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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/15
De la sorte, par construction kWk= 1. De plus, la question 1.a montre que W
est orthogonal à tous les x(i), ce qui montre la condition (i). La question 1.c montre
alors que [W, x(1),...,x(n)] = kVk>0, ce qui montre la condition (ii).
Pour l’unicité, comme la famille (x(1),...,x(n))est libre, elle engendre un hy-
perplan de Rn+1 et son orthogonal est donc une droite vectorielle. Si Wvérifie
la condition (i), il appartient à cette droite vectorielle et est de norme 1. Sous ces
deux conditions, le choix de Wne peut que se faire parmi deux vecteurs possibles :
kVk−1Vou bien son opposé. Comme le déterminant V, x(1),...,x(n)est strictement
positif, seul kVk−1Vvérifie à la fois les conditions (i) et (ii).
2.b Utilisons la caractérisation établie à la question 2.a de WR(x(1)),...,R(x(n)).
Si Rest une rotation, c’est-à-dire que R∈SOn+1(R),Rpréserve en particulier
la norme et le produit scalaire et donc, en notant W = W(x(1),...,x(n)):
• kR(W)k=kWk= 1 (Rpréserve la norme)
•R(W) R(x(i))=Wx(i)= 0 (Rpréserve le produit scalaire)
•hR(W),R(x(1)),...,R(x(n))i= det R
|{z}
=1 W, x(1),...,x(n)>0
La partie unicité de la question 2.a montre alors que
WR(x(1)),...,R(x(n))= RW(x(1),...,x(n))
3.a Notons (ei,k)16k6nles coordonnées dans la base canonique du vecteur ei.
On a donc qi,j =
n
P
k=1
ei,k ej,k. Ainsi, si Pdésigne la matrice de passage de la base
canonique de Rnà(e1,...,en), on reconnaît en qi,j le coefficient en position (i, j)
de la matrice tP P. Ainsi,
Q = tPPoù P∈GLn(R)
donc Qest inversible et symétrique, donc diagonalisable.
Montrons que Qest définie positive : on a, pour x∈Rnr{0},Px6= 0 (vu que P
est inversible) et
(Qx|x) = ( tP Px|x) = (Px|Px) = kPxk2>0
Par suite, Les valeurs propres de Qsont strictement positives.
En effet, si λest valeur propre d’une matrice symétrique Qdéfinie positive,
et xun vecteur propre associé (en particulier, un vecteur non nul) alors
(Qx|x) = λkxk2>0, donc λ > 0.
3.b On a v=Pviei, donc (v|ej) =
n
P
i=1
viqij .
On en déduit que (v|e1),...,(v|en)= (v1,...,vn)Q
en encore (v1,...,vn) = (v|e1),...,(v|en)Q−1
La formule établie, ainsi que le raisonnement, est valable dans tout espace
euclidien de dimension n, et pas seulement Rn; elle sera utilisée à la question
4.d dans le cas d’un hyperplan de Rn+1.
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