Degré topologique et applications

N d’ordre :
N de série :
Ministère de l ’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que
UNIVERSITÉ KASDI MERBAH OUARGLA
Faculté des Sciences et de la Technologie et Sciences de la Matière
DÉPARTEMENT DES MATHÉMATIQUES
ET INFORMATIQUE
Mémoire de MAGISTER
En Mathématiques
Option : Mathématiques Appliquées
Par :
GUEDDA LAMINE
THÈME
Degré topologique et applications
à des problèmes aux limites non linéaires
associés à des équations di¤érentielles
ordinaires de second ordre
Soutenu publiquement le :
,
devant le jury composé de :
Mr. D.A. CHACHA
M.C. à l’université de KASDI MERBAH –Ouargla
Mr. S. DJEBALI
Pr.
Mr. M.S. SAID
M.C. à l’université de KASDI MERBAH –Ouargla
Examinateur
Mr. A. GUERFI
M.C. à l’université de KASDI MERBAH –Ouargla
Examinateur
à l’E.N.S - KOUBA –
Président.
Alger Rapporteur
Remerciements
Je tiens en premier lieu à exprimer mes plus vifs remerciements à Monsieur S. DJEBALI, mon Directeur de mémoire pour l’intéressant sujet qu’il m’a proposé, pour son aide,
sa patience, ses conseils, ses encouragement, sa grande disponibilité et son ouverture d’esprit
qui m’ont aidé à mener à bien ce travail.
Je lui suis également reconnaissant pour la con…ance qu’il ma accordée. Il m’est impossible de lui exprimer toute ma gratitude en seulement quelques lignes.
J’adresse mes plus vifs remerciements aux Monsieur A. GUERFI et Monsieur M.S.
SAID pour avoir accepté d’examiner ce travail et Monsieur D.A. CHACHA qui me fait
l’honneur d’être président de mon jury.
Je voudrais également remercier tous les membres du département de mathématique et
surtout son directeur et mon professeur Monsieur Mostafa ASSILA et tous ceux qui m’ont
aidé de près et de loin pour achever ce travail.
Je tiens à remercier tous mes amis et mes collègues et surtout ceux avec qui on a passé
une période agréable à l’université de Kasdi Merbeh de Ouargla.
Je voudrais également remercier ma mère, toute ma famille, mes sœurs, et mes …ls qui
m’ont toujours soutenu et encouragé.
i
Table des matières
Notations et conventions
viii
Introduction générale
1
1 Rappels et Notions fondamentales
7
1.1 Sommes directes et projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1
Supplémentaire topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Projection sur un sous-espace de dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.1
Codimention d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3 Applications compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.1
Application compacte complètement continue . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.2
Opérateur de rang …ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.3
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2 Opérateurs de Fredholm
13
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2 Opérateurs de Fredholm et caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.1
Opérateur de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.2
Indice d’un opérateur de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.3
Inverse généralisée de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.4
Opérateur correcteur de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3 Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul . . . .
17
ii
TABLE DES MATIÈRES
2.3.1
Opérateur L compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.2
Dé…nition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.3
Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.4
Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.5
Propriétés des opérateurs L compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.6
Opérateur L complètement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3 Théorie du degré pour les perturbations L-compactes
24
3.1 Théorie axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.1.1
Degré topologique relativement à L . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.1.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1.3
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2 Quelques indications concernant la théorie du degré . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.1
Degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.2
Indice de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.3
Degré de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3 Construction de l’application DL dans le cas général . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3.1
Degré de Mawhin 1972
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3.2
Théorème généralisé de Borsuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4 Théorèmes d’existence de type Leray-schauder . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4.1
Principe de continuation de Leray Schauder . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4.2
Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.4.3
Théorème de continuation de Mawhin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.4.4
Théorème de coïncidence pour les ensembles convexes . . . . . . . . .
40
3.5 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6 Théorème de continuation pour des équations semi-linéaires . . . . . . . . .
48
3.7 Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.7.1
Solution T périodique d’une équation di¤érentielle . . . . . . . . . .
52
3.7.2
Théorème d’existence (de Krasnosel’skii-Perov) . . . . . . . . . . . .
53
3.7.3
Degré topologique d’applications de type gradient . . . . . . . . . . .
54
3.7.4
Fonction directrice pour une équation di¤érentielle
55
iii
. . . . . . . . . .
TABLE DES MATIÈRES
4 Applications diverses
57
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2 Un exemple de fonctionelle ' pour des problèmes périodiques . . . . . . . . .
58
4.3 Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan . . . . . . . . . . . .
62
4.3.1
Applications à des équations di¤erentielles ordinaires de second ordre
non linéaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.4 Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de
Dirichlet homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.4.1
Proposition (oscillations rapides pour les grandes solutions) . . . . . .
78
4.4.2
Proposition (propriété élastique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.5 Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.5.2
Cas d’une force de rappel de type attractif . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.5.3
Sous-solution et sur-solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.5.4
Théorème (de Habets-Sanchez )
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.5.5
Cas d’une force de rappel de type répulsif . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.6 Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.7
4.6.1
Points de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.6.2
Valeurs L caractéristiques d’un opérateur linéaire A et ses multiplicités 92
4.6.3
Linéarisation et existence de points de bifurcation . . . . . . . . . . .
93
4.6.4
Bifurcation globale à l’in…ni (théorème de Rabinowitz 1973) . . . . .
94
Stabilité et indice des solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.7.1
Préliminaires sur les systèmes di¤érentiels - généralites et rappels . .
96
4.7.2
Formule de Jacobi-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.7.3
Trajectoires et équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.7.4
Stabilité d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.7.5
Linéarisation autour d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.7.6
Indice d’une solution T périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.7
Solution non dégénérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
iv
Table des matières
4.7.8
Cas des équations di¤erentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . 105
4.7.9
Équation de second ordre avec nonlinéarité convexe . . . . . . . . . . 109
4.8 Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
116
4.9 Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance
non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9.2
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Bibliographie
137
v
Notations et conventions
Nous utiliserons les notations suivantes tout au long de ce mémoire:
- X étant un espace vectoriel normé et
X k:k
un ouvert de X; on notera par:
sa norme.
X dist
la distance associée à cette norme.
X
la fermeture de
et @
sa frontière.
X B (x0 ; r) la boule ouverte de centre x0 et de rayon r:
X diam(A) diamètre de l’ensemble A.
- F étant un sous-espace vectoriel de X on notera
X X F
l’espace quotient de X par F .
X dim (F ) dimension de F:
X co dim (F ) codimension de F:
X X A
complémentaire de A à X (A est un sous-ensemble quelconque de X):
- L : X ! Z étant un opérateur linéaire on notera
X D (L)
domaine de dé…nition de L:
X ker L
noyau de L:
X Im L
image de L:
vi
Notations et conventions
X ind(L) indice de L ( lorsque L est de Fredholm).
- I
l’application identique et In est la matrice unité d’ordre n:
- HjA
restriction de l’application H sur le sous-ensemble A de X ( i.e HjA (x) =
H (x) pour tout x 2 A).
- H
1
l’application inverse ( ou reciproque) de H.
- HS
l’application composée de S et H respectivement (= H
- (:)0 =
-
@(:)
@u
d (:)
dt
la dérivée ordinaire par rapport à t.
= (:)0u
la dérivée partielle relativement à u:
S).
- R est l’ensemble des nombres réels, C est l’ensemble des nombres complexes, Z est
l’ensemble des entiers relatifs et N est l’ensemble des entiers naturels.
- Pour tout x 2 R;
8
>
>
+1 si x > 0
>
<
sign (x) =
1 si x < 0
>
>
>
: 0 si x = 0
- C p (R; Rn ) espace de fonctions p fois continûment di¤érentiables sur R.
- C p ([a; b]) espace de fonctions p fois continûment di¤érentiables sur [a; b] :
- LP ([a; b]) espace de fonctions u mesurables sur [a; b] et véri…ant
Rb
a
ju (t)jp dt < 1:
- AC ([a; b]) espace de fonctions absolument continues sur [a; b] (= fu 2 C ([a; b]) ; u0 2 L1 ([a; b])g).
- C01 ([a; b]) espace de fonctions fu 2 C 1 ([a; b]) ; u (a) = u (b) = 0g :
- L1 (R T:Z) espace de fonctions T périodiques et L1 integrables.
- degB
degré de Brouwer:
- indB
indice de Brouwer.
- degLS
degré de Leray-Schauder.
vii
Notations et conventions
- DL
degré de coincidence relativement à l’opérateur de Fredholm L d’indice 0:
- T périodique de période T:
- det(:)
-
somme directe.
- h:; :i
-
déterminant.
produit scalaire.
produit cartésien.
- JH(x0 ) = det(H 0 (x0 )) le déterminant de la matrice Jacobienne en x0 de l’application
H : Rn ! Rn :
Mots clés Degré topologique; méthodes de continuation; solution périodique; indice
de Fredholm; problèmes aux limites; équations di¤érentielles ordinaires.
Résumé Le but de ce mémoire est d’étudier certaines propriétés essentielles du degré
topologique pour les perturbations compactes des opérateurs de Fredholm d’indice zéro.
Cette partie théorique qui occupera la première partie du mémoire débutera par des rappels
sur le degré topologique de Leray et Schauder et ses propriétés fondamentales. La seconde
partie sera entièrement consacrée aux applications à des problèmes aux limites associés à des
équations di¤érentielles ordinaires non linéaires, en particulier à des équations di¤érentielles
du second ordre, à des problèmes périodiques et à quelques systèmes hamiltoniens.
viii
Introduction générale
Ces dernières années, le degré topologique s’est révélé un outil très puissant pour la résolution de certains problèmes aux limites non linéaires associés à des équations di¤érentielles
ordinaires et fonctionnelles. Un aperçu de la théorie du degré montre le lien étroit entre
ce concept topologique fondamental et la théorie des équations di¤érentielles. À partir de
l’année 1883, Poincare a utilisé l’indice de Kronecker [8] dans son étude qualitative des
équations di¤érentielles non linéaires, et a découvert à cette occasion quelques nouvelles conséquences importantes de la théorie de Kronecker, en particulier le théorème de Miranda.
En e¤et quelques problèmes de mécanique ont conduit Bohl en 1904 à formuler et prouver,
en utilisant les idées de Kronecker, des résultats équivalents aux théorèmes de Brouwer et
de Poincaré-Bohl pour des applications, continûment di¤érentiables. La théorie topologique
dans un espace de dimension in…nie a été entamée dans un document célèbre publié en 1922
par G.D. Birkho¤ et O.D. Kellogg qui ont étendu à certains espaces de fonctions, le fameux
théorème du point …xe de Brouwer. Ils ont prouvé l’existence d’un point …xe au moins pour
les applications continues dé…nies d’un sous-ensemble convexe compact de C([a; b] dans luimême. Le théorème du point …xe de Birkho¤-Kellogg a été étendu par J. Schauder au
cas d’un opérateur continu T appliquant un sous-ensemble convexe compact d’un espace de
Banach sur lui-même.
La topologie algébrique d’espaces de Banach et ses applications aux équations non
linéaires, a débuté par le travail de J. Schauder durant la période 1927-1932 [33]. Schauder
a identi…é une classe importante d’opérateurs non linéaires dans un espace de Banach, les
perturbations complètement continues de l’identité, pour lesquelles il pourrait généraliser
deux résultats importants de Brouwer dans un espace de dimension …nie: un théorème du
point …xe et un théorème d’invariance de domaine. Le théorème du point …xe de Schauder est
1
Introduction générale
devenu au cours du temps un outil puissant pour étudier l’existence de solutions d’équations
di¤érentielles. Schauder a appliqué son théorème d’invariance de domaine pour considerer
des problèmes elliptiques non linéaires dont l’unicité implique l’existence.
En 1933, J.Schauder eu l’occasion de rencontrer J. Leray à Paris, et une seconde
période importante dans la topologie de dimension in…nie a commencé à partir de leur
collaboration. Leray et Schauder ont immédiatement convenu que la topologie des perturbations complètement continues de l’identité dans un espace de Banach était un cadre
idéal pour développer la méthode de continuation de Leray pour les équations intégrale non
linéaires (appelée méthode d’Arzela-Schmidt), et en particulier pour la libérer de l’unicité
inutile et des hypothèses de régularité. Par conséquent, Leray et Schauder, dans leur article
fondamental [25], ont étendu le degré de Brouwer à des perturbations compactes de l’identité
dans un espace de Banach, (pour les détails consulter [26]):
J.Leray et J.Shauder ont étendu le degré de Brouwer à des perturbations compactes
de l’identité dans un espace de Banach X comme suit; si
K :
! X opérateur compact et y0 2
= (I
est un ouvert borné de X,
K) (@ ), d’après (la proposition 8.1) de [6];
K est la limite uniforme d’une suite (Kn )n2N d’opérateurs de rangs …nis, ce qui revient à
dire que pour tout
> 0, il existe
> 0 et un opérateur compact K tel que Im K
X
(sous-espace de X de dimension …nie contenant y0 ) et
sup kK (x)
K (x)k < :
x2
Pour
degB ((I
su¢ samment petit ( < 21 dist(y0 ; (I
K )jX ;
K) (@ )), le degré de Brouwer
\ X ; y0 ) sera associée à une valeur commune dé…nissant le degré
de Leray-Shauder degLS (I
K; ; y0 ) : Si on pose y0 = 0; ce degré compte algebriquement
le nombre de points …xes de K dans
: Le degré de Leray-Schauder conserve toutes les
propriétés de base du degré de Brouwer, comme indiqué dans [26]. La non nullité du degré
est la plus importante de ces propriétés, car à partir de laquelle on s’assure que l’équation
x
admet au moins une solution x 2
(0.1)
K (x) = y0 ;
: Cependant, on souhaite quand même qu’il soit
plus facile sur le plan pratique de prouver que degL:S (I
K;
; y0 ) 6= 0 que de résoudre
l’équation (0.1) ou prouver autrement que l’ensemble de ses solutions n’est pas vide. A…n
2
Introduction générale
d’illustrer l’intérêt et la diversité des champs d’application du degré de Leray-Schauder,
citons comme exemple le théorème célèbre suivant:
Théorème 0.0.1 (Théorème du point …xe de Schauder 1930) Soit C un sous-ensemble
convexe, fermé, borné et non vide d’un espace de Banach X et K : C ! C une application
compacte. Alors K admet au moins un point …xe.
Ce théorème a été démontré par des di¤érentes autre méthodes avant d’introduire le
degré de Leray-Schauder. Il intervient, certes, moins souvent que le théorème du point …xe
de Banach (des applications contractantes) mais c’est un outil précieux pour la résolution des
équations aux dérivées partielles non linéaires via la méthode de Galerkin. En utilisant
le théorème de Schauder, souvent nous sommes confrontés à la di¢ culté de prouver que
K (C)
C; ce problème a été surmonté grâce au théorème de Shaefer (1955) connu sous
le nom d’alternative non linéaire de Leray-Schauder.
D’autre part, il apparaît déjà dans le document [26] de Leray et Schauder que l’étude de
l’indice d’un point …xe isolé d’une application complètement continue est un outil principal
pour calculer le degré. Leray et Schauder ont en particulier étudié cet indice pour une
application A injective ou di¤érentiable ou linéaire, et dans ce dernier cas, ils ont montré
que l’indice du point 0 de l’application inversible I
A, avec A compacte, est égale à ( 1)m ,
où m est la somme des multiplicités des valeurs caractéristiques de A comprise strictement
entre 0 et 1.
Par la suite, on s’intéressera par l’étude des équations opérationnelles de la forme
Lx = N x;
où L : D (L)
X ! Z est un opérateur linéaire et N :
(0.2)
X ! Z est une applica-
tion non nécessairement linéaire (ici X; Z sont des espaces vectorils normés). L’équation
(0.2) représente une grande classe de problèmes, y compris des équations di¤erentielles non
linéaires aux dérivées partielles ou ordinaires. Il n’y a aucun problème si le noyau de la partie
linéaire de cette équation ne contient que zéro, car dans ce cas L est surjective. L’équation
peut être réduite à un problème de point …xe pour l’opérateur L 1 N ; et pour le résoudre,
on utilisera un théorème convenable (par exemple celui de Schauder si L 1 N est compact
ou de Banach si L 1 N est contractant et X = Z est un Banach).
3
Introduction générale
Dans le cas où L
1
n’existe pas (i.e ker L 6= f0g) et X, Z sont des espaces de Banach,
les travaux de base sur l’étude de l’équation (0.2) sont dûs à Cacciopoli (1946), Shimizu
(1948), Cronin (1950), Bartle (1953), Vainberg et Trenogin (1962), Vainberg et
Aizengender (1968) et Nirenberg (1960-1961). Tout ces travaux supposent une certaine
hypothèse sur l’opérateur N. La méthode pour trouver des solutions de cette équation,
initiée par Cesari (1963) et (1964) et développée plutard par Locker (1967), Bancroft
et Williams (1968), porte sur une classe plus générale des applications. En 1972, Mawhin
a répondu à cette question dans son célèbre article “Topological degree and boundary value
problems for nonlinear di¤erential equations” [29] où il a supposé que L est un opérateur
de Fredholm d’indice 0. En e¤et, dans ce cas on a
dim ker L = co dim Im L) = n < 1:
Par conséquent, il existe deux projections continues P : X ! X, Q : Z ! Z telles que
Im P = ker L; ker Q = Im L
et un isomorphisme J : ker L ! Y0 ; où Y0 est le supplémentaire topologique de Im L: Mawhin
a montré que l’application L + JP est bijective et que
(L + JP )
1
=J
1
Q + LP 1 (I
Q) ;
avec LP = LjD(L)\ker P ; alors l’équation (0.2) prend la forme
x = (L + JP )
=
J
1
1
(N + JP ) x
Q + LP 1 (I
= (P + J
1
Q) (N + JP ) x
QN + LP 1 (I
Q) N )x
c’est à dire que l’équation donné, est équivalente à un problème de point …xe pour l’opérateur
M =P +J
1
QN + LP 1 (I
qui est indépendant du choix des projections P et Q.
Q) N;
Si M est compact, alors à partir
du degré de Leray- Schauder, il a développé une nouvelle théorie de degré topologique
connu sous le nom de degré de coincïdence pour les couples (L; N ) : L’objectif proposé dans
4
Introduction générale
ce mémoire consiste à identi…er les étapes de construction de cette théorie du degré, et les
di¤érents théorèmes de continuation de types Leray-Schauder avec beaucoup d’applications.
Le mémoire se compose de quatre chapitres; il nous a semblé utile de l’entamer par un
chapitre consacré aux rappels et notions fondamentales concernant les projections sur des
sous espaces de dimension …nie, les opérateurs compacts ainsi que les principaux outils dont
nous faisons un usage fréquent dans les autres chapitres comme le théorème d’Ascoli-Arzela.
Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons aux opérateurs linéaires de Fredholm
et leurs relations avec des problèmes aux limites associés à des équations di¤érentielles
ordinaires, en présentant le concept de L compacité d’un opérateur N; qui remplace dans
l’étude des applications de type L+N (appelé perturbation L compacte de L) la condition
de compacité usuelle exigée par le théorème du point …xe de Schauder.
Le troisième chapitre porte sur la dé…nition axiomatique puis la construction du degré de
Mawhin à partir de celui de Leray-Schauder; un grand nombre de théorèmes de continuation
et ses conséquences seront présentés à la …n de ce chapitre avec les démonstrations ainsi
qu’une application sur le théorème de Mawhin.
Le quatrième chapitre est consacré entièrement à l’étude de divers problèmes aux limites associés à des équations di¤érentielles ordinaires non linéaires et l’existence de solutions
périodiques en appliquant les théorèmes de continuations mentionnés dans le chapitre précédent. Dans la section 4.3, nous avons étudié les problèmes aux limites associés aux équations
di¤érentielles de la forme
x00 + g (x) = r (t)
et ses systèmes hamiltoniens correspondants, où g est une fonction à croissance superlinéaire
i.e limjxj!+1
g(x)
x
= 1: La caractéristique importante de ces problèmes est que l’ensemble
des solutions possibles de la déformation correspondant à l’équation autonome
x00 + g (x) = 0
n’est pas a priori borné. La section 4.4 porte sur l’étude du problème
8
< u00 (t) + g(u(t)) = p(t; u(t); u0 (t))
: u(0) = u(1) = 0;
nous prouvons que sous certaines conditions sur les fonctions g et p, il admet au moins une
solution x 2 C01 ([0; 1]) ayant un nombre donné de zéros. Les sections 4.5 et 4.6 montrent
5
Introduction générale
que l’approche de Leray-Schauder peut être appliquée à l’étude des solutions périodiques de
certaines équations di¤érentielles de second ordre de la forme
x00 + cx0 + g(x) = h(t);
lorsque la force de rappel g possède une singularité. Les deux cas, attractif et répulsif de
la force g sont pris en compte. En utilisant le concept de la bifurcation à l’in…ni donné par
Krasnosel’skii, nous présentons quelques résultats concernants la multiplicité des solutions
aux derniers théorèmes d’existence de Lazer-Solimini et Habets-Sanchez. La section 4.7
décrit certains résultats récents de Ortega [39] qui montrent comment des arguments de degré
topologique peuvent être utilisés pour obtenir des informations sur la stabilité des solutions
périodiques de certains systèmes di¤érentiels en dimension deux et d’équations di¤érentielles
ordinaires du second ordre, en particulier sous des conditions de type Ambrosetti-Prodi [37].
Parmi les applications les plus récentes sur des problèmes aux limites en résonance, deux
entre eux ont été examinées dans les deux dernières sections.
6
Chapitre 1
Rappels et Notions fondamentales
1.1
Sommes directes et projections
Comme nous le verrons par la suite, certains opérateurs de Fredholm peuvent être obtenus
à partir des projections. C’est pourquoi nous y consacrons ce chapitre voir ([1]).
1.1.1
Supplémentaire topologique
Soit E et F deux sous-espaces fermés d’un R espace vectoriel normé X. On dit que E est
un supplémentaire topologique de F si X est la somme directe de F et E (i.e. X = F
1.1.2
E).
Projection
Soit X un espace vectoriel. On dit qu’un opérateur linéaire P : X ! X est une projection,
si pour tout x 2 X on a
P (P (x)) = P 2 x = P (x):
Proposition 1.1.1 Soit X un espace vectoriel. Un opérateur linéaire P : X ! X est une
projection si et seulement si (I
P ) est une projection. De plus, si l’espace X est normé,
alors P est continue si et seulement si (I
P ) est continue.
7
1.1. Sommes directes et projections
Démonstration. Soit P une projection. Alors pour tout x 2 X
(I
Réciproquement, si (I
P )2 (x) = x
2P (x) + P 2 (x)
= x
2P (x) + P (x)
= x
P (x) = (I
P ) est une projection, (I
(I
P )(x):
P )) = P l’est aussi. Pour le cadre
topologique, comme l’identité est une application continue et la somme de deux applications
continues est également continue, alors P est continue si et seulement si (I
P ) l’est.
Proposition 1.1.2 Si P est une projection dans X; alors
ker P = Im(I
P ) et Im(P ) = ker(I
P ):
Démonstration. Comme dans la preuve précédente, il su¢ t de démontrer que
ker P = (I
P )(X):
L’autre résultat est un corollaire immédiat, en remplaçant P par (I
P ) dans la proposition
précédente. Si x 2 ker P;
(I
d’où x 2 Im(I
P )(x) = x
P ). Réciproquement, P ((I
donc x 2 ker P et ker P = Im(I
0 = x;
P )(x)) = P (x)
P 2 (X) = P (X)
P (X) = 0;
P ):
Corollaire 1.1.1 Toute projection continue dans un espace de Hausdor¤ est à image fermée. En particulier, les projections continues des espces de Banach sont à images fermées.
Théorème 1.1.1 Si P est une projection continue dans un espace vectoriel topologique de
Hausdor¤ X, alors X est la somme directe de Im(P ) et ker P; (i.e. X = ker P
Im(P )).
Démonstration. D’après le corollaire précédent, ker P et Im(P ) sont fermés dans X;
et comme
X = P (X) + (I
P )X = Im(P ) + ker P
de plus, Im(P ) \ ker P = f0g ; alors on a le resultat.
8
1.2. Projection sur un sous-espace de dimension …nie
1.2
Projection sur un sous-espace de dimension …nie
Lemme 1.2.1 Si E est un sous-espace vectoriel de dimension …nie d’un espace vectoriel
normé X, alors il existe un projecteur continu P sur X; tel que
Im (P ) = E:
De manière générale, tout espace vectoriel normé peut être projeté continument sur un sousespace de dimension …nie.
Démonstration. On choisit une base fe1 ; e2 ; :::en g de E et on désigne par (
k )k
où
k 2 f1; 2; :::ng les formes linéaires coordonnées sur E associées respectivement à e1 ; e2 ; :::en ;
nous savons par dé…nition que pour tout i; j 2 f1; 2; :::ng
8
< 1; pour i = j
(e
)
=
=
;
i
ij
j
: 0; pour i 6= j
en utilisant le théorème de Hahn-Banach pour prolonger
1;
2 ; :::;
n
en formes linéaires
f1 ; f2 ; :::; fn continues sur X; on obtient que l’appliction P dé…nie par;
X
Px =
fj (x) :ei
1
i;j
n
est une projection continue de X sur E qui répond au problème.
Corollaire 1.2.1 Si E est un sous-espace vectoriel de dimension …nie d’un espace normé
X, alors il existe un sous-espace vectoriel fermé F de X tel que;
X=E
F:
Démonstration. Il su¢ t de prendre pour F le noyau de la projection P de X sur E
donnée par le lemme précédent.
Proposition 1.2.1 Si X est un espace vectoriel normé et F est un sous-espace fermé, alors
l’espace quotient X F a une structure d’espace vectoriel normé dont sa norme est dé…nie
par:
k
où
F
F
(x)kX=F = inf kx + hkX = dist (x; F ) ;
h 2F
: X ! X F est la projection canonique
F
(x) := x + F = fx + h = h 2 F g ;
9
1.2. Projection sur un sous-espace de dimension …nie
Démonstration. (i) k
F
(x)kX
= dist(x; F ) = 0 si et seulement si x 2 F; d’où
F
x + F = 0 + F:
(ii) k (x + F )kX
F
= k x + F kX
F
= dist ( x; F ) = dist ( x; F ) (car F est stable
par opération extèrne), alors
dist ( x; F ) = j j dist (x; F ) = j j k(x + F )k :
(iii) Pour tout x; y de X, nous avons
k(x + F ) + (y + F )kX=F = k(x + y) + F kX=F
=
inf k(x + y) + hkX
k(x + h1 ) + (y + h2 )kX ;
h 2F
pour tout h1 2 F et h2 2 F ; par l’inégalité triangulaire on trouve
k(x + h1 ) + (y + h2 )kX < k(x + h1 )kX + k(y + h2 )kX ;
et ainsi en prenant la borne inferieur sur h1 ; h2 de F des deux dernières normes, on obtient
kx + h1 kX + ky + h2 kX
inf kx + h1 kX + inf ky + h2 kX
h1 2F
= kx + F kX
ce qui montre que k:kX
F
h2 2F
F
+ ky + F kX
F
;
est une norme.
Proposition 1.2.2 Si X est un espace de Banach, alors l’espace quotient X F est également un espace de Banach.
1.2.1
Codimention d’un sous-espace vectoriel
Dé…nition 1.2.1 Si l’espace quotient X F est de dimension …nie, on dit que le sous-espace
vectoriel fermé F de X est de codimension …nie dans X et on écrit
co dim (F ) = dim(X F ):
Proposition 1.2.3 co dim (F ) = n < 1 si, et seulement s’il existe un sous-espace vectoriel
fermé E de X; tel que
X=F
E et dim (E) = n:
10
1.3. Applications compactes
1.3
Applications compactes
Soit X et Y deux espaces vectoriels normés;
1.3.1
un ouvert de X.
Application compacte complètement continue
Dé…nition 1.3.1 ( [7] et [35]) Une application continue T :
X ! Y est dite compacte
si T ( ) est relativement compacte. Elle est dite complètement continue, si l’image de tout
sous ensembe borné B de
1.3.2
est relativement compacte.
Opérateur de rang …ni
Dé…nition 1.3.2 On dit que l’opérateur T :
X ! Y est de Rang …ni, si Im(T )
F
Y avec dim(F ) < +1:
Proposition 1.3.1 Tout application T :
X ! Y bornée et de rang …ni est complète-
ment continue.
Démonstration. En e¤et pour toute partie bornée B
, T (B) est un fermé borné
d’un espace de dimension …nie.
1.3.3
Remarques
(i) Toute application compacte est complètement continue (car pour tout borné B
on a T (B)
T ( )). La réciproque est vraie si
est borné.
(ii) Si T : X ! Y est une application linéaire, avec X et Y des espaces de Banach;
pour que T soit compact il su¢ t que T (B(0; 1)) est précompact. Si l’un au moins des
espaces X ou Y est de dimension …nie, alors T est compact si et seulement si T est
continue.
Théorème 1.3.1 (Ascoli-Arzela) Soit E un espace métrique compact, F un espace métrique
complet. On désigne par C (E; F ) l’espace des fonctions continues de E dans F . Un sous
ensemble M
C (E; F ) est relativement compact, si et seulement s’il véri…e les deux con-
ditions suivantes:
11
1.3. Applications compactes
1. M est équicontinue (i.e pour tout " > 0, il existe
(") > 0 tels que
dF (x (t1 ) ; x (t2 )) < ";
pour tout x (:) 2 M et tout (t1 ; t2 ) 2 E
E véri…ant dE (t1 ; t2 ) < (")).
2. Pour tout t 2 E, l’ensemble
M (t) = fx (t) ; x (:) 2 M g
est relativement compact dans F:
12
Chapitre 2
Opérateurs de Fredholm
2.1
Introduction
Les théorèmes de continuations utilisés dans l’étude des problèmes aux limites associés
aux équations di¤érentielles ordinaires, sont souvent basés sur une formulation équivalente
à une équation dans un espace abstrait, et une théorie de degré topologique [29]. Cette
formulation conduit généralement à un opérateur abstrait de la forme L + N , où L est un
opérateur de Fredholm d’indice nul et N est un opérateur généralement non linéaire ayant
certaines propriétés de compacité par rapport à l’application L. Ces problèmes associés
à un opérateur L, comme nous les verons; peuvent toujours être ramenés à des équations
équivalentes du type Leray-Schauder. Pour éviter cette réduction, nous allons développer
une fois pour toutes, une théorie du degré pour cette classe d’applications. Pour en savoir
plus, consulter par exemple [31].
2.2
2.2.1
Opérateurs de Fredholm et caractérisations
Opérateur de Fredholm
Soit X et Z deux R- espaces vectoriels normés; on dit qu’une application linéaire L :
D(L)
X ! Z, est de Fredholm [35] si elle véri…e les conditions suivantes
1. ker(L) = L 1 (0) est de dimension …nie.
13
2.2. Opérateurs de Fredholm et caractérisations
2. Im(L) = L(D(L)) est fermé et de codimension …nie.
2.2.2
Indice d’un opérateur de Fredholm
L’indice d’un opérateur de Fredholm L est l’entier
ind(L) = dim(ker(L))
co dim(Im(L)):
Exemples
1. Si X et Z sont de dimensions …nies, alors toute application linéaire L : X ! Z est
de Fredholm avec
ind(L) = dim(X)
dim(Z):
2. Si X et Z sont des espaces de Banach et L : X ! Z est une application linéaire
bijective, alors L est un opérateur de Fredholm d’indice 0 car
dim(ker(L)) = co dim(Im(L) = 0:
3. Soit X = `2 = (xn )n2N ;
P+1
i=0
jxi j2 < +1 l’application T : `2 ! `2 de…nie par
T ((xn )) = (yn ) = (0; x0 ; x1 ; x2 ; :::)
est un opérateur de Fredholm d’indice 0 en e¤et;
ker (T ) = f(0; 0; 0; ::::::)g = f0g ; Im (T ) = f(0; x0 ; x1 ; x2 ; :::::)g ;
ce qui nous permet d’écrire, `2 = Im (T )
isomorphe à R); d0 où
M tel que M = f(x; 0; 0; 0; :::::)g (M est
dim ker (T ) = dim (M ) = 1:
4. L’identité I : X ! X est un opérateur de Fredholm d’indice 0.
5. Soient X = C([0; T ]) l’espace des fonctions continues dé…nies de [0; T ] dans R; Z =
L1 ([0; T ]) l’espace des classes des fonctions Lebesgue intégrables dé…nies de [0; T ] dans
R; soit l’opérateur L : X ! Z
où f 2 L1 ([0; T ]) donnée et
R dé…nie par:
8
< (Lx)(:) = x0 (:)
: x(T )
14
x(0)) = 0;
2.2. Opérateurs de Fredholm et caractérisations
x 2 D(L) = x 2 C ([0; T ]) ; x0 2 L1 ([0; T ]) = AC ([0; T ])
ker (L) = l’ensemble des fonctions constantes dé…nies sur l’intervalle [0; T ], cet ensemble est
isomorphe à R.
L’image de L est l’ensemble
Im(L) =
y (:) ;
Z
0
T
y (s) ds ; y 2 L1 ([0; T ]) ;
on peut démontrer que Im(L) est fermé, dim Ker (L) = dim Im(L) = 1; alors L est un
opérateur de Fredholm d’indice 0.
