rapport
à la kevariable d’une fonction.
4.d Appliquer la question 3.b avec v= (∂jW)(u)et ei= (∂iF)(u).
Deuxième partie
5 Utiliser le fait que Rest une application linéaire (ce qui permet de faire facile-
ment les calculs de dérivées partielles de composées).
6.a Effectuer les calculs de S(0) et Q(0). Compte tenu des hypothèses faites,
on trouve
A(0) = r s
s t
7.a Calculer le produit vectoriel de (∂1F)(u)avec (∂2F)(u).
7.c Penser aux fonctions de trigonométrie hyperbolique.
7.d Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
8 Tenter une extrapolation de ce que l’on connaît sur les courbes du plan à cour-
bure constante.
Troisième partie
9 Revenir strictement à la définition des ai,j (u)(question 4.c).
10.a La composition des différentielles s’écrit : ∂e
F
∂eu=∂F ∂u
∂Ψ
∂eu. Pour la suite, prendre
les déterminants des matrices 2×2extraites de chaque membre dans l’égalité
précédente.
10.b Utiliser le résultat de la question 10.a.
10.c Vérifier que l’égalité à la question 9 caractérise la matrice A, et utiliser cette
caractérisation.
10.d Nécessite le résultat de la question précédente.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/15
Première partie
Notation : étant donnée une famille (y0, y1,...,yn)de n+ 1 vecteurs de Rn+1,
on notera tout au long de corrigé [y0, y1,...,yn]le déterminant de cette famille de
vecteurs dans la base canonique de Rn+1.
1.a Soit i∈[[ 1 ; n]]. On a (V|x(i)) =
n+1
P
k=1
Vkx(i)
k
On reconnaît dans cette expression le développement par rapport à la première
colonne de x(i), x(1), x(2), x(3),...,x(n). On y trouve deux fois le vecteur (x(i)).
En conséquence, (V|x(i)) = [x(i), x(1), x(2),...,x(n)] = 0 et donc
Vest orthogonal à tous les x(i).
1.b Montrons que les deux conditions (i) et (ii) sont équivalentes en raisonnant
par équivalences successives :
V = 0 ;
⇐⇒ Vj= 0 pour tout j;
⇐⇒ chaque déterminant de taille n×nextrait de la matrice (x(i)
j)16j6n+1
16i6n
,
c’est-à-dire obtenu en enlevant une ligne, est nul ;
⇐⇒ la matrice (x(i)
j)16j6n+1
16i6n
∈Mn,n+1(R)est de rang strictement inférieur à n;
⇐⇒ la famille des nvecteurs colonnes de la matrice (x(i)
j)16j6n+1
16i6n
est liée ;
⇐⇒ la famille (x(i))16i6nest liée.
Afin d’avoir des notations en accord avec l’énoncé, x(i)
jest le terme de
la matrice (x(i)
j)16j6n+1
16i6n
situé en jeligne et iecolonne, ce qui est une conven-
tion inhabituelle.
1.c Effectuons un développement par rapport à la première colonne du déterminant
[V, x(1), x(2),...,x(n)]; il vient
[V, x(1), x(2),...,x(n)] =
n+1
P
k=1
Vk·Vk
c’est-à-dire [V, x(1), x(2),...,x(n)] = kVk2
’La construction de Vest la généralisation à Rn+1 du produit vectoriel
dans R3.Vest parfois appelé le produit vectoriel de x(1), x(2),...,x(n).
On note même parfois V = x(1) ∧x(2) ∧ · · · ∧ x(n).
2.a Pour l’existence, remarquons au préalable, en gardant les notations de la ques-
tion 1, que comme la famille (x(1),...,x(n))est libre, la question 1.b montre que
V6= 0 ; posons alors
W = 1
kVkV
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/15
De la sorte, par construction kWk= 1. De plus, la question 1.a montre que W
est orthogonal à tous les x(i), ce qui montre la condition (i). La question 1.c montre
alors que [W, x(1),...,x(n)] = kVk>0, ce qui montre la condition (ii).
Pour l’unicité, comme la famille (x(1),...,x(n))est libre, elle engendre un hy-
perplan de Rn+1 et son orthogonal est donc une droite vectorielle. Si Wvérifie
la condition (i), il appartient à cette droite vectorielle et est de norme 1. Sous ces
deux conditions, le choix de Wne peut que se faire parmi deux vecteurs possibles :
kVk−1Vou bien son opposé. Comme le déterminant V, x(1),...,x(n)est strictement
positif, seul kVk−1Vvérifie à la fois les conditions (i) et (ii).
2.b Utilisons la caractérisation établie à la question 2.a de WR(x(1)),...,R(x(n)).
Si Rest une rotation, c’est-à-dire que R∈SOn+1(R),Rpréserve en particulier
la norme et le produit scalaire et donc, en notant W = W(x(1),...,x(n)):
• kR(W)k=kWk= 1 (Rpréserve la norme)
•R(W) R(x(i))=Wx(i)= 0 (Rpréserve le produit scalaire)
•hR(W),R(x(1)),...,R(x(n))i= det R
|{z}
=1 W, x(1),...,x(n)>0
La partie unicité de la question 2.a montre alors que
WR(x(1)),...,R(x(n))= RW(x(1),...,x(n))
3.a Notons (ei,k)16k6nles coordonnées dans la base canonique du vecteur ei.
On a donc qi,j =
n
P
k=1
ei,k ej,k. Ainsi, si Pdésigne la matrice de passage de la base
canonique de Rnà(e1,...,en), on reconnaît en qi,j le coefficient en position (i, j)
de la matrice tP P. Ainsi,
Q = tPPoù P∈GLn(R)
donc Qest inversible et symétrique, donc diagonalisable.
Montrons que Qest définie positive : on a, pour x∈Rnr{0},Px6= 0 (vu que P
est inversible) et
(Qx|x) = ( tP Px|x) = (Px|Px) = kPxk2>0
Par suite, Les valeurs propres de Qsont strictement positives.
En effet, si λest valeur propre d’une matrice symétrique Qdéfinie positive,
et xun vecteur propre associé (en particulier, un vecteur non nul) alors
(Qx|x) = λkxk2>0, donc λ > 0.
3.b On a v=Pviei, donc (v|ej) =
n
P
i=1
viqij .
On en déduit que (v|e1),...,(v|en)= (v1,...,vn)Q
en encore (v1,...,vn) = (v|e1),...,(v|en)Q−1
La formule établie, ainsi que le raisonnement, est valable dans tout espace
euclidien de dimension n, et pas seulement Rn; elle sera utilisée à la question
4.d dans le cas d’un hyperplan de Rn+1.
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