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Mines Maths 2 MP 2009 — Énoncé 1/5
ÉCOLE NATIONALEDESPONTSET CHAUSSÉES.
ÉCOLESNATIONALES SUPÉRIEURESDE L’AÉRONAUTIQUE ETDEL’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,DESTÉLÉCOMMUNICATIONS,
DESMINESDE PARIS,DESMINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINESDENANCY,
DESTÉLÉCOMMUNICATIONS DEBRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURSD’ADMISSION 2009
DEUXIÈMEÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
FilièreMP
(Duréede l’épreuve:4heures)
L’usage d’ordinateurou de calculetteest interdit.
Sujetmisàla dispositiondesconcours:
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOMSudParis (ex TELECOMINT), TPE-EIVP,
Cycleinternational
Lescandidats sontpriés de mentionner de façon apparente
sur la premièrepage de la copie :
MATHÉMATIQUES II -MP.
L’énoncéde cetteépreuvecomporte 5pagesde texte.
Si, au cours de l’épreuve,un candidat repèrece quilui semble êtreuneerreur
d’énoncé, il le signale sur sacopie et poursuit sa compositionenexpliquant les rai-
sons des initiatives qu’ilest amené àprendre.
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Mines Maths 2 MP 2009 — Énoncé 2/5
Théorème de Müntz
Ondésignepar C([0,1]) l’espace vectoriel des fonctionsréelles continues
sur [0,1]. Pour toutλÊ0, on noteφλl’élément deC([0,1]) défini par φλ(x)=xλ.
Par convention onaposé 00=1de sorte queφ0est la fonction constante1.
Soit (λk)k∈Nunesuitede réels Ê0deuxàdeux distincts.On noteWle sous-
espace vectoriel deC([0,1]) engendré lafamille (φλk)k∈N.Lebutdu problème
est d’établir descritères de densité de l’espace WdansC([0,1]) pourl’uneou
l’autredes deuxnormes classiquesN∞ou N2définies par :
N∞(f)=sup
x∈[0,1]|f(x)|et N2(f)=µZ 1
0|f(x)|2dx¶1
2.
Laquestion préliminaireet les parties A, B, Cet D
sontindépendantes lesunes des autres.
Question préliminaire
1) Montrer que(φλ)λÊ0est unefamillelibrede C([0,1]).
A.Déterminantsde Cauchy
Onconsidèreunentier n>0et deuxsuites finies (ak)1ÉkÉnet (bk)1ÉkÉnde
réelstelles queak+bk6= 0pourtout k∈{1,2,...,n}. Pourtout entier mtelque
0<mÉn,ledéterminant de Cauchyd’ordremest défini par:
Dm=
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1
a1+b1
1
a1+b2··· 1 a1+bm
1
a2+b1
1
a2+b2··· 1 a2+bm
.
.
..
.
..
.
.
1
am+b1
1
am+b2··· 1 am+bm
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
.
Ondéfinitla fraction rationnelle :
R(X)=
n−1
Y
k=1
(X−ak)
n
Y
k=1
(X+bk)·
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Mines Maths 2 MP 2009 — Énoncé 3/5
2) Montrer quesi R(X)est delaforme R(X)=
n
X
k=1
Ak
X+bk
,alors
AnDn=R(an)Dn−1.
Onpourrapourcela considérer ledéterminantobtenuàpartir de Dnen
remplaçantla dernièrecolonne par
R(a1)
R(a2)
.
.
.
R(an)
.
3) Endéduireque
Dn=Y
1Éi<jÉn
(aj−ai)(bj−bi)
Y
1ÉiÉn
1ÉjÉn
(ai+bj)·
B. Distanced’unpoint àune partie dans un espace normé
Soit Eunespace vectoriel normé par une norme k·k.Onrappelleque la
distanced’unélément x∈Eàunepartienon videAde Eest le réel notéd(x,A)
définipar :
d(x,A)=inf
y∈Akx−yk.
4) Montrer qued(x,A)=0si et seulement si xest adhérent àA.
5) Montrer que si (An)nÊ0est unesuite croissante departies de Eet si
A=SnÊ0Analors d(x,A)=limnd(x,An).
Onconsidèreunsous-espace vectoriel Vde dimension finie de E,et on note
B={y;ky−xkÉkxk}.
6) Montrer queB∩Vest compacte et que d(x,V)=d(x,B∩V)pour tout
x∈E.
7) Endéduirequepour tout x∈E,ilexiste un élément y∈Vtelque
d(x,V)=kx−yk.
C. Distance d’un point àun sous-espacede dimension finie dans
un espace euclidien
Danscettepartie,onsupposequela norme surl’espacevectoriel Eest dé-
finieàpartir d’un produit scalaire(·|·)sur E:kxk=p(x|x).
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Mines Maths 2 MP 2009 — Énoncé 4/5
8) Montrer que si Vest unsous-espacevectorielde dimension finie de E,
alors pour toutx∈E,la projection orthogonale de xsur Vest l’unique
élémenty∈Vvérifiant d(x,V)=kx−yk.
Pour tout suite finie (x1,x2,...,xn)∈Enon désigne par G(x1,x2,...,xn)le déter-
minant de lamatrice de Gram d’ordrendéfiniepar :
M(x1,x2,...,xn)=
(x1|x1) (x1|x2)··· (x1|xn)
(x2|x1) (x2|x2)··· (x2|xn)
.
.
..
.
..
.
.
(xn|x1) (xn|x2)··· (xn|xn)
.
9) Montrer queG(x1,x2,..., xn)=0siet seulementsi la famille (x1,x2,...,xn)
est liée.
10) Onsuppose quelafamille(x1,x2,...,xn)est libreet l’on désigne par V
l’espace vectorielqu’elle engendre.Montrer que,pour toutx∈E,
d(x,V)2=G(x1,x2,...,xn,x)
G(x1,x2,...,xn)·
D.Comparaison des normesN∞etN2
Pour toutepartie Ade C([0,1]) on note A∞et A2les adhérences de Apour
les normes N∞et N2,respectivement. Pourf∈C([0,1]) la notationd(f,A)dé-
signetoujours la distancede fàArelativementàlanorme N2(on ne considé-
rerajamais,dansl’énoncé, ladistanced’un élémentàune partie relativement
àla norme N∞).
11) Montrer quepourtout f∈C([0,1]), N2(f)ÉN∞(f). Endéduirequepour
toute partieAde C([0,1]) on aA∞⊂A2.
Onconsidèrel’ensemble V0=©f∈C([0,1]) ;f(0) =0ª,et on rappelle que φ0
désignelafonction constante1.
12) Montrer queφ0∈V02.
13) Endéduireque V0est dense dans C([0,1]) pour lanormeN2,mais n’est
pas dense pourla norme N∞.
14) Montrer que si Vest unsous-espace vectoriel d’unespace vectoriel normé,
alors son adhérence Vest également unespacevectoriel.
15) Montrer qu’unsous-espace vectoriel Vde C([0,1]) est dense pour lanorme
N∞si et seulementsi pour toutentiermÊ0, φm∈V∞.
16) Endéduirequ’unsous-espacevectoriel Vde C([0,1]) est dense pour la
norme N2si et seulementsi pour tout entiermÊ0, φm∈V2.
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Mines Maths 2 MP 2009 — Énoncé 5/5
E.Uncritèrededensité de Wpour la norme N2
Pour tout n∈N,on note Wnl’espace vectorielengendrépar la famille finie
(φλk)0ÉkÉn.
17) Montrer quel’espace West dense dans C([0,1]) pour lanorme N2si et
seulementsi limnd(φµ,Wn)=0pourtout entier µÊ0.
18) Montrer quepour toutµÊ0,
d(φµ,Wn)=1
p2µ+1
n
Y
k=0
|λk−µ|
λk+µ+1.
19) Montrer que pour toutµÊ0, lasuite³|λk−µ|
λk+µ+1´k∈Ntendvers1si et
seulementsi la suite(λk)k∈Ntendvers +∞.
(Onpourrapour celaétudier les variations de la fonction
x∈[0,µ]7→ µ−x
x+µ+1·)
20) Endéduireque l’espace West densedansC([0,1]) pour la norme N2si et
seulementsi la série X
k
1
λk
est divergente.
F.Uncritèrede densité deWpour la norme N∞
21) Montrer que si West densedansC([0,1]) pour la norme N∞,alors la série
X
k
1
λk
est divergente.
22) Soit ψ=Pn
k=0akφλkunélément quelconquede Wn.Montrer quesi λkÊ1
pour toutk∈{0,1,...,n}, alors pour tout µÊ1, on a:
N∞(φµ−ψ)ÉN2¡µφµ−1−
n
X
k=0
akλkφλk−1¢.
23) Onsuppose quela suite(λk)k∈Nvérifieles deux conditionssuivantes :
((i):λ0=0
(ii):λkÊ1pourtoutkÊ1.
Montrer quesousces conditions,sila série X
k
1
λk
est divergente,alors W
est dense dansC([0,1]) pourla norme N∞.
24) Montrer que laconclusion précédente est encorevalablesi on remplace
la condition(ii)parla condition plus faible:
(ii ′):inf
kÊ1λk>0.
FINDUPROBLÈME
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