Remarque 2.2.1 Pour f 2 L1 ([0; T ])donnée, le problème aux limites
8
< x0 (t) = f (t)
: x(T ) = x(0);
est équivalent à l’équation abstraite Lx(:) = (f (:); 0); avec x 2 C([0; T ]):
Théorème 2.2.1 Si L est un opérateur de Fredholm, u est une application linéaire compacte; alors L + u est de Fredholm et
ind(L + u) = ind(L):
En particulier, toute perturbation compacte de l’identité est un opérateur de Fredholm d’indice
0.
Proposition 2.2.1 Si L est un opérateur de Fredholm d’indice nul; alors L est surjectif si
et seulement si L est injectif.
Démonstration. Si L est surjective, alors Im (L) = Z = Z f0g et par suite dim f0g =
dim ker (L) = 0; donc ker (L) = f0g :
Dans tout ce que suit (sauf mention de contraire) L : D(L)
opérateur de Fredholm d’indice 0.
15
X ! Z désigne un
2.2. Opérateurs de Fredholm et caractérisations
2.2.3
Inverse généralisée de L
D’après ce qui précède (voir aussi [6] et [50]), il existe deux projecteurs continues; P : X ! X
et Q : Z ! Z tels que
Im(P ) = ker L et ker Q = Im(L):
Posons
X1 = Im(I
P ) = ker P et Y1 = Im(Q);
alors on peut écrire
X = ker L
X1 ; Z = Im(L)
Y1 :
Considérons un isomorphisme,
J : ker L ! Y1
dont l’existence est assurée par le fait que dim ker L = dim Y1 = n. Remarquons que
(D(L) \ X1 )
D(L) = ker L
et que la restriction de L à D(L) \ X1 est un isomorphisme sur Im(L); notons par Lp cette
restriction et par Lp 1 : Im(L) ! D(L) \ X1 l’inverse de Lp . Alors l’opérateur
J
1
L p 1 : Z = Y1
R(L) ! X = ker L
D(L) \ X1 ;
est un isomorphisme dont l’inverse est l’opérateur,
L + JP : D(L) \ Im(I
en e¤et, pour tout x 2 D(L)\Im(I
P)
ker L ! R(L)
Y1 ;
P ) ker L on l’écrire sous la forme x = (I
P )x+P x;
donc
(L + JP )((I
P )x + P x) = L(I
P )x + JP (P x) = L(I
P )x + JP x;
par suite
J
1
Lp 1 (L(I
P )x + JP x) = (I
P )x + P x = x:
D’une autre part, pour tout z 2 Z on a
J
1
Lp 1 z = J
1
Lp 1 (Qz + (I
16
Q) z) = J
1
Qz + Lp 1 (I
Q) z;
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
en posant KP ;Q = Lp 1 (I
Q), (KP ;Q est l’inverse à droite de L associé à P et Q respec-
tivement), alors on obtient (voir le diagramme)
(L + JP )
1
=J
1
Q + KP ;Q :
Conclusion. JP est une application linéaire continue de rang …ni telle que L + JP
soit bijective.
2.2.4
Opérateur correcteur de L
Dé…nition 2.2.1 Toute application A : X ! Z linéaire, continue et de rang …ni telle que
L + A : D(L) ! Z soit bijective s’appelle correcteur de L. On note par F (L) l’ensemble
des correcteurs de L, d’après ce qui précède F (L) 6= ?:
2.3
Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
Soit z 2 Z, pour résoudre l’équation Lx = z; x 2 X on peut écrire x = P x + (I
z = Qz + (I
Q)z et par substitution de x et z, l’équation précédente devient
L(P x + (I
P )x) = Qz + (I
Q)z;
et comme Qz = 0 et LP x = 0 (car z 2 Im(L) et P x 2 ker L), alors
17
P )x et
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
L(I
P )x = (I
Q)z;
P x = Lp 1 (I
Q)z
ce qui entraine
x
et par suite on trouve
x = Px + J
1
Qz + Lp 1 (I
Q)z:
Conclusion. Lx = z; x 2 X () x = P x + J 1 Qz + Lp 1 (I
Considérons maintenant l’équation Lx = N x; où N : G
Q)z:
X ! Z est un opérateur
(généralement non linéaire); d’après la conclusion précédente; cette dernière équation avec
x 2 D(L) \ G est équivalente à
x = Px + J
1
QN x + KP ;Q N x = M x;
qui est un problème de point …xe.
De façon générale; pour toute A 2 F (L) l’équation Lx = N x où x 2 D(L) \ G est
équivalente à
(L + A)x = (N + A)x; x 2 G;
et comme (L + A) est bijective, on obtient
x = (L + A) 1 (N + A)x; x 2 G:
On suppose dans ce qui suit que G est un espace métrique et N : G ! Z une application.
Lemme 2.3.1 S’il existe A 2 F (L) tel que (L + A) 1 N est compact sur G alors pour
tout B 2 F (L) ; (L + B)
1
N est compact sur G également.
Démonstration. Soit B 2 F (L) alors
(L + B) 1 N = (L + B) 1 (L + A)(L + A) 1 N
= (L + B) 1 (L + B + A
= (I + (L + B) 1 (A
B)(L + A) 1 N
B))(L + A) 1 N
= (L + A) 1 N + (L + B) 1 (A
18
B)(L + A) 1 N:
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
L’application (L + B) 1 (A
A
B) est linéaire continue de rang …ni; et par suite compact (car
B est continue et de rang …ni et (L + B) 1 est bijective); et comme (L + A) 1 N est
compact (par hypothèse) alors
(L + B) 1 (A
B)(L + A) 1 N
est compact.
2.3.1
Opérateur L compact
Dé…nition 2.3.1 On dit que N : G ! Z est L compact sur G; s’il existe un opérateur
A 2 F (L) tel que (L + A) 1 N est compact sur G.
2.3.2
Dé…nition équivalente
On dit que N : G ! Z est L compact sur G si est seulement si l’opérateur
M =P +J
1
QN + KP ;Q N
est compact sur G où P ; Q; J sont les opérateurs dé…nis au début de ce chapitre (voir
[29], [31]).
2.3.3
Remarque
La dé…nition de la L compacité ne dépend ni du choix des projecteurs P
l’isomorphisme J et comme P , J
1
et Q, ni de
Q sont des opérateurs linéaires continus de rang …ni;
alors pour que N soit L compact sur G, il faut et il su¢ t que QN : G ! Z soit continue,
QN (G) soit borné et KP ;Q N : G ! X soit compact.
2.3.4
Cas particuliers
1. Dans le cas où G
X = Z et L = I ; N : G ! Z, la compacité et la I-compacité de
N sur G sont équivalentes.
2. Si L est inversible, il su¢ t de prendre 0 = A 2 F (L) et par conséquent, la L-compacité
de N sur G; est réduite à la compacité de L 1 N sur G.
19
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
Exemples
1. Si dim X = dim Z = n < 1 et L = 0 on peut prendre
P = I : X ! X; Q = I : Z ! Z et KP ;Q = KI;I = 0 : Z ! X:
2. Si L = I : X ! X, alors
P = 0 : X ! X; Q = 0 : Z ! Z et KP ;Q = K0;0 = I : Z ! X:
3. Dans le cas où L : D(L)
X ! Z est un opérateur de Fredholm d’indice nul et
bijectif:
P = 0 : X ! X; Q = 0 : Z ! Z et KP ;Q = K0;0 = L 1 :
4. Soit CT = fx 2 C(R; Rn ); x(t + T ) = x(t); t 2 Rg muni de la norme
v
u n
uX
(xi (t))2
kxk = max jx(t)j avec jx(t)j = t
t 2 [0;T ]
i=1
et la fonction h 2 C(Rn ; Rn ), on dé…nit les opérateurs L et N comme suit;
L : D(L)
CT ! CT avec D(L) = CT \ C 1 (R; Rn ) et (Lx)(t) = x0 (t);
et
N : CT ! CT avec (N x)(t) = h(x(t)):
On obtient ker L = fx 2 D(L); x0 (t) = 0g = fx 2 D(L); x(t) = cg ' Rn (ensemble des
fonctions constantes); donc dim (ker L) = n. Pour tout y 2 Im(L); il existe x 2 D(L)
tel que x0(t) = y(t) ce qui implique que;
1
Py = Y =
T
Z
T
y(s)ds = 0
0
d’où y 2 ker P alors
Im(L)
ker P;
(P est une projection continue de rang …ni dans CT ); d’une autre part si y = c 2 ker L;
alors
1
Py =
T
Z
0
20
T
cds = c = y:
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
On obtient
CT = ker L
Im(L) et P = Q; J = I:
ker P = Im(P )
Alors L est un opérateur de Fredholm d’indice
dim (ker L)
N
dim (ker P ) = 0:
est L compact sur CT si et seulement si, l’opérateur P + P N + KP;P N est
compact sur CT . Il est clair que ce dernier opérateur est continue; et pour démontrer
sa compacité sur CT ; il su¢ t d’utiliser le théorème d’Ascoli-Arzela. Pour cela, on
peut écrire l’inverse à droite de L associé à P et Q = P , KP;P : CT ! ker P \ D(L)
et dé…ni par
KP;P = LP 1 (I
P ) où LP = Ljker P \D(L) ;
en utilisant la dé…nition de L; on déduit que
Z t
1
LP y (t) =
y (s) ds:
0
Pour montrer que N est L compact il su¢ t de démontrer que;
a) P N : CT ! CT est continue et envoie les bornés sur des bornés et
b) KP;P N : CT ! CT est compact.
Comme P et N sont continus, alors les opérateurs P N et (I
P ) N sont aussi continus
et envoient les bornés sur des bornés. Il nous reste à prouver que l’opérateur LP 1 est compact.
Soit B
Im L (borné), pour tout y 2 B on a
Z t
1
y (s) ds
LP y (t) =
0
T: max jy (t)j :
D’autre part on a pour tout (t1 ; t2 ) 2 [0; T ]2 ;
Z t2
1
1
LP y (t2 )
LP y (t1 ) =
y (s) ds
t1
21
t2[0;T ]
jt2
t1 j : max jy (t)j :
t2[0;T ]
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
2.3.5
Propriétés des opérateurs L compact
1. Tout opérateur N : G ! Z L compact sur G, est L compact sur tout sous ensemble
C de G.
2. La somme de deux opérateurs L-compacts sur le même ensemble G est L compact
sur G.
2.3.6
Opérateur L complètement continu
Un opérateur N : X ! Z est dit L complètement continu sur X; si et seulement si N est
L compact sur tout sous-ensemble borné C de X.
Proposition 2.3.1 Si A : X ! Z est un opérateur linéaire L complètement continu sur
X avec ker (L + A) = f0g alors
1. L’opérateur L + A est bijectif.
2. Pour tout opérateur N : G ! Z L compact sur G, l’opérateur (L + A) 1 N : G ! X
est compact sur G.
Démonstration. pour tout x 2 G, B 2 F (L) on a
(L + A) x = (L + B + A
B) x
= (L + B) I + (L + B)
1
(A
B) x;
et comme (L + B) est bijective; alors
ker I + (L + B)
1
D’une autre part, l’opérateur (L + B)
(A
1
B) = ker (L + A) = f0g:
B) est complètement continu car A
(A
L comlètement continu. Alors I + (L + B)
1
(A
B est
B) est une perturbation complètement
continue de l’identité et injective, d’où I + (L + B)
1
(A
B) est bijectif de X dans X;
par suite (L + A) est bijectif de D (L) dans Z. Supposons maintenant que N : G ! Z est
22
2.3. Perturbations L compactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul
L compact sur G; alors
(L + B) 1 N = (L + B)
1
(L + A) (L + A)
= (L + B)
1
(L + B + A
=
et comme I + (L + B)
1
(A
(L + A)
1
I + (L + B)
1
(A
1
N
B) (L + A)
B) (L + A)
1
1
N
N;
B) est une bijection; alors
N = I + (L + B)
1
(A
B)
est compact sur G car (L + B) 1 N est compact sur G:
23
1
(L + B) 1 N
Chapitre 3
Théorie du degré pour les
perturbations L-compactes
3.1
Théorie axiomatique
Soient X, Z deux espace vectoriels normé réels et L : D(L)
X ! Z un opérateur
de Fredholm d’indice 0; notons par CL l’ensemble des couples (F; ) ; où
borné de X; F = L + N avec N :
!Z
L compact sur
est un ouvert
et satisfaisant la condition
F (x) 6= 0; pour tout x 2 D(L) \ @ .
3.1.1
Degré topologique relativement à L
L’application DL : CL ! Z est appelée degré relativement à L; s’il n’est pas identiquement
nulle et satisfait aux axiomes suivants:
Axiome d’excision-additivité
Si (F; ) 2 CL et
x 2 D(L) \
(F;
1;
1
1)
[
2
2
sont deux ouverts disjoints dans
avec F (x) 6= 0 pour tout
; alors
2 CL , (F;
2)
2 CL et DL (F; ) = DL (F;
Axiome d’invariance par homotopie
24
1)
+ DL (F;
2) :
3.1. Théorie axiomatique
Soit l’opérateur H : (D(L)
[0; 1]) \
! Z dé…ni par
H (x; ) = Lx + N (x; ) ;
où
est un ouvert borné de X
pour tout
[0; 1] et N :
! Z est L-compact sur : Si H (x; ) 6= 0
2 [0; 1] et tout x 2 D(L) \ (@ ) où
(@ ) = fx 2 X; (x; ) 2 g ;
alors DL (H (:; ) ; ( ) ) est indépendant du choix de
3.1.2
dans [0; 1] :
Propriétés
1. Propriété d’excision
Si (F; ) 2 CL et
est un ouvert tel que F (x) 6= 0; pour tout x 2 D(L)\
1
n
1
alors
(F;
1)
2 CL et DL (F;
1)
= DL (F; ) :
Démonstration. Il su¢ t d’utiliser l’axiome d’excision-additivité pour les ouverts
pour démontrer que DL (F; ?) = 0; ensuite pour les ouverts
0; pour tout x 2 D(L) \
n
1
1; ?
,?
car par hypothèse F (x) 6=
[ ? ; par suite DL (F; ) = DL (F;
1)
+ DL (F; ?) :
2. Propriété de non nullité du degré (ou propriété d’existence)
Si (F; ) 2 CL et DL (F; ) 6= 0; alors l’équation F (x) = 0; admet au moins une
solution dans D(L)\
:
Démonstration. Utilisons l’axiome d’excision-additivité pour
0; pour tout x 2 D(L) \
1
=
2
= ?; si F (x) 6=
? alors DL (F; ) = DL (F; ?) + DL (F; ?) = 0 + 0 = 0:
3. Invariance sur le bord
Si (F; ) et (G; ) sont deux éléments de CL avec F (x) = G (x) pour tout x 2
D(L) \ @
alors
DL (F; ) = DL (G; ) :
25
3.1. Théorie axiomatique
Démonstration. Il su¢ t d’appliquer l’axiome d’invariance par homotopie du degré,
avec F = L + M ; G = L + S et H (x; ) = Lx + M x + (1
M (:) + (1
x 2 D(L) \ @
) S (:) est L compact sur
) Sx: L’opérateur N (:; ) =
(car M et S le sont); d’un autre côté pour tout
on a
H (x; ) = F (x) 6= 0;
alors DL (H (:; 0) ; ) = DL (H (:; 1) ; ) :
4. Propriété de normalisation
Si (F; ) 2 CL où F est la restriction à
D (A) ! Z; alors
jDL (F
d’une application linéaire injective A :
8
< 1 si b 2 F (D (L) \ )
b; )j =
: 0 si b 2
= F (D (L) \ ) :
Pour plus de détails le lecteur pourra consulter ([29] et [31]).
3.1.3
Historique
L’application D0 correspondant au cas L = 0 représente le degré construit par Kronecker
en 1869 avec X = Z = Rn , avec F de classe C 1 ;
est régulier et 0 2
= F (@ ) ; ensuite par
Brouwer, en 1912 avec X, Z des espaces vectoriels normés de dimensions …nies et orientés,
F continue sur
et 0 2
= F (@ ); dans ce cas D0 est appelé degré de Brouwer, et est noté
par
D0 (F; ) = degB (F; ; 0) :
En 1934, Leray et Schauder ont construit l’application degré DI à partir du degré de
Brouwer; dans ce cas X = Z est un espace de Banach (en genéral de dimension in…nie),
F :
! X est une perturbation compacte de l’identité (i.e F = I + K) et 0 2
= F (@ ) : DI
est appelé degré de Leray-Schauder et noté par
DI (F; ) = degLS (F; ; 0) :
26
3.2. Quelques indications concernant la théorie du degré
3.2
Quelques indications concernant la théorie du degré
3.2.1
Degré de Brouwer
Supposons que dim X = dim Z < 1 et choisissons un orientation sur chaque espace (i.e
munir chacun par une base ordonnée). Comme on l’a déja vu, l’opérateur 0 : X ! Z est de
Fredholm d’indice 0 avec ker 0 = X et co ker 0 = Z; dans ce cas pour un ouvert borné
de X, C0 représente l’ensemble des couples (F; ) où F :
! Z est continue et F (x) 6= 0
pour tout x 2 @ .
Proposition 3.2.1 Soient X; Z; W des espaces vectoriels normés tels que dim X = dim Z =
X ! Z avec (F; ) 2 C0 et A : Z ! W application bijective, alors
dim W < 1, F :
D0 (AF; ) = sign (det A):D0 (F; ) :
3.2.2
Indice de Brouwer
On peut localiser le degré de Brouwer dans un voisinage d’un point isolé de F
Ch.5): Soit
point isolé de
1
(0) (voir [8]
Rn ! Rn une application continue et y un
un ouvert borné de Rn ; F :
\F
1
(0) : L’indice de Brouwer de l’application F au point y; est dé…ni par
indB (F; y) = degB (F; B (y; r) ; 0) ;
où r > 0 tel que B (y; r) \ F
1
(0) = fyg :
Exemple. Si F : Rn ! Rn est une application linéaire inversible, alors pour tout
y=F
1
(0) ;
indB (F; y) = sign (det F ) :
Théorème 3.2.1 Étant donné y 2 Rn ,
un voisinage de y et F 2 C
soit di¤erentiable au point y et JF (y) 6= 0, alors
indB (F; y) = sign JF (y) :
27
; Rn telle que F
3.2. Quelques indications concernant la théorie du degré
3.2.3
Degré de Leray-Schauder
Supposons que X = Z est un R espace vectoriel normé arbitraire. L’opérateur I : X ! X
est de Fredholm d’indice 0, CI est l’ensemble des couples (F; ) tel que F :
la forme F = I
K où K est un opérateur compact sur
! X est de
véri…ant
K) (x) 6= 0 pour tout x 2 @ :
(I
Le degré de Leray-Schauder sur CI est dé…ni en utilisant le degré de Brouwer par
\ Xn ) ;
DI (F; ) = lim D0 (Fn ;
n !+1
où Fn est la restriction de I
Kn sur
\ Xn avec Kn :
! Xn
X une application
continue, dim Xn < 1 et
lim
n !+1
max kKn x
Kxk = 0:
x2
Proposition 3.2.2 Soit X un R espace vectoriel,
opérateur tel que H :
! Y0
ouvert borné de X, F = I
X soit continue sur
H un
et dim Y0 < 1. Si H (x) 6= x pour
tout x 2 @ , alors
(F; ) 2 CI et DI (F; ) = D0 FjY0 ; Y0 \
Proposition 3.2.3 Soit F = I
H 2 CI avec H :
! Y0
:
X; où Y0 est un sous-espace
fermé de X: Alors
DI (F; ) = D0 FjY0 ; Y0 \
:
Proposition 3.2.4 Soit A : X ! X une application linéaire compacte et F = I
opérateur injectif. Pour tout ouvert borné
A un
de X tel que 0 2
= @ ; on a (F; ) 2 CI et
8
< 1 si 0 2
DI (F; ) =
: 0 si 0 2
= :
Pour les démonstrations de ces propositions, on peut consulter [31].
28
3.3. Construction de l’application DL dans le cas général
3.3
Construction de l’application DL dans le cas général
Notons par C (L) l’ensemble des applications linéaires A : X ! Z L complètement continues sur X; telles que ker (L + A) = f0g :
En vertu de la proposition (2.3.1) on remarque que F (L)
C (L) :
Lemme 3.3.1 Si A 2 C (L), B 2 C (L) alors l’application
1
= (L + B)
B;A
(A
B) est
complètement continue sur X et
I + (L + B)
1
(N
B) = (I +
Démonstration. Il est clair que
(A
B) est L
I + (L + B)
1
B;A
B;A )
I + (L + A)
1
(N
A) :
est complètement continue car (B 2 C (L),
complètement continue sur X). D’autre part, on a
(N
1
B) = I + (L + B)
(L + B + A
= I + I + (L + B)
= (I +
B;A )
= (I +
B;A )
+ (I +
1
(A
B) (L + A)
B) (L + A)
B;A ) (L
1
I + (L + A)
+ A)
(N
1
1
1
(N
(N
(N
A+A
B)
A) + (L + B)
1
A
A)
A) ;
ce qui achève la démonstration.
Lemme 3.3.2 Pour tout r > 0; jDI (I +
Démonstration. I +
B;A
B;A ; B
(r))j = 1:
: X ! X est un isomorphisme car c’est une perturbation
complètement continue de l’identité avec ker (I +
B;A )
= ker (L + A) = f0g
Lemme 3.3.3 Pour F = L + N …xé avec (F; ) 2 CL , alors
DI I + (L + A)
1
(N
est constante
A) ;
pour tout les choix de A dans CL .
Démonstration. Pour A 2 C (L), B 2 C (L) d’après le lemme (3.3.1) et la formule de
produit de Leray (voir [7]) on a
DI I + (L + B)
1
(N
B) ;
= DI (I +
B;A )
= DI (I +
B;A ; B
29
I + (L + A)
1
(N
A) ;
(r)) :DI I + (L + A)
1
(N
A) ;
B
3.3. Construction de l’application DL dans le cas général
et en employant le lemme (3.3.2) on obtient
DI I + (L + B)
car jDI (I +
B;A ; B
1
(N
B) ;
= DI I + (L + A)
1
(N
A) ;
;
(r))j = 1:
Rappelons que
(L + JP )
1
=J
1
Q + KP;Q ;
(où J; P; Q; KP;Q sont dé…nies au début de ce chapitre), pour A = JP on a
I + (L + A)
1
(N
A) = I + J
= I
1
Q + KP;Q (N
P +J
1
1
KP;Q N ;
JP )
QN + KP;Q N:
Posons
M (J; P; Q) = P
J
QN
l’opérateur M (J; P; Q) est compact sur
(car N est L compact sur ) et comme (L + JP ) (x) 6=
0 pour tout x 2 D (L) \ @ ; alors x
M (x) 6= 0 pour tout x 2 @
I
et par conséquent,
M (J; P; Q) 2 CI :
Proposition 3.3.1 La valeur DI (I
M (J; P; Q) ; ) ne dépent pas du choix des projecteurs continus P et Q, tandis que si J et J~ sont deux isomorphismes de ker L dans
Im (Q) : Alors
DI I
~ P; Q ;
M J;
= sign det J~ 1 J
: DI (I
M (J; P; Q) ; ) :
On cherche un isomorphisme J : ker L ! R (Q) tel que l’opérateur A = JP véri…e
DI (I +
B;A ; B
(r)) = +1:
Fixons une orientation sur chacun des espaces ker L et co ker L et considérons la surjection
canonique
: Z ! co ker L;
et un isomorphisme
: co ker L ! ker L
préservant l’orientation (i.e. sign(det ) > 0 ). Soit J1 =
Im (Q)) et pour avoir DI (I +
B;A ; B
jIm(Q)
(restriction de
(r)) = +1; il su¢ t de prendre J = J1 1 :
30
sur
3.3. Construction de l’application DL dans le cas général
3.3.1
Degré de Mawhin 1972
Dé…nition 3.3.1 Pour (F; ) 2 CL ; le degré de F dans
DL (F; ) = DI I
= degLS I
P +J
1
relativement à L est dé…nie par
QN + KP;Q N;
P +J
1
QN + KP;Q N; ; 0 :
Le degré ainsi dé…ni s’appelle degré de coïncidence de L et
N sur
\ D (L) :
Théorème 3.3.1 En utilisant les propriétés du degré de Leray-Schauder, on peut montrer
que DL satisfait aux propriétés d’excision-additivité, invariance par homotopie et la non
nullité du degré.
Démonstration. (Voir [35] ) Par la dé…nition du degré DL , on a DL (F; ) = degLS (I
où M = P
J
1
QN
KP;Q N est un opérateur compact (car N est L compact sur
M; )
).
Pour démontrer la propriété de la non nullité du degré par exemple, on remarque que
degLS (I
M; ) 6= 0 entraine qu’il existe x 2 D (L) \
tel que x = M x qui est
équivalent à son tour à Lx + N x = 0:
Le calcul de DL (F; ) est réduit à celui du degré de Brouwer dans le cas particulier
intéréssant suivant.
Proposition 3.3.2 Si (F; ) 2 CL avec F = L + N et N ( )
mentaire topologique de Im (L) ; alors Njker L ;
Y0 où Y0 est le supplé-
\ ker L 2 C0 et
DL (F; ) = sign (det J) degB Njker L ;
\ ker L; 0 :
Démonstration. En utilisant la dé…nition de DL avec les mêmes notations (car QN =
N et (I
P )jker L = 0).
Proposition 3.3.3 Soient F = L+B, avec B : X ! Z application linéaire L complètement
continue,
et
un ouvert borné de X tel que 0 2
= @ . Si ker (L + B) = f0g alors (F; ) 2 CL
8
< 1 si 0 2
jDL (F; )j =
: 0 si 0 2
= :
31
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
Démonstration. D’après la proposition (2.3.1), F : D (L) ! Z est une application
liénaire et bijective et comme 0 2
= @ ; alors F x 6= 0 pour tout x 2 D (L) \ @ ; il su¢ t donc
d’utiliser la proposition (3.2.4).
Proposition 3.3.4 Si (F; ) 2 CL avec F : D (L) \
! Z injective, alors pour tout
b 2 F ( );
jDL (F (:)
b; )j = 1
Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la dé…nition de DL et la règle
du produit de Leray.
3.3.2
Théorème généralisé de Borsuk
Théorème 3.3.2 Si (F; ) 2 CL avec
symétrique par rapport à 0, 0 2
et F est
impair alors DL (F; ) est un entier impair (et par conséquent, non nul).
Démonstration. Grâce à la dé…nition précédente on a DL (L + N; ) = degLS (I
et comme (I
M ) ( x) =
x + M (x) =
(I
M ) (x) pour tout x 2
M; ; 0);
car F et par suite
N sont impairs. Il su¢ t d’utiliser le théorème de Borsuk ([7], page 24).
3.4
Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
Les propriétés d’existence et d’invariance par homotopie, conduisent à des théorèmes d’existence
trés importants souvent utilisés pour résoudre des problèmes aux limites non linéaires.Tous
ces théorèmes sont des conséquences de la théorie du degré de Leray-Schauder.
3.4.1
Principe de continuation de Leray Schauder
Étant donné (voir Ch.IV de [44]) un opérateur
F :O
X
[ ; ] ! X tel que F (x; ) = x
K (x; ) ;
où X est un R espace vectoriel normé, O est un ouvert borné de l’espace X
[ ; ] muni
de la topologie induite par la norme k(x; )k = kxk + j j ; et K : O ! X est un opérateur
32
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
complètement continue. Pour tout B
[ ; ] et
X
2 [ ; ] on note par B l’ensemble
fx 2 X; (x; ) 2 Bg :
Théorème (homotopie généralisée) ([44] p. 49-50) Si F (x; ) 6= 0; pour tout
(x; ) 2 @O ( la frontière de O dans X
[ ; ]), alors
degLS (F (:; ) ; O ; 0) = constante
pour tout
2 [ ; ]:
Démonstration. d’abord, on suppose que O 6= ?,
= inf f 2 [ ; ] ; O 6= ?g et
= sup f 2 [ ; ] ; O 6= ?g : Pour " > 0 …xé, on pose
^ =O[O
O
]
"; ] [ O
^ est un ouvert borné de X
il est clair que O
bornés O ; O
]
"; [ et O
^ est la réunion de trois ouverts
R (car O
] ; + "[ et (O
l’extension de l’opérateur K à X
[ ; + "[ ;
f g
O, O
f g
O ). Soit K
R, l’existence de K est assuré par le théorème suivant
dù à Dugundji.
Théorème (voir [44], Ch.I) Soit X et Z deux espaces de Banach, f : C ! M une
application continue où C est un fermé de X et M convexe dans Z. Alors il existe une
application continue f^ : X ! M telle que f^ (x)) = f (x) ; pour tout x 2 C:
Soit
F (x; ) = (x
où
K (x; ) ;
0)
= (x; )
(K (x; ) ;
0) ;
2 [ ; ] (…xé). Alors F est une perturbation complètement continue de l’identité
^
dans X R véri…ant pour tout (x; ) 2 @ O;
0
F (x; ) 6= 0;
^ 0 est bien dé…ni et est
car K (x; ) 6= x, pour tout (x; ) 2 @O; alors degLS F (x; ) ; O;
constant pour chaque valeur de
Ft (x; ) = (x
0
(propriété d’excision). Pour tout t 2 [0:1] on considère
t:K (x; )
(1
remarquons que, Ft (x; ) = 0 si et seulement si
t) :K (x;
=
Ft (x; ) 6= 0
33
0
0) ; ;
et x = K (x;
0) ;
0) ;
ceci montre que
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
^ et tout t 2 [0:1] : La propriété d’invariance par homotopie implique
pour tout (x; ) 2 @ O
que
^ 0 = degLS F ; O;
^ 0 = degLS F ; O;
^ 0 :
degLS F1 ; O;
0
D’une autre part on a d’après la propriété d’excision,
^ 0 = degL:S (F ; O
degLS F0 ; O;
0
0
]
"; + "[ ; 0) ;
et en utilisant la formule de produit cartésien, on obtient
degL:S (F0 ; O
car degL:S (:
0; ]
]
0
"; + "[ ; 0) = degLS (F (:; 0 ) ; O 0 ; 0) = constante
"; + "[ ; 0) = degB (I; ]
"; + "[ ;
0)
= 1:
Comme conséquence immediate, nous énonçons le théorème suivant
Théorème de continuation de Leray Schauder
Théorème 3.4.1 Soit F l’opérateur dé…ni au début de la section (4.3). Si F satisfait aux
conditions suivantes
(i). F (x; ) 6= 0; pour tout (x; ) 2 @O (estimation a priori)
(ii). degL:S (F (:; ) ; O ; 0) 6= 0;
alors l’ensemble
reliant O
= (x; ) 2 O; F (x; ) = 0 contient une partie connexe fermée C,
f gàO
f g(i.e. C \ O 6= ? et C \ O 6= ?).
Démonstration. d’après le principe d’homotopie généralisé de Leray-Schauder, on a
degL:S (F (:; ) ; O ; 0) = degL:S (F (:; ) ; O ; 0) ;
alors A =
f g=
6 ? et B =
f g=
6 ?: Comme K est complètement continu, alors
est un sous-espace métrique compact de X
pour
[ ; ] car N est complètement continue et
2 [ ; ] (…xé) on a;
=N (
f g) et
f g
O
f g
O (borné).
Pour achever la démonstration, nous avons besoin du lemme suivant dû à Whyburn
(de Kuratowski et Whyburn) (voir [8], Ch.7) Si E est un espace métrique compact,
A et B deux sous ensembles non vides, disjoints et fermés de E; alors on a l’alternative
suivante:
34
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
1. ou bien il existe une partie connexe de E qui rencontre A et B à la fois;
2. ou bien il existe deux parties compacts K1 et K2 telles que
K1 \ K2 = ?; K1 [ K2 = E; A
K1 et B
K2 :
Revenons à la preuve du théorème si on prend E = ; on remarque que
f g = A et
sont deux sous-emsembles disjoints (
6=
f g=B
) et fermés; alors s’il n’y a pas de tel continu
(comme a¢ rmé plus haut), il existerait deux parties compacts XA ; XB ; telles que
XA \ XB = ?; XA [ XB =
On peut donc trouver un ouvert U
X
et A
XA ; B
[ ; ] tel que A
XB :
V = O \U et
\@V = ? = V
par conséquent;
degLS (F (:; ) ; V ; 0) = constante pour tout
:
La propriété d’excision entraine que
degLS (F (:; ) ; V ; 0) = degLS (F (:; ) ; O ; 0) = degL:S (F (:; ) ; O ; 0) 6= 0;
et comme V = ?, alors ces égalités conduisent à une contradiction.
On va formuler le théorème de continuation, lorsque l’ouvert O est non borné et en
particulier dans le cas O = X
[ ; ]:
Théorème 3.4.2 Soit l’opérateur F : O
[ ; ] ! X dé…ni par:
X
F (x; ) = x
N (x; ) ;
où O est un ouvert non borné de l’espace X
[ ; ] et
teur complètement continue sur O. Supposons que
degL:S (F (:; ) ; O ; 0) 6= 0: Alors
est borné,
\ (@O)
= ? et
= (x; ) 2 O; F (x; ) = 0 contient une partie con-
nexe fermée C véri…ant les conditions suivantes:
1. C\
N : O ! X est un opéra-
f g=
6 ?:
35
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
2. Ou bien C rencontre (@O) [
f g ; ou bien C est non borné.
