MATH803 - Lama - Université de Savoie

Université de Savoie
Année 07/08
Géométrie et topologie 2 : MATH803
Stéphane Simon
Table des matières
1 Points critiques d’application
1.1 Théorème du rang constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Théorème de Sard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Sous-variétés de Rn
2.1 Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fibré tangent et application linéaire tangente .
2.3 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Rappels sur les équations différentielles .
2.3.2 Champs de vecteurs sur une sous-variété
2.3.3 Intégrale première . . . . . . . . . . . .
3 Formes différentielles
3.1 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Formes alternées . . . . . . . . . . .
3.1.2 Produit extérieur . . . . . . . . . . .
3.1.3 Produit intérieur . . . . . . . . . . .
3.1.4 Image réciproque d’une k−forme . .
3.2 Forme différentielle sur un ouvert de Rn . .
3.3 Différentielle extérieure (opérateur cobord) .
3.4 Lemme de Poincaré . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Variété à bord . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Orientation . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Intégration d’une forme différentielle
1
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1
Points critiques d’application
1.1
Théorème du rang constant
Dans le cas linéaire le résultat suivant est bien connu :
Proposition 1.1.1 Soit A ∈ Mm,n (K) de rang r. Alors A est équivalente à la matrice
Ir 0
.
0 0
Dém. : en TD.
Lorsque l’on s’intéresse aux applications différentiables on a l’analogue en supposant le rang
de l’application constant.
On notera f : Rn , 0 → Rm , 0 une application définie sur un voisinage de 0 ∈ Rn telle que
f (0) = 0. Si g : Ua ∈ VRn (a) → Rm alors f (h) = g(a + h) − g(a) est définie sur un voisinage de
0, vérifie f (0) = 0, a même régularité et même rang que g.
Définition 1.1.1 Soient (X, O) un espace topologique et ρ : X → R une application. L’application ρ est semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x0 si pour tout a ∈ R tel que
a < ρ(x0 ) (resp. ρ(x0 ) < a) l’ensemble {x ∈ X : a < ρ(x)} (resp. {x ∈ X : ρ(x) < a}) est un
voisinage de x0 . L’application ρ est semi-continue sur X si elle l’est en tout point de X.
Remarque 1.1.1 La terminologie « inférieurement » vient du fait que si a < ρ(x0 ) alors a <
ρ(x) pour x dans un voisinage de x0 .
Proposition 1.1.2 ρ est semi-continue inférieurement ssi ∀a ∈ R : ρ−1 (]a, +∞[) (resp.
ρ−1 (]∞, a])) est ouvert (resp. fermé) dans X.
On a une propriété analogue pour une application semi-continue supérieurement.
Exemple 1.1.1 Soit f une fonction semi-continue inférieurement sur un espace (quasi)-compact
non vide X. Alors il existe x0 ∈ X tel que f (x0 ) = inf f (x).
x∈X
Proposition 1.1.3 Soient U un voisinage ouvert de 0 dans Rn et f : U → Rm de classe C k>1 .
Le rang de f (rg x f := rg (df (x))) est semi-continu inférieurement.
Dém. : en effet, si f est de rang r0 en 0 alors le plus grand mineur non nul de Jf (0) est d’ordre
r0 . Comme ce mineur est continu, il reste non nul sur un voisinage de 0. Donc si a < r0 alors
a < rg x f sur un voisinage de 0.
On dit aussi plus simplement que le rang d’une application (C k>1 ) ne peut qu’augmenter au
voisinage d’un point.
Corollaire 1.1.1 Si le rang d’une application C k>1 est maximal (i.e. égal à min(m, n)) en un
point alors il est constant sur un voisinage de ce point.
Théorème 1.1.1 (du rang constant) Soit f : Rn , 0 → Rm , 0 une application de classe C k>1 et
de rang constant r (6 min(m, n)). Alors il existe des difféomorphismes C k , ϕ : Rn , 0 → Rn , 0 et
ψ : Rm , 0 → Rm , 0 tels que pour x = (x1 , . . . , xn ) suffisamment voisin de 0 :
ψ ◦ f ◦ ϕ(x) = (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0).
Dém. : comme f est de rang r, on peut supposer sans perte de généralité que le mineur
∂fi
|(
(0))16i,j6r | =
6 0.
∂xj
2
Considérons ϕ̃(x) = (f1 (x), . . . , fr (x), xr+1 , . . . , xn ) défini sur un voisinage de 0. Alors la matrice jacobienne de ϕ̃ (triangulaire par blocs) est inversible en 0. D’après le théorème d’inversion
locale, ϕ̃ est un difféomorphisme local de classe C k ; notons ϕ sa réciproque. Alors on a :
f ◦ ϕ(x) = (x1 , . . . , xr , gr+1 (x), . . . , gm (x)).
avec gi = fi ◦ ϕ pour r + 1 6 i 6 m.
Comme la composition par un difféomorphisme ne change pas le rang, le rang de f ◦ ϕ est
∂gi
encore r. Cela signifie que (
(x))
= 0 (sinon le rang serait au moins r + 1). Dès lors,
r+16i6m
∂xj
r+16j6n
les (gi )r+16i6m dépendent uniquement des variables (xj )16j6r . Il vient :
f ◦ ϕ(x) = (x1 , . . . , xr , g̃r+1 (x1 , . . . , xr ), . . . , g̃m (x1 , . . . , xr )).
Posons enfin, ψ(y) = (y1 , . . . , yr , yr+1 − g̃r+1 (y1 , . . . , yr ), . . . , ym − g̃m (y1 , . . . , yr )). On vérifie que
ψ est C k et que sa différentielle en 0 est inversible. Alors si x est suffisamment voisin de 0, en
notant xr = (x1 , . . ., xr ) on obtient :
ψ ◦ f ◦ ϕ(x) = ψ(xr , g̃r+1 (xr ) − g̃r+1 (xr ), . . . , g̃m (xr ) − g̃m (xr )) = (xr , 0).
D’où le résultat.
Définition 1.1.2 Une application C k>1 de rang constant est une subimmersion.
Remarque 1.1.2 Cas particuliers fondamentaux :
1. Submersion : r = m 6 n. L’application f « se lit » localement comme la projection canonique πm : Rm × Rn−m → Rm , πm (x) = (x1 , . . . , xm ).
2. Immersion : r = n 6 m. L’application f « se lit » localement comme l’injection canonique
jn : Rn → Rn × Rm−n , jn (x) = (x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0).
Exemple 1.1.2
1. Submersion det(A + H) = det(A) + tr(co(A)H) + O(H 2 ) .
2 −1 t(t2 −1)
, t2 +1 ) pour t ∈] − ∞, 1[ est injective et Im γ est fermé .
2. Immersion γ(t) = ( tt2 +1
Cω
3. (a) Difféomorphisme ϕ : A ∈ GLn (K) 7→ A−1 , dϕ(A).H = −A−1 HA−1 (commenter
GL(E) ouvert si E Banach ; GLn (K) dense dans Mn (K)).
(b)
f : C∗ → C∗
(revêtement à 2 feuillets).
z 7→ z 2
4. Si f est une submersion (resp. immersion) C 1 et si h a une dérivée suffisamment petite
alors f + h est encore une submersion (resp. immersion).
Corollaire 1.1.2 Soit f : Rn , 0 → Rm , 0 une submersion de classe C k>1 . Alors f est ouverte.
Proposition 1.1.4
1. Une subimmersion injective est une immersion (injective).
2. Une submersion injective (resp. bijective) est un difféomorphisme sur son image ouverte
(resp. global).
Corollaire 1.1.3 Soit f : Rn , 0 → Rm , 0 une submersion de classe C k>1 . Alors les niveaux de f
sont « difféomorphes » à des (ouverts de) sous-espaces affines de codimension m.
3
Dém. : en effet, le théorème de « redressement » précédent signifie que le diagramme suivant est
commutatif :
πm
n
R , 0 → Rm , 0
ϕ↓ ↑ψ
Rn , 0 → Rm , 0
f
−1 (ψ(c))) = ϕ({b} × Rn−m ) avec b = (b , . . . , b ) =
Donc f −1 (c) = (ψ −1 ◦ πm ◦ ϕ−1 )−1 (c) = ϕ(πm
1
m
ψ(c).
Remarque 1.1.3 La boule Bn (0, 1) est C ω −difféomorphe à Rn .
Définition 1.1.3 Un plongement est une immersion qui est un homéomorphisme sur son image.
Proposition 1.1.5 Une immersion est localement un plongement.
1.2
Théorème de Sard
Définition 1.2.1 Le volume d’un pavé ouvert P (a, b) :=]a1 , b1 [× · · · ×]an , bn [ de Rn est
vol(P ) :=
n
Y
(bi − ai ) avec a < b.
i=1
Définition 1.2.2 Une partie A de Rn est négligeable ou de mesure nulle si pour tout > 0, A
peut être recouverte par une famille dénombrable de pavés (ouverts) dont la somme des volumes
est inférieure ou égale à .
Proposition 1.2.1 Si A ⊆ B et B est négligeable alors A est négligeable.
Proposition 1.2.2 Une réunion dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable.
Dém. : en TD.
Exemple 1.2.1 Rn−1 × {0} est négligeable dans Rn .
Remarque 1.2.1 Dans la définition de partie négligeable, on peut considérer des pavés fermés.
Proposition 1.2.3 Soit P un pavé de Rn et (Pi )i∈N une famille de pavés ouverts recouvrant P̄ .
Alors
X
vol(Pi ) > vol(P ).
i∈N
Dém. : le nombre n d’entiers dans l’intervalle ]a, b[ vérifie b − a − 1 6 n 6 b − a + 1. En supposant
que bi − ai > 1, on obtient donc que le nombre nP (a,b) de points à coordonnées entières de P (a, b)
vérifie :
n
n
Y
Y
(bi − ai − 1) 6 nP (a,b) 6
(bi − ai + 1).
i=1
i=1
Comme P̄ (a, b) est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini P1 , . . . , PN de (Pi ). En
particulier,
n
N Y
n
Y
X
(bi − ai − 1) 6
(bji − aji + 1).
i=1
Soit t ∈
R∗+ .
j=1 i=1
Alors le pavé tP (a, b) := P (ta, tb) est recouvert par les pavés tP1 , . . . , tPN d’où :
n
N Y
n
Y
X
(tbi − tai − 1) 6
(tbji − taji + 1).
i=1
En multipliant par
j=1 i=1
1
puis en prenant la limite t → +∞, on obtient le résultat annoncé.
tn
4
Corollaire 1.2.1 Un pavé n’est pas de mesure nulle.
Corollaire 1.2.2 Si A est de mesure nulle dans Rn alors Rn \ A est dense dans Rn .
Dém. : supposons qu’il existe P tel que P ∩ (Rn \ A) = ∅. Alors P ⊆ A. Or, A est de mesure
nulle donc P est aussi de mesure nulle →←.
Définition 1.2.3 Soient U un ouvert de Rn et f : U → Rm une application différentiable.
– Un point x ∈ U est critique si rg x f < min(m, n). L’ensemble des points critiques est le
lieu critique, noté Cf .
– Une valeur critique y ∈ Rm est l’image d’un point critique (i.e. Cf ∩ f −1 (y) 6= ∅) ; on note
∆f = f (Cf ) le discriminant de f (i.e. l’ensemble des valeurs critiques).
– Un point y ∈ Rm qui n’est pas une valeur critique est une valeur régulière. On dit aussi
d’un point x tel que rg x f est maximal qu’il est régulier (mais f (x) peut être une valeur
critique).
n
Théorème 1.2.1 (de Sard) Soit f : Rn → Rm une application de classe C k> m −1 . Alors l’ensemble des valeurs critiques de f est de mesure nulle.
Dém. : on va démontrer le résultat pour n = m = 1. On considère d’abord la restiction de f à
[0, 1]. Comme f 0 est continue sur [0, 1], elle y est uniformément continue.
Soit > 0. Il existe donc η > 0 tel que si |x − y| < η alors |f 0 (x) − f 0 (y)| < .
1
k k+1
Soit N ∈ N∗ un entier tel que
< η. Considérons le recouvrement ([ ,
])06k6N −1
N
N N
k k+1
k k+1
]. Alors |f 0 (y)| < pour y ∈ [ ,
]. En particulier,
de [0, 1]. Soit x ∈ Cf ∩ [ ,
N N
N N
k k+1
|f (x1 ) − f (x2 )| <
pour x1 , x2 ∈ [ ,
].
N
N N
[
k k+1
Remarquons que f (Cf ) =
]). Or chacune des images est contef (Cf ∩ [ ,
N N
k k+1
Cf ∩[ N , N ]6=∅
[
nue dans un intervalle de longueur au plus . Enfin, R =
[p, p + 1]. D’où le résultat.
N
p∈Z
Remarque 1.2.2 L’ensemble des points critiques peut être gros.
n
Corollaire 1.2.3 Soit f : Rn → Rm de classe C k> m −1 , m 6 n. Alors pour presque tout y ∈ Rm ,
on a :
– f −1 (y) = ∅
– ou bien, pour tout x ∈ f −1 (y), il existe un voisinage U de x tel que U ∩f −1 (y) ∼
= Rn−m ×{0}.
Remarque 1.2.3 En fait, si l’on considère g = f|U : U → Rm alors toute valeur suffisament
voisine de y = f (x) est atteinte par g et le « feuilletage » des niveaux de g est difféomorphe à
des (ouverts de) sous-espaces affines parallèles 2 à 2.
Exemple 1.2.2 Soit f : R2 → R défini par
f (x, y) = (x2 + y 2 )2 − 4x2 = ((x + 1)2 + y 2 − 1)((x − 1)2 + y 2 − 1).
Alors :
– f est paire et
√ présente
√ une « symétrie axiale ».
– Cf = {0, (− 2, 0), ( 2, 0)}.
– f (Cf ) = {0, −4}.
– Les courbes de niveau Ic = f −1 (c) sont fermées et bornées (f est coercive) donc compactes.
D’autre part f admet un min global.
5


∅


√
√



{(− 2, 0), ( 2, 0)}
– Ic = Ec1 ∪ Ec2


C((−1, 0), 1) ∪ C((1, 0), 1)



 0
Ec
c < −4 (val. min. ou f (x, y) = (x2 − 2)2 + 2x2 y2 + y4 − 4)
c = −4 (car inf f = −4)
− 4 < c < 0 (car f (x, y) < 0 et f paire et symétrique/0y)
c = 0 (tangente verticale en (0, 0))
0 < c (car f (x, y) > 0 et symétries de f )
p
√
Pour −4 6 c 6 0, les points « extrémaux » sur Ox sont donnés par x = ± 2 ± 4 + c.
√
Pour
6 c, les points extrémaux sur Oy sont donnés par y = ±4 c et sur Ox, x =
p 0 √
± 2 + 4 + c.
– On peut démontrer que les hypersurfaces de niveau de f au dessus d’une même composante
connexe sont difféomorphes entre elles.
– Plus généralement, on peut démontrer que l’ensemble des valeurs critiques d’une fonction
polynomiale est fini. En enlevant quelques points suplémentaires au but (i.e. dans R), la
propriété précédente subsiste.
si
si
si
si
si
Sous-variétés de Rn
2
2.1
Rappels et compléments
Proposition 2.1.1 Soient n ∈ N, M ⊆ Rn , d ∈ N, d 6 n et k > 1. C.S.S.E.
1. Pour tout a ∈ M , il existe un C k -difféomorphisme ϕ : U, a → Rn , 0 défini sur un voisinage
U de a tel que ϕ(U ∩ M ) = Rd × {0} = {ξd+1 = · · · = ξn = 0} (carte locale adaptée à M
en a).
2. Pour tout a ∈ M , il existe une application G : Rn , a → Rn−d , 0 de classe C k et de rang
maximal (n − d) et un voisinage U de a dans Rn tels que U ∩ M = G−1 (0) (M est définie
par la submersion G en a).
3. Pour tout a ∈ M , il existe une application f : V, ad → W, an−d de classe C k d’un voisinage
V de ad dans W telle que (V × W ) ∩ M = Graph(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ V } (M est
localement le graphe d’une application).
4. Pour tout a ∈ M , il existe une application j : V, 0 → Rn , a de classe C k d’un voisinage
V de 0 ∈ Rd , de rang d et U un voisinage de a dans Rn tels que M ∩ U = j(V ) (i.e.
homéomorphisme sur l’image, paramétrisation locale de M à l’aide d’un plongement).
Remarque 2.1.1 L’application du graphe est un plongement !
Définition 2.1.1 Un sous-ensemble M de Rn vérifiant l’une des conditions précédentes est une
sous-variété de Rn de dimension d et de classe C k .
Exemple 2.1.1
1. S 2 ⊆ R3 est une 2-sous-variété fermée de R3 , N ∈ S 2 .
ϕ : C = {x2 + y 2 < 1}, N →
R3 , 0
p
(a)
,
(x, y, z)
7→ (x, y, z − 1 − (x2 + y 2 ))
ϕ(C+ ∩ S 2 ) = D(0, 1) × {0}.
(b)
G : R3 − {0}, N
(x, y, z)
→
R3−2=1 , 0
, S 2 = G−1 (0).
2
7
→
x + y2 + z2 − 1
(c)
f : D(0, 1), 0 → p
R, 1
, Graph(f ) = S 2 ∩ C+ .
1 − (x2 + y 2 )
(x, y)
7→
(d)
j : D(0, 1), 0 →
R3 , N
, j(D(0, 1)) = S 2 ∩ C+ .
(x, y)
7→ (x, y, f (x, y))
6
2. un ouvert de Rn est une sous-variété de Rn ; un sous-espace affine de dimension d est une
sous-variété de dimension d.
3. Un ouvert d’une sous-variété est une sous-variété (de même dimension) ; un produit (fini !)
de sous-variétés est une sous-variété.
Définition 2.1.2 Soient M une sous-variété de Rn de classe C k>1 et u ∈ Rn . Alors u est un
Ck
vecteur tangent à M en a ∈ M si il existe un intervalle ouvert I contenant 0 et γ : I → M tel
que γ(0) = a et γ 0 (0) = u. L’ensemble des vecteurs tangents à M en a est l’espace tangent Ta M
en a ∈ M .
Proposition 2.1.2
1. Ta M est une sous-espace vectoriel de Rn de dimension d := dim M .
2. (dϕ−1 (0))(Rd × {0}) = Ta M .
3. Si G est une submersion définissant M en a alors Ta M = ker dG(a).
4. y − f (ad ) = f 0 (ad ).(x − ad ) est une équation cartésienne de l’espace tangent affine en a de
direction Ta M .
5. Si j est une immersion définissant M en a alors (dj(0).ei )16i6d est une base de Ta M .
6. Si (a, b) ∈ M × N alors T(a,b) M × N = Ta M × Tb N .
∂j
(0) = (j ◦ γi )0 (0) avec
∂xi
γi (t) = tei , pour 1 6 i 6 d. Mais alors j ◦ γi est un arc C k tracé sur M donc dj(0).ei ∈ Ta M .
Comme dim M = d et que j est une immersion, la famille (dj(0).ei )i est libre et génératrice de
Ta M .
Remarque 2.1.2 Expliquons par exemple le point 5. On a dj(0).ei =
2.2
Fibré tangent et application linéaire tangente
Définition 2.2.1 Soit M une sous-variété de Rn . Alors
[
T M :=
{x} × Tx M
x∈M
est le fibré tangent à M . On a une application canonique π : T M → M définie par π(x, u) = x.
Proposition 2.2.1 Soit M une d−sous-variété de Rn de classe C k>2 . Alors T M est une sousvariété de classe C k−1 de R2n de dimension 2d.
Dém. : soit (a, u) ∈ T M . Alors il existe une submersion G de classe C k définissant M au
voisinage de a. Donc G̃ : U × Rn → Rn−d × Rn−d définie par G̃(x, v) = (G(x), dG(x).v) est une
submersion de classe C k−1 en (a, u) et T M ∩ (U × Rn ) = G̃−1 (0). En effet,
dG̃(a, u) : Rn × Rn →
Rn−d × Rn−d
(η, ξ)
7→ (dG(a).η, d2 G(a).(η, u) + dG(a).ξ)
est bien surjective.
~
Exemple 2.2.1 Le fibré tangent à un sous-espace affine A de Rn est T A = A × A.
Définition 2.2.2 Soient M ⊆ Rn , N ⊆ Rm deux sous-variétés et f : M → N une application.
L’application f est de classe C k si pour tout a ∈ M , il existe des cartes locales adaptées (U, ϕ, a)
à M et (V, ψ, f (a)) à N telles que l’application
ψ|N ◦ f ◦ (ϕ|M )−1 : Rd → Rd
0
est de classe C k . De plus, df (a) : Ta M → Tf (a) N est définie par df (a).u = (f ◦ γa,u )0 (0) avec
γ(0) = a et γ 0 (0) = u.
7
Remarque 2.2.1
1. Si (U1 , ϕ1 , a) et (U2 , ϕ2 , a) sont 2 cartes adaptées à M en a alors
ϕ2 |M ◦ (ϕ1 |M )−1 = ϕ2 ◦ ϕ1 −1 |Rd
2. En particulier, on peut parler d’application différentiable entre T M et une sous-variété de
Rm .
Théorème 2.2.1 L’application f : M → N est C k ssi il existe un voisinage ouvert U de M et
f˜ : U → Rm de classe C k telle que f˜|M = f .
Remarque 2.2.2 En particulier, df ne dépend que de f et df (a) = df˜(a)|Ta M .
Proposition 2.2.2 Soient f : M → N une subimmersion de rang r, a ∈ M et b = f (a).
1. f −1 (b) est une sous-variété qui est une partie fermée de M , Ta f −1 (b) = ker df (a) et la suite
suivante est exacte :
df (a)
0 → Ta f −1 (b) → Ta M → Tb N
2. il existe un voisinage ouvert U de a dans M tel que f (U ) soit une sous-variété de N et
dim M = dim f (U ) + dim f −1 (b)
3. de plus, pour tout sev V supplémentaire de Ta f −1 (b) dans Ta M , il existe M 0 ⊆ M contenant
a tel que Ta M 0 = V et f|M 0 soit un difféomorphisme sur son image.
C k>1
Théorème 2.2.2 (d’inversion locale) Soient f : M → N et x0 ∈ M . Supposons df (x0 ) ∈
Isom(Tx0 M, Tf (x0 ) N ). Alors il existe U ∈ VM (x0 ) et V ∈ VN (f (x0 )) ouverts tels que
f|U : U → V
soit un C k difféomorphisme.
Remarque 2.2.3 Ses corollaires, de même que le théorème des fonctions implicites peuvent
s’énoncer dans ce cadre.
Cl
Définition 2.2.3 Une section de classe C l de π : T M → M est une application s : M → T M
telle que π ◦ s = idM .
Définition 2.2.4 Soit f : M → N une application C k . L’application linéaire tangente f∗ :
T M → T N est définie par f∗ (a, u) = (f (a), df (a).u). On confond quelquefois f∗ et df .
M est une submersion surjective et π −1 (a) =
Plus précisément, pour tout a ∈ M , il existe
Proposition 2.2.3 L’application π : T M →
{a} × Ta M (le fibré est vectoriel de rang d).
V ∈ VM (a) tel que :
π −1 (V )
π
↓
V
≈
→ V × Rd
. π1
Dém. : soit (a, u) ∈ T M (i.e. a ∈ M et u ∈ Ta M ) et v ∈ Tπ(a,u) M = Ta M . Alors il existe α :
Ck
C k−1
I → M tel que α(0) = a, α0 (0) = v et β : I → Rn tel que β(t) = prα(t) (u) où prx : Rn → Tx M
désigne la projection orthogonale sur Tx M . Alors γ(t) = (α(t), β(t)) est un chemin tracé sur T M
passant par (a, u) en t = 0. De plus, dπ(a, u) = π1 |T(a,u) T M donc dπ(a, u).γ 0 (0) = α0 (0) = v et
dπ(a, u) est surjective.
Soit U un voisinage ouvert de a dans Rn et ϕ : U, a → Rn , 0 une carte locale adaptée.
Alors dϕ(a)|Ta M ∈ Isom(Ta M, Rd ). Comme V := U ∩ M est un voisinage ouvert de a dans M ,
π −1 (V ) = T V = (V × Rn ) ∩ T M est un ouvert de T M . Considérons ψ : T V → V × Rd défini
par ψ(x, v) = (x, dϕ(x).v). Alors ψ est un difféomorphisme.
8
Exercice 2.2.1 Démontrer que π est une submersion en utilisant la seconde partie de la preuve.
Définition 2.2.5 L’espace cotangent en a ∈ M est l’ensemble des covecteurs tangents en a,
Ta∗ M . De même, le fibré cotangent est
[
T ∗ M :=
{x} × Tx∗ M.
x∈M
Remarque 2.2.4 Le fibré cotangent admet aussi une structure de fibré vectoriel de rang d.
2.3
2.3.1
Champs de vecteurs
Rappels sur les équations différentielles
Définition 2.3.1 Un champ de vecteurs sur un ouvert U de Rn est une application continue
X : U → Rn . Une courbe intégrale de X est une application γ (nécessairement C 1 ) définie sur
un intervalle I de R telle que ∀t ∈ I : γ(t) ∈ U et γ 0 (t) = X(γ(t)).
Une courbe intégrale γ : I → Rn est maximale si pour toute courbe intégrale δ : J → Rn de
X, tel qu’il existe t ∈ I ∩ J vérifiant γ(t) = δ(t) alors J ⊆ I et δ = γ|J .
Remarque 2.3.1
1. On va voir que si X est localement lipschitzien et I ∩ J 6= ∅ alors δ|I∩J = γ|I∩J .
2. Dans la terminologie des équations différentielles, un tel champ de vecteurs définit une
équation différentielle autonome.
Théorème 2.3.1 (solution locale – Cauchy-Péano) Si X est continu alors pour tout a ∈ U , il
existe Ia ouvert contenant 0 et γ : Ia → U solution de x0 = X(x) telle que γ(0) = a.
2.3.2
Champs de vecteurs sur une sous-variété
Définition 2.3.2 Soit M une sous-variété de Rn . Un champ de vecteurs sur M est une application continue X : M → T M telle que pour tout x ∈ M , X(x) ∈ Tx M (i.e. X est une section de
π). On note Γ(M ) le C(M )−module des champs de vecteurs sur M . Une courbe intégrale est une
application de classe C 1 définie sur un intervalle I telle que ∀t ∈ I : γ(t) ∈ M et γ 0 (t) = X(γ(t)).
Remarque 2.3.2 En général, on exigera d’avantage de régularité (C k ) sur les champs de (co)vecteurs.
Théorème 2.3.2 (d’unicité) Soient M une sous-variété de Rn , X un champ de vecteurs de
classe C 1 , γ1 : I1 → M et γ2 : I2 → M deux courbes intégrales. Si il existe t0 ∈ J = I1 ∩ I2 tel
que γ1 (t0 ) = γ2 (t0 ) alors γ1 |J = γ2 |J .
Dém. : C = {t ∈ J : γ1 (t) = γ2 (t)} est un fermé de J. Pour tout t ∈ J on a γ10 (t) − γ20 (t) =
X(γ1 (t)) − X(γ2 (t)). En particulier, pour t ∈ J suffisamment voisin de t0 ,
||γ10 (t) − γ20 (t)|| 6 K||γ1 (t) − γ2 (t)||
car X est C 1 et γ1 , γ2 sont continus. D’où
Z t0
Z
0
0
0
0
||
(γ1 (s) − γ2 (s))ds|| = ||γ1 (t ) − γ2 (t )|| 6 K|
t0
t0
||γ1 (s) − γ2 (s)||ds|.
t0
Soit A la borne supérieure de ||γ1 − γ2 || sur [t0 , t]. Alors :
A 6 K|t − t0 |A.
Or si t est suffisamment proche de t0 on obtient A 6 0 et C est ouvert dans J.
9
Remarque 2.3.3 On a seulement utilisé le fait que X est localement lipschitzien.
Proposition 2.3.1 Soit X ∈ Γ(M ) de classe C 1 . La relation
x ∼ y ⇔ ∃γ : I → M , γ 0 = X(γ) et x, y ∈ γ(I)
est une relation d’équivalence sur M .
Dém. : la réflexivité et la symétrie sont immédiates. Soient x, y, z ∈ M tels que x, y ∈ γ(I) et
y, z ∈ δ(J). Soient donc s0 ∈ I et t0 ∈ J tels que y = γ(s0 ) = δ(t0 ). Posons J˜ = J − t0 + s0
et δ̃ : J˜ → M défini par δ̃(t) = δ(t + t0 − s0 ). Alors, s0 ∈ J˜ et δ̃ est une courbe intégrale de X
passant par γ(s0 ) en s0 . Par unicité, on peut prolonger γ à l’aide de δ̃ en une courbe intégrale γ̃
˜ Et x, y, z ∈ γ̃(I ∪ J).
˜
définie sur I ∪ J.
Remarque 2.3.4 Ainsi, les courbes intégrales de X définissent une partition de M .
Corollaire 2.3.1 (Cauchy-Lipschitz) Soit X ∈ Γ(M ), de classe C 1 . Pour tout x ∈ M , il existe
une et une seule courbe intégrale maximale γx : Ix → M passant par x en t = 0.
Définition 2.3.3 L’orbite de x suivant X est γx (Ix ).
Proposition 2.3.2 Soient X ∈ Γ(M ) de classe C 1 et x ∈ M .
1. L’intervalle Ix est un voisinage ouvert de 0 : Ix =]a, b[, a < 0 < b (c’est l’intervalle
d’existence de x).
2. Pour tout compact K ⊆ M , il existe > 0 tel que γx (]b−, b[)∩K = ∅ et γx (]a, a+[)∩K =
∅.
Remarque 2.3.5
1. On dit que « les trajectoires de X sortent de tout compact ».
2. Une reformulation, en temps positif, de la propriété précédente est : si γx (Ix ∩ R+ ) est
relativement compacte alors R+ ⊂ Ix .
S
Définition 2.3.4 Soit X un champ de vecteurs C 1 sur M . Posons ∆ = x∈M {x} × Ix . Le flôt
intégral de X est l’application :
ϕ:
∆
→ M
(x, t) 7→ γx (t)
où γx désigne la courbe intégrale maximale passant par x en t = 0.
Proposition 2.3.3 Soit X ∈ Γ(M ) de classe C k>1 .
1. Le sous-ensemble ∆ de M × R est un voisinage ouvert de M × {0}.
2. L’application ϕ est de classe C k et ∀x ∈ M : ϕ(x, 0) = x.
3. Soient (x, t) ∈ ∆ et t0 ∈ R. Alors (ϕ(x, t), t0 ) ∈ ∆ ⇔ (x, t + t0 ) ∈ ∆ et on a : ϕ(ϕ(x, t), t0 ) =
ϕ(x, t + t0 ).
Soit t ∈ R. Notons Ut = {x ∈ M : (x, t) ∈ ∆}. Alors Ut = (M × {t}) ∩ ∆. Donc Ut est ouvert
dans M . On a notamment U0 = M et ϕt=0 = idM .
On a
(x, t) ∈ ∆ ⇔ t ∈ Ix ⇔ x ∈ Ut .
Enfin, soit (x, t) ∈ ∆. Alors (ϕ(x, t), −t) ∈ ∆, autrement dit ϕ(x, t) ∈ U−t ; de même,
ϕ(x, −t) ∈ Ut . Comme ϕ(ϕ(x, t), −t) = x et ϕ(ϕ(x, −t), t) = x on en déduit que ϕt : Ut → U−t
est un difféomorphisme C k de difféomorphisme réciproque ϕ−t .
Définition 2.3.5 Un champ de vecteurs sur M est complet si ∆ = M × R.
10
Exemple 2.3.1 En particulier, tout champ de vecteur C 1 sur une sous-variété compacte est
complet. Plus généralement :
Proposition 2.3.4 Un champ X à support compact est complet.
Dém. : distinguons 2 cas :
– soit x ∈ supp(X). Alors γx (Ix ) ⊂ supp(X). Sinon, il existerait y 6∈ supp(X) et t ∈ Ix tels
que γx (t) = y. Or, X(y) = 0 et par unicité, γy : R → M et γy ≡ y. Donc Ix = R.
– soit x 6∈ supp(X). Alors γx ≡ x et Ix = R.
Proposition 2.3.5 (Principe de majoration à priori) Soient x ∈ M et J un intervalle contenant 0. Soit K un compact de M . Supposons que pour tout intervalle compact J 0 ⊂ J contenant
0 et toute courbe intégrale γ : J 0 → M telle que γ(0) = x, on ait γ(J 0 ) ⊂ K. Alors la solution
maximale γx est (au moins) définie sur J.
Dém. : posons Ix =]a, b[ et raisonnons en temps positif (i.e. J ⊆ R+ ). Si J 6⊂]a, b[ alors b < +∞
et [0, b] ⊂ J. Soit b0 < b. Alors γx ([0, b0 ]) ⊂ K. En particulier, γx ([0, b[) ⊂ K. Ce qui est absurde
compte-tenu d’une propriété de γx . On conclut que J ⊆]a, b[.
2.3.3
Intégrale première
C1
Définition 2.3.6 Une fonction f : M → R est une intégrale première de X ∈ Γ(M ) si
f∗ (X) = 0.
Proposition 2.3.6 Soient γ une trajectoire de X et f une intégrale première alors Im γ ⊆
f −1 (f (γ(0))). De plus, si a n’est pas un point critique de f alors X(a) est tangent en a à
f −1 (f (a)).
Corollaire 2.3.2 Si les niveaux de f sont compacts alors X est complet.
Théorème 2.3.3 (Redressement du flôt) Soient X ∈ Γ(M ) de classe C k et a ∈ M tel que
Ck
X(a) 6= 0. Alors il existe un difféomorphisme local Ψ : Rn , a → Rn , 0 tel que localement en a,
Ψ∗ (X)(y) = dΨ(Ψ−1 (y))(X(Ψ−1 (y))) = (1, 0, . . . , 0).
Remarque 2.3.6
1. Les coordonnées locales (Ψi |M )26i6d sont des intégrales premières « locales » de X.
2. Une trajectoire « locale » de Ψ∗ (X) est donnée par x1 = t + c1 , x2 = c2 , . . . = xn = cn .
3
Formes différentielles
3.1
Algèbre extérieure
Soit E un R−e.v. de dimension n. Notons Lk (E) l’e.v. des k−formes linéaires sur E k . Alors
dim Lk (E) = (dim E)k .
3.1.1
Formes alternées
Soit σ ∈ Sk . Alors l’application
σ̄ :
Ek
→
Ek
(v 1 , . . . , v k ) 7→ (v σ(1) , . . . , v σ(k) )
est un isomorphisme.
11
Définition 3.1.1 Une k−forme f est symétrique si ∀σ ∈ Sk : f ◦ σ̄ = f .
Proposition 3.1.1 Soit f ∈ Lk (E). Alors
s(f ) =
1 X
f ◦ σ̄
k!
σ∈Sk
est symétrique. De plus, si f est symétrique alors s(f ) = f .
Définition 3.1.2 Une k−forme f est antisymétrique (ou alternée) si ∀σ ∈ Sk : f ◦ σ̄ = (σ)f .
Proposition 3.1.2 Soit f ∈ Lk (E). Alors
a(f ) =
1 X
(σ)f ◦ σ̄
k!
σ∈Sk
est antisymétrique. De plus, si f est antisymétrique alors a(f ) = f .
Proposition 3.1.3
1. f k−linéaire antisymétrique ssi f (v 1 , . . . , v k ) = 0 dés que 2 des v i coïncident.
2. Si f est antisymétrique et (v 1 , . . . , v k ) est liée alors f (v 1 , . . . , v k ) = 0.
Exemple 3.1.1 Le déterminant (sur Rn relativement à Cn ) est l’unique forme n−linéaire alternée prenant la valeur 1 sur Cn . De plus, si f est une n−forme linéaire alternée sur Rn alors
f = f (e1 , . . . , en ) detCn .
Notons ∧k (E ∗ ) l’e.v. des k−formes linéaires alternées i.e. la k−ième puissance extérieure de
E ∗ (l’entier k est le degré). Alors a : Lk (E) → ∧k (E ∗ ) est un homomorphisme et a| Vk (E ∗ ) ≡
idVk (E ∗ ) .
Proposition 3.1.4 On a dim ∧n (E ∗ ) = 1.
Proposition 3.1.5 Soient (e1 , . . . , en ) une base de E et
1
vi · · ·
1
X
..
1
k
f (v , . . . , v ) =
.
16i1 <···<ik 6n v k
i1 · · ·
f ∈ ∧k (E ∗ ). Alors
vi1k .. f (e , . . . , e ).
i1
ik
. k
v ik
Dém. :
f (v 1 , . . . , v k ) =
X
=
X
vj11 f (ej1 , v 2 , . . . , v k )
j1
vj11 vj22 f (ej1 , ej2 , v 3 , . . . , v k )
j1 ,j2
=
X
vj11 · · · vjkk f (ej1 , . . . , ejk ).
16j1 6=j2 6=···6=jk 6n
Posons σ =
i1 · · ·
j1 · · ·
ik
jk
f (v 1 , . . . , v k ) =
∈ S({i1 , . . . , ik }) pour 1 6 i1 < i2 < · · · < ik 6 n. Alors
X
X
16i1 <i2 <···<ik 6n σ∈S({i1 ,...,ik })
12
1
k
vσ(i
· · · vσ(i
(σ)f (ei1 , . . . , eik )
1)
k)
Corollaire 3.1.1
1.
dim ∧k (E ∗ ) = Cnk .
(et ∧k (E ∗ ) = 0 pour k > n.)
2. Une base de ∧k (E ∗ ) est donnée par la famille (e∗i1 ...ik )16i1 <···<ik 6n ∈ ∧k (E ∗ ) telle que
e∗i1 ···ik (ej1 , . . . , ejk ) = δi1 j1 · · · δik jk
pour 1 6 j1 < · · · < jk 6 n.
Définition 3.1.3 Une forme alternée de degré n, non nulle, est une forme volume sur E.
3.1.2
Produit extérieur
Définition 3.1.4 Soient f ∈ Lk (E) et g ∈ Ll (E). Alors le produit tensoriel de f par g est la
(k + l)−forme linéaire f ⊗ g : E k+l → R définie par
f ⊗ g(v 1 , . . . , v k , v k+1 , . . . , v k+l ) = f (v 1 , . . . , v k ).g(v k+1 , . . . , v k+l ).
Remarque 3.1.1 Le produit tensoriel est multilinéaire et associatif (mais non commutatif).
Proposition 3.1.6 Soient f ∈ Lk (E) et g ∈ Ll (E). Alors :
a(f ⊗ a(g)) = a(a(f ) ⊗ g) = a(f ⊗ g)
et
a(g ⊗ f ) = (−1)kl a(f ⊗ g).
Dém. : soient f ∈ Lk (E) et g ∈ Ll (E).
a(a(f ) ⊗ g) = a((
1 X
(σ)f ◦ σ̄) ⊗ g)
k!
σ∈Sk
=
1
(k + l)!
X
(σ 0 )
σ 0 ∈Sk+l
1 X
(
(σ)f ◦ σ 0 ◦ σ) ⊗ g ◦ σ̄ 0 .
k!
σ∈Sk
En effet,
f ◦ σ̄ ◦ σ̄ 0 (x1 , . . . , xn )
=
f ◦ σ̄(xσ0 (1) , . . . , xσ0 (n) )
=
f ◦ σ̄(x01 , . . . , x0n ) avec x0i = xσ0 (i)
=
f (x0σ(1) , . . . , x0σ(n) )
=
f (xσ0 ◦σ(1) , . . . , xσ0 ◦σ(n) )
=
f ◦ σ 0 ◦ σ(x1 , . . . , xn ).
En identifiant, σ ∈ Sk à la permutation de Sk+l laissant fixe les l éléments k + 1, . . . , k + l,
on obtient :
1
1 X X
a(a(f ) ⊗ g) =
(σ 0 )(σ)f ◦ σ 0 ◦ σ ⊗ g ◦ σ 0 ◦ σ
(k + l)! k! 0
σ ∈Sk+l σ∈S̃k
13
Soit σ 00 ∈ Sk+l , alors card({(σ, σ 0 ) ∈ S̃k × Sk+l : σ 0 ◦ σ = σ 00 }) = k!. D’où :
a(a(f ) ⊗ g) =
1
(k + l)!
X
(σ 00 )f ◦ σ¯00 ⊗ g ◦ σ¯00 = a(f ⊗ g)
σ 00 ∈Sk+l
1
···
k
k + 1 ··· k + l
D’autre part, soit τ =
. Alors (τ ) = (−1)kl (car τ
l + 1 ... l + k
1
...
l
se décompose facilement en un produit de kl transpositions).
Donc
X
1
a(f ⊗ g)(v 1 , . . . , v k+l ) =
(σ ◦ τ )(f ◦ σ ◦ τ ⊗ g ◦ σ ◦ τ )(v 1 , . . . , v k+l )
(k + l)!
σ∈Sk+l
=
(−1)kl
(k + l)!
X
(σ)f (v σ◦τ (1) , . . . , v σ◦τ (k) ).
σ∈Sk+l
g(v σ◦τ (k+1) , . . . , v σ◦τ (k+l) )
=
(−1)kl X
(σ)f (v σ(l+1) , . . . , v σ(l+k) ).g(v σ(1) , . . . , v σ(l) )
(k + l)!
σ∈Sk+l
kl
= (−1) a(g ⊗ f )(v 1 , . . . , v k+l ).
Définition 3.1.5 Soient α ∈ ∧k (E ∗ ) et β ∈ ∧l (E ∗ ). Le produit extérieur de α par β est la
(k + l)−forme linéaire alternée
α∧β =
(k + l)!
a(α ⊗ β).
k!l!
Exemple 3.1.2 Soient f, g ∈ E ∗ . Alors
f (v 1 ) f (v 2 )
f ∧ g(v , v ) = f (v )g(v ) − f (v )g(v ) = g(v 1 ) g(v 2 )
1
2
1
2
2
1
.
Proposition 3.1.7
1. L’application
∧ : ∧k (E ∗ ) × ∧l (E ∗ ) → ∧k+l (E ∗ )
est une application bilinéaire.
2. β ∧ α = (−1)kl α ∧ β.
3. (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) i.e. ∧ est associatif.
Exemple 3.1.3 Notons (dx1 , . . . , dxn ) la base duale de la base canonique de Rn .
1. dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi .
2. dxj ∧ dxi ∧ dxk = −dxi ∧ dxj ∧ dxk .
3. (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )16i1 <···<ik 6n est une base de ∧k (Rn∗ ).
Corollaire 3.1.2 Si α est de degré impair alors α ∧ α = 0.
14
Proposition 3.1.8 Soient f1 , . . . , fk ∈ E ∗ . On a :
f1 ∧ · · · ∧ fk = k!a(f1 ⊗ · · · ⊗ fk ).
Dém. : en effet, supposons l’égalité vraie pour un produit de k formes linéaires. Alors :
(k + 1)!
a(f1 ∧ · · · ∧ fk ⊗ fk+1 )
k!
= (k + 1)a(k!a(f1 ⊗ · · · ⊗ fk ) ⊗ fk+1 )
f1 ∧ · · · ∧ fk ∧ fk+1 =
= (k + 1)!a(f1 ⊗ · · · ⊗ fk ⊗ fk+1 )
Proposition 3.1.9 Soient f1 , . . . , fk ∈ E ∗ .
f1 (v 1 ) · · ·
..
1
k
f1 ∧ · · · ∧ fk (v , . . . , v ) = .
fk (v 1 ) · · ·
k
fk (v ) f1 (v k )
..
.
Dém. :
f1 ∧ · · · ∧ fk (v 1 , . . . , v k ) =
X
(σ)f1 (v σ(1) ). · · · .fk (v σ(k) ) par définition de a
σ∈Sk
Posons aij = fi (v j ) pour 1 6 i, j 6 k. Alors
f1 ∧ · · · ∧ fk (v 1 , . . . , v k ) = det((aij )16i,j6k ).
Définition 3.1.6 Soit E un e.v. de dimension n. L’algèbre de Grassman (ou algèbre extérieure)
est l’algèbre graduée
∧(E ∗ ) = ∧0 (E ∗ ) ⊕ ∧1 (E ∗ ) ⊕ · · · ⊕ ∧n (E ∗ )
où ∧0 (E ∗ ) = R et ∧1 (E ∗ ) = E ∗ .
Exemple 3.1.4
1. dim ∧(Rn∗ ) =
n
X
Cnk = 2n .
k=0
2. λ ∧ α = λα.
3. dx1 ∧ (dx2 + dx1 ∧ dx3 ) = dx1 ∧ dx2 .
4. Soient α = α1 dx1 + α2 dx2 et β = β1 dx1 + β2 dx2 . Alors
α1 α2 dx ∧ dx2 .
α ∧ β = β1 β2 1
Calculer l’aire du parallélogramme (0, (α1 , α2 ), (β1 , β2 )).
5. Soient α = α1 dx1 + α2 dx2 + α3 dx3 et β = β1 dx1 + β2 dx2 + β3 dx3 . Alors
α2 α3 α1 α2 α1 α3 dx ∧ dx3 .
dx ∧ dx2 + dx ∧ dx3 + α∧β =
β2 β3 2
β1 β2 1
β1 β3 1
15
3.1.3
Produit intérieur
Définition 3.1.7 Soient α ∈ ∧k+1 (E ∗ ) et X ∈ E. Le produit intérieur de α par X est la
k−forme (linéaire alternée) iX α définie par iX α(v 1 , . . . , v k ) = α(X, v 1 , . . . , v k ). On note aussi
Xy := i(X) := iX .
Proposition 3.1.10
1. iY iX = −iX iY .
2. i2X = 0.
3. iX (α ∧ β) = (iX α) ∧ β + (−1)deg(α) α ∧ (iX β).
Exemple 3.1.5
1. Soient α ∈ ∧1 (E ∗ ) et X ∈ E. Alors i(X)α = α(X).
2. Soient α = dx1 ∧ · · · ∧ dxn et X = (x1 , . . . , xn ). Alors
i(X)α = dx1 (X)dx2 ∧ · · · ∧ dxn − dx1 ∧ i(X)(dx2 ∧ · · · ∧ dxn )
= x1 dx2 ∧ · · · ∧ dxn
−dx1 ∧ (x2 dx3 ∧ · · · ∧ dxn − dx2 ∧ i(X)dx3 ∧ · · · ∧ dxn )
=
n
X
ci ∧ · · · ∧ dxn .
(−1)i−1 xi dx1 ∧ · · · ∧ dx
i=1
3.1.4
Image réciproque d’une k−forme
Définition 3.1.8 Soient ϕ ∈ L(E, F ) et α ∈ ∧k (F ∗ ). L’image réciproque de α par ϕ est la
k−forme ϕ∗ (α) de ