Degré topologique et applications

Nd’ordre :
Nde série :
Ministère de l ’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que
UNIVERSITÉ KASDI MERBAH OUARGLA
Faculté des Sciences et de la Technologie et Sciences de la Matière
DÉPARTEMENT DES MATHÉMATIQUES
ET INFORMATIQUE
Mémoire de MAGISTER
EnMathématiques
Option : Mathématiques Appliquées
Par :
GUEDDA LAMINE
THÈME
Degré topologique et applications
à des problèmes aux limites non linéaires
associés à des équations di¤érentielles
ordinaires de second ordre
Soutenu publiquement le :, devant le jury composé de :
Mr. D.A. CHACHA M.C. à l’université de KASDI MERBAH –Ouargla Président.
Mr. S. DJEBALI Pr. à l’E.N.S - KOUBA – Alger Rapporteur
Mr. M.S.SAID M.C. à l’université de KASDI MERBAH –Ouargla Examinateur
Mr. A. GUERFI M.C. à l’université de KASDI MERBAH –Ouargla Examinateur

Remerciements
Je tiens en premier lieu à exprimer mes plus vifs remerciements à Monsieur S. DJE-
BALI, mon Directeur de mémoire pour l’intéressant sujet qu’il m’a proposé, pour son aide,
sa patience, ses conseils, ses encouragement, sa grande disponibilité et son ouverture d’esprit
qui m’ont aidé à mener à bien ce travail.
Je lui suis également reconnaissant pour la con…ance qu’il ma accordée. Il m’est impos-
sible de lui exprimer toute ma gratitude en seulement quelques lignes.
J’adresse mes plus vifs remerciements aux Monsieur A. GUERFI et Monsieur M.S.
SAID pour avoir accepté d’examiner ce travail et Monsieur D.A. CHACHA qui me fait
l’honneur d’être président de mon jury.
Je voudrais également remercier tous les membres du département de mathématique et
surtout son directeur et mon professeur Monsieur Mostafa ASSILA et tous ceux qui m’ont
aidé de près et de loin pour achever ce travail.
Je tiens à remercier tous mes amis et mes collègues et surtout ceux avec qui on a passé
une période agréable à l’université de Kasdi Merbeh de Ouargla.
Je voudrais également remercier ma mère, toute ma famille, mes sœurs, et mes …ls qui
m’ont toujours soutenu et encouragé.
i

Table des matières
Notations et conventions viii
Introduction générale 1
1 Rappels et Notions fondamentales 7
1.1 Sommes directes et projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Supplémentaire topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Projection................................. 7
1.2 Projection sur un sous-espace de dimension …nie . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Codimention d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Applications compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Application compacte complètement continue . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Opérateur de rang …ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Remarques................................. 11
2 Opérateurs de Fredholm 13
2.1 Introduction.................................... 13
2.2 Opérateurs de Fredholm et caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Opérateur de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Indice d’un opérateur de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Inverse généralisée de L......................... 16
2.2.4 Opérateur correcteur de L........................ 17
2.3 Perturbations Lcompactes d’un opérateur de Fredholm d’indice nul . . . . 17
ii

TABLE DES MATIÈRES
2.3.1 Opérateur Lcompact .......................... 19
2.3.2 Dé…nition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Remarque................................. 19
2.3.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 Propriétés des opérateurs Lcompact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.6 Opérateur Lcomplètement continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Théorie du degré pour les perturbations L-compactes 24
3.1 Théorie axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Degré topologique relativement à L................... 24
3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.3 Historique................................. 26
3.2 Quelques indications concernant la théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Degré de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Indice de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Degré de Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Construction de l’application DLdans le cas général . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Degré de Mawhin 1972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Théorème généralisé de Borsuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Théorèmes d’existence de type Leray-schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.1 Principe de continuation de Leray Schauder . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.2 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3 Théorème de continuation de Mawhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.4 Théorème de coïncidence pour les ensembles convexes . . . . . . . . . 40
3.5 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Théorème de continuation pour des équations semi-linéaires . . . . . . . . . 48
3.7 Opérateur de Poincaré et problèmes périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7.1 Solution Tpériodique d’une équation di¤érentielle . . . . . . . . . . 52
3.7.2 Théorème d’existence (de Krasnosel’skii-Perov) . . . . . . . . . . . . 53
3.7.3 Degré topologique d’applications de type gradient . . . . . . . . . . . 54
3.7.4 Fonction directrice pour une équation di¤érentielle . . . . . . . . . . 55
iii

TABLE DES MATIÈRES
4 Applications diverses 57
4.1 Introduction.................................... 57
4.2 Un exemple de fonctionelle 'pour des problèmes périodiques . . . . . . . . . 58
4.3 Perturbations d’un système hamiltonien autonome plan . . . . . . . . . . . . 62
4.3.1 Applications à des équations di¤erentielles ordinaires de second ordre
nonlinéaires ............................... 65
4.4 Une équation di¤érentielle superlinéaire du second ordre avec conditions de
Dirichlet homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1 Proposition (oscillations rapides pour les grandes solutions) . . . . . . 78
4.4.2 Proposition (propriété élastique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Solutions périodiques d’équations di¤érentielles du second ordre à nonlinéar-
ités singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.2 Cas d’une force de rappel de type attractif . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.3 Sous-solution et sur-solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5.4 Théorème (de Habets-Sanchez ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5.5 Cas d’une force de rappel de type répulsif . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 Bifurcation à l’in…ni et multiplicité de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6.1 Points de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6.2 Valeurs Lcaractéristiques d’un opérateur linéaire Aet ses multiplicités 92
4.6.3 Linéarisation et existence de points de bifurcation . . . . . . . . . . . 93
4.6.4 Bifurcation globale à l’in…ni (théorème de Rabinowitz 1973) . . . . . 94
4.7 Stabilité et indice des solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7.1 Préliminaires sur les systèmes di¤érentiels - généralites et rappels . . 96
4.7.2 Formule de Jacobi-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7.3 Trajectoires et équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.4 Stabilité d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.5 Linéarisation autour d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.7.6 Indice d’une solution Tpériodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.7 Solution non dégénérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
iv