Démonstration. Soit n0 2 N tel que
B (0; n0 ). Pour tout n
On = O \ (B (0; n)
n0 ;
[ ; ])
est un ouvert borné véri…ant les conditions du théorème précédent, alors il existe xn 2
une composante connexe Cn de
f g ; or
contenant (xn ; ) et rencontrant @On [ [
\ B (0; n)]
est compact, alors la suite (xn ) possède un point d’accumulation x0 2
C0 la composante connexe de
et
; soit
contenant (x0 ; ) : Supposons que C0 ne rencontre ni @O ni
f g et montrons que C0 est non borné; dans le cas contraire, soit D un sous-ensemble
ouvert et borné de O tel que C0
D et
l’ouvert D à la place de O; entraine que
f g
D; le théorème précédent appliqué à
\ @D 6= ?: Alors f(x0 ; )g et
\ @D satisfait
aux conditions du lemme de Whyburn; par hypothèse ces parties ne peuvent pas être reliées
par des composantes connexes de
D, tel que @V0 \
; alors il existe un voisinage ouvert V0 de (x0 ; ) dans
= ?; or x0 est un point d’accumulation de la suite (xn ) ; donc il existe
n1 > n0 ; tel que (xn1 ; ) 2 V0 ; et B (0; n1 )
simultanément V0 et X
[ ; ]
D: Par conséquent, Cn1 rencontre
V0 ; et par suite @V0 \ Cn1 6= ?; d’où une contradiction.
Pour la suite étant donnés L : D(L)
N :
[ ; ]
! Z; opérateur L-compact sur , où
X ! Z un opérateur de Fredholm d’indice 0;
est un ouvert borné de X
[ ; ]( ;
sont
deux reels donnés) notons par:
S = (x; ) 2
\ D (L)
[ ; ] ; Lx + N (x; ) = 0 ;
l’ensemble des solutions de la famille des équations parametrées Lx + N (x; ) = 0: On
suppose que
6= ?:
Les résutats suivants, sont des conséquences immédiates du théorème de continuation de
Leray-Schauder, car le calcul du degré DL est ramené à celui du degré de Leray-Schauder.
Corollaire 3.4.1 Si les conditions suivantes sont satisfaites
(i) (L (:) + N (:; ) ;
) 2 CL ;
(ii) DL (L (:) + N (:; ) ;
) 6= 0:
36
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
Alors il existe un sous ensemble S de S fermé et connexe reliant
soit à f(x; ) 2 @ ;
f g soit à
f g
2 [ ; ]g :
Corollaire 3.4.2 Si en plus, des conditions du corollaire (3.4.1) on a; Lx + N (x; ) 6= 0
pour tout x 2 (@ ) et tout
connexe qui rejoint
2 [ ; ] ; alors il existe un sous ensemble S de S fermé et
f gà
Corollaire 3.4.3 Soit
f g:
un ouvert (non nécessairement borné). Si l’ouvert
est borné
et les conditions du corollaire (3.4.1) sont remplies, alors il existe un sous ensemble S de
S fermé, connexe tel que
S rencontre
f g et veri…e l’alternative suivante:
1. Ou bien S est non borné,
2. ou bien S rejoint
Dans ce qui suit,
f gà
f g [ f(x; ) 2 @ ;
2 [ ; ]g :
désigne un ouvert borné de X. Le resultat suivant est un théorème
général d’existence de type Leray-Schauder.
Théorème 3.4.3 Soient F = L + N avec N :
! Z L compact sur
et G : D (L) \
[0; 1] ! Z un opérateur de la forme G (:; ) = L (:) + H (:; ) où H :
[0; 1] ! Z
est L compact et véri…ant H (:; 1) = N: Si les conditions suivantes sont satisfaites
1. G (x; ) 6= 0 pour tout (x; ) 2 D (L) \ @
[0; 1[ :
2. DL (G (:; 0) ; ) 6= 0:
Alors l’équation Lx + N x = 0 admet au moins une solution u 2 D (L) \ .
Démonstration. Si l’équation Lx+N x = 0 a une solution dans D (L)\@ ; le théorème
est démontré. Sinon nous aurons G (x; ) 6= 0 pour tout x 2 D (L) \ @
propriété d’invariance par homotopie, on obtient
DL (G (:; 1) ; ) = DL (G (:; 0) ; ) 6= 0;
alors il su¢ t d’utiliser la propriété d’existence pour …nir la preuve.
37
[0; 1] et grâce au
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
Théorème 3.4.4 Soient
X un ouvert borné, symétrique par rapport à 0 tel que
02
! Z opérateur L compact sur
; F = L + N avec N :
pour tout x 2 D (L) \ @
et
. Si F (x) 6= F ( x)
2 ]0; 1] ; alors l’équation Lx + N x = 0 admet au moins une
solution, u 2 D (L) \ :
Démonstration. Soit l’opérateur G : D (L) \
G (x; ) =
H(x; ) =
et on véri…e facilement que H :
2
1+
2
1+
Nx
2
Nx
1
2
F ( x) ;
1
2
N ( x) : Posons
N ( x) ;
[0; 1] ! Z est L compact, d’une autre part G (:; 1) = F
G (x; 0) pour tout x 2 D (L) \ . S’il existe (x; ) 2 D (L) \ @
et G ( x; 0) =
tel que G (x; ) = 0 et par suite F (x) =
(car 0 <
1
1+
F (x)
2
aprés simpli…cation on obtient G (x; ) = Lx +
[0; 1] ! Z dé…ni par:
1
1+
1 si
1
1+
[0; 1[
F ( x) ce qui représente une contradiction
2 [0; 1[ ). D’après la première étape de la démonstration et le
théorème de Borzuk généralisé, nous avons (G (:; 0) ; ) 2 CL et G ( x; 0) =
DL (G (x; 0) ; ) est un entier impair (car 0 2
G (x; 0) alors
) et donc DL (G (x; 0) ; ) 6= 0; ce qui nous
place dans les conditions du théorème précédent.
Théorème 3.4.5 Soient (G; ) 2 CL et F = L + N avec N :
! Z est L compact sur
. Si
1.
:F x + (1
) Gx 6= 0; pour tout x 2 D(L) \ @
et
2 ]0; 1[ :
2. DL (G; ) 6= 0.
Alors l’équation F x = Lx + N x = 0 admet au moins une solulion dans D(L) \ .
Démonstration. On suppose que G = L + T ; pour tout x 2 D(L) \
et
2 ]0; 1[ on
a
:F x + (1
N (x; ) = (1
L compacts sur
) Gx = Lx + (1
) T x + N x = Lx + N (x; ) ;
) T x + N x est L compact sur
(combinaison linéaire des opérateurs
). Appliquons le corollaire (3.4.1) avec
=
[0; 1]; on remarque que
et par suite S est borné; alors soit l’équation Lx + N x = 0 admet une solution dans
D(L) \ @
ou bien on est dans les conditons du corollaire (3.4.2).
38
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
Corollaire 3.4.4 Soient F = L + N avec N :
! Z est L compact sur
,B:X!Z
une application linéaire L complètement continue, telle que
ker (L + B) = f0g et b 2 (L + B) (D(L) \ ) :
Si Lx + (1
) (Bx
b) + N x 6= 0 pour tout x 2 D(L) \ @
et tout
l’équation Lx + N x = 0; admet au moins une solulion dans D(L) \
Démonstration. Il su¢ t de prendre G (:) = L + B (:)
remarquant que DL (L + B
3.4.2
b; ) =
2 ]0; 1[ ; alors
.
b dans le théorème (3.4.3) en
1:
Cas particulier
Supposons que ker L = f0g avec 0 2 . Si Lx + N x 6= 0 pour tout x 2 D(L) \ @
]0; 1[ ;
alors l’équation Lx + N x = 0 admet au moins une solution u 2 D(L) \ :
Démonstration. Il su¢ t de prendre B = 0 : X ! Z et b = 0 dans le corollaire
précédent.
Le théorème suivant est un cas spécial du théorème (3.4.3) où ker L 6= f0g :
Théorème 3.4.6 Soit F = L + N et T :
sont L compact sur
1. Lx + (1
et Z = Im L
! Y0 deux opérateurs tels que N :
! Z et T
Y0 . Si les conditions suivantes sont satisfaites:
) T x + N x 6= 0 pour tout x 2 D(L) \ @
et tout
2 ]0; 1[ :
2. T x 6= 0 pour tout x 2 ker L \ @ :
3. degB Tjker L ;
\ ker L; 0 6= 0:
Alors l’équation Lx + N x = 0 admet au moins une solulion dans D(L) \ .
Démonstration. D’après la dé…nition de la projection Q : Z ! Z, on a QT = T (car
T
Y0 ) alors Lx + T x = 0, x 2 D(L) \
T x 6= 0 pour tout x 2 ker L \ @
est équivalente à T x = 0; x 2 ker L; comme
on en déduit que (L + T; ) 2 CL et
DL (L + T; ) =
degB Tjker L ;
\ ker L; 0 6= 0;
ce qui montre que toutes les conditions du théorème (3.4.3) sont satisfaites.
Donnons maintenant une conséquence du théorème (3.4.6).
39
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
3.4.3
Théorème de continuation de Mawhin
Théorème 3.4.7 Soit F = L + N avec N :
! Z est L compact sur
1. Lx + N x 6= 0 pour tout x 2 [D(L)
et tout
ker L] \ @
. Supposons que
2 ]0; 1[ :
2. N x 2
= Im (L) pour tout x 2 ker L \ @ :
3. degB QNjker L ;
\ ker L; 0 6= 0:
Alors l’équation Lx + N x = 0 admet au moins une solulion dans D(L) \ .
Démonstration. Appliquons le théorème (3.4.6); pour cela on prend T = QN ; il
est clair que T est L compact sur
: D’autre part QN x 6= 0 pour tout x 2 ker L \ @ ;
car N x 2
= Im (L) = ker Q: Supposons que Lx + (1
x 2 D(L) \ @
et
2 ]0; 1[ ; alors QN x = 0 et Lx + N x = 0: QN x = 0 entraine que
N x 2 Im (L) alors x 2 [D (L)
ker L] \ @
et Lx + N x = 0 contredit l’hypothèse 1) d’où
) QN x + N x 6= 0; pour tout (x; ) 2 [D(L) \ @ ]
Lx + (1
3.4.4
) QN x + N x = 0, pour tout
]0; 1[ :
Théorème de coïncidence pour les ensembles convexes
Soit X et Z deux espaces de Banach réels, L : D(L)
X ! Z un opérateur de Fredholm
d’indice 0 et N : X ! Z un opérateur non nécessairement linéaire, L complètement
continu sur X. Soit C un sous-ensemble convexe, fermé non vide de X;
rétraction continue (i.e.
jC
les sous-ensembles bornés de
M =P +J
1
= I) et
un ouvert borné de X. On suppose que
sur des bornés de C; alors l’opérateur M = M
QN + KP;Q N est complètement continu sur
Proposition 3.4.1 On suppose que
1. Lx 6= N x; pour tout x 2 (C \ @ ) \ D(L);
2. M ( )
C:
Alors degLS (I
M ;
: X ! C une
; 0) est bien dé…ni.
40
.
envoie
où
3.4. Théorèmes d’existence de type Leray-schauder
Démonstration. Soit x 2 @
véri…ant M (x) = x, d’après l’hypothèse (2) on conclut
que x 2 C \ D(L): Alors
M (x) = M ( (x)) = M (x) = x;
ceci est équivalent à Lx = N x; ce qui contredit (1).
Proposition 3.4.2 On suppose que
1. degLS (I
M ;
2. M ( )
; 0) 6= 0;
C:
Alors l’équation Lx = N x admet une solution dans C \ :
Démonstration. D’après (1) puis (2) il existe x 2
x2C\
tel queM (x) = x 2 C: Alors
et véri…ant M (x) = x:
Théorème 3.4.8 (voir [18]) On suppose que les conditions suivantes sont satisfaites
A) (P + J
1
QN ) ( )
C et M ( )
C;
B) Lx 6= N x; Pour tout x 2 (C \ @ ) \ D(L) et
C) degB (I
(P + J
1
QN )
jker L ;
2 ]0; 1],
ker L \ ; 0) 6= 0:
Alors l’équation Lx = N x admet une solution dans C \ :
Démonstration. Considérons la famille d’opérateurs
M (x; ) = (P + J
pour
1
QN ) (x) + KP;Q N (x)
variant dans [0; 1] : Par des arguments standart, on déduit que Lx =
N x est
équivalent à
x = M (x; ) = P x + J
1
QN x + KP;Q N x:
On montre d’abord que M (x; ) 6= x pour tout (x; ) 2 @
]0; 1]. Si x 2 @ ; alors par
l’hypothèse A) on a
(P + J
1
QN ) (x) 2 C et M (x) 2 C;
41
3.5. Exemple d’application
comme C est convexe, donc
(1
)(P + J
1
QN ) (x) + M (x) = M (x; ) 2 C:
Par conséquent, si x = M (x; ) alors x 2 @ \ C; l’hypothèse B) implique que Lx 6= N x
et par suite x 6= M (x; ) = M (x; ) d’où une contradiction. Pour
= 0 le resultat découle
de l’hypothèse C); la propriété d’invariance par homotopie entraine que
degLS (I
comme l’image de (P + J
degLS (I
M (x; 0);
M (x; 1);
1
; 0) = degLS (I
M (x; 0);
; 0);
QN ) est inclu dans ker L;
; 0) = degB (I
(P + J
1
QN )
jker L ;
\ ker L; 0) 6= 0:
Il su¢ t d’utiliser la proposition précédente pour aboutir au resultat.
3.5
Exemple d’application
Soit f : [0; 1]
R2 ! R et e : [0; 1] ! R deux fonctions continues. Considérons le problème
aux limites ([2], page 499) suivants
8
< x00 (t) = f (t; x (t) ; x0 (t)) + e (t)
;
: x (0) = 0; x (1) = 1 :x ( )
où
2 ]0; 1[ et la nonlinéarité f véri…e les hypothèses
(H1 ) Il existe trois fonctions p; q et r de L1 ([0; 1]) telles que
jf (t; u; v)j
pour tout (t; u; v) 2 [0; 1]
p (t) : juj + q (t) : jvj + r (t) ;
R2 :
(H2 ) Il existe R0 > 0; tel que si v 2 R et jvj > R0 ; on a
jf (t; u; v)j
l juj + m jvj
pour tout t 2 [0; 1] et u 2 R; où m > l
0; M
42
0:
M
(I.3.5)
3.5. Exemple d’application
(H3 ) Il existe R1 > 0; tel que si v 2 R et jvj > R1 on a pour tout t 2 [0; 1] ;
ou bien vf (t; vt; v)
0 ou bien vf (t; vt; v)
0:
On remaque que le problème homogène associé à (I.3.5) admet des solutions non triviales,
pour cela on dit que c’est un problème en résonance.
Théorème 3.5.1 Sous les hypothèses (H1 ) ; (H2 ) et (H3 ) le problème (I.3.5) admet au
moins une solution x 2 C 1 ([0; 1]) pourvu que
2(kpk1 + kqk1 ) +
l
< 1:
m
On donne la preuve par étapes, dont chacune représentant un lemme à démontrer. On
X ! L1 ([0; 1]) ; par
dé…nit d’abord l’opérateur L : D (L)
D (L) =
1
x 2 W 2;1 ([0; 1]) ; x (0) = 0; x (1) = x ( )
et pour tout x 2 D (L) ; Lx = x00 : Soit X1 = fx 2 X; x0 (0) = 0g :
Lemme 3.5.1 L’opérateur L dé…ni si-dessus est de Fredholm d’indice 0 et l’opérateur
linéaire K : Im (L) ! D (L) \ X1 dé…ni par
Z tZ
(Ky) (t) =
y (s) dsd
0
0
avec y 2 Im (L) ;
est l’invese de l’opérateur LP = LjD(L)\X1 et véri…e, pour tout y 2 Im (L) l0 inégalité
suivante:
kKyk
kykL1 :
Démonstration. Lx = x00 = 0; x 2 D (L) implique que
x = at + b; x (0) = 0;
x (1) = 1 x ( ) ; ce qui donne b = 0 et a quelquonque; alors ker L =fx 2 D (L) ; x (t) = atg :
D’autre part pour tout y 2 Im (L); il existe x 2 D (L) tel que y (t) = x00 (t); on pose
Rt
Y (t) = 0 y (s) ds alors
Z 1
Z 1
Y (t) dt =
[x0 (t) x0 (0)] dt = x (1) x (0) x0 (0)
0
et
Z
0
1
Y ( t) dt =
0
Z
1
[x0 ( t)
1
x0 (0)] dt = x ( )
0
43
x (0)
x0 (0) ;
3.5. Exemple d’application
donc
Z
1
Y (t) dt =
0
Z
1
Y ( t) dt;
0
R1
R1
car x (1) = 1 x ( ) : Réciproquement, soit y 2 L1 ([0; 1]) véri…ant 0 Y (t) dt = 0 Y ( t) dt;
Rt
alors x (t) = 0 Y (s) ds appartient à D (L) et véri…e x00 (t) = y (t) ; on a bien montré que
Z 1
Z 1
1
Im (L) = y 2 L ([0; 1]) ;
Y (t) dt =
Y ( t) dt :
0
Pour y 2 L1 ([0; 1]) ; soit
Qy =
2
1
Z
0
Z
1
0
t
y (s) dsdt;
t
on pose y1 (t) = y (t) Qy; alors Y1 (t) = Y (t) t:Qy, en écrivant Qy sous la forme
Z t
Z 1
Z 1
Z 1 Z t
2
2
y (s) ds dt =
Y ( t) dt ;
Qy =
y (s) ds
Y (t) dt
1
1
0
0
0
0
0
d’où on conclut que
Z
1
(Y (t)
tQy) dt =
Z
1
(Y ( t)
tQy) dt;
0
0
et …nalement on obtient
Z
1
Y1 (t) dt =
0
Z
1
Y1 ( t) dt:
0
ce qui montre que y1 2 Im (L) ; donc y 2 Im (L)+R = Im (L) R car Im (L)\R = f0g ; par
suite L est un opérateur de Fredholm d’indice 0. Pour la suite on dé…nit la projection P :
X!X
par P x = x0 (0) t; on remarque que Im P = ker L et ker P = fx 2 X; x0 (0) = 0g :
Pour x 2 D (L) \ ker P on a
Z tZ
x00 (s) dsd
(KLP x) (t) = (Kx ) (t) =
0
0
Z t
[x0 ( ) x0 (0)] d = x (t) x (0)
=
00
tx0 (0) = x (t) :
0
Et pour tout y 2 Im (L) ;
(LP Ky) (t) =
Z tZ
0
y (s) dsd
00
= y (t) :
0
Alors K = LP 1 : D’autre part on a pour tout y 2 Im (L) ; t 2 [0; 1]
Z 1Z 1
Z
0
y (s) ds
j(Ky) (t)j
jy (s)j dsd
kykL1 et (Ky) (t) =
0
0
alors kKyk = max k(Ky)k1 ; (Ky)0
0
1
kykL1 :
44
kykL1 ;
3.5. Exemple d’application
Lemme 3.5.2 U1 = fx 2 D (L)
ker L; Lx + N x = 0, pour
2 [0; 1]g est un sous en-
semble borné de X.
Démonstration. On sait que (N x) (:) = f (:; x (:) ; x0 (:) ) + e (:). Pour tout x 2 U1 ;
on a
N x avec
Lx =
car x 2
= ker L et
6= 0 et par suite QN x = 0
N x 2 Im L; alors
Z 1Z t
[f (s; x (s) ; x0 (s) ) + e (s)] dsdt = 0;
0
t
donc il existe c 2 [0; 1] tel que
jf (c; x (c) ; x0 (c) )j = je (c)j
D’une autre part pour x 2 D (L)
kek1 :
ker L; en utilisant le lemme précédent et la condition
(H1 ) on obtient
k(I
P ) xk1 = kKL (I
P ) xk1
kL (I
= kLxkL1 = j j kN xkL1
P ) xkL1
kN xkL1
kpkL1 kxk1 + kqkL1 kx0 k1 + krkL1 + kekL1 :
Si pour un certaint t0 2 [0; 1] ; jx0 (t0 )j
jx0 (0)j = x0 (t0 )
R0 ; alors on a
Z t0
x00 (t) dt
R0 + kx00 kL1 :
0
Si jx0 (t)j > R0 pour tout t 2 [0; 1] ; la condition (H2 ) implique que
kek1
jf (c; x (c) ; x0 (c) )j
l jx (c)j + m jx0 (c)j
M
l kxk1 + m jx0 (c)j
M;
et par suite
jx0 (c)j
De ce qui précède, on déduit que
Z c
0
0
jx (0)j = x (c)
x00 (t) dt
0
kek1 + M
l
+ kxk1 :
m
m
jx0 (c)j + kx00 kL1
45
kek1 + M
l
+ kxk1 + kx00 kL1 :
m
m
3.5. Exemple d’application
Donc dans tout les cas, on a
jx0 (0)j
kek1 + M
l
; R0 + kxk1 + kx00 kL1 :
m
m
max
Rt
En écrivant x (t) = 0 x0 (s) ds; on obtient jx (t)j
R1 0
kx0 kL1
kx k1 dt; alors
0
kxk1
Rt
0
kx0 kL1
Rt
x0 (s) ds
0
jx0 (s)j ds
R1
0
jx0 (s)j ds =
kx0 k1 :
D’une autre part on a
kx0 k1
kxk
kP xk + k(I
P ) xk
kpkL1 + kqkL1 +
kx0 k1
kx00 kL1
C
+
;
C1
C1
l
m
kx0 k1 + kx00 kL1 + C;
qui entraine
avec C = krkL1 + max kek1 +
C1 > (kpk1 + kqk1 )
M
;
m
R0 et C1 = 1
0 car 2(kpk1 + kqk1 ) +
kx00 kL1 = kLxkL1
l
m
(kpkL1 + kqkL1 + ml ). On remarque que
< 1: On a aussi
kN xkL1
kpkL1 kxk1 + kqkL1 kx0 k1 + krkL1 + kekL1
kx00 kL1
C
+
+ krkL1 + kekL1
(kpkL1 + kqkL1 )
C1
C1
en posant C2 =
que kx00 kL1
C
C1
(kpkL1 + kqkL1 ) + krkL1 + kekL1 et C3 =
C2
1 C3
alors kxk1
kx0 kL1
C2
(1 C3 )C1
+
kpkL1 +kqkL1
C1
(C3 < 1), on trouve
C
:
C1
Lemme 3.5.3 L’ensemble U2 = fx 2 ker L; N x 2 Im Lg est borné.
Démonstration. Pour tout x 2 U2 ; x = at où a est une constante et QN x = 0: Alors
Z 1Z t
Z 1Z t
f (s; as; a) dsdt =
e (s) dsdt;
0
t
0
t
donc il existe d 2 ]0; 1[ tel que jf (d; ad; a )j = je (d)j
max R0 ;
m jaj
M
M +kek1
m l
kek1 : Il en resulte que jaj
; si jaj > R0 alors par la condition (H2 ) on obtient kek1
( l + m) jaj
M; car 0 < d < 1 par suite jaj
46
M +kek1
:
m l
l jaj d +
3.5. Exemple d’application
Lemme 3.5.4 Si dans la condition (H3 ) on suppose qu’il existe R1 > 0; tel que pour tout
v 2 R et jvj > R1 ; vf (t; vt; v)
0 pour tout t 2 [0; 1] ; alors l’ensemble
U3 = fx 2 ker L; H (x; ) = Jx + (1
est borné; où
) QN x = 0g
2 [0; 1] et J : ker L ! Im Q est l’isomorphisme linéaire dé…ni par J (at) = a:
Démonstration. Supposons que xn (t) = an t 2 U3 et kan tk = jan j ! +1 quand
n ! +1: Alors il existe
n
2 [0; 1] ; tel que
n an
La suite (
n)
trons que
0
n
(an t) = 0:
n
!
0:
Démon-
6= 1; en e¤et par l’absurde nous avons
= (1
n)
kQN (an t)k
jan j
ceci contredit le fait que
n
Pour n assez grand, 1
=
(1
n)
QN (an t)
;
an
! 0 quand n ! +1 (car QN est continue et jan j ! +1);
! 1:
n
6= 0; on peut écrire alors
1
Q (f (t; an t; an ) + e (t))
an
Z 1Z t
Z 1Z t
2
f (s; an s; an )
2
=
e (s) dsdt:
dsdt +
1
an
(1
) an 0
0
t
t
n
1
n ) QN
admet une sous-suite convergente; pour simpli…er on prend
n
alors
+ (1
=
n
Comme jan j ! +1 quand n ! +1; on peut choisir jan j > max (R0 ; R1 ). Alors pour n
assez grand, nous avons d’après la condition (H2 )
(f s; an s; an )
an
En utilisant le fait que an (f s; an s; an )
l+n
M
jan j
n
l
2
0; on déduit que
:
(f s; an s; an )
an
l n
:
2
Par le lemme
de Fatou, on obtient
lim sup
lim sup
Z
0
1
Z
t
n !1
n !1
Z
lim sup
t
Z
1
Z
t
0
t
1Z t
(f s; an s; an )
2
dsdt +
an
an
t
(f s; an s; an )
dsdt
an
n !1
(f s; an s; an )
dsdt
an
0
47
(l
Z
0
1
Z
n) (1
4
t
e (s) dsdt
t
)
:
3.6. Théorème de continuation pour des équations semi-linéaires
Ceci est une contradiction avec
0; alors U3 est borné.
n
1
n
Par le lemme (3.5.1), si B est un borné de Im L; alors pour tout y 2 B, on a kKyk
kykL1 : D’autre part pour t1 ; t2 de [0; 1] on a
Z t2 Z
y (s) dsd
jKy (t2 ) Ky (t1 )j =
t1
Z
t2
t1
0
Z
0
jy (s)j dsd
kykL1 jt2
t1 j ;
d’après le théorème d’Ascoli-Arzela K est compact, alors N est L compact. Des lemmes
(3.5.2), (3.5.3) et (3.5.4) on en déduit qu’il existe
B (0;
1 ),
U2
B (0;
et U3
2)
B (0;
3 ).
Soit
alors Lx + N x 6= 0 pour tout x 2 (D (L)
1
> 0;
2
> 0 et
= B (0; ) tel que
ker L) \ @
et
3
> 0 tel que U1
= max ( 1 ;
2;
3) ;
2 ]0; 1[ : N x 2
= Im L pour
tout x 2 ker L \ @ : degB QNjker L , ker L \ ; 0 = degB (J; ker l; 0) 6= 0: Donc toutes les
conditions du théorème de Mawhin sont véri…ées et alors le problème (I.3.5) admet au
moins une solution x 2 D(L) \ :
3.6
Théorème de continuation pour des équations semilinéaires
Soit L : D(L)
X ! Z un opérateur de Fredholm d’indice 0 tel que X, Z sont des espaces
de Banach et N : X
[0; 1] ! Z un opérateur L complètement continu. Considérons
l’équation semi-linéaire de la forme suivante:
Lx = N (x; ) ; avec x 2 D(L) et
Pour tout B
de X
X
[0; 1] et
2 [0; 1] :
2 [0; 1] on pose B = fx 2 X; (x; ) 2 Bg : Soit O un ouvert
[0; 1] (n’est pas nécessairement borné); notons par
l’ensemble (éventuellement
vide), des solutions (v; ) de l’équation (I.3.6) dans O, écrivons
= (v; ) 2 O \ D(L)
[0; 1] ; Lv = N (v; ) :
Supposons à présent que
^ 1)
(H
0
est un sous ensemble borné de X et
^ 2 ) DL (L (:)
(H
(I.3.6)
N (:; 0) ; ) 6= 0:
48
0
O0 :
3.6. Théorème de continuation pour des équations semi-linéaires
^ 3) ' : X
(H
[0; 1] ! R est une fonctionelle continue sur X
[0; 1] et propre sur
^ 1 ), pour tout ouvert borné
Lemme 3.6.1 Sous l’hypothèse (H
de X tel que
.
O0
0
on a
(L (:)
N (:; 0) ; ) 2 CL et DL (L (:)
Démonstration. Soit v 2 @
ouvert de X; (car
\
0
N (:; 0) ; ) = constante
alors v 2
ce qui contredit le fait que
n’est pas un voisinage de v dans ce cas) d’autre part, si
deux ouverts bornés tels que
0
0
DL (L (:)
et
0
sont
O0 ; alors
0
N (:; 0) ;
est un
) = DL (L (:)
N (:; 0) ; )
selon la propriété d’excision.
Alors on pose par dé…nition
DL (L (:)
où
N (:; 0) ; O0 ) := DL (L (:)
est un ouvert borné de X tel que
^ 2 ) entraine 0 6= ?:
(H
N (:; 0) ; ) ;
O0 :
0
^ 3 ); on conclut l’existence de deux réels
De (H
' = min ' (x; 0) et '+ = max ' (x; 0) :
x2
x2
0
0
^ 1; H
^ 2; H
^ 3 ; supposons en plus qu’il existe deux conThéorème 3.6.1 Sous les hypothèses H
stantes c ; c+ avec
' ; '+
[c ; c+ ] ; telles que
' (v; ) 2
= fc ; c+ g pour tout (v; ) 2 O \ ;
2 ]0; 1[
' (v; ) 2
= [c ; c+ ] pour tout (v; ) 2 @O \ ;
2 ]0; 1[ :
et
Alors l’équation Lx = N (x; 1) admet au moins une solution v 2 (O)1 \ D (L) :
Démonstration. ([29]) Supposons que Lx = N (x; 1) n’admet pas de solution; le
corollaire (3.4.3) assure l’existence d’une partie connexe fermée S du
(
0
; telle que S \
f0g) 6= ? et soit S est non bornée soit S \ @O 6= ?: '(S) est connexe (car c’est
49
3.6. Théorème de continuation pour des équations semi-linéaires
l’image d’une partie connexe par une fonction continue) et comme S \ (
0
f0g) 6= ?; alors
'(S) \ ' ; '+ 6= ?: Si S \ @O 6= ?; l’intervalle '(S) rencontre soit ] 1; c [ ou ]c+ ; +1[
car '(S)
' ( \ @O) \ [c ; c+ ] = ?; ce qui implique que [c ; c+ ] \ '(S) 6= ?;contradiction
avec l’hypothèse. Supposons que S est non borné, alors '(S) est non bornée aussi, ce qui
entraine que '(S) contient au moins l’un des intervalles '+ ; +1 ;
1; '
; alors
' ( ) \ fc ; c+ g =
6 ?
'(S)
qui contredit l’hypothèse aussi.
Remarque 3.6.1 Comme nous l’avons vu dans la preuve du théorème précédent la fonctionelle ' a pour but d’exclure la possibilité que le continuum S des solutions soit non borné.
est un ouvert borné de X; on suppose que l’équation Lx 6= N (x; ) avec
Exemple 3.6.1
x 2 D(L) et
2 [0; 1[ ; soit O =
' (x; ) =
Par hypothèse
[0; 1] et la fonctionelle ' : X
8
< dist (x; @ ) si x 2
:
[0; 1] ! R dé…nie par:
dist (x; @ ) si x 2
= :
; donc on peut prendre dans le théorème précedent les choix suivants:
0
c <
diam ( )
'
'+ < 0
c+ :
Considérons maintenant une conséquence du théorème (3.6.1). Soit
~ = f(v; ) 2 D (L)
on suppose que ' : X
[0; 1] ; Lv = N (v; )g ;
[0; 1] ! R+ est continue et satisfait aux conditions suivantes:
^ 4 ) Il existe R > 0; tel que ' (v; ) 2 N; pour tout (v; ) 2 ~ avec kvk
(H
^ 5 ) Pour tout n 2 N; '
(H
Soit m =
fermé de X
1
R:
(n) \ ~ est borné.
sup
' (v; ) et l’entier k0 = [m] + 1; alors
0
='
1
([0; k0 ]) est un
(v; )2 ~ \ B(R) [0;1]
[0; 1] (image réciproque d’un fermé par ' (continue)) et ~ \ B (R) [0; 1]
(d’après la dé…nition de k0 ).
50
0
3.6. Théorème de continuation pour des équations semi-linéaires
k
Pour tout entier k > k0 l’ensemble
1
='
^ 5 et le fait que
(k) \ ~ est compact (selon H
N est L complètement continue), alors
mk = dist
Soit l’ensemble Ok = '
1
(]k
k
0;
> 0:
"k ; k + "k [) ou 0 < "k < min
1 1
; m
2 2 k
: Pour un entier
i > k0 (…xé); on considère l’ouvert
Oi = X
[0; 1]
0
[
[
k>k0 ;k6=i
Ok
et
i
= (v; ) 2 Oi \ D (L)
i
Par construction, on a ' (
\ Oi ) = fig et par conséquent,
'i = min ' (v; 0) ; v 2
i
0
(i))0 \ ~ 0 =
i
0
Alors l’ensemble ('
k + "k pour tout v 2
^ 6 ) DL (L (:)
(H
1
i
0;
alors
N (:; 0) ;
i)
[0; 1] ; Lv = N (v; ) :
i
0
= max ' (v; 0) ; v 2
i
0
= 'i+ = i:
est borné; et comme ' (v; 0) 6= k
"k et ' (v; 0) 6=
(Oi )0 : Supposons que
6= 0 où
est ouvert borné de X; tel que
i
Alors on peut appliquer le théorème (3.6.1) en prenant O = Oi et
construction précédente il est clair que si on choisit ci = i
i
0
=
i
i
Oi .
: D’après la
"i , ci+ = i + "i et 'i = 'i+ = i
on obtient
(i) ' (v; ) 2
= ci ; ci+ pour tout (v; ) 2
'
i
\ Oi avec
2 ]0; 1[ car ' (
i
\ Oi ) = fig.
(ii) ' (v; ) 2
= ci ; ci+ pour tout (v; ) 2
i
\ @Oi avec
Il reste à démontrer que ' est propre sur
i
; soit K = [ ; ] un compact de R+ , l’ensemble
1
([ ; ])\
i
est un fermé inclu dans
i
2 ]0; 1[.
qui est compact, d0 ou le résultat. Alors l’équation
Lx = N (x; 1) admet au moins une solution
vi 2 (Oi )1 \ D (L)
car toutes les conditions du théorème sont véri…ées.
51
3.7. Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques
^ 4 ); (H
^ 5 ) sont véri…és et l’hypothèse (H
^ 6 ) est satisfait,
Corollaire 3.6.1 Si les hypothèses (H
pour tout entier i > k0 ; alors pour chacun de ses entiers, l’équation Lx = N (x; 1) admet au
moins, une solution vi 2 (Oi )1 \ D (L) tel que
' (vi ; 1) = i et
lim kvi k = +1:
i ! +1
Démonstration. ([29]) Seule la dernière conclusion reste à démontrer. Par l’absurde
supposns le contraire (i.e. limi! +1 kvi k =
6 +1), alors il existe une sous-suite (vi p ) bornée
de solutions de l’équation Lx = N (x; 1) telle que limp!+1 '(vi p ; 1) = ip ! +1;
ce qui est une contradiction car (vi p ) est précompact.
3.7
Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques
Il est bien connu que pour tout (s; y) 2 R Rn le problème
8
< x0 (t) = f (t; x (t))
: x (s) = y
où f : R
(I.3.7)
Rn ! Rn est une fonction continue et localement lipschitzienne par rapport à x;
admet une solution unique
x = x (t; s; y)
dé…nie sur un intervalle maximal J = ]
1
en plus, x est continue sur G = J
3.7.1
(s; y) ;
+
(s; y)[ avec
(s; y) < s <
+
(s; y)
R
+1;
R2 :
Solution T périodique d’une équation di¤érentielle
Dé…nition 3.7.1 Soit T > 0;on appelle Solution T périodique de l’équation
x0 (t) = f (t; x (t)) ;
toute solution x de cette équation, dé…nie sur l’intervalle [0; T ] et véri…e x (0) = x (T ) :
52
3.7. Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques
Si on suppose en outre que, f est T périodique relativement à t (i.e. f (t + T; x) =
f (t; x), t 2 R); alors une solution x, T périodique de l’équation x0 (t) = f (t; x (t)) ; peut
être prolongée à une solution de cette équation dé…nie sur R tout entier et véri…ent
x (t + T ) = x (t) quelque soit t 2 R:
L’opérateur de Poincaré est l’opérateur dé…ni par
PT
:
Rn ! Rn
PT (y) = x (T; 0; y)
où x (t; 0; y) est la solution unique du problème de Cauchy (I.3.7) lorsque s = 0:
Remarque 3.7.1 x (t; 0; y) est une solution T périodique du problème (I.3.7); si et seulement si y = PT (y) avec
3.7.2
+
(0; y) > T:
Théorème d’existence (de Krasnosel’skii-Perov)
Théorème 3.7.1 (voir [8]) Si
est un ouvert borné de Rn tel que les conditions suivantes
sont satisfaites:
(i) pour tout y 2
, la solution x (t; 0; y) du problème (I.3.7) est dé…nie au moins sur
[0; T ] ;
(ii) pour tout
2 ]0; 1] et tout y 2 @ , on a y 6= x ( :T; 0; y) ;
(iii) quelque soit x 2 @ ; f (0; x) 6= 0;
(iv) D0 (f (0; :) ; ) 6= 0:
Alors
D0 (I
PT ; ) = ( 1)n :D0 (f (0; :) ; )
et l’équation x0 (t) = f (t; x (t)) admet au moins une solution T périodique x telle que
x (0) 2 :
53
3.7. Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques
3.7.3
Degré topologique d’applications de type gradient
On rapelle que si V 2 C 1 (Rn ; R) ; le gradient de V est l’opérateur grad(V ) : Rn ! Rn dé…ni
par:
grad(V )(x) =
@V (x) @V (x) @V (x)
;
; :::
@x1
@x2
@xn
pour tout x = (x1 ; x2 ; :::xn ) 2 Rn :
Théorème 3.7.2 (voir [8], page)Soit ! un ouvert de Rn , V 2 C 1 (!; R) telle que grad V
est localement lipschitzienne. On note par V c , V c les ensembles
fx 2 !; V (x) < cg ; fx 2 !; V (x)
respectivement (c 2 R); supposons qu’il existe r > 0;
;
cg
deux nombres réels avec
<
et x0 2 ! tels que
V
B (x0 ; r)
et grad V (x) 6= 0 pour tout x 2 V
V
et V
! est borné;
V : Alors
D0 grad V; V
= 1:
Corollaire 3.7.1 Soit V 2 C 1 (Rn ; R) avec grad V est localement lipschitzien et tel que
(i)
lim V (x) = +1 (i.e. V est coercive).
jxj!+1
(ii) Il existe r1 > 0; tel que grad V (x) 6= 0 pour tout x 2 Rn B (r1 ) :
Alors pour tout r
r1 ;
D0 (grad V (x) ; B (r)) = 1:
Démonstration. Soit
= max V (x) : On remarque queV
kxk r1
coercive), il en résulte qu’il existe r0 > 0 tel que V
est borné car (V est
B (r) : Il su¢ t de prendre
>
max V (x) pour voir que tout les conditions du théorème (3.7.2) sont satisfaites avec x0 = 0:
kxk r1
Lemme 3.7.1 Soit V 2 C 1 (Rn ; R)où grad V est localement lipschitzien. Alors toute solution x, T périodiques du système,
x0 (t) =
grad V (x (t))
est constante.
54
3.7. Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques
On sait que hgrad V (x (t)) ; x0 (t)i =
Démonstration.
solution du système x0 (t) =
0
alors si x est une
grad V (x (t)) on obtient
d V (x (t))
= h x0 (t) ; x0 (t)i =
dt
Par intégration, on trouve
Z T
d V (x(t))
;
dt
2
kx0 (t)k dt =
2
kx0 (t)k :
V (x (T )) + V (x (0)) = 0
0
(car x (T ) = x (0)); on en déduit que x (t) = 0 =
grad V (x (t)) :
Remarque 3.7.2 Tout les résultats ci- dessus restent vrais quand grad V est supposé seulement continue.
3.7.4
Soit f : R
Fonction directrice pour une équation di¤érentielle
Rn ! Rn une fonction T périodique en t et continue. On considère le système
d’équations di¤erentielles
x0 (t) = f (t; x (t)) .
(II.3.7)
Dé…nition 3.7.2 On dit que V 2 C 1 (Rn ; R) est une fonction directrice, pour l’équation
di¤érentielle x0 = f (t; x) ; s’il existe r1 > 0 tel que
h grad V (x) ; f (t; x)i
0
(III.3.7)
pour tout t 2 R et x 2 Rn B (r1 ) : Si l’inégalité (III.3.7) est strict, V est appelée fonction
directrice stricte.
Proposition 3.7.1 [31] Si V 2 C 1 (Rn ; R) est une fonction directrice stricte pour le système (II.3.7) véri…ant
lim V (x) = +1;
kxk!+1
alors le système (II.3.7) admet au moins une solution T périodique.
Démonstration. La condition h grad V (x) ; f (t; x)i < 0; pour tout t 2 R et tout
x 2 Rn avec kxk
r1 implique que grad V (x) 6= 0; d’après le corollaire (3.7.1) on obtient
pour tout r > r1 ;
D0 (grad V (x) ; B (r)) = 1:
55
3.7. Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques
On dé…nit l’homotopie F : [0; 1]
(Rn B (r1 )) ! Rn par
F ( ; x) = (1
) : grad V (x) + :f (t; x) ;
il est clair que
h grad V (x) ; F ( ; x)i =
(1
) : kgrad V (x)k2 + : h grad V (x) ; f (t; x)i < 0;
ce qui montre que
F ( ; x) 6= 0 pour tout x 2 (Rn B (r1 )) :
Donc D0 (F ( ; x) ; B (r)) est bien dé…nie et vaut par homotopie D0 (F ( ; x) ; B (r)) =
D0 (grad V (x) ; B (r)) = D0 (f (t; x) ; B (r)) = 1 6= 0:
Lemme 3.7.2 Si le système (II.3.7) admet une fonction directrice stricte V ; alors toute
solution x, T périodique possible de ce système véri…e
V (x (t))
R0 = max V (x) :
kxk r1
Démonstration. Si ce n’était pas le cas, il existerait t0 tel que V (x (t0 )) > R0 : Par
conséquent;
V (x ( )) = maxV (x) > R0
t 2R
qui entraine kx ( )k > r1 ;
d
V
dt
(x ( )) = 0 = hgrad V (x ( )) ; f ( ; x ( ))i qui est en contra-
diction avec le fait que V soit une fonction directrice stricte.
56
Chapitre 4
Applications diverses
4.1
Introduction
Dans les deux sections suivantes, On s’intérèssera à l’existence et à la multiplicité des solutions de l’équation di¤erentielle ordinaire non linéaire suivante
x00 (t) + g(x(t)) = p(t:x(t):x0 (t)); t 2 [a; b]
(D1)
satisfaisant aux conditions aux limites de Sturm-Liouville ou de type périodique en a et b
(i.e x(a)
x(b) = x0 (a)
x0 (b) = 0), où g : R ! R est une fonction continue et superlinéaire
i.e
g (x)
= +1;
jxj!+1 x
lim
et p : [a; b]
(D2)
R2 ! R est une fonction continue véri…ant une condition de croissance linéaire
par rapport aux deux dernières variables.
En se basant sur la méthode de Leray-Schauder qui consiste à obtenir des estimations
a priori pour les solutions possibles d’une famille d’équations dépendant d’un paramètre
2 [0; 1] et joignant (D1) à un simple problème pour lequel le degré topologique est non
nul. On choisit par exemple
x00 (t) + g(x(t)) = p(t:x(t):x0 (t)):
Pour
(D3)
= 0; une étude élémentaire de l’équation
x00 (t) + g(x(t)) = 0
57
(D4)
4.2. Un exemple de fonctionelle ' pour des problèmes périodiques
sous la condition (D2), basée sur la première intégrale de l’énergie, montre que (D4) admetra
une in…nité de solutions avec de grandes amplitudes, et véri…ant les conditions aux limites.
D’après la méthode mentionnée ci-dessus et sous des conditions appropriées sur p, cette
propriété a lien pour toutes les équations (D3), Par conséquent, l’ensemble des solutions
possibles de (D3) satisfaisant aux conditions aux limites, n’est pas a priori borné. Cette dif…culté, dans le cas de conditions aux limites périodiques, a été surmontée par l’introduction
d’une fonctionelle ' qui sera décrite ulterieurement. L’approche que nous allons utiliser
s’applique également à des situations plus générales, et en particulier à l’existence de solutions T périodiques de certains systèmes hamiltoniens perturbés plan de la forme:
u0 (t) =
J
0
H (u (t)) + p (t; u (t))
avec H véri…e certaines conditions superquadratiques.
Un exemple de fonctionelle ' pour des problèmes
4.2
périodiques
Dans cette section, nous allons examiner un exemple de la fonctionelle ' montionnée au
dernier théorème de la section 3.6. Soit l’équation di¤érentielle ordinaire du premier ordre
x0 (t) = f (t; x (t) ; ) ; x 2 CT R; R2 :
où f : R
R2
[0; 1] ! R2 est une fonction continue sur R
R2
(I.4.2)
[0; 1] et T périodique
en t i.e. pour tout t 2 R;
f (t + T; x; ) = f (t; x; ) ;
CT (R; R2 ) = fx 2 C (R; R2 ) ; x (t + T ) = x (t) pour tout t 2 Rg est l’espace de Banach
p
muni de la normekxk = max kx (t)k où x (t) = (x1 (t) ; x2 (t))T et kx (t)k = x21 (t) + x22 (t),
x0 (t) =
dx(t)
dt
t 2R
= (x01 (t) ; x02 (t))T :
On dé…nit l’opérateur linéaire L : D (L)
CT (R; R2 ) ! CT (R; R2 ) par
Lx (:) = x0 (:) pour tout x 2 D (L) = CT R; R2 \ C 1 R; R2 ;
58
4.2. Un exemple de fonctionelle ' pour des problèmes périodiques
et N : CT (R; R2 )
[0; 1] ! CT (R; R2 ) où N (x (:) ; ) = f (:; x (:) ; ) est l’opérateur de
Némytskii associé à la fonction f: Il est clair que l’équation (I.4.2) est équivalente à
Lx = N (x; ) ; x 2 D (L) et
2 [0; 1] :
(II.4.2)
Soit la fonctionelle ' : CT (R; R2 ) [0; 1] ! R+ dé…nie par
Z T
1
hf (s; x (s) ; ) ; Jx (s)i (x (s)) ds ;
' (x; ) =
2
0
où J est la matrice
0
On remarque que J
Soit
1
=
J =@
J car J
2
0
1
1
0
1
A:
I2 ; et pour tout x 2 R2 ; hJx; xi = 0:
=
: R2 ! R est la fonction dé…nie par:
8
< 1
si kxk < 1
(x) =
: kxk 2 si kxk 1:
Il est clair que ' est continue, L est un opérateur de Fredholm d’indice 0 et N est L complètement
continue sur CT (R; R2 )
[0; 1] :Posons
= f(v; ) 2 D (L)
Lemme 4.2.1 Si (v; ) 2
[0; 1] ; Lv = N (v; )g :
avec min kv (t)k
t 2R
1; alors ' (v; ) 2 N:
Démonstration. Soit v : R ! R2 ; v (t) = (v1 (t) ; v2 (t)) où v1 (t) = r (t) cos (t) et
v2 (t) = r (t) sin (t) donc tan (t) =
d (t)
=
dt
(t)
par suite (t) = arctan vv12 (t)
et
v2 (t)
;
v1 (t)
1
1+
v2 (t)
v1 (t)
2
v2 (t)
v1 (t)
0
v20 (t) :v1 (t) v2 (t) :v10 (t)
(v1 (t))2 + (v2 (t))2
= (v20 (t) :v1 (t) v2 (t) :v10 (t)) kv (t)k
=
2
:
D’une autre part, si (v; ) est une solution de (I.4.2) alors
hf (t; v (t) ; ) ; Jv (t)i = hLv (t) ; Jv (t)i
= hv 0 (t) ; Jv (t)i
v2 (t) :v10 (t) + v20 (t) :v1 (t)
=
59
4.2. Un exemple de fonctionelle ' pour des problèmes périodiques
(car v 0 (t) = (v10 (t) ; v20 (t)) et Jv (t) = ( v2 (t) ; v1 (t))). Alors
Z 2
1
d (t)
' (v; ) =
2
0
1
=
[ (t)]20
2
2k
1
j( (2 )
(0))j =
=
2
2
= jkj
où k 2 Z:
Lemme 4.2.2 Soit S une forme quadratique sur R2 ; dé…nie positive et un réel
R2
existe R > 0 tel que pour tout (t; x; ) 2 R
[0; 1], avec kxk > R on a
ou bien hf (t; x; ) ; Jxi
S (x)
ou bien hf (t; x; ) ; Jxi
Alors il existe R0
kxk
S (x) + kxk :
1; tel que
(! hSi)
' (v; )
pour tout (v; ) 2
> 0: S’il
avec min kv (t)k
t 2R
Notation 4.2.1 hSi =
1
2
R2
0
Démonstration. Soient A
tel que mint 2R kv (t)k
R0 :
d
S(cos
;sin
1
)
et ! =
2
T
:
= minkxk=1 S (x). S’il existe (v; ) 2
max (R; 1),
A; alors
S (v (t)) = S (r (t) cos (t) ; r (t) sin (t))
= r2 (t) :S (cos (t) ; sin (t))
= kv (t)k2 :S (cos (t) ; sin (t))
en utilisant l’hypothèse hf (t; v (t) ; ) ; Jv (t)i
d (t)
dt
S (cos (t) ; sin (t))
kv (t)k; on obtient
S (v (t))
kv (t)k
S (cos (t) ; sin (t))
divisons les deux membres par S (cos (t) ; sin (t)) et utilisons le fait que
A
= minkxk=1 S (x)
on trouve;
1
d (t)
:
S (cos (t) ; sin (t)) dt
1
1
60
A:S (cos (t) ; sin (t))
A:
:
;
4.2. Un exemple de fonctionelle ' pour des problèmes périodiques
Par suite
Z
0
alors
T
Z
On sait que
(T )
(T )
T
1
d
S (cos ; sin )
(0)
A:
0
:T
A:
dt = T
:T
:
A:
T
(0) = 2 k avec ' (v; ) = jkj 2 N (d’après le lemme (4.2.1)) alors
T
R2
k
S(cos
(i.e. 1
Z
1
T
=
A::
A::
d
0
Si on choisit A >
Z
d (t)
S (cos (t) ; sin (t))
0
;sin
)
2
d
d
S(cos
1
0
1
S (cos ; sin )
> 0) on obtiendra k
' (v; )
T
:R 2
1
T
Z
2
;sin
)
A:
:
0 d’où le resutat,
1
d
S (cos ; sin )
0
(on utilise le fait que k est un entier et on prend A assez grand pour que
A:
soit assez
petit).
Lemme 4.2.3 Soient V 2 C 1 (R2 ; R), r > 0 véri…ant les conditions suivantes:
(i). jV (x)j ! +1 quand jxj ! +1.
(ii). Il existe a > 0 tel que pour tout x 2 R2
B (r) ; on a
hgrad V (x) ; f (t; x; )i
a: jV (x)j :
Alors pour tout r1 > 0; il existe r2 > r1 tel que si (v; ) 2
avec kvk
r2 , on a
min kv (t)k > r1 :
t2R
Démonstration. L’hypothèse (i) entraine que pour tout A > 0; il existe B > 0 tel que
jxj > B implique jV (x)j > A. Pour A = r on peut chisir r0 > r, tel que jV (x)j > 0 (i.e
6= 0 pour tout x véri…ant kxk
r0 ): On dé…nit la fonction
W : R2 B (r0 ) ! R; W (x) = log jV (x)j :
61
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
Il est clair que
lim
kxk!+1
(III.4.2)
W (x) = +1
et
grad W (x) =
grad V (x)
:
V (x)
Comme V 2 C 1 (R2 ; R),V (x) 6= 0 pour tout x 2 R2 B (r0 ) ; alors W 2 C 1 (R2 B (r0 ) ; R) :
Soit (u; ) 2
avec min ku (t)k
t 2R
r1 , …xons c0 > max (r0 ; r1 ) ; et choisissons t1 2 R tel que
kvk = max ku (t)k = ku (t1 )k; si on suppose que max ku (t)k > c0 alors il existe t0 2 R tel
t 2R
t 2R
que ku (t0 )k = c0 car la fonction t 2 R ! ku (t)k 2 R+ est continue et min ku (t)k
t 2R
r1 < c0 ;
d’après la T périodicité de u, on peut toujours choisir t0 et t1 dans l’intervalle [0; T ] de
manière que (t1
t0 ) :V (x) > 0 si kxk
r0 et ku (t)k > c0 ; si t est compris entre t1 et t0 :
On dé…nit la fonction w : [0; T ] ! R; w (t) = W (u (t)) ; alors on peut écrire
Z t1
Z t1
0
w (t1 ) = w (t0 ) +
w (s) ds = W (u (t0 )) +
w0 (s) ds
max jW (x)j + cT = c1 ;
t0
t0
d’après (III.4.2) on peut trouver r3
on a W (u (t1 ))
4.3
kxk=c0
(IV.4.2)
r0 tel que W (x) > c1 si kxk > r3 . D’après (IV.4.2)
c1 ce qui implique ku (t1 )k
r3 ; il su¢ t de prendre r2 = max fc1 ; r3 g :
Perturbations d’un système hamiltonien autonome
plan
Un système hamiltonien H est un système mécanique régi par les équations de Hamilton
q_i =
@H
et p_i =
@pi
@H
avec i = 1; 2; ::::n;
@qi
où H désigne l’énergie totale du système; c’est une fonction des grandeurs qi (position) et
pi (impulsion). Soit H 2 C 1 (R2 ; R) et p : R
R2 ! R2 une fonction T périodique en
t, continue envoie les bornés sur des bornés. Remarquons que les conditions posées sur p
impliquent que cette dernière satisfait aux conditions de Carathéodory.
Exemple
62
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
En mécanique, l’évolution d’un ensemble de points matériels de vecteur position x est
régie par la loi de Newton
mx00 = F (x; x0 );
où on désigne par x0 (t) =
dx
dt
la vitesse, x00 (t) =
d 2x
dt2
l’accélération et par la constante m la
masse. La fonction F (x; x0 ) représente une force dépendant de la position et de la vitesse.
S’il existe une fonction V 2 C 1 (R2 ; R) telle que
F (x) =
grad V (x);
dans ce cas on dit que la force F dérive d’un potentiel. Posons q = x, p = m:x0 (quantité
de mouvement) et
1
1
2
kpk2 + V (q):
H(q; p) = m: kx0 k + V (x) =
2
2m
Le système donné est équivalent au suivant
q0 =
@H
(q; p) et p0 =
@p
@H
(q; p) ;
@q
et par suite, au système
z 0 (t) =
J H 0 (z (t)) ;
où z (t) = (q (t) ; p (t)) = (x (t) ; m:x0 (t)) :
Théorème 4.3.1 On suppose que les conditions suivantes sont véri…ées
(i) jH(x)j ! +1 quand x ! +1.
(ii) Il existe r0 > 0 tel que grad H (x) 6= 0 pour tout x 2 R2 B (r0 ) :
(iii) Il existe r > 0 et a > 0 tels que h Jp (t:x) ; grad H (x)i
et x 2 R2 B (r) :
(iv) Pour tout
a: jH(x)j pour tout t 2 R
> 0, Il existe d ( ) > 0 et une forme quadratique dé…nie positive S sur
R2 ; tels que
1
lim hS i = +1 où hS i =
!+1
2
et
hgrad H (x) ; xi
jhp (t; x) ; xij
pour tout t 2 R et x 2 R2 :
63
Z
0
2
d
S (cos ; sin
S (x)
d( );
)
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
Alors le système
x0 (t) =
J (H 0 (x) + p (t; x (t)))
(I.4.3)
admet au moins une solution T périodique x (i.e x 2 D (L) = CT \ C 1 (R; R2 )).
R2
Démonstration. On dé…nit la fonction f : R
f (t; x; ) =
J (H 0 (x) + :p (t; x))
[0; 1] ! R2 par
(1
)
H 0 (x)
:
1 + kH 0 (x)k
Nous allons appliquer le corollaire (3.6.1) pour les opérateurs L et N dé…nis au début de
ce chapitre; d’abord en utilisant la condition (ii) on aura;
hf (t; x; 0) ; H 0 (x)i =
H 0 (x)
; H 0 (x)
1 + kH 0 (x)k
JH 0 (x)
kH 0 (x)k2
<0
1 + kH 0 (x)k
=
pour tout x 2 R2 B (r0 ) ; ceci montre que H
est une fonction directrice stricte pour
l’équation di¤erentielle
x0 (t) = f (t; x (t) ; 0) =
J H 0 (x)
H 0 (x)
;
1 + kH 0 (x)k
par l’hypothèse (i) et en vertu du corollaire (3.7.1), le lemme (3.7.1) et la proposition (3.7.1),
on constate que l’ensemble
0
= x 2 CT \ C 1 R; R2 ; Lx = N (x; 0)
est borné et que pour tout ouvert borné
jD0 (L
tel que
0
CT on a
N (:; 0) ; )j = 1:
En utilisant l’hypothèse (iii) on obtient
0
0
hf (t; x; ) ; H (x)i =
hJp (t; x) ; H (x)i
:a: jH(x)j
(car
0
a: jH(x)j
(1
kH 0 (x)k2
)
1 + kH 0 (x)k
2
kH (x)k
2 [0; 1] et 1+kH
0 (x)k > 0); alors les lemmes (4.2.3) et ensuite (4.2.1) impliquent
l’éxistence de
> 1 tel que si (v; ) 2
avec min kv (t)k
t 2R
64
1 alors kvk
et ' (v; ) 2 N:
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
En utilisant maintenant l’hypothèse (iv)
H 0 (x)
; Jx
1 + kH 0 (x)k
(1
)
hH 0 (x); Jxi
= h JH 0 (x); Jxi
hJp (t; x) ; Jxi
0
1 + kH (x)k
(1
)
=
hH 0 (x); xi
hp (t; x) ; xi
hH 0 (x); Jxi ;
0
1 + kH (x)k
hf (t; x; ) ; Jxi =
et comme
hp (t; x) ; xi
J ((x) + :p (t; x))
jhp (t; x) ; xij
hH 0 (x); Jxi
1 + kH 0 (x)k
(1
)
jhp (t; x) ; xij et
jhH 0 (x); Jxij
1 + kH 0 (x)k
kH 0 (x)k kxk
1 + kH 0 (x)k
kxk :
Alors
hH 0 (x) ; xi + jhp (t; x) ; xij + kxk
hf (t; x; ) ; Jxi
S (x) + d ( ) + kxk
S (x) + 2 kxk ;
pour tout t 2 R; x 2 R2 avec kxk
d ( ) : Par le lemme (4.2.2) on a que pour tout
>0
il existe r ( ) > 1 tel que
' (v; )
où (v; ) 2
avec min kv (t)k
(! hS i)
1
;
r ( ) : Le lemme (4.2.3) entraine que pour tout
t 2R
existe R ( ) > r ( ) ; tel que si (v; ) 2
et kvk
R ( ) alors ' (v; )
> 0 il
(! hS i)
1
et
comme nous avons
lim hS i
1
!+1
= +1;
alors ' (v; ) ! +1; quand kvk ! +1; cela implique que si ' (v; )
où cn est un réel et …nalement '
1
(n) \
n; alors kvk
cn ;
est borné pour tout n 2 N; on est bien dans les
conditions du corollaire (3.6.1).
4.3.1
Applications à des équations di¤erentielles ordinaires de
second ordre non linéaires
I - Considerons l’équation di¤erentielle de la forme
x00 (t) + g (x (t)) = r (t; x (t) ; x0 (t))
65
(II.4.3)
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
où g : R ! R est une fonction continue véri…ant la condition de superlinéarité suivante:
g (x)
= +1
jxj!+1 x
(III.4.3)
lim
r : R
R2 ! R est continue, T périodique relativement à t et véri…e la condition de
croissance linéaire suivante; il existe K > 0 et M > 0 tels que pour tout (t; u; v) 2 R
R2
on a;
jr (t; u; v)j
K (juj + jvj) + M
(IV.4.3)
Théorème 4.3.2 Si les conditions (III.4.3), (IV.4.3) sont satisfaites; alors l’équation (II.4.3)
admet au moins une T périodique solution [29].
Démonstration. En prenant u (t) = x (t), v (t) = x0 (t) et z (t) = (u (t) ; v (t));
l’équation (II.4.3 ) est équivalente au système
8
< u0 (t) = v (t)
: v 0 (t) = g (u (t)) + r (t; u (t) ; v (t))
Cette dernière équation peut s’écrire sous la forme
z 0 (t) = (u0 (t) ; v 0 (t))
= (v (t) ; g (u (t)) + r (t; u (t) ; v (t)))
= (v (t) ; g (u (t))) + (0; r (t; u (t) ; v (t)))
=
J:J [(v (t) ; g (u (t))) + (0; r (t; u (t) ; v (t)))]
=
J (g (u (t)) ; v (t))
Posons grad H (z) = (g (u (t)) ; v (t)) : Alors
@H
@u
J ( r (t; u (t) ; v (t)) ; 0) :
= g (u) et
@H
@v
= v; d’où
1
H (x) = H (u; v) = G (u) + v 2 ;
2
telle que
G (u) =
Z
u
g (s) :ds:
0
Soit la fonction p : R
R2 ! R2 tel que p(t; z) = ( r (t; u (t) ; v (t)) ; 0) ; alors l’équation
(II.4.3) est équivalente à l’équation (I.4.3). Montrons maintenant que, les fonctions p et H
ainsi construites véri…ent, les conditions du théorème (4.3.1). De la condition (III.4.3) nous
avons les conclusions suivantes:
66
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
1. il existe a > 0 tel que pour tout x 2 R et jxj
2. limjxj!+1 g (x) =
a; on a x:g (x) > 0:
1 et limjxj!+1 g (x) = +1:
3. Il existe b > 0 tel que jxj > b implique
g(x)
x
> 1.
Ru
on a
= max (a; b) ; nous avons G (u) = G ( )+ g (s) :ds; dans le cas u
Ru
g (s) > s; par intégration on obtient
g (s) :ds > 21 u2 12 2 ; d’où G (u) > 21 u2 12 2 +G ( ) :
Pour juj
Pour u
on trouve G (u) > 12 u2
Alors
car kxk =
0
1 2
2
) et par suite limjuj!+1 G (u) = +1:
+ G(
p
1
H (x) = G (u) + v 2 ! +1 quand kxk = u2 + v 2 ! +1;
2
p
u2 + v 2 ! +1 entraine qu’au moins juj ou jvj tend vers +1: D’autre part H
(x) = (g (u) ; v) 6= 0; en e¤et, limjuj!+1 jg (u)j = +1 entraine que
kH 0 (x)k ! +1 quand kxk ! +1:
De ce qui précède, on déduit aussi qu’il existe d0 > 0; tel que pour tout u 2 R et juj
on
a
1
G (u) > u2
2
en e¤et, si on pose h =
1 2
2
+ G( ); l =
1 2
2
(V.4.3)
d0 ;
et l > 0; d0 = min ( h; l) ; si h < 0 et l < 0; d0 =
0
u<
ce qui donne, G (u) > 12 u2
> 0;
h;si h < 0 et l > 0: Dans le cas
on a
1 2
u
2
max G (u)
de
) ; d0 est quelquonque, si h > 0
+ G(
1 2
2
G (u) <
1
2
2
min G (u)
min G (u) : La condition (III.4.3) implique l’existence
> 0 tels que
lim
s!+1
g (s)
:s2 = 0 et lim
s! 1
g (s) + :s2 = 0;
(i.e. la courbe représentative de g admet des branches paraboliques au voisinage de +1; 1
). Pour " > 0 …xé il existe A > 0; tel que
s > A entraine :s2
" < g (s) < :s2 + "
et
s<
A entraine
.s2
67
" < g (s) <
.s2 + ";
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
par intégration entre m = max (A; a) et u les deux membres de l’inégalité :s2
" < g (s)
on obtient
G (u) >
3
u3
3
m3
"u + "A + G (m) ;
et en diviseant par u2 on trouve
G (u)
> u
u2
3
m3
3 u2
"
"
G (m)
+ 2A +
:
u u
u2
.s2 + " (ici les bornes d’intégration
Répétons les même étapes pour l’inégalité g (s) <
sont
A et u ) on aboutit à
m3
G (u)
u
+
>
u2
3
3 u2
"
G ( m)
A+
;
2
u
u2
"
u
on en déduit que
G (u)
= +1:
juj!+1 u2
lim
Le resutat (V.4.3) implique que pour tout x = (u; v) 2 R2 on a
H (x)
Pour x = (u; v) 2 R2 tel que kxk
0
Jp (t:x) ; H (x)
H (x)
En e¤et kxk
=
1
kxk2
2
p
2 d0 ; on a
r (t; x) :v
jr (t; x)j : jvj
H (x)
jH (x)j
(K (juj + jvj) + M ) : jvj
jH (x)j
(K (juj + jvj) + M ) : jvj
1
kxk2 d0
2
(K (juj + jvj) + M ) : (juj + jvj)
1
kxk2 d0
2
p
p
2K kxk2 + M 2 kxk
2 2M kxk 8d0
= 4K +
1
kxk2 d0
kxk2 2d0
2
p
p
2 d0 > 2d0 entraine que kxk2
2d0 > 0; d’autre part
vers 0 quand kxk ! +1: À partir de la condition
tout
> 0, il existe d ( ) > 0 tels que g(u)
u
u 2 R;
u:g (u)
d0 :
2
+
(K + 1)2
2
+
2
68
g(u)
jxj!+1 u
lim
(K+1)2
;
2
!
u2
c:
p
2 2M kxk 8d0
kxk2 2d0
tend
= +1 on conclut que pour
par conséquent on a pour tout
d( ):
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
Figure 4.3.1 : Fig.1
Alors, on a les estimations
D 0
E
H (x) ; x
jhp (t; x) ; xij = g (u) :u + v 2
juj jr (t; u; v)j
!
2
(K
+
1)
2
u2 + v 2 d ( )
+
2
[K (juj + jvj) + M ] juj
(K 2 + 1)
u2 K juj : jvj
2
M2
v2
2 2
d( )
S
:u +
2
2
2
On remarque que S =
2
2
:u2 +
v2
2
+
1
=e
( ):
1
2
En opéant le changement de variable suivant, cos
z = ei ; z
d( )
est une forme quadratique sur R2 dé…nie positive; car
u2 > 0 pour tout u 6= 0: Calculons
Z 2
Z 2
d
1
1
hS i =
=
2 0 S (cos ; sin )
2 0
S (u; u) =
M juj
+
=
d
2 : (cos
ei +e
2
i
)2 +
; sin
(sin )2
2
=
ei
:
e
2i
i
et ensuite
i
on trouve dz = iz:dz et
I
8z:dz
1
hS i =
2 i jzj=1 (2 2 1) z 4 + 2 (2 2 + 1) z 2 + (2
La fonction f dé…nie par f (z) = (2 2 1)z4 +2(28z:dz
q p
q p 2 +1)z2 +(2
p2 1 ; z1 =
p2+1 ; z4 =
z0 = i
z0 ; z3 = i
2+1
2 1
l’intérieur du cercle de rayon 1 centré à l’origine.
69
2
1)
q
i
2
1)
:
possède quatre pôles simples:
p
p2+1
2 1
seulement z0 ; z1 sont à
Appliquons le théorème des résidus;
4.3. Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan
le résidu de f en z0 = limz!z0 (z
hS i =
p
2
et c’est clair que
p
2
1
p
z0 ) f (z) =
! 0 quand
2
=le résidu de f en
z0 ; alors on trouve
! +1:
II - Comme autre application du théorème (4.3.1), on considère le système hamiltonien
perturbé suivant:
x0 (t) =
où H 2 C 1 (R2 ; R) et p : R
J (H 0 (x) + p (t; x (t)))
(VI.4.3)
R2 ! R2 est une fonction continue T périodique en t.
Théorème 4.3.3 Si les conditions suivantes sont véri…ées:
(i)
hH 0 (x);xi
kxk2
! +1 quand kxk ! +1:
(ii) Il existe K > 0; M > 0; tels que pour tout x 2 R2 on a kH 0 (x)k
(iii) Il existe C > 0 tel que pour tout (t; x) 2 R
R2 on a kp (t; x)k
K: jH (x)j + M
C:
Alors le système (VI.4.3) admet au moins une solution T périodique.
Démonstration. Démontrons que les conditions du théorème (4.3.1) sont satisfaites.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on déduit que
hH 0 (x); xi
kxk
jhH 0 (x); xij
kxk
kH 0 (x)k : kxk
= kH 0 (x)k ;
kxk
donc kH 0 (x)k et ensuite jH (x)j ! +1 quand kxk ! +1 (d’après (i) et (ii)). En utilisant
respectivement l’inégalité de Cauchy-Schwartz, les condition (iii) et (ii), on obtient
h Jp (t:x) ; H 0 (x)i
k Jp (t:x)k : kH 0 (x)k
Or il existe R > 0; tel que kxk
C: kH 0 (x)k
R entraine que jH (x)j
h Jp (t:x) ; H 0 (x)i
pour tout t 2 R, x 2 R2 avec kxk
CM: Alors
(CK + 1) : jH (x)j
R, la condition (i) entraine que pour tout
existe ( ) > 0, véri…ant
hH 0 (x); xi
CK: jH (x)j + C:M:
2
+
70
1
2
: kxk2
( ):
> 0; il
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
Nous avons alors
hH 0 (x); xi
2
jhp (t:x) ; xij
2
2
+
1
2
1
+
2
: kxk2
: kxk
: kxk2
2
( )+
( )
C: kxk
( )
C 2 + kxk2
2
C2
2
:
Il su¢ t de poser S (u; v) = 2 : (u2 + v 2 ) comme forme quadratique sur R2 dé…ne positive;
R2
on remarque que hS i = 21 0 d 2 = 12 ! 0; quand ! +1:
4.4
Une équation di¤érentielle superlinéaire du second
ordre avec conditions de Dirichlet homogènes
On considère le problème
8
< x00 (t) + g (x (t)) = p(t; x (t) ; x0 (t))
: x (0) = x (1) = 0;
où g : R ! R est une fonction continue, superlinéaire (i.e.
p : [0; 1]
(I.4.4)
g(x)
jxj!+1 x
lim
= +1 ),
R2 ! R2 est un fonction continue et possède une croissance linéaire par rapport
aux deux dernières variables. Pour simpli…er le traitement du problème, on peut toujours
supposer que g (x) :x 6= 0; si x 6= 0 (si c’était nécessaire, ajouter un terme borné au deux
membres de l’équation): On considère la famille de problèmes paramétrés par
8
< x00 (t) + g (x (t)) = :p t; x (t) ; x0 (t)
: x (0) = x (1) = 0;
ce problème peut s’écrire comme équation abstraite de la forme
Lx = N (x; ) avec x 2 C01 ([0; 1]) et
2 [0; 1] ;
où l’espace
C01 ([0; 1]) = x 2 C 1 ([0; 1]) ; x (0) = x (1) = 0
est muni de la norme usuelle de l’espace C 1 ([0; 1]) et
Lx =
x00 ; N (x; ) = g (x (:))
71
:p (:; x (:) ; x0 (:)) :
2 [0; 1]
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
x00 = 0, x (0) = x (1) = 0 n’admet pas
On remarque que ker L = f0g ; car le problème
de solutions non triviales. Commençons par l’étude du cas
8
< x00 (t) + g (x (t)) = 0
: x (0) = x (1) = 0;
= 0: On a
(II.4.4)
0
multiplions par x (t) et intégrons membre à membre, on obtient
1
1 0
2
2
(x (t)) + G (x (t)) = (x0 (0)) = const:
2
2
(III.4.4)
Cette équation représente la conservation de l’énérgie totale H (x; x0 ) = 21 x02 + G (x) ;
Rx
où G (x) = 0 g (r) dr est l’énergie potentielle. Dans le plan de phase (x; y) = (x; x0 ) ; les
niveaux d’énergie de la fonction H sont des courbes fermées qui entourent l’origine. Pour
tout s > 0; le temps nécessaire pour une solution correspondant au niveau d’énergie
s2
;
2
pour
tourner dans le plan de phase en partant d’un point d’abcisse x0 jusqu’au point d’abcisse
x1 est donné par
(s; x0 ; x1 ) =
Z
x1
x0
dr
p
s2
2G (r)
:
On pose x0 (0) = s et on dé…nit les applications temps (voir [3]).
+
(s) est le temps nécessaire pour une solution (x; y) du système plan x0 = y; y 0 =
g (x)
pour tourner du point (0; s) ; au point (0; s) en rencontrant le demi-plan x > 0 une seule
fois.
(s) est le temps nécessaire pour une solution (x; y) du système plan x0 = y; y 0 =
g (x)
pour tourner du point (0; s) ; au point (0; s) en rencontrant le demi- plan x < 0 une seule
fois.
Si on prend y (t) = x0 (t) = 0; l0 équation (III.4.4) (, G (u) = 21 :s2 ) admet deux solutions
m (s) < 0; m+ (s) > 0 et comme 12 : ( s)2 = 12 :s2 ; alors m ( s) = m (s). D’après ce qui
précède on peut citer les tableaux de variation d’une solution x du problème (II.4.4) sur
les intervalles [0;
(s)] ; [0;
t
0
x (t)
s
0
x (t)
+
(s)] avec s > 0;
0
0
+
(s)
t
s
x (t)
0
0 & m (s) % 0
x (t)
72
0
s
1
+
0
+
(s)
s
0 % m+ (s) & 0
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
pour m (s) < x (t) < m+ (s), on a s2
p
0
x (t)
s2 2G(x(t))
= 1 d’où p
2G (x (t)) > 0; dans ce cas (III.4.4) implique
R x(t )
= dt; alors t0 = 0 0 p 2 du
; il en résulte que
d x(t)
s2 2G(x(t))
(s) = 2:
Z
0
m (s)
on remarque que
s
p
s2
( s) =
du
2G (u)
(s ) et
et
+
(s) = 2:
2G(u)
Z
m+ (s)
0
p
s2
du
2G (u)
;
(s ) ! 0 quand s ! 1:
Lemme 4.4.1 La solution x (:; s) du problème de Cauchy;
8
< x00 (t) + g (x (t)) = 0
: x (0) = 0; x0 (0) = s
(VI.4.4)
est solution de (II.4.4) si et seulement s’il existe deux entiers m; n tels que
jm
1 et m:
nj
(s) + n:
+
(s) = 1:
Démonstration. Soit H = f0; t1 ; t2 ; ::; tk ; P g l’ensemble des zéros de la solution x (:; s)
tel que 0 < t1 < t2 < :::: < tk < P
P =
+
1; alors on a
(s) +
(s) +
+
(s) + ::::(k + 1 termes);
on distingue les deux cas suivants
1. k impair : P = n (
+
2. k pair
(s) + n:
: P = m:
(s) +
(s)) avec n =
+
(s) avec jm
k+1
2
;
nj = 1 et m + n = k + 1:
x (:; s) est une solution du problème (II.4.4) signi…e que x (1; s) = 0 (i.e. P = 1);
alors pour que ceci soit véri…ée, il faut et il su¢ t qu’il existe deux entiers m; n; tels que
jm
nj
1 et 1 = m:
(s) + n:
+
(s) :
Soit l’ensemble
S = (u; v) 2 R2+ ; m:u + n:v = 1 où (m; n) 2 N2 avec jm
nj
1
;
d’après le lemme précédent, x(:; s) est solution du problème (II.4.4) si et seulement si
(
(s) ;
+ (s))2
S.
73
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
On dé…nit l’ouvert borné dans R2
Os = (u; v) 2 R2 ; v 2 + 2:G (u) < s2
et l’ouvert borné correspondant dans l’espace C01 ([0; 1])
o
n
2
0
2
1
([0;
1])
;
(u
(t))
+
2:G
(u
(t))
<
s
pour
tout
t
2
[0;
1]
:
=
u
2
C
s
0
On remarque que
u2
s
, (u (t) ; u0 (t)) 2 Os pour tout t 2 [0; 1] :
Il en résulte que, pour tout s 6= 0 tel que ((
(s) ;
+
(s))) 2
= S; l’équation x00 (t)+g (x (t)) =
0 n’admet pas des solutions sur la frontière de s
n
o
2
1
0
2
@ s = u 2 C0 ([0; 1]) ; (u (t)) + 2:G (u (t)) = s pour tout t 2 [0; 1] ;
donc
DL (L
N (:; 0) ;
s)
= DI
I
L 1 N (:; 0) ;
s
;
est bien dé…ni et a…n de calculer cette valeur, rappelons les résultats suivants:
Lemme 4.4.2 Soit s > 0 tel que,(
DL (L
(s) ;
N (:; 0) ;
+
(s)) 2
= S. Alors
s)
= deg (U; ] s; s[ ; 0)
telle que U : ] s; s[ ! R est l’application dé…nie par U ( ) = x (1; ) avec x (:; ) est la
solution du problème de Cauchy suivant
8
< w0 = f (t; w)
: w (0) = (0; )
où w = (x; x0 ) et f (t; w) = (x0 ; g (x)) :
Ce lemme est une conséquence d’un théorème de dualité du à Krasnosel’skii. Ce genre
des théorèmes permet de calculer le degré associé à une équation similaire à la notre, à partir
du degré d’une fonction dé…nie de R dans R, pour laquelle le calcul du degré est beaucoup
plus simple. Soit l’application W : R ! R dé…nie par W (s) = x (1; s) + s; où x (1; s) est la
solution unique du problème de Cauchy (VI.4.4).
74
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
On dit que
s
C01 ([0; 1]) et M
R ont un noyau commun par rapport au problème
(II.4.4), s’il n’y a pas de point …xe de I
toute solution x du problème (II.4.4); x 2
L 1 N (:; 0) sur @
s
s
et de W sur @M et si pour
si et seulement si x (0) 2 M:
Pour plus de détail, il su¢ t de se référer aux ([23], [19], [39]).
Lemme 4.4.3 Pour tout s 2 R tel que (
(s) ;
+
(s)) appartient à la composante connexe
non bornée, contenant la diagonale, on a
deg (U; ] s; s[ ; 0) = 1;
dans les cas où (
(s) ;
+
(s)) appartiennent aux composantes connexes bornées contenant
la diagonale; sa valeur est alternativement
1; +1 dés qu’on se rapproche de l’origine et sur
toutes les autres composantes
deg (U; ] s; s[ ; 0) = 0:
Démonstration. L’application s ! deg (U; ] s; s[ ; 0) est constante, lorsque (
(s) ;
+
(s))
varie dans une composante connexe de R2 S; il su¢ t donc d’appliquer cette remarque à
chacune des composantes connexes du plan limitée par les demi-droites ou les segments de
droite dé…nis par les équations suivantes: mx + ny = 1 avec (x; y) 2 R2+ ; (m; n) 2 N2 et
jm
nj
1
y
x
Fig.2 Composantes connexes
75
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
Conclusion 4.4.1 Si on suppose pour simpli…er que la fonction g est impaire; on aura
m+ (s) et
m (s) =
(s) =
+
(s) ;
et en vertu des lemmes (4.4.2) et (4.4.3), on obtiendra immediatement
DL (L
où n est l’entier, tel que
1
n+1
N (:; 0) ;
s)
= ( 1)n
(s) < n1 :
<
Lemme 4.4.4 Soit 0 < s1 < s2 ; tels que (
(s1 ) ;
+
(s1 )) 2
= S et (
(s2 ) ;
+
(s2 )) 2
= S.
Alors
DL L
s2
s1
où
N (:; 0) ;
s2
s1
= DL (L
N (:; 0) ;
s2 )
DL (L
N (:; 0) ;
s1 ) ;
= u 2 C01 ([0; 1]) ; s21 < (u0 (t))2 + 2:G (u (t)) < s22 :
Il su¢ t de prendre
Démonstration.
s2
=
s1
s2
s1
[
puis l’utilisation de l’axiome
d’exision-additivité.
Introduisons la fonctionnelle continue ' : C01 ([0; 1]) [0; 1] ! R+ dé…nie par;
Z
1 1 02
' (x; ) =
x (t) + x (t) : (g (x (t))
:p (t; x (t) ; x0 (t))) (x (t) ; x0 (t)) dt (V.4.4)
0
avec
: R2 ! R+ ,
1
(x; y) = min 1; x2 +y
: Par conséquent, si (x; ) est une solution du
2
problème
8
< x00 (t) + g (x (t)) = :p (t; x (t) ; x0 (t))
: x 2 C 1 ([0; 1]) ;
0
véri…ant x02 (t) + x2 (t)
1: Alors on peut écrire
Z
1 1 02
' (x; ) =
x (t) + x (t) : ( x00 (t))
0
=
1
Z
1
0
=
1
Z
x0 (t)
x (t)
0
1
:
1+
1
d arctan
0
76
x0 (t)
x(t)
x0 (t)
x (t)
x02
2 dt
:
1
dt
(t) + x2 (t)
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
Supposons que ft0 = 0; t1 ; t2 ; ::; tn 1 ; tn = 1g soit l’ensmble de zéros de la solution x tel
que 0 < t1 < t2 < ::: < tn
1
< 1; alors pour deux zéros consécutifs ti ; ti+1 on distingue les
deux cas suivants:
t
ti
x0 (t)
+
x (t)
ti+1
0
t
ti
0
x0 (t)
0 % x ( 0) & 0
x (t)
x (t) > 0 et x0 (ti +1 ) < 0 < x0 (ti )
ti+1
0
0
+
0 & x ( 0) % 0
x (t) < 0 et x0 (ti +1 ) > 0 > x0 (ti )
En vertu de l’hypothèse x02 (t) + x2 (t)
1; il est clair que si x (t) = 0 alors x0 (t) 6= 0:
Dans les deux cas on trouve:
Z
0
00
1 ti+1 x 2 (t) x (t) :x (t)
dt
x0 2 (t) + x2 (t)
ti
1
=
1
=
0
:
x (t)
arctan(
)
x (t)
: ( 1)
2
ti+1
ti
(+ )
2
= 1;
qui nous permet de déduire que
i=n Z
1 X
' (x; ) = :
i=0
i.e. si
R ti+1
ti
0
00
x 2 (t) x(t):x (t)
dt
x0 2 (t)+x2 (t)
ti+1
ti
0
00
x 2 (t) x (t) :x (t)
dt = n;
x0 2 (t) + x2 (t)
> 0 quand i = 0; 1; 2::::n
1 on aura; ' (x; ) + 1 = nombre des
zéros de la solution x.
Théorème 4.4.1 ([29]) Soit g : R ! R une fonction impaire, continue et superlinéaire;
p : [0; 1]
R2 ! R2 continue et possédant une croissance linéaire par rapport aux deux
dernières variables. Alors il existe k0 2 N; tel que pour tout j > k0 le problème (I.4.4)
admet au moins une solutions xj , ayant exactement j + 1 zéros dans l’intervalle [0; 1] ; de
plus kxj k ! +1 quand j ! +1:
Pour prouver ce théorème, on utilisera le corollaire (3.6.1) et les deux propositions
suivantes, qui représentent des propriétes pour la fonctionelle ' ainsi dé…nie; et sur lesquelles
s’appuit la preuve du théorème. Soit
= (v; ) 2 C01 ([0; 1])
[0; 1] ; Lv = N (v; ) ;
où L et N sont dé…nis au début de cette section.
77
4.4. Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de Dirichlet
homogènes
4.4.1
Proposition (oscillations rapides pour les grandes solutions)
Proposition 4.4.1 (voir [3]) Il existe une constante c > 0; telle que pour tout
existe D ( )
> 0; il
1 tel que
' (v; )
c:
0
véri…ant la condition v 2 (t) + v 2 (t)
quelque soit (v; ) 2
D2 ( ) ; pour tout t 2 [0; 1] :
Démonstration. D’après les hypothèses sur les deux fonctions g et p, on déduit que
y 2 + x: (g (x)
:p (t; x; y)) ! +1; quand x2 + y 2 ! +1
uniformément par rapport à t 2 [0; 1] et
2 [0; 1] : Alors pour
véri…ant v 02 (t) + v 2 (t)
tels que pour tout (v; ) 2
' (v; )
1
:p t; v (t) ; v (t)
Z
4.4.2
D2 ( )
;
1
0
et comme v 02 (t) + v 2 (t)
R
1 1
1
dt = c.
0 v 02 (t)+v 2 (t)
1;
D2 ( ) ; on a
0
v 02 (t) + v (t) : g (v (t))
ce qui entraine
> 0; il existe D ( )
v 02 (t) + v 2 (t)
1 implique 0 <
dt;
1
v 02 (t)+v 2 (t)
1; il su¢ t donc de prendre
Proposition (propriété élastique)
Proposition 4.4.2 ([3]) Pour tout r1 > 0; il existe r2 > r1 tel que si (v; ) 2 ; on a
kvk
0
r2 implique que min v 2 (t) + v 2 (t)
t2[0;1]
r12 :
Démonstration. Revenons à la démonstration du théorème (4.4.1). Pour r1
existe R > r1 tel que pour tout (v; ) 2
r12
qui véri…e kvk
1; il
R; on aura (v 02 (t) + v 2 (t))
1 et alors ' (v; ) 2 N:
Soit un entier k0
et (4.4.2) pour
(v; ) 2
sup f' (v; ) ; (v; ) 2
et kvk
R g : D’après les propositions (4.4.1)
> 0 donné; on peut trouver R ( ) > D ( )
véri…ant kvk
02
R ( ) (=) min v (t) + v 2 (t)
t2[0;1]
r12 ), nous avons ' (v; )
et par suite
' (v; ) ! +1 quand kvk ! 1:
78
1; tel que pour toute
c:
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
En particulier, si (v; ) 2
kvk
et ' (v; ) = n 2 N avec n > k0 ; alors il existe rn > 0 tel que
rn ; par conséquent
1
'
(n) \
est borné.
D’après le dernier résultat l’ensemble,
k
0
est borné. Soit
0.
1
'
=
(v; 0) 2 C01 ([0; 1])
k
(k)
\
=
0
0
f0g ; Lv = N (v; 0) et ' (v; 0) = k
un ouvert borné de C01 ([0; 1]) qui contient
k
0
et pas d’autre partie de
Compte tenu du calcul du degré montionné si-dessus on peut démontrer que
DL L
k
N (:; 0) ;
= 2 ( 1)k 6= 0;
ce qui montre que toute les conditions du corollaire (3.6.1) sont satisfaites; alors le problème
L
N (:; 1) = 0 admet pour tout j > k0 au moins une solution vj 2 C01 ([0; 1]) veri…ant
' (vj ; 1) = j.
4.5
Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du
second ordre à nonlinéarités singulières
4.5.1
Introduction
Les équations di¤érentielles de second ordre nonlinéaires, ou les systèmes avec des forces
de rappel singulières, interviennent naturellement dans la description des particules soumis
aux forces de type Newtoniennes ou des forces de rappel causées par des gaz comprimés. À
titre d’exemple l’équation di¤érentielle
x00 + c:x0 +
x
1
x
= e (t) ;
décrit le mouvement d’un piston, dans un cylindre fermé à l’une de ses éxtrémités et soumis
à une force éxtérieure e(t); T périodique et à valeur moyenne nulle, la force de rappel d’un
gaz parfait et un frottement de viscosité.
79
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
4.5.2
Cas d’une force de rappel de type attractif
Dans cette section, on considère l’équation di¤érentielle (voir [29])
x00 + f (x):x0 + g(x) = h(t);
(I.4.5)
où f : ]0; +1[! R, g :]0; +1[! R (g(x) représente la force de rappel) et h : [0; T ] ! R
sont des fonctions continues. La méthode des sous et sur-solutions fournit un théorème
d’existence qui va être décrit plus tard, pour les solutions T périodiques de l’équation
(I.4.5), qui peut être prouvé par des arguments du degré topologique.
4.5.3
Sous-solution et sur-solution
Dé…nition 4.5.1 ([9]) Soit
et
deux fonctions de l’espace C 2 ([0; T ]) :On dit que
est
une sous-solution du problème T périodique associé à l’équation (I.4.5) si pour tout t 2
[0; T ] on a
00
On dit que
0
(t) + f ( (t))
(t) + g( (t))
h(t) et
(0) =
0
(T ) ;
0
(0)
(T ) :
est une sur-solution du problème T périodique associé à l’équation (I.4.5)
si pour tout t 2 [0; T ] on a
00
(t) + f ( (t))
Lemme 4.5.1 Soit
0
(t) + g( (t))
et
h(t) et
(0) =
(T ) ;
0
(0)
0
(T ) :
deux fonctions T périodiques de classe C 2 telles que
et
pour tout t 2 [0; T ]
00
(t) + f ( (t))
0
(t) + g( (t))
h(t) et
00
(t) + f ( (t))
0
(t) + g( (t))
h(t):
Alors l’équation ( I.4.5) admet au moins une solution T périodique u véri…ant
(t)
et
u (t)
(t) pour tout t 2 [0; T ]:
sont appelées respectivement sous- solution et sur-solution du problème T périodique
associé à l’équation (I.4.5).
80
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
Lemme 4.5.2 Pour tout c 2 R; et toute fonction e : [0; T ] ! R telle que e = T1 :
0; l’équation
RT
0
e (t) :dt =
z 00 (t) + f (c + z (t)) :z 0 (t) = e (t) ;
admet au moins une solution T périodique u telle que;
u = 0 et kuk1
K: kekL2 ;
où K est indépendant de c et de u:
Démonstration. Considérons l’homotopie
8
< u00 (t) + f (c + u (t)) :u0 (t)
e (t) = 0
: u (0) = u (T ) et u0 (0) = u0 (T ) , 2 [0; 1] :
Pour
(II.4.5)
= 0 le problème donné admet une solution unique u telle que u (t) = d (d constante)
et comme u = 0; alors u est identiquement nulle sur [0; T ]: Notons par G la fonction de
Green associée au problème (II.4.5 ); soit le sous-espace
C^ 1 ([0; T ]) = u 2 C 1 ([0; T ]) ; u = 0
et l’opérateur
P : C^ 1 ([0; T ]) ! C^ 1 ([0; T ]) ; P : u 7! P u
dé…ni par
(P u) (t) =
Z
T
G (t; s) : (f (c + u (s)) :u0 (s)
e (s)) ds:
0
Estimons a priori l’ensemble des points …xes de P dans C^ 1 ([0; T ]) ; multiplions les deux
membres de l’équation par u et intégrons; on obtient
Z T
0 2
ku kL2 =
e (t) :u (t) dt;
0
en utilisant les inégalités de Hôlder et de Sobolev on trouve
r
T
0 2
ku kL2 kekL1 : kuk1 kekL1 :
: ku0 kL2 ;
12
alors
r
T
T
T p
: kekL1 et : kuk1
: kekL1
: T : kekL2 :
12
12
12
Par suite la propriété d’invariance par homotopie du degrés entraine que le problème (II.4.5),
admet une solution u 2 C^ 1 ([0; T ]) pour = 1:
ku0 kL2
81
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
4.5.4
Théorème (de Habets-Sanchez )
Théorème 4.5.1 Supposons que la fonction g :]0; +1[! R satisfait aux conditions suivantes:
(i) limx !0+ g (x) = +1.
(ii) lim supx !+1 g(x)
h < 0:
Alors l’équation (I.4.5) admet au moins une solution positive u (i.e u (t) > 0 pour tout
t 2 [0; T ]). Ce théorème a été prouvé par Lazer-Solimini (voir [24]) dans le cas où f = 0:
Comme h est continue sur [0; T ] (compact), alors elle atteint ses
Démonstration.
bornes m = min h (t), M = max h (t) : D’après l’hypothèse (i) il existe une constante
t2[0;T ]
t2[0;T ]
> 0 telle que
0<x
=) g(x)
pour tout t 2 [0; T ] : En particulier g( )
M
h (t)
h (t) pour tout t 2 [0; T ] ; donc
est une sous-
solution du problème T périodique associé à l’équation (I.4.5). L’hypothèse (ii) implique
^ telle que
qu’il existe r > 0, tel que pour tout x
r on a g(x)
h. Soit la fonction h
^ = 0. Choisissons c > 0 su¢ sament grand, tel que pour
^ (t) = h (t) h, il est clair que h
h
tout t 2 [0; T ] ; c + u (t)
max (r; ); où u est une solution de l’équation
^ (t) :
z 00 (t) + f (c + z (t)) :z 0 (t) = h
En posant
00
(t) = c + u (t) ;on obtient;
(t) + f ( (t))
0
(t) + g( (t)) = u00 (t) + f (c + u (t)) :u0 (t) + g( (t))
= h (t)
Alors
h + g( (t))
h (t)
h + h = h (t) :
est une sur-solution du problème. D’après le lemme (4.5.1), on obtient l’existence
d’une solution T périodique positive x telle que
(t)
x (t)
(t) pour l’équation (I.4.5).
Corollaire 4.5.1 Soit g : ]0; +1[!]0; +1[ une fonction continue telle que:
1. limx !0+ g (x) = +1:
82
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
2. limx !+1 g (x) = 0:
Alors l’équation (I.4.5) admet au moins une solution T périodique positive si et seulement si h > 0:
Démonstration. ((=) Si h > 0; on trouve lim supx !+1 g(x)
h < 0 et l’existence
de la solution est assurée par le théorème (4.5.1).
(=)) supposons que u est une solution T périodique positive de (I.4.5); alors pour
tout t 2 [0; T ] ;
u00 (t) + f (u (t)):u0 (t) + g(u (t)) = h(t);
en intègrant de 0 à T les deux membres, on aboutit à
Z T
T
u(T )
0
g (u (t)) dt = T:h;
[u (t)]0 + [F (u)]u(0) +
0
u(T )
comme [u0 (t)]T0 = [F (u)]u(0) = 0 (car u (0)
RT
h = T1 0 g (u (t)) dt > 0:
u (T ) = u0 (0)
u0 (T ) = 0) et g (x) > 0; alors
Cas particuliers de l’équation (I.4.5)
1. L’équation de la forme
x00 (t) +
où
1
= h (t)
x (t)
> 0; se ramène à l’équation (I.4.5) en prenant pour tout x 2]0; +1[; f (x) = 0,
g (x) =
1
x
et véri…e toutes les conditions du corollaire (4.5.1); alors elle admet au moins
une solution T périodique et positive u; si h > 0:
2. Soit l’équation di¤erentielle:
y 00 (t) + f1 (y (t)) :y 0 (t) + `:
y (t)
= e (t) ;
1 y (t)
(III.4.5)
où la fonction f1 :]0; +1[! R est continue, la fonction e : [0; T ] ! R est continue et à
valeur moyenne nulle. Utilisons la variable auxiliaire x = 1
y; (III.4.5) prend alors la
forme suivante
x00 (t) + f1 (1
x (t)) : ( x0 (t)) + `:
83
1
x (t)
= e (t) ;
x (t)
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
qui est à son tour équivalente à
x00 (t) + f1 (1
En posant f (x) = f1 (1
`
=
x (t)
x (t)):x0 (t)
x (t)), g (x) =
`
x
et h (t) =
`
`
e (t) :
(IV.4.5)
e (t) on obtient,
x00 (t) + f (x (t)) x0 (t) + g (x (t)) = h (t) :
Il est clair que pour ` < 0 toutes les conditions du corollaire (4.5.1) sont satisfaites, et
nous avons en outre h =
` > 0; alors (IV.4.5) admet au moins une solution T périodique
et positive u: Comme u (t) = 1 x (t) > 0, alors x est une solution T périodique de (III.4.5)
avec x (t) < 1 pour tout t 2 [0; T ] :
4.5.5
Cas d’une force de rappel de type répulsif
Dans ce cas, on considère l’équation de la forme
x00 (t) + cx0 (t)
g (x (t)) = h (t) ;
(V.4.5)
où a est une constante réelle, g : ]0; +1[! R une fonction continue et h : [0; T ] ! R
appartient à L1 ([0; T ]) : Pour démontrer l’existence d’une solution T périodique positive
de (V.4.5), introduisons d’abord le lemme suivant.
Lemme 4.5.3 Soit R; r deux réels positifs tels que R > r. Si les conditions suivantes sont
satisfaites:
(i) Pour tout
2 ]0; 1], chaque solution T périodique positive possible u; de l’équation
parametrée
x00 (t) + cx0 (t)
g (x (t)) = h (t) ,
(VI.4.5)
véri…e x (t) 2 ]r; R[ pour tout t 2 [0; T ] :
(ii) Toute solution positive possible v 2 R de l’équation g (x) + h = 0, satisfait v 2 ]r; R[ :
(iii) g (r) + h g (R) + h < 0:
Alors l’équation (V.4.5) admet au moins une solution x; telle que x (t) 2 [r; R] pour
tout t 2 [0; T ] :
84
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
Démonstration. Soit l’opérateur L : D(L)
X = C 1 ([0; T ]) ! L1 ([0; T ]) dé…ni par
Lx = x00 + cx0 ;
avec D (L) = fx 2 C 1 ([0; T ]) ; x00 2 L1 ([0; T ])g. En résolvant le problème
8
< x00 + cx0 = 0
: x (0) = x (T ) et x0 (0) = x0 (T ) ;
on déduit que
ker L = fx 2 D (L) ; x (t) = x (0) pour tout t 2 [0; T ]g
R:
Pour e 2 R (L) il existe x 2 D (L) ; tel que x00 + c:x0 = e et par intégration sur [0; T ], on
trouve e = 0. La réciproque est vraie d’après le lemme (4.5.2); d’où
Im (L) = e 2 L1 ([0; T ]) ; e = 0 ;
il est clair que pour tout L1 ([0; T ]) = R (L) R (car toute h 2 L1 ([0; T ]) se décompose
^ à valeur moyenne nulle, et d’une fonction
de façon unique) en somme d’une fonction h
constante h; on conclut que L est un opérateur de Fredholm d’indice 0:
Soit la projection Q : L1 ([0; T ]) ! L1 ([0; T ]) dé…nie par Qu = u: D’autre part, on peut
démontrer que l’opérateur
N:
est L compact sur
C 1 ([0; T ]) ! L1 ([0; T ]) ; (N x) (:) = g (x (:)) + h (:)
, où
est l’ouvert borné suivant,
= x 2 C 1 ([0; T ]) ; r < x (t) < R pour tout t 2 [0; T ]
.
