ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D`EXERCICES 1 Notation

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 1
DANIELE FAENZI
Notation. Soit G un groupe.
– Le symbole D(G) désigne le groupe dérivé de G, c’est à dire le groupe :
D(G) = h{[g, h] | (g, h) ∈ G × G}i,
où [g, h] est le commutateur [g, h] = ghg −1 h−1 .
– Si H est un sous-groupe de G, on a :
H G = h{ghg −1 ∈ G | (h, g) ∈ H × G}i,
NG (H) = {g ∈ G | gHg −1 = H}.
– On note par ZG (A) le centralisateur d’une partie A ⊂ G,
ZG (A) = {g ∈ G ∀a ∈ A, gag −1 ∈ A}.
– La fonction indicatrice d’Euler ϕ associe à un nombre naturel n le
nombre ϕ(n) d’entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n.
Exercice 1. On note par Sn le groupe des permutations de n éléments.
(1) Démontrer que le groupe symétrique Sn est engendré par un cycle
de longueur n et une transposition.
(2) Décrire tous les sous-groupes de S3 . Lesquels sont distingués ?
Exercice 2 (Groupes cycliques). Soit n ∈ N, et G le groupe cyclique d’ordre
n, G = Z/nZ.
(1) Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique.
(2) Montrer que tout groupe quotient de G est aussi cyclique.
(3) Montrer que, si d|n, il existe un unique sous-groupe de G d’ordre d.
(4) Déduire que :
n=
X
ϕ(d).
d|n
(5) Donner un exemple d’un groupe H dont tous le sous-groupes sont
cycliques, mais qui n’est pas abélien. Si H est abélien, est-il cyclique ?
Exercice 3 (Groupes d’indice fini). Soient A, B deux sous-groupes de G.
(1) On suppose (G : A) < ∞. Montrer alors que A ∩ B est d’indice fini
dans B.
(2) On suppose en plus que (G : B) < ∞. Montrer alors que A ∩ B est
d’indice fini dans G.
(3) Généraliser au cas d’un nombre fini de sous-groupes.
Date: 7 février 2008.
1
2
DANIELE FAENZI
(4) Montrer que :
\
A = {0}.
(Z : A)<∞
Exercice 4 (Théorèmes d’isomorphisme). Soient H, K, G des groupes.
(1) Si on a H G et K ≤ G, montrer que H ∩ K est distingué dans K
et que :
K/(K ∩ H) = HK/H.
(2) Si en plus on a K G, montrer H K et K/H G/H. Montrer
aussi :
G/H ∼
= G/K.
K/H
Exercice 5. Soit H un sous-groupe d’un groupe G.
(1) Démontrer que :
H NG (H) ≤ G,
H ≤ H G G,
et que :
H G = H ⇐⇒ NG (H) = G ⇐⇒ H G.
(2) Démontrer que tout quotient abélien de G est quotient de G/D(G).
Exercice 6. Soient H et K sous-groupes d’un groupe G.
(1) Est-ce que K H G implique K G ? (Indication : considérer le
groupe engendré par (12)(34) et (13)(24) dans le groupe alterné A4 ).
(2) Est-ce que H G implique K G si K est caractéristique dans H
(c’est à dire, stable pour tout automorphisme de H) ?
Exercice 7 (Groupes d’ordre pn ). Soit G un groupe d’ordre pn , avec p
premier et n > 0.
(1) Montrer que le centre de G n’est pas trivial. (Indication : faire agir
G par conjugaison sur lui-même).
(2) En déduire que, pour tout 0 < m < n, il existe un sous-groupe
distingué de G d’ordre pm . (Indication : traiter d’abord le cas G
abélien.)
Exercice 8 (Groupes d’ordre p2 ). Soit Z = ZG (G) le centre d’un groupe G.
(1) Montrer que, si G/Z est cyclique, alors G est abélien.
(2) Déduire que, pour tout nombre premier p, il existe exactement deux
groupes d’ordre p2 non isomorphes :
Z/pZ × Z/pZ,
et
Z/p2 Z.
Exercice 9 (Groupes d’indice fini, suite). Soit G un groupe et A un sousgroupe de G d’indice fini.
(1) Montrer que le sous-ensemble I des parties de G donné par :
I = {gAg −1 | g ∈ G},
est de cardinal fini.
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE - FEUILLE D’EXERCICES 1
3
(2) En utilisant le point précédent, montrer qu’il existe un sous-groupe
B de A normal dans G et d’indice fini dans G.
(3) Montrer qu’un groupe infini simple ne contient pas de sous-groupe
propre d’indice fini.
Exercice 10 (Sous-groupes de plus petit indice). Soit G un groupe fini, et
soit |G| = pr11 · · · prmm , une décomposition en facteurs premiers de l’ordre de
G, avec p1 < · · · < pm .
(1) Démontrer que si H est un sous-groupe de G d’indice p1 , alors H est
distingué dans G. (Indication : faire agir H sur G/H).
(2) Montrer avec un exemple que l’énoncé au point (1) n’est plus vrai si
on enlève l’hypothèse p1 < · · · < pm .
Exercice 11 (Sous-groupes normales de plus petit ordre). Avec les notations
de l’exercice 10, démontrer que si H G et |H| = p1 , alors H est central,
i.e. H ⊂ ZG (G). (Indication : faire opérer G sur H par conjugaison).
Exercice 12. Soit GL(2, R) le groupe des matrices (2, 2) inversibles à coefficients réels.
1 p
(1) Montrer que H :=
, p ∈ Z, est un sous-groupe abélien.
0 1
(2) Montrer qu’il est monogène. Est-il normal ?
0 −1
0 1
(3) Soient A :=
et B :=
deux matrices.
1 1
−1 0
(a) Montrer que A et B appartiennent à GL(2, Z), calculer leur
ordre et montrer que H est contenu dans hA, Bi.
(b) Que pensez-vous des assertions suivantes ?
– “un groupe engendré par des éléments d’ordre fini est fini.”
– “tous les éléments d’un groupe engendré par des éléments
d’ordre fini sont d’ordre fini.”
(c) Le groupe engendré par A et B est-il abélien ?
(d) Calculer l’intersection du groupe cyclique engendré par A et du
groupe cyclique engendré par B.
E-mail address: [email protected]
Université de Pau et des Pays de l’Adour, L.M.A., I.P.R.A. Avenue de l’université BP 1155, 64013 PAU Cedex, Téléphone : +33(0)5 59 40 75 15, Télécopie : +33(0)5 59 40 70 01