Le problème (VI.4.5) est alors équivalent à l’équation abstraite,
Lx = :N x
Pour résoudre cette dernière équation, on utilise le théorème de continuation (3.4.6). De
l’hypothèse (i) on déduit que
Lx = :N x implique que x 2 ;
85
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
ce qui est équivalent à dire que, si x 2 (D (L)
sairement Lx 6= :N x. Soit x 2 ker L\ @
avons
Z
1
w=
T
T
0
1
N x (t) dt =
T
ker L) \ @
et
2 ]0; 1[ on aura néces-
(x (t) = r où R) pour x = d 2 fr; Rg nous
Z
T
[g (d) + h (t)] dt = g (d) + h;
0
de l’hypothèse (ii) on déduit que si g (d) + h = 0; on aura r < d < R qui contredit le fait
que d 2 fr; Rg et par suite N x 2
= Im (L) : Pour tout x 2 ker L\
avons
1
QN x =
T
où ` : ]r; R[ ! R continue alors;
deg (QN
Z
ker L; ker L \
= ]r; R[ (i.e. x = a), nous
T
N x (t) dt = g (a) + h = ` (a)
0
; 0) = deg (`; ]r; R[ ; 0)
sign (` (R)) sign (` (r))
=
=
2
1 6= 0
(car ` (r) :` (R) < 0).
i
h
1
Théorème 4.5.2 Soit a et b deux réels tels que a 2 0; 2(T exp(jcjT
;b
))2
0: Si la fonction
g satisfait aux conditions suivantes:
(i) Pour tout x > 0; g (x)
ax
b:
(ii) limx !0+ g (x) = +1:
(iii) lim supx !+1 g(x) + h < 0:
(iv)
R1
0
g (x) dx = +1:
Alors l’équation (V.4.5) admet au moins une solution positive T périodique.
Démonstration. Nous allons démontrer que toutes les conditions du lemme (4.5.3)
sont satisfaites.
1) De l’hypothèse (i) on remarque que pour tout x > 0
g (x) + ax + b = jg (x) + ax + bj
alors jg (x)j
ax + b
jjg (x)j
jax + bjj = jjg (x)j
ax + bj ;
g (x) + ax + b; ce qui montre que
jg (x)j
g (x) + 2ax + 2b:
86
(N1 )
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
Si u est une solution de (VI.4.5) pour un certaint
périodiques sur u on a
Z
1
T
et
Z
T
Z
0
ju (t) + c:u (t)j dt
0
(N2 )
g (u (t)) dt + h = 0;
0
T
00
2 ]0; 1] …xé et compte tenu des conditions
Z
T
0
jg (u (t))j dt +
T
jh (t)j dt;
0
en utilisant l’inégalité (N1 ) on aboutit à
Z
T
0
00
0
ju (t) + c:u (t)j dt
:
Z
T
g (u (t)) dt + 2:a
0
et comme
Z
Z
T
0
jh (t)j dt
T
u (t) dt + 2:b:T +
Z T
jh (t)j dt ;
+ 2:bT +
0
T:h + 2:a kukL1
:
Z
T:h =
h (t)] dt
2:
0
…nalement on trouve
ku00 + c:u0 kL1
Z
0
2:
0
T
jh (t)j dt
0
T
[jh (t)j
Z
T
jh (t)j dt;
a: kukL1 + khkL1 + bT :
(VII.4.5)
2) Par dé…nition, limx !0+ g (x) = +1 est équivalent à dire que pour tout A > 0; il existe
R (A) > 0, tel que
0<x
R (A) =) g (x)
A;
alors il su¢ t de choisir A > 0 assez grand pour trouver R0 > 0 tel que pour tout 0 < x
R0
on a
A > 0 , g (x) + h > 0:
g (x)
Par une démarche similaire, on démontre que l’hypothèse (iii) entraine l’existence d’un réel
R1 > R0 ; tel que
g (x) + h < 0 quand x
si la solution u véri…e 0 < u (t)
R1 ;
R0 queqlque soit t 2 [0; T ] ; on aura g (u (t)) + h > 0 et
alors
1
T
Z
T
g (u (t)) dt + h > 0
0
87
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
qui est en contradiction avec le resultat (N2 ); on en déduit qu’il existe t0 2 [0; T ] tel que
u (t0 ) > R0 . Supposons maintenant que u (t)
et par suite
1
T
Z
R1 pour tout t 2 [0; T ] ; alors g (u (t))+h < 0
T
g (u (t)) dt + h < 0;
0
un contradiction avec (N2 ); et donc il existe t1 2 [0; T ] tel que u (t1 ) < R1 :
RT
3) On pose u0 (t3 ) = 0 u0 (t) dt = 0 ( t3 2 [0; T ]). Alors on peut écrire
Z t
0
(u00 (s) + c:u0 (s)) exp (cs) ds;
u (t) : exp (ct) =
t3
car (u0 (t) : exp (ct))0 = (u00 (t) + c:u0 (t)) exp (ct) : En utilisant les résultats de la partie 2) de
la preuve, on obtient
u (t) = u (t1 ) +
Z
t
exp ( c )
t1
Z
(u00 (s) + c:u0 (s)) exp (cs) ds d ;
t3
il est clair que si 2 R; on a exp ( s) exp (j j T ) pour tout s 2 [0; T ] ; alors
Z
Z T
00
0
j(u00 (s) + c:u0 (s))j ds
(u (s) + c:u (s)) exp (cs) ds
exp (jcj T ) :
t3
0
= exp (jcj T ) : ku00 + c:u0 kL1
et
Z
t
exp ( c ) d
exp (jcj T ) :T:
t1
Donc
00
0
u (t) < R1 + exp (j j T ) : ku + c:u kL1
Z
t
exp ( c ) d
t1
R1 + T: exp (2 jcj T ) : ku00 + c:u0 kL1 ;
et par intègration sur [0; T ] on obtient
kukL1 < T:R1 + T 2 : exp (2 jcj T ) : ku00 + c:u0 kL1 :
Combinons ce dernier résultat avec (VII.4.5) on a alors
h
i
ku00 + c:u0 kL1
2: a: kukL1 + h L1 + bT
< 2 :aT 2 : exp (2 jcj T ) : ku00 + c:u0 kL1 + 2: : aT:R1 + h
< 2aT 2 : exp (2 jcj T ) : ku00 + c:u0 kL1 + 2: : aT:R1 + h
88
L1
L1
+ bT
+ bT :
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
Après simpli…cation, on aboutit à l’inégalité suivante:
2:aT 2 : exp (2 jcj T ) ku00 + c:u0 kL1 < 2: : aT R1 + h
1
1
Par hypothèse on a a < (2T 2 : exp (2 jcj T ))
ku00 + c:u0 kL1 < :
où R2 ne dépend pas ni de
ju (t)j =
+ bT :
2:aT 2 : exp (2 jcj T )) > 0 alors
; donc (1
2 aT R1 + kh kL1 + bT
= :R2 ;
1 2:aT 2 : exp (2 jcj T )
ni de u: Utilisons ce résultat pour majorer ju0 (t)j et u (t) ; on
a pour tout t 2 [0; T ]
0
L1
exp ( ct)
Z
t
(u00 (s) + c:u0 (s)) exp (cs) ds
t3
exp (jcj T ) : exp (jcj T ) ku00 + c:u0 kL1
<
: exp (2 jcj T ) :R2 = :R3 :
et
u (t) < R1 + T: exp (2 jcj T ) : :R2 < R1 + T: exp (2 jcj T ) :R2 = R:
4) Multiplions les deux membres de l’équation (VI.4.5) par u0 et intégrons de t0 à t;on obtient
Z t
Z t
Z t
1 02
02
02
0
u (t) u (t0 ) + c
u (s) ds
g (u (s)) u (s) ds =
h (s) :u0 (s) ds;
2
t0
t0
t0
ce qui entraine que
Z u(t0 )
1
g (x) dx =
2
u(t)
Par conséquent,
Z u(t0 )
u(t)
D’où
g (x) dx
02
02
u (t) + u (t0 )
c
Z
t
02
u (s) ds +
t0
Z
t
h (s) :u0 (s) ds:
t0
Z t
Z t
1 02
02
jh (s)j : ju0 (s)j ds
u (s) ds + :
u (t0 ) + jcj
2
t0
t0
1 2 2
: :R3 + 2 :R32 : jcj :T + 2 :R3 : khkL1 = 2 :R4 ;
2
Z
u(t0 )
g (x) dx
:R4
R4 ;
u(t)
où R4 est une constante qui ne dépend ni de u ni de : Soit t tel que u (t) < R0 ; alors
Z R0
Z u(t0 )
g (x) dx +
g (x) dx R4 ;
u(t)
R0
89
4.5. Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéarités
singulières
ce qui implique
Z
R0
g (x) dx
R4
Z
u(t0 )
g (x) dx
R0
u(t)
(car u (t0 ) < R). On pose G (s) =
R
R0
R R0
s
R4 +
Z
jg (x)j dx = R5 ;
(N3 )
g (x) dx; par l’hypothèse (iv) on a lim+ G (s) = +1;
s!0
alors pour tout A > 0; il existe r (A) > 0 tel que
0<s
r (A) =) G (s) > A;
en particulier, on peut choisir r 2 ]0; R0 [, pour A = R5 de manière que
R R0
r
g (x) dx > R5 :
La monotonie de G (ici G est décroissante car nous avons de la partie (2), g (x) > 0 pour
tout x 2 ]0; R0 [) et le résultat (N3 )) entraine que G (u (t)) < G (r) ; et par suite u (t) > r
et comme on a démontré que u (t) < R; alors la première condition du lemme (4.5.3) est
satisfaite. D’une part, remarquons que par construction on a r < R0 ; R > R1 ; c0 est à dire
]r; R[ et d’après la partie (2)
[R0 ; R1 ]
g (a) + h > 0; si 0 < a
R0 et g (a) + h < 0; si a
R1 ;
alors toute solution a 2 R de l’équation g (x) + h = 0; véri…e nécessairement r < a
su¢ t de remplacer a par r puis R pour voir que g (r) + h
R: Il
g (R) + h < 0:
Corollaire 4.5.2 Supposons que la fonction g :]0; +1[!]0; +1[ satisfait aux conditions
suivantes:
(i) limx !0+ g (x) = +1:
(ii) limx !+1 g (x) = 0:
(iii)
R1
0
g (x) dx = +1:
Alors l’équation (V.4.5) admet une solution T-périodique positive si et seulement si,
h < 0:
Démonstration. (=)) si u est une solution T-périodique positive de (V.4.5) alors
pour tout t 2 [0; T ], nous aurons
u00 (t) + c:u0 (t)
g (u (t)) = h (t) ;
90
4.6. Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions
en intégrant sur [0; T ] les deux membres, on obtient
Z T
g (u (t)) dt = h;
0
u est T-périodique et g (u (t)) > 0 alors h < 0:
((=)Supposons h < 0 et appliquons le théorème (4.5.2); il reste à véri…er que les conditions (i) et (iii). Nous avons pour tout x > 0; g (x) >
ax
b car g (x) > 0 et
ax
b < 0.
limx!0+ g (x) + h = h < 0 alors lim supx!0+ g (x) + h < 0:
Cas particuliers de l’équation (V.4.5)
1) L’équation de Lazer-Solimini
x00 (t)
1
= h (t) ; avec
(x (t))
>0
1
x
) qui satisfait à toutes les
x (t)
= e (t) ;
1 x (t)
(L)
est un cas particulier de l’équation (V.4.5) (c = 0; g (x) =
conditions du corollaire (4.5.2).
2) L’équation di¤erentielle de type Forbat
x00 (t) + c:x0 (t) + k:
où e 2 L1 ([0; T ]) tel que e = 0: Si on pose u (t) = 1
u00 (t) + c:u0 (t)
qui est de type (V.4.5) avec g (u) =
k
u
k
=
u (t)
et h (t) =
k
x (t) la dernière équation devient
k
e (t) ;
(L0 )
e (t) pour k > 0 la fonction g, satisfait
aux trois conditions du corollaire (4.5.2), en outre h =
k < 0; donc il en résulte que (L0 )
admet une solution positive T périodique v; alors l’équation (L) admet x (t) = 1
v (t)
comme solution T périodique, telle que x (t) < 1:
4.6
4.6.1
Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions
Points de bifurcation
Soit X et Z deux espaces vectoriels normés, L : D (L)
d’indice nul, N : U
X ! Z opérateur de Fredholm
V ! Z opérateur L complètement continue, où U est un ouvert de
91
4.6. Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions
X contenant 0; V est un intervalle ouvert non vide de R tel que pour tout
2 V; on a
N (0; ) = 0:
On dé…nit l’opérateur F : (D (L) \ U )
V ! Z par
F (x; ) = Lx
N (x; ) ;
on remarque que l’équation
(I.4.6)
F (x; ) = 0,
admet pour tout
2 V la solution triviale x = 0.
Dé…nition 4.6.1 [31] Soit
0
2 V ; on dit que (0;
l’équation I.4.6, si tout voisinage de (0;
0)
est un point de bifurcation pour
0)
dans U
V contient au moins une solution
(x; ) de cette équation, avec x 6= 0: En d’autre terme; s’il existe une suite (xk ;
solutions de l’équation (I.4.6) dans (D (L) \ U
f0g)
V convergeant vers (0;
0) ;
k)
de
on dit
que ce dernier est un point de bifurcation pour cette l’équation voir aussi [35]. Si la suite
de solutions (xk ;
k)
véri…e
kxk k ! +1 et
(1;
0)
4.6.2
k
!
0;
est dit un point de bifurcation à l’in…ni (voir aussi [6] ch.10).
Valeurs L caractéristiques d’un opérateur linéaire A et ses
multiplicités
Soit A : X ! Z est un opérateur linéaire;
2 R est dite valeur L caractéristique (réelle)
de A si
ker (L
On note par
L
:A) 6= f0g :
(A) l’ensemble des valeurs L caractéristiques de A: Si X = Z; L = I;
une valeur I caractéristique de A est une valeur caractéristique dans le sens usuel c’est à
dire l’inverse d’une valeur propre de A:
Dé…nition 4.6.2 Supposons que l’opérateur A est L complètement continue,
L caractéristique de A et R
L
(A) 6= ?; la L multiplicité de la valeur
mL ( ) = dim [ ker I
n2N
(
92
) (L
A)
1
A
n
;
valeur
est l’entier,
4.6. Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions
où
2R
L
(A) arbitraire.
Proposition 4.6.1 Sous les conditions de la dé…nition précédente, si
est une valeur
L caractéristique de A; alors on a
:A) () A (ker (L
mL ( ) = dim ker (L
4.6.3
:A)) \ Im (L
:A) = f0g
Linéarisation et existence de points de bifurcation
On suppose en outre que sur U
V
(II.4.6)
N (x; ) = :Ax + R (x; ) ;
où A : X ! Z est un opérateur linéaire L complètement continue; tel que V
et R : U
L
(A) 6= ?
V ! Z est une application L complètement continue véri…ant,
kR (x; )k
=0
kxk!0
kxk
(III.4.6)
lim
uniformément pour
borné.
Proposition 4.6.2 Si
(0;
0)
est un point de bifurcation pour l’équation
N (x; ) donné par (II.4.6); alors
0
2
L
(I.4.6) avec
(A) : La condition de cette proposition n’est
pas su¢ sante.
En e¤et si on considère X = Z = R2 ; L = A = I et R (x1 ; x2 ) =
(L
x32
x31
x = 0 pour tout x 2 X; alors 1 est une valeur caractéristique de A; par
1:A) (x) = x
contre ((0:0) ; 1) n’est pas un point de birfucation car l’équation F (x; ) = x
(1
(1
)x1 +x32
)x2 x31
; il est clair que
x R (x; ) =
= 0 n’admet que la solution triviale.
Théorème 4.6.1 Si
impaire; alors (0;
0)
0
est une valeur L-caractéristique de A; dont la L multiplicité est
est un point de bifurcation pour l’équation (I.4.6). En plus, il existe
r0 > 0 tel que pour tout 0 < r
telle que jxr j = r et
r
!
0
r0 ; cette équation admet au moins une solution (xr ;
quand r ! 0:
Démonstration. (Voir [31])
93
r)
4.6. Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions
Théorème 4.6.2 Supposons à présent que
kR (x; )k
= 0;
kxk!+1
kxk
(IV.4.6)
lim
uniformément pour
borné; à la place de la condition (III.4.6). Dans ce cas, si
une valeur L-caractéristique (réelle) de A avec L multiplicité impaire, alors (1;
0)
0
est
est un
point de bifurcation pour l’équation (I.4.6).
Soit la projection
:X
R ! R dé…nie par,
(x; ) =
et S l’ensemble des solutions
non triviales de l’équation (I.4.6). c’est à dire que,
S = f(x; ) 2 (D (L) \ U
4.6.4
f0g)
V ; Lx = :Ax + R (x; )g :
Bifurcation globale à l’in…ni (théorème de Rabinowitz 1973)
Théorème 4.6.3 (voir [6] et [17]) Supposons que la condition (IV.4.6) soit satisfaite et
0
est une valeur L caractéristique (réelle) de A, avec L multiplicité impaire. Si
la composante connexe fermé de S contenant (1;
0) ;
est
alors
1. ou bien
( ) est non borné,
2. ou bien
rejoint un point de bifurcation (0; ) ;
3. ou bien
rejoint un autre point de bifurcation de l’in…ni (1; ) 6= (1;
0) :
Application
On s’intéresse à la structure de l’ensemble (x; ) 2 X
R des solutions positives, de
l’équation non-linéaire
Lx
quand
est assez proche de 0; où X = C ([0; T ]) et L : D (L)
dé…ni par Lx =
x00
(=)
x + N x = 0;
cx0 ; pour tout
X ! X est l’opérateur
x 2 D (L) = x 2 C 1 ([0; T ]) ; x (0) = x (T ) et x0 (0) = x0 (T ) :
94
4.6. Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions
N:
! X est l’opérateur dé…ni par N x = G (x (:)) + h (:) où
= fx 2 X; r < x (t) < R; t 2 [0; T ]g ;
G : ]0; +1[ ! [0; +1[ est une fonction continue et h 2 L1 ([0; T ]) : On remarque que
l’équation (=) est équivalente à:
x00 (t) + cx0 (t) + x (t) = G (x (t)) + h (t) :
(=0 )
Théorème 4.6.4 ([29]) Si les fonctions G et h véri…ent les conditions suivantes:
(~1): limx!0+ G (x) = +1:
(~2). limx!+1 G (x) = 0:
(~3). h =
1
T
RT
0
h (t) dt < 0:
Alors il existe
> 0, tel que
(i). l’équation (=0 ) admet au moins une solution positive x si
2 [0; ] et
(ii). au moins deux solutions T périodiques positives si
; 0[ :
2[
Démonstration. d’abord remarquons que l’équation (=0 ) est de la forme (V.4.5) avec
g (x) = G (x)
x, on a d’après (~1), limx!0+ g (x) = +1; et comme G (x)
x > 0; alors g (x)
x pour ces valeurs de x et
et limx!+1 g (x) = 0
1; si
: D’une autre part, nous avons h < 0
> 0 alors
lim sup
(ce résultat reste vrai pour
0 pour tout
x!+1
g (x) + h < 0;
= 0); on en déduit que le résultat du théorème (4.5.2) est
valable dans le cas de l’équation (=0 ) pour tout
2 [0; ] et que toute solution possible de
cette équation est contenue dans l’ouvert
= fx 2 X; r < x (t) < R; t 2 [0; T ]g ;
où r et R sont donnés par la preuve du théorème (4.5.2), ce qui signi…e que l’équation
donnée n’admet aucune solution sur la frontière de
95
; par suite le degré de coincidence
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
I + N; ) est bien dé…ni et égal
DL (L
est vrai pour
1; alors il existe
> 0, tel que le même résutat
: Par conséquent, il existe un continu CR des solutions (x; ) de
l’équation (=) dans [
; ]
, dont la projection sur R est [
; ] : D’une autre part, le
théorème fondamental concernant le bifurcation à l’in…ni entraine l’existence, d’un autre
continu C1 ; des solutions positives (x; ) bifurquées à l’in…ni en
tel que pour tout 0 < < , on associe le sous-continu C
= 0; alors il existe
>0
C1 des solutions contenu dans
le voisinage
U (1; 0) =
1
(x; ) ; kxk > ; j j <
;
du point de bifurcation (1; 0) et relie ce point à @U (1; 0) : Nécessairement, pour
min
1
;
R
;
nous avons C
f(x; ) 2 C1 ;
deuxième solution x telle que kxk > R, pour
sup f
4.7
=
< 0g et par suite, on obtient une
=
min ( ; )
< 0 avec
=
; (x; ) 2 C g :
Stabilité et indice des solutions périodiques
Introduction
Il est bien connu que les techniques du degré topologique ont été largement appliquées
dans l’étude de l’existence et la multiplicité des solutions de problèmes aux limites non
linéaires. Dans cette section, nous cherchons à mettre en évidence le rôle et l’utilisation
de cet outil dans l’étude de la stabilité des solutions périodiques d’une certaine classe
d’équations di¤erentielles. d’abord nous allons introduire des rappels sur quelques notions
fondamentales du systèmes di¤érentiels et la stabilité qui vont nous servir par la suite.
4.7.1
Préliminaires sur les systèmes di¤érentiels - généralites et
rappels
Soit le systéme linéaire homogène
u0 = A (t) :u;
(<)
où la fonction matricielle A, qui associe à tout t de l’intervalle I = ] ; [ la matrice A (t) 2
Mn (R) est continue.
96
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
Dé…nitions (voir [4])
Une fonction matrice t 7 !
n dé…nie sur I; est dite solution matricielle du
(t) ; n
système linéaire homogène (<), si chacune de ses colonnes est une solution vectorielle, dans
ce cas nous avons,
0
Une solution matricielle t 7 !
(t) = A (t) : (t)
(t) est appelée solution matricielle fondamentale,si ses
colonnes forment un système fondamental des solutions du système (<). De plus, une
solution matricielle fondamentale t 7 !
(t) est appelée matrice fondamentale principale
du système (<) en t0 2 I si
(t0 ) = In ;
où In est la matrice unité d’ordre n: Si t !
(t) est une solution matricielle fondamentale
de (<) et t0 2 I; alors
(t) :=
(t) :
1
(t0 )
est la matrice fondamentale principale en t0 2 I du (<), ( (t0 ) est inversible car, ces
colonnes sont des vecteurs linéairement indépendants.
Cas particulier
Prenons dans le système (<), A (t) 2 M2 (R), telle que
A (t + T ) = A (t)
pour tout t 2 ] 1; +1[ ; dans ce cas, si
u0 = A (t) :u à t0 2 I; alors
les valeurs propres
1;
2
1
(T ) :
(t) est une matrice fondamentale du système
(t0 ) est appelée matrice monodromie de ce système;
de cette matrice, sont dites multiplicateurs caractéristiques du
même système, pour chaque valeur
i
avec i 2 f1; 2g ; il exste une solution non triviale xi
du système satisfaisant
xi (t + T ) =
i :xi
(t) ; t 2 ] 1; +1[ :
Si max j i j < 1; alors l’origine (solution triviale du système) est exponentiellement stable et
s’il existe au moins i 2 f1; 2g tel que j i j > 1; alors l’origine est instable.
97
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
4.7.2
Formule de Jacobi-Liouville
On suppose que t 7 !
(t), est une solution matricielle du systéme linéaire homogène (<)
sur I: Pour t0 2 I on a
Z
det ( (t)) = det ( (t0 )) : exp
t
tr (A (s)) ds :
t0
En particulier,
(t) est une solution matricielle fondamentale [44], si et seulement si,
(t0 ) 6= 0:
det
Démonstration. [4] La solution matricielle t !
(t) est une fonction di¤erentiable.
Alors on peut écrire
lim [ (t + h)
h!0
(In + h:A (t))
(t)] = 0;
:
car
(t) = A (t) : (t) ; ce qui est équivalent à dire que,
(t + h) = (In + h:A (t))
(t) + 0 (h)
En utilisant la formule de Leibniz du determinant d’une matrice carrée B = (bij ) d0 ordre n,
det (B) =
(où
X
sgn ( )
n
Y
bi
(i) ,
i =1
(i) désigne une permutation de f1; 2; 3; :::ng, sgn ( ) est la signature de ) et le fait
que le déterminant du produit de deux matrices est le produit de leurs déterminants, alors
on aboutit à
det
(t + h) = det (In + h:A (t)) : det
(t) + 0 (h)
= (1 + h:tr (A (t))) : det
(t) + 0 (h) ;
ce qui montre que la fonction g : I ! R; telle que g (t) = det
2 R et
g 0 (t) = h:tr (A (t)) :g (t) ;
en intégrant les deux membres de t0 à t, d’où le résultat
Rt
g (t) = g (t0 ) : exp( t0 tr (A (s)) ds):
98
(t) est dérivable pour tout t
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
On rencontre le plus souvent des systèmes di¤érentiels non linéaires où x0 ne dépend pas
linéairement de x. Sans perte de généralité, on s’intérssera au système di¤érentiel (voir [27])
en dimension deux de la forme suivante:
z 0 = f (t; z) = (f1 (t; z) ; f2 (t; z)) ;
où fi : R
R2 ! R (i = 1; 2) véri…ent
@fi @fi
;
@x @y
(L)
sont continues. Une solution de ce système est
une fonction z (t) = (x (t) ; y (t)) telle que z 0 (t) = f (t; z (t)) (i.e x0 (t) = f1 (t; (x (t) ; y (t)))
et y (t) = f2 (t; (x (t) ; y (t)))); pour tout t 2 R: Quand t varie dans R; la solution z (t)
décrit une courbe des états dans l’espace R2 : L’ensemble des points d’une courbe solution
est appelé trajectoire.
4.7.3
Trajectoires et équilibres
Un point E = (`; }) 2 R2 est appelé équilibre du système di¤érentiel (L), si la fonction
constante z(t) = E est solution de (L) (i.e. f (t; E) = 0). La trajectoire de cette équilibre
est réduite au point E.
4.7.4
Stabilité d’un équilibre
Un point d’équilibre E est stable si, pour tout " > 0 on a kx(t)
t
Ek < " quel que soit
0 et pour toute solution x(t) de condition initiale x0 = x(0) assez proche de E.
Si de plus, chaque x(t) tend vers E quand t tend vers +1, on dit que E est un équilibre
asymptotiquement stable.
Cas d’un système linéaire
Pour un système linéaire X 0 = A:X, où A est une matrice constante; l’origine O (0; 0) est
un équilibre (car, A:0 = (0; 0)). Cet équilibre est
1. stable, si A est diagonalisable avec toutes ses valeurs propres de partie réelle négative
ou nulle,
2. asymptotiquement stable, si toutes les valeurs propres de A ont leur partie réelle
strictement négative,
99
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
3. instable, si l’une au moins des valeurs propres de A est de partie réelle strictement
positive.
4.7.5
Linéarisation autour d’un équilibre
Supposons que E est un point d’équilibre du système di¤érentiel
z 0 (t) = f (t; z (t)) ;
pour approcher la fonction f (t; z (t)) = (f1 (t; z) ; f2 (t; z)) ; formons au voisinage de E sa
matrice Jacobienne,
0
fz (t; z (t)) = @
@f1
@x
@f2
@x
@f1
@y
@f2
@y
1
A;
où les dérivées partielles sont calculées au point E; L’approximation a¢ ne de f au point
E = (`; }) s’écrit sous la forme:
f (t; z) = f (t; E) + fz (t; z (t)) :u = fz (t; z (t)) :u
car f (t; E) = 0; où u = z
E; ce qui montre qu’au voisinage de E nous avons
u0 = z 0
E 0 = f (t; z) = fz (t; z (t)) :u.
Le système di¤erentiel linéaire
u0 = fz (t; z (t)) :u
(L’)
s’appelle le linéarisé du système (L) au point E: Le système (L) est linéarisable autour de
E, s’il véri…e l’une au moins des conditions suivantes(voir [27]):
(i) Aucune valeur propre de la matrice fz (t; z (t)) n’est de partie réelle nulle.
(ii) Les valeurs propres de fz (t; z (t)) sont toutes de parties réelles strictement négatives,
ou bien toutes de parties réelles strictement positives.
Si le système (L) est linéarisable autour de E, alors
1. le point d’équilibre E est stable si et seulement si l’origine est stable pour le système
linéarisé.
100
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
2. le point d’équilibre E est asymptotiquement stable si, et seulement si, l’origine est
asymptotiquement stable pour le système linéarisé.
Soit à présent le système di¤erentiel
x0 = f (t; x) ;
où la fonction f : R
(I.4.7)
R2 ! R2 est continue, T périodique par rapport à la variable t
quand x est …xée et de classe C
1
relativement à x quand t est …xée.
R2 ! R2 ; tel que
Introduisons l’opérateur de Poincaré PT : DT
PT (x0 ) = x (T; x0 ) ;
où x (:; x0 ) est la solution du problème de Cauchy
8
< x0 = f (t; x)
: x (0) = x0 ;
et
DT = x0 2 R2 ; x (0; x0 ) est dé…nie sur [0; T ]
( ouvert de R2 ):
Rappelons que x (:; x0 ) est une solution T périodique de (I.4.7), si et seulement si,
x0 = PT (x0 ). Notons par:
= x 2 C 1 ([0; T ]) ; x0 = f (t; x) ; x (0) = x (T )
et par
Fix( PT ) = fx0 2 DT ; x0 = PT (x0 )g :
Dé…nition 4.7.1 On dit que a est une solution isolée T périodique de (I.4.7), s’il existe
ra > 0 tel que
B (a; ra ) \
= fag ;
où B (a; ra ) est la boule ouverte de centre a et de rayon ra dans l’espace C 1 ([0; T ]) muni
de la norme,
kxk = max kx (t)k + max kx0 (t)k :
t 2[0;T ]
t 2[0;T ]
101
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
4.7.6
Indice d’une solution T périodique
Si x est une solution isolée T périodique de (I.4.7), alors x (0) est un point …xe isolé de
l’opérateur PT , c’est à dire qu’il existe r0 > 0 tel que
B (x (0) ; r0 ) \ Fix (PT ) = fx (0)g ;
alors on peut énoncer la dé…nition suivante:
Dé…nition 4.7.2 ([38]) L’indice de Brouwer
IndB (PT ; x (0)) := degB (I
est bien dé…ni pour tout r
T
PT ; B (x (0) ; r) ; 0) ;
r0 ; on l’appelle indice de x; de période T et on le note par
(x) : De manière analogue, si x est une solution isolée 2T périodique de (I.4.7), l’indice
de x; de période 2T est dé…nie par
2T
(x) = degB (I
P2T ; B (x (0) ; r) ; 0) ;
où r est su¢ sament petit.
Remarquons que, toute solution T périodique de (I.4.7), est une solution 2T -périodique
et si une solution est isolée 2T périodique de (I.4.7), elle est également isolée comme
T périodique solution de (I.4.7).
4.7.7
Solution non dégénérée
Dé…nition 4.7.3 On dit que la solution T périodique x du système (I.4.7), est non dégénérée
[29] de période T (resp. 2T ) si l’unique solution T périodique (resp. 2T périodique ) du
système linéarisé de (I.4.7)
u0 (t) = fx (t; x (t)) :u (t) ;
(II.4.7)
est la solution triviale.
Théorème 4.7.1 Supposons que
div (f (t; x)) < 0; pour tout (t; x) 2 R
102
R2
(III.4.7)
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
et soit x; une solution T périodique du système (I.4.7) non dégénérée de période 2T: Alors
[29] x est uniformément asymptotiquement stable ( resp. instable), si et seulement si,
2T
(x) = 1(resp:
1):
Démonstration. Soit U (t) la matrice fondamentale principale à t0 = 0 du système
(II.4.7) (considéré comme équation avec coe¢ cients T périodique, car f et par suite ses
dérivées partielles sont T périodiques). Notons par
1;
2
les valeurs propres de la matrice
U (T ), alors l’identité
det (U (T )
est vrai pour tout
2
:I2 ) =
2 C, et le fait que si
(
1
+
2) :
+
1: 2;
est complexe, on aura
1
2
=
1:
D’une autre,
part on a par la formule Liouville
1: 2
Z
= det (U (T )) = det (U (0)) : exp
T
tr (fx (s; x (s))) ds ;
0
où x est une solution T périodique du système (I.4.7). Comme on a
det (U (0)) = det (I2 ) = 1 et tr (fx (s; x (s))) =
et d’après la condition (III.4.7), on obtient
Z
1 : 2 = det (U (T )) = exp
@f1
@f2
+
= div (f (t; x)) ;
@x1 @x2
T
div (f (s; x (s))) ds
0
la solution x est non dégénérée implique que
précède si
1
2 C R, alors
2
=
1
i
6=
2 ]0; 1[ ;
1 et +1 (i = 1; 2). D’après ce qui
et par suite,
j 1 j2 = j 2 j2 =
1: 2
2 ]0; 1[ :
Donc on a démontré que dans tous les cas, j i j < 1 (i = 1; 2). On suppose à présent que x
est la solution du problème (I.4.7) associée à la condition initiale x (0) = x0 : Alors à partir
de l’identité
x0 (t; x0 ) = f (t; x (t; x0 ))
on déduit que
0
x0x0 (t; x0 ) = fx (t; x (t; x0 )) :x0x0 (t; x0 ) et x0x0 (0; x0 ) = I2 ;
103
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
ce qui montre que U (t) = x0x0 (t; x0 ) est la matrice fondamentale principale à t0 = 0 du
système (II.4.7) car elle véri…e
U 0 (t) = fx (t; x (t; x0 )) :U (t) avec U (0) = I2 ;
en particulier, on a
0
U (T ) = x0x0 (T; x0 ) = PT (x0 ) ;
0
PT (x0 ) est la matrice monodromie du système (II.4.7) lorsque x (t; x0 ) est T périodique
et
1;
2
sont les multiplicateurs caractéristiques du système ( II.4.7). Il est clair que
det I2
0
PT (x0 ) = (1
car si A est une matrice carré d’ordre 2,
1 et
2
1 ) (1
2)
sont ses valeurs propres alors son polynôme
caractéristique est
det (A
il su¢ t donc de prendre
:I2 ) = det ( I2
A) = (
1) (
2 );
= 1: Par conséquent, si x (t; x0 ) est isolée et est T périodique,
et en vertu du théorème (3.2.1) on peut écrire
T
(x) = degB (I
= sign (1
PT ; B (x0 ; r) ; 0) = JI
1 ) (1
PT
0
(x0 ) = sign det I2
PT (x0 )
2) :
D’une autre part [8], on a pour tout x0 2 R2 ;
0
0
0
P2T (x0 ) = x (2T; x0 ) = x (T; x (0; x0 )) = x (T; x (T; x0 )) = PT PT (x0 ) ;
car x est T -périodique, alors
0
0
0
P2T (x0 ) = PT (PT (x0 )) PT (x0 );
et comme PT (x0 ) = x0 ; on obtient
0
0
0
P2T (x0 ) = PT (x0 )) PT (x0 );
104
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
ce qui nous permet de calculer
det I2
0
P2T (x0 )
0
0
= det I2
PT (x0 )) PT (x0 )
= det (I2
U (T ) U (T ))
= det (I2
U (T )) : det (I2 + U (T ))
= det (I2
U (T )) : det (I2
= (1
1 ) (1
=
2
1
1
2 ) (1
2
2
1
+
( U (T )))
1 ) (1
+
2)
:
Par conséquent, si x (t; x0 ) est T périodique et isolée de période 2T; et comme
i
6= 1 (i = 1; 2) alors
2T
(x) = sign
2
1
1
1
2
2
i
6=
1 et
:
Pour achever la démonstration du théorème distingons deux cas
1. Si l’une des
i
est non réelle et donc l’autre également, on remarque que
2
1
1
1
2
2
car dans ce cas on a j i j < 1 et par suite
2. Si
1;
2
sont réelles, alors
2T
= 1
2T
2 2
1
> 0;
(x) = 1:
(x) = 1 si et seulement si
2
1
et
2
2
sont à la fois inferieures
strictement à 1 où supérieures strictement à 1; cette dernière éventualité est exclue
car
4.7.8
1: 2
2 ]0; 1[ : Dans le cas j 1 j > 1; on obtient
2T
(x) =
1 car
1: 2
2 ]0; 1[.
Cas des équations di¤erentielles du second ordre
Considérons dans cette section, l’équation di¤erentielle de second ordre;(voir [29])
x00 + cx0 + g (t; x) = 0;
où c > 0, g : R
(IV.4.7)
R ! R est une fonction continue, T périodique par rapport à la première
variable et admet une dérivée partielle continue par rapport à la deuxième variable. Une
105
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
telle équation est équivalente au système
8
< u0 = v
: v 0 = cv
g (t; u)
qui est à son tour, équivalent au système
w0 = f (t; w) ;
où w = (u; v) = (u; u0 ) et f : R
R2 ! R2 telle que f (t; w) = (v; cv
g (t; u)) :
On remarque que
div f (t; w) =
@v @ ( c:v g (t; u))
+
=0
@u
@v
c=
c < 0;
pour tout (u; v) 2 R2 (car c > 0). Nous allons caractériser la stabilité d’une solution
x; T périodique de l’équation (IV.4.7) à l’aide de son indice
Convention. Soit ,
pour dire que
(t)
T
(x) :=
T
(w) seulement.
deux fonctions réelles, dé…nies sur [0; T ] : On note
(t) quelque soit t 2 [0; T ] et l’inégalité stricte aura lieu dans un
sous-ensemble de mesure de Lebesgue non nulle.
Théorème 4.7.2 Supposons que ' est une solution T périodique et isolée de l’équation
(IV.4.7) véri…ant la condition
g'0 (t; ' (t))
2
T
+
c
2
2
;
pour tout t 2 R: Alors ' est uniformément asymptotiquement stable (resp. instable), si et
seulement si
T
(') = 1 (resp. 1).
Pour démontrer ce théorème, donnons d’abord les deux lemmes suivants:
Lemme 4.7.1 Si
<<
2
T
: [t0 ; t0 + T ] ! R une fonction continue satisfaisant à la condition
alors le problème aux limites à deux points
8
< w00 + (t) :w = 0
: w (t0 ) = 0 = w (t0 + T ) ;
n’admet que la solution triviale.
106
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
Démonstration. On peut se référer à ([30]) (lemme 3).
Lemme 4.7.2 Étant donné, c > 0 et
: R ! R continue et T périodique. Si
c
2
2
<<
+
T
2
;
alors les multiplicateurs caractéristiques de l’équation di¤érentielle linéaire de second ordre
x00 + c:x0 +
(M)
(t) :x = 0;
sont positifs.
Démonstration. Prenons dans l’équation (M) l’inconnu auxiliaire u, tel que x(t) =
exp(
c
t):u(t)
2
on obtient
u00 +
c2
4
(t)
(M’)
:u = 0:
Remarquons que x (t) = 0; si et seulement si, u (t) = 0 (car exp
(M) a un multiplicateur caractéristique
c
t
2
6= 0); supposons que
< 0, alors elle admet une solution non triviale x1
véri…ant
x1 (t + T ) =
:x1 (t) ;
pour tout t 2 R: Soit s 2 R tel que x1 (s) 6= 0, alors x1 (s) : x1 (s + T ) < 0 et par suite,
il existe t0 2 ]s; s + T [ tel que x1 (t0 ) = 0 = x1 (t0 + T ) : D’après ce qui précède, u1 (t) =
x1 (t) : exp
c
:t
2
est une solution de l’équation (M’) satisfaisant aux conditions aux bords
u1 (t0 ) = 0 = u1 (t0 + T ) :
Dans l’équation (M’), on pose
(t) <<
2
T
: Or
2
T
(t)
c2
4
(t) et comme
=
<<
2
T
+
c 2
2
; alors
est la valeur propre principale du problème aux limites du deux
u00 ; d’après le lemme (4.7.1), (M’)
points sur un intervalle de longueur T pour l’opérateur
n’admet que la solution triviale; cela contredit le fait que x1 est non triviale.
Revenons à la démonstration du théorème.
Démonstration. Etudions d’abord le cas
g'0 (t; ' (t)) =
2
T
107
+
c
2
2
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
pour tout t 2 R: Alors l’équation
2
x00 + cx0 + x
+
T
c
2
2
= 0;
est à coe¢ cients constantes sa polynôme caractéristique est
2
+ c: +
2
T
+
c 2
et
2
ces
exposants caractéristiques sont
1
c
2
=
i: ;
T
1
c
+ i: ;
2
T
=
ce qui montre immediatement que la solution ' est uniformément asymtotiquement stable,
et que
T
(') =
2T
c
2
(') = 1 car
< 0: Supposons à présent que
2
g'0 (t; ' (t)) 6=
+
T
c
2
2
;
d’après le lemme (4.7.2) l’équation
x00 + cx0 + g'0 (t; ' (t)) :x = 0;
n’admet pas des mutiplicateurs caractéristique négatifs; c’est à dire que ces derniers sont,
soit non réels et alors d’après le théorème (4.7.1),
ment asymtotiquement stable; ou bien
sign(1
2
1 ) (1
2
2)
= sign(1
i
1 ) (1
T
(') =
2T
(') = 1 et ' est uniformé-
0; i 2 f1; 2g dans ce cas nous avons;
2)
=
T
(') car, (1 +
1 ) (1
2
Exemple 4.7.1 L’éxemple suivant montre que la constante
T
+
+
2)
c 2
2
2T
(') =
> 0:
utilisée dans le
théorème précédent est optimale, c’est à dire qu’on ne pas la remplacer par une autre plus
grande. Soit ! une fonction T périodique dé…nie par:
8
< ! 2 + c 2 si t 2 ]0; a[
1
2
! (t) =
: ! 2 + c 2 si t 2 ]a; T [ ;
2
2
pour un certain a 2 ]0; T [ et ! 1 > 0; ! 2 > 0: Considérons l0 équation
x00 + cx0 + ! (t) :x = 0;
il est clair que
! (t) =
! 21 +
c
2
2
108
2
<
T
+
c
2
2
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
pour tout t 2 ]0; a[ ; alors dire que la condition du théorème n’est pas remplie, entraine que
2
! 22 >
T
et on remarque que c’est le cas quand on …xe a tel que ! 2 (T
a) = : La
résolution directe de l’équation, montre qu’on peut choisir ! 1 ; de telle sorte que la solution
triviale est instable avec
4.7.9
T
(o) = 1:
Équation de second ordre avec nonlinéarité convexe
Soit l’équation
x00 + cx0 + g (t; x) = s;
(V.4.7)
tels que c > 0; g : R R ! R une fonction continue T périodique par rapport à la première
variable et admet une dérivée partielle continue par rapport à la deuxième variable et s est
un paramêtre réel. On suppose que les conditions suivantes sont satisfaites:
gx0 (t; y)] (x
(}1 ) la fonction g est strictement convexe, (i.e. [gx0 (t; x)
y) > 0 pour tout
t 2 R et (x; y) 2 R2 avec x 6= y).
(}2 )
(}3 )
lim
x !+1
gx0 (t; x)
2
T
+
c 2
2
:
lim g (t; x) = +1:
jxj !+1
Dans ce qui suit, nous allons donner des résultats concernant le stabilité des solutions
T périodiques. D’abord nous commençons par introduire des lemmes necéssaires pour la
preuve.
Lemme 4.7.3 Considérons l’opérateur di¤erentiel
dé…ni sur l’espace des fonctions
L
T périodique par
L (x) = x00 + cx0 +
où c 2 R et
(:) x;
2 L1 (R T:Z) (espace des fonctions T périodiques, L1 integrables sur tout
intervalle de longueur T ) et véri…ant la condition
2
<<
T
alors les résultas suivants sont vrais
109
+
c
2
2
;
(G)
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
1. Toute solution T périodique u de l’équation L (x) = , où
2 R (quelconque) est
soit la solution triviale, ou bien ne s0 annule jamais sur [0; T ] :
2. Pour
1;
2
de L1 (R T:Z) telles que
1
<<
2,
véri…ant la condition (G); alors les
équations
L i (x) = 0; (i = 1; 2)
ne peuvent pas admettre simultanément des solutions T périodiques non triviales.
Démonstration. (1) Soit v une solution non triviale de l’équation L (x) = ; s’il
existe t0 2 [0; T ] tel que v (t0 ) = 0; alors v (t0 + T ) = 0: Par la même démarche utilisée
dans la preuve du lemme précédent, la fonction w
c
t :v (t)
2
w (t) = exp
est une solution de l’équation
w00 +
qui s’annule en t0 et t0 + T , et comme
c2
4
(t)
c2
4
<<
:w = 0;
2
T
alors on a une contradiction avec le
lemme (4.7.1).
(2) Pour tout x et ' de L2 (R T:Z) on a,
hL (x) ; 'i =
=
Z
T
0
Z
0
T
(x00 (t) + c:x0 (t) + (t) :x (t)) :' (t) dt
Z T
Z
00
0
x (t) :' (t) dt + c
x (t) :' (t) dt +
0
T
(t) :x (t) :' (t) dt:
0
ɤectuons des intégrations par partie, on trouve
Z T
Z T
T
00
0
x (t) :' (t) dt = [x (t) :' (t)]0
x0 (t) :'0 (t) dt
0
0
Z T
T
0
= 0
[x (t) :' (t)]0
x (t) :'00 (t) dt
0
Z T
=
x (t) :'00 (t) dt;
0
Z T
Z T
Z
T
0
0
x (t) :' (t) dt = [x (t) ::' (t)]0
x (t) :' (t) dt =
0
0
110
0
T
x (t) :'0 (t) dt:
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
Alors
hL (x) ; 'i =
Z
T
('00 (t)
c:'0 (t) +
(t) :' (t)) :x (t) :dt = hx; L (')i ;
0
où L est l’opérateur adjoint de L et est dé…ni par:
L (x) = x00
c:x0 +
(t) :x:
Remarquons d’abord, que les conclusions obtenus sur L dans la partie (1) restent valable
pour l’opérateur adjoint L . Raisonons par l’absurde, si les deux équations L i (x) = 0
(i = 1; 2), admettent respectivement x1 ; x2 comme solutions T périodiques non triviales;
alors l’équation adjointe L
1
(x) = 0, admet une solution ' non triviale et T périodique.
Par la partie (1) de ce lemme, x1 et ' n’ont pas de zéros dans [0; T ] ; sans perte de généralités
supposons que x1 (t), ' (t) sont strictement positives, quelque soit t 2 [0; T ] : D’une autre
part, nous avons
L 1 (x2 )
L 2 (x2 ) = (
2 ) x2
1
= L 1 (x2 ) ;
et par suite
hL
1 (x2 ) ; 'i = x2 ; L
ce qui montre que, (
avec l’hypothèse
1
1
(t)
<<
2
(') = 0 =
1
Z
T
[(
1
(t)
2
(t))] x2 (t) :' (t) :dt;
0
(t)) = 0, presque pour tout t 2 [0; T ] qui est en contradiction
2:
Lemme 4.7.4 On suppose que la condition (}3 ) est satisfaite; alors il existe une fonction
croissante M telle que
jx (t)j + jx0 (t)j < M (jsj) ;
pour tout t 2 R et toute x solution T périodique de l’équation (V.4.7).
Démonstration. De la condition (}3 ), on déduit qu’il existe
(t; x) 2 [0; T ]
> 0, tel que pour tout
R nous avons; g (t; x) > : Soit x une solution T périodique de l’équation
(V.4.7), quand on intègre membre à membre cette équation, on obtient
1
g (:; x (:)) =
T
Z
T
g(t; x (t))dt = s > ;
0
111
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
car
RT
0
(x00 (t) + cx0 (t)) dt = 0. En plus on a
Z T
Z T
00
0
jg(t; x (t))
j(x (t) + cx (t))j dt =
0
0
Z T
(g(t; x (t))
+
sj dt
)dt +
) + T: (j
= T ((s
) + js
sj)
soit
j
sj dt
)+
j) = 2T (s
)) :x0 ( ) on trouve,
car g (t; x) > : Par conséquent, si on pose ` ( ) = exp ( c (t
`0 ( ) = exp ( c (t
T
0
0
= T: (s
Z
)) [x00 ( ) + c:x0 (t)] ;
2 [0; T ] tel que x0 ( ) = 0; alors
Z T
exp ( c (t
)) [x00 ( ) + c:x0 (t)] d = [exp ( c (t
t
)) :x0 ( )] = x0 (t) ;
0
utilisons à présent le résultat précédent; on obtient
Z t
0
jx (t)j
exp ( c (t
)) [x00 ( ) + c:x0 (t)] d
Z t
exp ( c (t
)) j[x00 ( ) + c:x0 (t)]j d
Z T
jx00 ( ) + c:x0 (t)j dt 2T: (s
)+ ;
0
qui entraine immédiatement que pour tout t 2 [0; T ],
Z t
jx (t) x (0)j
jx0 (s)j ds 2T 2 : (s
)+ :
0
La condition (}3 ) implique qu’il existe un fonction R (s) croissante, telle que
g (t; x) > s lorsque
Pour majorer x (0), on suppose que jx (0)j
2 [0; T ] et jxj
R (s) :
R (s) + 2T 2 : (s
)+ ; alors pour tout
[0; T ] ; on a
jx (t)j
jx (0)j
jx (t)
x (0)j
R (s)
il en résulte que, g (:; x (:)) > s; ce qui est une contradiction avec g (:; x (:)) = s; alors
jx (0)j < R (s) + 2T 2 : (s
112
)+ :
2
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
Finalement on déduit que,
jx (t)j
donc jx (t)j + jx0 (t)j
jx (0)j + jx (t)
x (0)j
R (s) + 4T 2 : (s
)+ ;
)+ = M (s).
R (s) + (4T 2 + 2T ) (s
Lemme 4.7.5 Supposons que la fonction g véri…e les conditions (}1 ),(}2 ). Si x1 ; x2 sont
deux solutions T périodiques de l’équation (V.4.7) pour s = s1 et s = s2 respectivement tels
que x1 6= x2 ; alors nous avons soit x1 < x2 ou bien x1 > x2 :
Démonstration. Remarquons tout d’abord que
L (x2
x 1 ) = s2
pour une fonction T périodique bien choisie
s1 ;
( (t) =
g(t;x2 ) g(t;x1 )
)
x2 x1
qui à cause des
conditions (}1 ) et (}2 ) véri…e la condition (G); en se servant du lemme 1), on conclut que
(x2
x1 ) (t) 6= 0 pour tout t 2 [0; T ] ; car x2
L (x) = s2
x1 est une solution non triviale de l’équation
s1 :
On peut maintenant, prouver le théorème suivant.
Théorème 4.7.3 Supposons que les conditions (}1 ), (}2 ) et (}3 ) sont satisfaites. Alors il
existe s0 2 R; tel que les conclusions suivantes sont véri…ées:
(i) Si s > s0 ; l’équation (V.4.7) admet exactement deux solutions T périodiques, dont
une est uniformément asymptotiquement stable et l’autre est instable.
(ii) Si s < s0 ; les solutions de l’équation (V.4.7) sont non bornées.
(iii) Si s = s0 ; l’équation (V.4.7) admet une solution unique, qui n’est pas asymptotiquement stable.
Démonstration. (voir [8] et [29]) Si s 2 R véri…e g (t; 0)
s pour tout t 2 [0; T ] ; alors
x = 0 est une sous-solution de l’équation (V.4.7) (pour s = s ) et avec conditions aux limites
T périodiques. L’hypothèse (~2 ) entraine l’existence de R > 0 véri…ant g (t; R)
tout t 2 [0; T ] ; alors x =
s ; pour
R est une sur-solution de (V.4.7) avec conditions aux limites
113
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
T périodiques, donc cette équation admet au moins une solution T périodique x véri…ant
R < x (t) < 0 quelque soit t 2 [0; T ] : Soit
S = fs 2 R; (V.4.7) admet au moins une solution T
périodique g ;
d’après ce qui précède S 6= ?: D’une autre part, si x est une solution T périodique de
(V.4.7); alors il existe
> 0; tel que s = g (:x (:))
, c’est à dire que S est minoré par
: Montrons que S est non majoré; pour cela soit s1 2 S et x1 la solution de (V.4.7)
correspondante à la valeur s = s1 ; donc pour s > s1 nous aurons
x001 + c:x01 + g (t; x1 ) = s1 < s:
Alors x1 est une sous- solution de (V.4.7) avec conditions aux limites T périodiques;
utilisons encore la condition (~2 ), il existe R0 >
x =
min x1 (t) tel que g (t; R0 ) > s, alors
t 2[0;T ]
R0 est une sur-solution de (V.4.7) avec conditions aux limites T périodiques; on
déduit que (V.4.7) admet au moins une solution T périodique x; véri…e
pour tout t 2 [0; T ], d’où s 2 S: On pose s0 = inf S, on a alors s0 >
R < x (t) < x1 (t)
et par le lemme (1),
on démontre que s0 2 S. D’après ce qui précède, on a les conclusions suivantes:
1. Pour s
s0 ; l’équation (V.4.7) admet au moins une solution T périodique.
2. Si s < s0 ; l’équation (V.4.7) n’admet pas des solutions T périodiques.
Démontrons à présent que cette équation admet au plus deux solutions T périodiques,
et que toute solution est nécessairement isolée; supposons que l’équation admet trois solutions T périodiques di¤érentes ui (i = 1; 2; 3) et par le lemme (4.7.5), on peut poser
u1 < u2 < u3 : Il est clair que, vi = ui +1
ui (i = 1; 2 ) est une solution T périodique de
l’équation L i (x) = 0; où
i
=
g(t; ui +1 )
ui +1
d’après le théorème des acroissement …nis
2
et comme r2 > r1 alors
2
>
1
1
g (t; ui )
; (i = 1; 2);
ui
i
= gx0 (t; ri ) tel que ui < ri < ui +1 ; alors
= gx0 (t; r2 )
gx0 (t; r1 ) ;
(car g est strictement convexe). D’après le lemme (4.7.3),
il existe i 2 f1; 2g unique tel que vi est une solution triviale d’où la contradiction. Soit u0
114
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
la solution T périodique associée à la valeur s = s0 , la continuité de l’indice implique que
u0 est dégénérée et
T
(u0 ) = 0;
car si s’était le contraire, l’équation (V.4.7) aurait une solution T périodique pour tout
s 2 ]s0
"; s0 [ et " > 0: Remarquons que si u1 est une autre solution T périodique de
(V.4.7) pour une valeur s1
s0 , d’après le lemme (4.7.5) et comme g est strictement
convexe, on a soit u1 < u0 et alors gx0 (t; u1 ) < gx0 (t; u0 ) sur [0; T ]; ou bien u1 > u0 et
alors gx0 (t; u1 ) > gx0 (t; u0 ) sur [0; T ] : La deuxième partie du lemme (4.7.3) entraine que
u1 est non dégénérée et alors s 6= s0 . Nous avons démontré que pour s = s0 , l’équation
(V.4.7) a une solution unique u0 qui ne peut pas être uniformément asymptotiquement
stable, car
T
(u0 ) = 0 6= 1: Une conséquence de raisonnement si-dessus est l’existence,
d’exactement deux solutions T périodiques et non dégénérées de l’équation (V.4.7) pour
une valeur s > s0 : Étant donné s1 > s0 , soit l’opérateur de Poincaré associé à l’équation
(V.4.7)
PT;s : DT
avec
R2 ! R2 ; PT;s ( ) = (u (T; ) ; u0 (T; )) ;
= (u (0) ; u0 (0)) et s 2 [s0 ; s1 ]; on suppose que ( 1 ;
2)
2@
est un point …xe isolé
de PT;s où
= f( 1 ;
2)
2 DT ; j 1 j + j 2 j < M0 = M ( max(js0 j ; js1 j))g ;
alors l’équation (V.4.7) admet une solution T périodique u, véri…ant u (0) =
1;
u0 (0) =
2
on a
ju (0)j + ju0 (0)j = M0 ;
et d’après le lemme (4.7.4) on a,
ju (t)j + ju0 (t)j < M (jsj)
M0
pour tout t 2 [0; T ] (car M est croissante); alors ju (0)j + ju0 (0)j < M0 , d’où une contradiction et par suite PT;s n’admet pas de point …xe sur @ . La propriété de l’invariance par
homotopie du degré implique que
degB I
PT;s1 ; ; 0 = degB I
115
PT;s0 ; ; 0 =
T
(u0 ) = 0:
4.7. Stabilité et indice des solutions périodiques
On a alors nécessairement
T
(u1 ) =
T
(u1 ) =
1;
où u1 ; u1 sont les deux solutions T périodiques non dégénérées de l’équation (V.4.7) pour
s = s1 ; d’après le théorème (4.7.2), u1 est uniformément asymptotiquement stable et u1 est
instable. Finalement, supposons que u est une solution bornée de (V.4.7) pour s < s0 : On
a déja montré que pour tout t 2 [0; T ]
ju0 (t)j
étant donnés u
inf u (t)
sup u (t)
2T: (s
)+ ;
u+ ; avec ju j assez grands. Considérons l’équation
tronquée associée
x00 + cx0 + g (t; x) = s;
(VI.4.7)
où la fonction g est dé…nie par
8
>
>
g (t; x) pour x 2 ]x ; x+ [
>
<
g (t; x) =
g (t; x ) pour
x x
>
>
>
: g (t; x+ ) pour x x+ :
Avant de continuer cette démonstration, rappelons le théorème suivant (démontré par J.L.
Massera en 1950 ), qui sera util pour la suite.
Théorème (de Massera)[28] On considère l’équation di¤érentielle linéaire:
x0 = A(t):x + b(t);
où A : R ! Rn
n
(E)
; b : R ! Rn sont des applications continues et T périodiques. Alors
l’équation (E) admet une solution T périodique si et seulement si, elle avait une solution
x bornée dans [0; +1[ (i.e. il existe C > 0; jx(t)j < C pour tout t
0).
Revenons à la démonstration du théorème, d’abord on remarque que l’équation (VI.4.7)
est équivalente au système plan
0
que l’on peut formuler w0 = @
8
< u0 = v
: v0 = s
0
1
c:v
1
g (t; x) ;
A :w + s g (t; u) où w =
u
v
: On a par construction,
0
c
u est une solution de l’équation tronquée (VI.4.7) avec juj + ju0 j borné, alors le théorème de
116
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
Massera appliqué à cette équation (écrite sous la forme précédente) implique qu’elle admet
une solution T périodique, ce qui contredit le lemme (4.7.4). Alors pour les valeurs s < s0
l’équation (V.4.7) n’admet pas des solutions bornées.
4.8
Solutions positives d’un problème aux limites de
premier ordre en résonance
Dans cette application, Zima M. ([51]) a obtenu des conditions su¢ santes pour l’existence
de solutions positives à un problème aux limites de premier ordre dans le cas de résonance.
L’étude faite est basé sur un théorème de coincidence dû à O’Regan et Zima.
Considérons le problème aux limites suivant:
8
< x0 (t) + a (t) x (t) = f (t; x (t)) ; t 2 [0; T ] ;
: x(0) = x (T ) ;
où a : [0; T ] ! [0; +1[ et f : [0; T ]
RT
=e
0
a(s)ds
(I.4.8)
R ! R sont des fonctions continues, T > 0;
:
Le problème homogène associé à (I.4.8) admet des solutions non triviales (x(t) = 2e
Rt
0
a(s)ds
exemple), dans ce cas on dit que le problème (I.4.8) est en résonance. On utilisera dans ce
qui suit les notations suivantes:
(t) =: e
Rt
0
a(s)ds
k (t; s) =:
M (s)
R
(t) 0T ( )d
G(t; s) =:
8
<
:
et
(t) =:
(s)
(t)
(s)
(t)
+ k (t; s)
1+
(s)
(T )
RT
R0 T
0
Rt
ds
;pour tout
0 (s)
(s)
; 0 s t
(T )
;
0
k(t; )d
( )d
t 2 [0; T ] :
T
t<s
T
(s) ; t; s 2 [0; T ] ; où M > 0:
Supposons de plus qu’il existe 3 constantes positives ; M et R telles que
(C1)
M
(C2) G(t; s)
1
(T )
RT
0 et
0
( )d ;
1
(t) (T )
(C3) f (t; R) < 0 et f (t;
R
)
(t)
G(t; s)
0; pour tout t; s 2 [0; T ] ;
< 0; pour tout t 2 [0; T ] ;
117
par
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
(C4) f (t; x) >
x; pour tout (t; x) 2 [0; T ]
[0; R] ;
(C5) il existe quatre nombres réels t0 2 [0; T ] ; r 2 0; R ;
> 0; m 2 ]0; 1[ et deux
fonctions continues g : [0; T ] ! [0; +1[ ; h : ]0; r] ! [0; +1[ telles que
(a) f (t; x)
(b)
g (t) :h (x) pour (t; x) 2 [0; T ]
]0; r],
h(x)
x
est non croissante sur ]0; r] et
RT
mT
G(t0 ; s)g (s) ds 1
(c) h(r)m
:
r
(t0 ) (T )
0
Dé…nition 4.8.1 ([6]) Soit X un espace de Banach réel, on appelle un cône tout sousensemble C de X convexe fermé véri…ant:
1.
C
C; pour tout
> 0;
2. C \ ( C) = f0g :
Dans ce cas on rappelle que C induit une relation d’ordre partiel dans X dé…nie par
x
et que pour tout u 2 C
y,y
x 2 C;
f0g ; il existe un réel (u) > 0 tel que
kx + uk
(u) kxk ; quelque soit x 2 C:
Théorème 4.8.1 Sous les conditions (C1)-(C5), le problème (I.4.8) admet au moins une
solution positive dé…nie sur [0; T ] :
La démonstration de ce théorème est basée sur le théorème de coincidence suivant prouvé
par O’Regan et Zima en 2006 (voir [36])
Théorème 4.8.2 Soit X et Z deux espaces de Banach sur R; L : D(L)
X ! Z un
opérateur de Fredholm d’indice 0 et N : X ! Z un opérateur non linéaire L complètement
continu sur X: On considère un cône C
1
2;
et soit
et deux ouverts bornés
: X ! C une rétraction continue (i.e.
jC
M = P + JQN + KP;Q et M = M
1;
2
de X tels que
= I): On note par
;
où P : X ! X, Q : Z ! Z sont des projections continues telles que Im P = ker L,
ker Q = Im L et J : Im Q ! ker L est un isomorphisme. Supposons que
118
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
1. Lx 6= N x; pour tout x 2 (C \ @
2.
(
2)
2)
\ D (L) et
est borné dans C;
3. degB (I
(P + JQN )
4. il existe u0 2 C
jker L ;
ker L \
2;
f0g tel que kxk
0) 6= 0;
(u0 ) kM xk ; pour x 2 C (u0 ) \ @
C (u0 ) = fx 2 C;
5. (P + JQN ) (@
6. M
2 ]0; 1[ ;
2
1
2)
u0
x;
1,
où
> 0g ;
C;
C:
Alors l’équation Lx = N x admet une solution dans l’ensemble C \ (
2
1 ):
Démonstration. [du théorème (4.8.1)] Considérons l’espace de Banach X = Z =
C([0; T ]) dont sa norme est dé…nie par kxk = maxt2[0;T ] jx(t)j : Soit les opérateurs L :
D(L)
X ! X et N : X ! X dé…nis par
D (L) =
x 2 C 1 ([0; T ]); x(0) = x (T ) ;
(Lx) (:) = x0 (:) + a (:) x (:) et (N x) (:) = f (:; x(:)):
Rt
x est solution non triviale de x0 (t) + a (t) x (t) = 0 , x (t) = c: exp( 0 a (s) ds);donc
(
)
c
c
=
ker L = x 2 D(L); x(t) =
; c 2 R et t 2 [0; T ] :
Rt
(t)
exp( a (s) ds)
0
D’autre part, y 2 Im L si et seulement s’il existe x 2 D(L) tel que x0 (t) + a (t) x (t) = y (t)
pour tout t 2 [0; T ] ; en résolvant cette équation di¤érentielle linéaire avec deuxième membre
par la méthode de variation des constantes, on trouve
Z t
1
x (0)
+
(s) y (s) ds;
x (t) =
(t)
(t) 0
RT
1
pour t = T; on obtient x (T ) = x(0)
+
(s) y (s) ds qui ne sera vrai que dans le cas
(T )
(T ) 0
RT
où 0 (s) y (s) ds = 0 car x (0) = :x (T ) : Reciproquement, pour tout y 2 X et véri…ant
119
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
RT
(s) y (s) ds = 0; il existe x 2 D(L) tel que x0 (t)+a (t) x (t) = y (t) ( il su¢ t de prendre
Rt
c
1
x = (t)
(s) y (s) ds, avec c constante réelle). Alors
+ (t)
0
Z T
(s) y (s) ds = 0 :
Im L = y 2 X;
0
0
Dé…nissons à présent les projections P : X ! X par
RT
x (s) ds
c
(P x) (t) =
où c = 0
;
(t)
(T )
et Q : X ! X par
Qy =
RT
0
(s) y (s) ds
:
(s)
ds
0
On remarque que Im P = ker L et ker Q = Im L: L’application linéaire H : X ! R dé…nie
par
H (y) =
RT
Z
T
(s) y (s) ds
0
est continue, car
jH (y)j
alors Im L = H
1
T: exp( max a (t)) max jy (t)j = T: exp(kak): kyk ;
t2[0;T ]
t2[0;T ]
(f0g) est un fermé; on note par Y1 = Im Q le supplémentaire topologique
de Im L (i.e. Y = Im L
Y1 ). D’autre part dim ker L = dim R = dim Y1 = 1; ce qui montre
que L est un opérateur de Fredholm d’indice 0. Démontrons à présent que l’application
K : X ! X dé…nie par
Ky (t) =
Z
T
k(t; s)y (s) ds;
0
est l’inverse de l’opérateur LP = Ljker P \D(L) ; on a pour tout y 2 Im L;
Z t
Z t
1
1
(Ky) (t) =
(s) :y (s) ds +
(s) : (s) :y (s) ds +
(t) 0
(t) (T ) 0
Z T
1
(s) : (s) :y (s) ds;
(t) (T ) t
Z
Z t
a (t) t
a (t)
(Ky) (t) =
(s) :y (s) ds + y (t)
(s) : (s) :y (s) ds +
(t) 0
(t) (T ) 0
Z T
(t) :y (t)
a (t)
(t) :y (t)
(s) : (s) :y (s) ds
(T )
(t) (T ) t
(T )
Z t
Z T
(s)
(s)
(s) : (s)
= y (t) a(t)
(1 +
)y (s) ds a (t)
:y (s) ds
(t)
(T )
(t) (T )
0
t
= y(t) a (t) Ky (t) :
0
120
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
Alors
LP Ky (t) = (Ky)0 (t) + a (t) (Ky) (t) = y(t):
RT
D’un autre coté, pour x 2 ker P (i.e. 0 x (s) ds = 0) on obtient
KLP x =
Z
T
0
=
Z
T
0
=
Z
0
t
Z
k(t; s)(x0 (s) + a (s) x (t))ds
Z T
0
k(t; s)x (s) ds +
k(t; s)a (s) x (t) ds
0
Z T
(s)
(s) 0
1
(1 +
)x (s) ds +
(t)
(T )
(t) (T ) t
T
k(t; s)a (s) x (t) ds
Z T
1
=
(s) : (s) x0 (s) ds +
(t) (T ) 0
Z T
+
k(t; s)a (s) x (t) ds:
+
(s) : (s) x0 (s) ds
0
1
(t)
Z
t
(s) x0 (s) ds
0
0
Utilisons des intégrations par partie pour calculer les deux premiers intégrals
Z T
Z T
T
0
(s) : (s) x (s) ds = [ (s) : (s) x (s)]0
(a(s) (s) (s) + 1)x (s) ds
0
0
Z T
=
(T ) x (T )
a(s) (s) (s) x (s) ds
0
Z t
=
(T ) x (T )
(s) (s) a(s)x (s) ds
0
Z T
a(s) (s) (s) x (s) ds:
t
Z
t
0
(s) x (s) ds = [
0
=
(s) x (s)]t0
(s) x (t)
Z
t
a(s) (s) x (s) ds
Z t
x (0)
(s) a(s)x (s) ds:
0
0
Alors KLP x (t) = x(t) car
x (T ) = x (0) : Comme a et f sont continues, alors les
applications QN : X ! R; QN x =
bornés sur des bornés de D(L)
jQN xj
RT
0
(s)f (s;x(s))ds
RT
,
(s)ds
0
(I
Q)N sont continues et envoient les
X car si x est borné, on aura
sup jf (s; x (s))j et j(I
s2[0;T ]
121
Q)N xj
2 sup jf (s; x (s))j :
s2[0;T ]
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
( ici le sup existe car R est un espace séparé de dimension …nie) et l’application K est
complètement continue sur X car si x 2 X soit borné et comme les fonctions
et
sont
croissantes et positives, on aura
jKx (t)j
Z
t
(s)
(T )
(s)
(t)
1+
max jx (t)j
t2[0;T ]
0
Z t
Z T
kxk
1: (1 + 1) ds +
1:1ds
0
t
ds +
Z
T
t
(s)
(t)
(s)
(T )
ds
= kxk (t + T )
2T: kxk :
D’autre part pour (t1 ; t2 ) 2 [0; T ]2 (sopposons par exemple que t1 < t2 )
Z T
(k(t2 ; s) k(t1 ; s))x (s) ds
jKx (t2 ) Kx (t1 )j =
0
Z T
j(k(t2 ; s) k(t1 ; s))j ds;
kxk
0
et comme est continue sur [0; T ] ; alors après simli…cations on obtient
Z T
Z t1
1
1
(s)
j(k(t2 ; s) k(t1 ; s))j ds = (
)
(s) (1 +
)ds
(t1 )
(t2 ) 0
(T )
0
Z t2
1
1
(s)
+(
)
ds
(s)
(t1 )
(t2 ) t1
(T )
Z T
Z t2
1
1
(s)
1
+
)
(s)
ds
(s) ds + (
(t1 ) t1
(t1 )
(t2 ) t2
(T )
Z t1
Z t2
Z T
1
1
) 2
(s) ds +
(
(s) ds +
(s) ds
(t1 )
(t2 )
0
t1
t2
Z t2
1
+
(s) ds
(t1 ) t1
Z
Z t2
2( (t2 )
(t1 )) T
1
(s) ds +
(s) ds ! 0 quand t1 ! t2 :
(t1 ) (t2 )
(t1 ) t1
0
Dé…nissons l’isomorphisme
J : Im Q ! ker L est dé…ni par J(c) (t) =
Mc
:
(t)
Considérons les ensembles suivants
C = fx 2 X; x (t)
0; t 2 [0; T ]g ;
1
= fx 2 X; m kxk < jx(t)j < r; t 2 [0; T ]g ;
2
= B(0; R):
122
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
On remarque que
RT
car
=e
0
1
et
1
= fx 2 X; m kxk
a(s)ds
2
sont des ouverts bornés de X et
1 entraine que r <
(x 2 X tel que x(t) =
r +R
2
jx(t)j
R
r; t 2 [0; T ]g
R: C est un cône de X et C \ (
est un élément de cet ensemble).
suppose qu’il existe x0 2 (C \ @
2)
2;
\ D (L) et
x00 (t) + a(t)x0 (t) =
0
Pour démontrer 1), on
2 ]0; 1[ tel que Lx0 =
0 f (t; x0 (t));
0 N x0 .
0 f (t
a(t )R =
d’où la contradiction. Soit l’application
(
0 f (t
alors on
; R) < 0;
: X ! C dé…nie par ( x) (:) = jx(:)j ; c’est clair
est une rétraction et que pour tout x 2
2,
k( x) (:)k = kxk
R; ce qui montre que
est borné dans C: Pour x 2 ker L \ 2 ; 2 [0; 1] et t 2 [0; T ] on dé…nit
#
"
Z T
Z T
1
M
f (s; jx(s)j) (s) ds .
H(x; )(t) = x(t)
jx(s)j ds + R T
(t)
(T ) 0
(s)
ds
0
0
2)
On suppose qu’il existe x 2 ker L \ @
2
tel que H(x; ) = 0 c’est à dire que x (t) =
kxk = R; d’après la condition (C4) on a
"
#
Z T
Z T
jcj
jcj
ds
M
f (s;
c =
+ RT
) (s) ds
(T ) 0
(s)
(s)
(s) ds 0
0
"
#
Z T
jcj
M
f (s;
=
jcj + R T
) (s) ds
(s)
(s) ds 0
0
"
#
"
#
M T jcj
MT
jcj R T
= jcj 1 R T
;
(s) ds
(s) ds
0
0
d’après la condition (C1) et le fait que a(t)
et par suite on obtient
RT
0
c
2 ),
; R) et d’après la condition (C3) on a
0
que
Alors
t 2 [0; T ]
soit t 2 [0; T ] tel que kx0 k = maxt2[0;T ] jx0 (t)j = x0 (t ) = R (car x0 2 @
obtient 0 + a(t )R =
6= ?
1)
2
0 et kxk = maxt2[0;T ] (
"
R =
=
MT
( )d
c
)=
(t)
1
(T )
R+ RT
0
T
(T )
et
0; pour tout t 2 [0; T ] alors est croissante
RT
RT
)
1(car
(T ) = 0 (T
ds
ds = T ), donc
(s)
0
c = R. Alors
#
Z T
Rds
M
R
+ RT
f (s;
) (s) ds
(s)
(s)
(s)
ds
0
0
0
Z T
M
R
f (s;
) (s) ds:
(s)
(s) ds 0
Z
c
(t)
T
123
4.8. Solutions positives d’un problème aux limites de premier ordre en résonance
Donc on aboutit à
0
R(1
) = RT
0
M
(s) ds
Z
T
f (s;
0
R
) (s) ds
(s)
ce contredit (C3). Alors H(x; ) 6= 0 pour tout (x; ) 2 (ker L \ @
2)
[0; 1] et par la
propriété de l’invariance par homotopie on obtient
1 = degB (H(x; 0); ker L \
2 ; 0)
= degB (H(x; 1); ker L \
2 ; 0)
= degB (I
(P + JQN )
jker L ; ker L
car H(x; 0) = Ijker L et H(x; 1) = I
(P + JQN )
jker L :
pour tout t 2 [0; T ] ; on remarque que u0 2 C
\
2 ; 0)
Pour montrer 4) posons u0 (t) = 1
f0get qu’on a
kx + u0 k = kxk + 1 > 1: kxk ; pour tout x 2 C;
alors on peut choisir
(u0 ) = 1: C’est clair de voir que l’ensemble
C (u0 ) = fx 2 C; x(t)
Pour x 2 C (u0 ) \ @
1
0;
> 0 et t 2 [0; T ] g = fx 2 C; x (t) 6= 0; t 2 [0; T ]g :
nous avons x(t) > 0 sur [0; T ] ; 0 < kxk < r et x(t)
[0; T ] : D’après la condition (C5) on aura pour tout x 2 C (u0 ) \ @
1
Z T
Z T
1
x(s)ds +
G(t0 ; s)f (s; x(s))ds
(M x) (t0 ) =
(t0 ) (T ) 0
0
Z T
Z T
1
G(t0 ; s)g (s) h(x(s)ds
m kxk ds +
(t0 ) (T ) 0
0
Z T
T m kxk
h(x(s))
+
G(t0 ; s)g (s)
x (s) ds
(t0 ) (T )
x (s)
0
Z T
T mr
h(r)
+
G(t0 ; s)g (s)
m kxk ds
(t0 ) (T )
r
0
Z T
T mr
=
+ h(r)m
G(t0 ; s)g (s) ds
(t0 ) (T )
0
r = kxk .
124
m kxk sur
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
Alors kM xk = maxt2[0;T ] jM x (t)j
(C4) on obtient pour tout x 2 @
(P + JQN ) x(t) =
1
(t)
"
1
(t)
=
car
2
1
(t)
(T )
1
on déduit que pour tout x 2
M x (t) =
4.9
2
1
0
1
(T )
(T )
est croissante sur [0; T ] et
alors M
(i.e. kxk = R)
Z T
jx(s)j ds +
1
(T )
(t)
kxk : En utilisant les conditions (C1) et
(M x) (t0 )
Z
Z
(t)
T
jx(s)j ds
0
T
0
Z T
jx(s)j ds
1
RT
0
(s)
RT
0
M
(s) ds
Z T
(s) ds
Z T
1
(T )
0
0
T
0
f (s; jx(s)j) (s) ds
jx(s)j (s) ds
#
jx(s)j (s) ds
jx(s)j ds
0
=
Z
M
(T ) ; donc (P + JQN ) (@
0;
2)
C: De (C2) et (C4)
et t 2 [0; T ]
Z T
Z T
1
jx(s)j ds +
G(t; s)f (s; jx(s)j)ds
(t) (T ) 0
0
Z T
Z T
1
jx(s)j ds
G(t; s) jx(s)j ds 0;
(t) (T ) 0
0
2
1
C; ceci complète la démonstration.
Existence de solutions à un problème aux limites
non local avec croissance non linéaire
4.9.1
Introduction
Dans cette application, on considère le problème aux limites non local suivant(voir [48]) :
8
< x00 (t) = f (t; x(t); x0 (t)); t 2 ]0; 1[
(I.4.9)
: x(0) = x( ) et x0 (1) = R 1 x0 (s)dg(s);
0
avec
0; 0 <
< 1; f : [0; 1]
R2 ! R une fonction continue et g : [0; 1] ! [0; +1[
une fonction non décroissante telle que g(0) = 0: L’intégral …gurant dans les conditions aux
limites est au sens de Stieltjes. Si g(1) = 1; le problème homogène associé admettra des
solutions non triviales, c’est à dire que le problème donné est en résonance; notre objectif est
d’étudier l’existence de solutions à ce problème en ce cas et d’établir des résultats d’existence
125
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
en vertu de la croissance non linéaire de la fonction f . Le procédé utilisé est basée sur le
théorème de continuation de Mawhin (théorème (3.4.7)).
4.9.2
Si
Notations
x 2 X = C 1 ([0; 1]), on utilisera dans ce qui suit les normes suivantes: kxk1 =
maxt2[0;1] jx (t) j; kxk = max (kxk1 ; kx0 k1 ) et on note par kxkL1 la norme del’espace Z =
L1 ([0; 1]) : Soit L’opérateur linéaire L : D(L)
00
Lx = x ; x 2 D(L) =
x2W
2;1
X ! Z dé…ni par
0
([0; 1]) ; x(0) = x( ), x (1) =
Z
1
x0 (s)dg(s)
0
où W 2;1 ([0; 1]) = fx : [0; 1] ! R; x et x0 sont absolument continueg (espace de Sobolev).
Soit l’opérateur N : X ! Z dé…ni par
(N x) (t) = f (t; x(t); x0 (t)); t 2 ]0; 1[ :
Avec ces Notations on a
le problème (I.4.9) , Lx = N x:
Nous allons établir des théorèmes d’existence pour le problème (I.4.9) dans les deux cas
suivants:
(i)
= 0; g(1) = 1 et
(ii)
= 1; g(1) = 1 et
R1
0
R1
0
sdg(s) 6= 1;
sdg(s) 6= 1:
Théorème 4.9.1 Supposons que
(h1 ) il existes a; b; d; r quatre fonctions de L1 ([0; 1]) et une constante
pour tout (x; y) 2 R2 ; t 2 [0; 1] on a
jf (t; x; yj
2 [0; 1] tels que
a (t) jxj + b (t) jyj + d (t) (jxj + jyj ) + r (t) ;
(h2 ) il existe une constante M > 0; telle que pour x 2 D(L); Si jx0 (t)j > M pour tout
t 2 [0; 1] ; alors
Z 1
f (s; x(s); x0 (s))ds
0
Z
1
0
Z
126
0
s
f ( ; x( ); x0 ( ))d dg (s) 6= 0;
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
(h3 ) il existe une constante M > 0 telle que pour tout v 2
= [ M ; M ] ; on a ou bien
Z 1Z s
Z 1
f ( ; v ; v)d dg (s) < 0;
f (s; vs; v)ds
v
0
0
ou bien
v
Z
Z
1
f (s; vs; v)ds
0
0
Alors le problème (I.4.9) avec
0
1
Z
s
f ( ; v ; v)d dg (s) > 0:
0
R1
0
sdg(s) 6= 1; admet au moins une
1
kakL1 + kbkL1 < :
2
(II.4.9)
= 0; g(1) = 1 et
solution x 2 C 1 ([0; 1]) pourvu que
Divisons la preuve de ce théorème en des étapes dont chacune sera représentée par la
démonstration d’un lemme.
Lemme 4.9.1 Supposons que
= 0; g(1) = 1 et
R1
0
sdg(s) 6= 1: Alors L est un opérateur
de Fredholm d"indice 0; de plus on peut dé…nir les projections continues P : X ! X;
1
Q : Z ! Z et l’opérateur linéaire KP = L jker L\D(L)
0
(P x) (t) = x (0)t; Qy =
et (KP y) (t) =
Z tZ
0
1
R1
1
0
s
y ( ) d ds:
sdg(s)
Z
: Im L ! ker L \ D(L) par:
1
y (s) ds
Z
0
0
1
Z
s
y ( ) d dg(s)
0
0
En outre
kKP yk
kykL1 .
Démonstration. Sous les conditions données on a
Lx = x00 = 0 , x (t) = ct + d; où c, d sont des constantes réelles;
et comme x(0) = 0; alors d = 0 donc
ker L = fx 2 D(L); x(t) = ct; c 2 R; t 2 [0; 1]g :
D’autre part on a
00
0
0
x = y , x (s) x (0) =
Z
0
s
y( )d ,
Z
1
0
0
x (s)dg(s) x (0)
0
Z
0
127
1
dg(s) =
Z
0
1
Z
0
s
y ( ) d dg(s);
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
après simpli…cation on obtient
0
0
x (1)
x (0) (g(1)
g(0)) =
Z
1
0
par hypothèse, g(1)
g(0) = 1 et comme x0 (1)
Z
1
y (s) ds
0
Z
0
1
Z
Z
s
y ( ) d dg(s);
0
R1
x0 (0) =
0
s
x00 (s) ds =
R1
0
y (s) ds; alors
y ( ) d dg(s) = 0:
(III.4.9)
0
Reciproquement, pour y 2 Z véri…ant (III.4.9) on pose
Z tZ s
x(t) = ct +
y ( ) d ds
0
0
où c est une constante réelle, c’est clair que x00 = y et x(0) = 0; en plus on a x0 (t) =
Rt
c + 0 y ( ) d alors
Z
0
Z
1
y( )d =
x (1) = c +
0
Z 1
Z s
y( )d
=
c+
0
0
donc
Im L =
0
y 2 Z;
Z
Z
1
cdg(s) +
Z
dg(s) =
1
y (s) ds
Z
s
y ( ) d dg(s)
0
x0 (s)dg(s);
0
Z
0
0
0
1
1
1
Z
s
y ( ) d dg(s) = 0 :
0
D’après ce qui précède, ker L est isomorphe à R donc dim ker L = 1 et comme Im L =
1
(f0g) ; Im L est fermé. Soit à présent y1 = y Qy avec y 2 Z ,
Z 1
Z 1Z s
1
Qy1 =
(y (s) Qy)ds
(y ( ) Qy)d dg(s)
R1
1
sdg(s)
0
0
0
0
Z 1
Qy
= Qy
(1
sdg(s)) = 0;
R1
1
sdg(s)
0
0
ker Q = Q
alors y1 2 Im L: donc Z = Im L + Z1 ; où Z1 = fy 2 Z; y est constante sur [0; 1]g et comme
Im L \ Z1 = f0g ; on a bien
Z = Im L
Z1 ;
ce qui montre que dim Z1 = co dim Im L = 1 donc L est un opérateur de Fredholm d’indice
0. KP est l’inverse généralisé de l’opérateur L : D(L) \ ker P ! Z en e¤et, pour y 2 Im L
on a
(LKP y) (t) = (KP y)00 (t) = y (t) ;
128
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
et pour x 2 D(L) \ ker P
(KP Lx) (t) =
=
Z tZ
Z0 t
s
(Lx) ( ) d ds =
0
Z tZ
0
[x0 (s)
x0 (0)] ds = x(t)
s
x00 ( ) d ds
0
x(0)
x0 (0)t
0
= x(t);
car nous avons par hypothèse x 2 ker P et x(0) = 0: Pour tout y 2 Im L; t 2 [0; 1]
Z t
Z 1Z 1
0
y( )d
kykL1 ;
jy(s)j dsdt = kykL1 ; (KP y) (t) =
j(KP y) (t)j
0
0
0
alors kKP yk = max(kKP yk1 ; (KP y)0
1
)
kykL1 .
Lemme 4.9.2 Si l’hypothèse (h1 ) et la condition (II.4.9) du théorème précédent sont
remplis, alors il existe a; b; r fonctions de L1 ([0; 1]) telles que
jf (t; x; y)j
a (t) jxj + b (t) jyj + r (t) :
Démonstration. Sans perte de généralité, on suppose que
i
h
0; 21 12 (kakL1 + kbkL1 ) ; alors il existe M > 0 tel que
jxj + M et jyj
jxj
= kdkL1 6= 0: Soit
2
jyj + M :
(h1 ) entraine que
jf (t; x; yj
(a (t) + d(t)) jxj + (b (t) + d(t)) jyj + 2d (t) M + r (t) ;
en posant a (t) = a (t) + d(t); b (t) = b (t) + d(t) et r (t) = r (t) + 2M d (t) ; l’inégalité
précédente devient
jf (t; x; y)j
a (t) jxj + b (t) jyj + r (t) :
Évidemment, a; b; r 2 L1 ([0; 1]) et comme
kakL1
b
L1
kakL1 + kdkL1 ,
kbkL1 + kdkL1 :
Alors
kakL1 + b
L1
< (kakL1 + kbkL1 ) +
1
2
(kakL1 + kbkL1 )
Donc on peut remplacer dans (h1 ) ; les fonctions a; b; d; r par a; b; 0; r.
129
1
= :
2
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
Lemme 4.9.3 Si les hypothèses (h1 ) ; (h2 ) sont satisfaites et si
R1
sdg(s) 6= 1; alors
0
1
= fx 2 D(L)
ker L; Lx = N x;
= 0; g(1) = 1 et
2 [0; 1]g
est un sous-ensemble borné de X:
Démonstration. Soit x 2
1;
alors il existe
2 [0; 1] tel que Lx = N x avec x 2 ker P
(i.e. x0 (0) = 0): Donc 6= 0 et QN x = 0 (car N x = L 1 x 2 Im L), par suite
Z 1
Z 1Z s
0
f (s; x (s) ; x (s))ds
f ( ; x ( ) ; x0 ( )) d dg(s) = 0;
0
0
0
d’après l’hypothèse (h2 ) ; il existe t0 2 [0; 1] tel que jx0 (t0 )j M: Compte tenu de
Z t0
00
0
0
x (s)ds;
x (0) = x (t0 )
0
alors nous avons
0
jx (0)j
0
jx (t0 )j +
00
Z
t0
00
x (s) ds
0
M + kx kL1 = M + kLxkL1
M + kN xkL1
M + kN xkL1 :
À nouveau pour x 2
k(I
1;
on sait d’après le lemme (4.9.1) que
P )xk = kKP L(I
kL(I
P )xk
P )xkL1 = kLxkL1
kN xkL1 :
De ces deux derniers resultats on déduit que
kxk
kP xk + k(I
P )xk = jx0 (0)j + k(I
D’après (h1 ) et le lemme (4.9.2), on obtient
Z 1
kN xkL1 =
jf (s; x (s) ; x0 (s))j ds
0
P )xk
kakL1 kxk1 + b
M + 2 kN xkL1 :
L1
kx0 k1 + krkL1 ;
donc
kxk1
kxk
2(kakL1 kxk1 + b
130
L1
kx0 k1 + krkL1 +
M
);
2
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
alors
kxk1
car 1
2 kakL1
1
2
2 kakL1
1
2 kakL1 + b
kx0 k1
L1
b
kx0 k1 + krkL1 +
L1
kx0 k1 + krkL1 +
M
kx0 k1 + krkL1 + )
2
!
2 b L1
1 2 kakL1
=
L1
M
2
;
> 0: D0 autre part on a
L1
kxk
4 kakL1
1 2 kakL1
2( b
b
kx0 k1 +
1
M
2
2
2 kakL1
+
krkL1 +
M
2
après simpli…cation on obtient
2
kx0 k1
1
2 kakL1 + b
krkL1 +
M
2
= M1 ;
M1 + krkL1 +
M
2
= M2: :
L1
par suite
kxk1
2
2 kakL1
1
Alors
b
L1
kxk = max (kxk1 ; kx0 k1 )
max(M1 ; M2: ):
De ce qui précède on conclut également que kx00 kL1 = kLxkL1
b
L1
M1 + krkL1 ; donc
kN xkL1
kakL1 M2 +
est borné.
1
Lemme 4.9.4 Si l’hypothèse (h2 ) est véri…é, alors l’ensemble
2
= fx 2 ker L; N x 2 Im Lg
est borné.
Démonstration. Soit x 2
2;
alors x 2 ker L (i.e. x = ct) et QN x = 0 car
N x 2 Im L = ker Q; par conséquent on peut écrire
Z 1
Z 1Z s
f (s; cs; c)ds
f ( ; c ; c) d dg(s) = 0;
0
0
0
de l’hypothèse (h2 ) ; on déduit qu’il existe t1 2 [0; 1] tel que jx0 (t1 )j = jcj
dans ce cas on a
kxk1 = max jx(t)j = jcj = kx0 k1 ;
t2[0;1]
alors kxk
M donc
2
est borné.
131
M . Comme
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
Lemme 4.9.5 Si la première partie de l’hypothèse (h3 ) est satisfaite, alors
Z 1Z s
Z 1
c
f ( ; c ; c) d dg(s) < 0;
f (s; cs; c)ds
R1
1
sdg(s) 0
0
0
0
pour tout c 2
= [ M ; M ] et l’ensemble
3
= fx 2 ker L;
x + (1
) JQN x = 0;
2 [0; 1]g
est borné. (J : Im Q ! ker L désigne l’isomorphisme dé…ni par (Jc) (t) = ct, pour tout
c 2 R et t 2 [0; 1]).
Démonstration. Soit x = c0 t 2
3;
alors on a
c0 t = (1
) tQN x
Z 1
(1
)t
=
f (s; cs; c)ds
R1
1
sdg(s)
0
0
où t 2 [0; 1] ; donc
c0 =
1
R1
1
0
pour
Z
sdg(s)
Z
Z
1
0
Z
1
f (s; cs; c)ds
0
1
0
s
f ( ; c ; c) d dg(s)
0
Z
s
f ( ; c ; c) d dg(s) ;
0
= 1 on obtient c0 = 0: Par ailleurs, si jc0 j > M ; d’après la première partie de
R1
R1
R1
l’hypothèse (h3 ) et le faite que 0 sdg(s)
dg(s) = g(1) g(0) = 1 avec 1 0 sdg(s) 6= 0,
0
on a
c20
=
(1
1
R1
0
) c0
sdg(s)
Z
1
f (s; cs; c)ds
0
Z
1
0
qui représente une contradiction avec c20
Z
s
f ( ; c ; c) d dg(s) < 0;
0
0: Alors kxk = jc0 j
M .
La preuve du théorème (4.9.1) est une conséquence immédiate des lemmes ci-dessus et
le théorème de continuation de Mawhin.
Démonstration. Posons
3
= fx 2 X; kxk
Rg = B (0; R) tel que [
i=1
i
peut utiliser le théorème d’Ascoli-Arzela pour montrer que l’opérateur KP;Q = KP (I
soit compact sur
: On
Q)
. Ensuite par les lemmes précédentes on a
(i) Lx 6= N x; pour tout x 2 (D(L)
ker L) \ @
(ii) N x 2
= Im L; pour tout x 2 ker L \ @
(car
132
et
2
\@
2 ]0; 1[ (car
= ?):
1
\@
]0; 1[ = ?):
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
(iii) On a H (x; ) =
x+(1
) JQN x 6= 0; pour tout x 2 ker L\@
(car
3 \@
= ?);
alors par la propriété d’invariance par homotopie du degré on obtient
degB (JQN jker L ; ker L \ ; 0) = degB (H (:; 0) ; ker L \ ; 0)
= degB (H (:; 1) ; ker L \ ; 0)
= degB ( I; ker L \ ; 0) :
Comme ker L \
= fct; jcj < Rg est isomorphe à l’interval ] R; R[ (de l’espace de
dimension 1 R), alors
degB ( I; ker L \ ; 0) = degB ( I; ] R; R[ ; 0)
= ( 1)1 degB (I; ] R; R[ ; 0) =
1:1 =
Donc l’équation Lx = N x admet au moins une solution x 2 D(L)\
1 6= 0:
.
Remarque 4.9.1 Si la deuxième partie de l’hypothèse (h3 ) est véri…ée c’est à dire que
Z 1Z s
Z 1
c
f ( ; c ; c) d dg(s) > 0
f (s; cs; c)ds
R1
1
sdg(s) 0
0
0
0
pour tout c 2
= [ M ; M ] ; dans ce cas on démontre que l’ensemble
3
= fx 2 ker L;
x + (1
) JQN x = 0;
2 [0; 1]g
est borné et que
degB (JQN jker L ; ker L \ ; 0) = degB (I; ker L \ ; 0) = 1;
dés que 0 2 ker L \ :
Théorème 4.9.2 Soit f : [0; 1]
R2 ! R une fonction continue veri…ant la condition (h1 )
du théorème précédant. De plus supposons que
(h4 ) il existe une constante M > 0; tel que pour x 2 D(L); si jx (t)j > M pour tout
t 2 [0; 1] ; alors
Z 1
f (s; x (s) ; x0 (s))ds
0
Z
0
1
Z
133
0
s
f ( ; x ( ) ; x0 ( )) d dg(s) 6= 0;
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
(h5 ) il existe une constante M > 0; tel que pour tout e 2
= [ M ; M ] ; on a ou bien
Z 1Z s
Z 1
f ( ; e; 0)d dg (s) < 0;
e
f (s; e; 0)ds
ou bien
e
Z
0
0
0
1
f (s; e; 0)ds
Z
1
0
0
Alors le problème (I.4.9) avec
Z
s
f ( ; e; 0)d dg (s) > 0:
0
= 1; g(1) = 1 et
solution x 2 C 1 ([0; 1]) à condition que
R1
0
sdg(s) 6= 1 admet au moins une
1
kakL1 + kbkL1 < .
2
Démonstration. En utilisant la même méthode que dans la démonstration du théorème
et les lemmes précédents, dans ce cas nous avons
ker L = fx 2 D(L); x (t) = e 2 R; t 2 [0; 1]g (car x(0) = x( )) et
Z 1
Z 1Z s
Im L =
y 2 Z;
y (s) ds
y ( ) d dg(s) = 0 :
0
0
0
L est opérateur de Fredholm d’indice 0 car dim ker L = co dim Im L = 1 et Im L est fermé.
On dé…nit les projections continues P : X ! X, Q : Z ! Z par
Z 1
Z 1Z s
1
y (s) ds
y ( ) d dg(s) ;
(P x) (:) = x (0) et Qy =
R1
1
sdg(s) 0
0
0
0
Soit l’opérateur KP : Im L ! D(L) \ ker P dé…ni par
Z Z s
Z tZ s
t
(KP y) (t) =
y ( ) d ds +
y ( ) d ds;
0
0
0
0
pour tout y 2 Im L; x 2 D(L) \ ker P , on obtient après simpli…cations que
Z Z s
Z tZ s
00
t
y ( ) d ds = 0 + y (t) et
y ( ) d ds +
(LKP y) (t) =
0
0
0
0
Z Z s
Z tZ s
t
00
(KP Lx) (t) =
x ( ) d ds +
x00 ( ) d ds
0
0
= x0 (0)t + x(t)
0
0
x0 (0)t = x(t);
x(0)
car ker P = fx 2 X; x(0) = 0g alors KP = L jD(L)\ker P
y 2 Im L nous avons
j(KP y) (t)j
t
Z
0
kykL1 ds +
Z
1
: D’autre part, pour tout
t
0
134
kykL1 ds = 2t kykL1
2 kykL1
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
et
0
(KP y) (t)
1
=
1
Z
Z
0
s
y ( ) d ds +
0
Z
t
y( )d
0
kykL1 ds + kykL1 = 2 kykL1 ;
0
il en resulte que kKP yk
Z
2 kykL1 : Soit x 2
1
= fx 2 D(L)
ker L; Lx = N x;
2 [0; 1]g,
alors Lx = N x et 6= 0 ceci entraine que N x 2 Im L = ker Q; donc
Z 1
Z 1Z s
0
f (s; x (s) ; x (s))ds
f ( ; x ( ) ; x0 ( )) d dg(s) = 0:
0
0
0
De l’hypothèse (h4 ) on déduit qu’il existe t0 2 [0; 1] véri…ant jx (t0 )j
R t0 0
de x(0) = x(t0 )
x (s)ds; on obtient
0
M et compte tenu
M + kx0 k1 ;
jx(0)j
comme x(0) = x( ); le théorème de Rolle implique qu’il existe t1 2 ]0; [ tel que x0 (t1 ) = 0:
Rt
De la relation x0 (t) = x0 (t1 ) + t1 x00 (s) ds; on déduit que
kx0 k1
kx00 kL1 :
Alors
kP xk = jx(0)j
M + kx00 kL1
= M + kLxkL1 = M + kN xkL1
M + kN xkL1 :
Ainsi, en utilisant la même méthode que dans les preuves des lemmes (4.9.2) et (4.9.3),
nous pouvons prouver que
1
est également borné. Similaire aux preuves des autres lemmes
(4.9.4) - (4.9.5) et le théorème (4.9.1), on peut démontrer le théorème (4.9.2).
Exemple 4.9.1 Soit le problème
8
< x00 (t) = t3 + 8 + sin3 x + 1 (t + 1) x0
9
R
1
0
: x (0) = 0 et x (1) =
x0 (s) dg (s) ;
0
où t 2 [0; 1] et g(s) = s : On remarque que f (t; x; y) = t3 + 8 + sin3 x + 91 (t + 1) y et que
R1
R1
g(0) = 0; g(1) = 1; 0 sdg (s) = 0 2s2 ds = 32 6= 1; on peut écrire aussi
2
jf (t; x; y)j
13 + 8 + 1 +
1
(1 + 1) jyj
9
2
jyj + 10
9
= a (t) jxj + b (t) jyj + r (t) ;
= 0 jxj +
135
4.9. Existence de solutions à un problème aux limites non local avec croissance non linéaire
avec
1
2
< :
9
2
R1
On sait que pour tout fonction constante e on a e = 0 edg(s); alors
kakL1 + kbkL1 =
Z
Z
1
1
Z
s
f ( ; x( ); x0 ( ))d dg (s)
f (s; x(s); x (s))ds
0
0
Z 1Z s
Z0 1 Z 1
0
f ( ; x( ); x0 ( ))d dg (s)
f ( ; x( ); x ( ))d dg (s)
=
0
Z s 0 0
Z0 1 Z
1
f ( ; x( ); x0 ( ))d dg (s)
f ( ; x( ); x0 ( ))d
=
0
0
0
Z 1Z 1
=
f ( ; x( ); x0 ( ))d dg (s) :
0
0
s
D’autre part, nous avons
1
(t + 1) y 2 + t3 + 8 + sin3 x y
9
1
(t + 1) y + t3 + 8 + sin3 x ;
= y
9
yf (t; x; y) =
alors
yf (t; x; y) > 0 , y > 0 ou y <
t3 + 8 + sin3 x
1
(t + 1)
9
1+8 1
=
1
(1 + 1)
9
36;
en d’autre terme f et x0 (t) ont la même signe quand jx0 (t)j > M; nous pouvons choisir
M = M = 36. Alors les conditions du théorème (4.9.1) sont satisfaites ce qui montre que
le problème donné admet au moins une solution x 2 X.
136
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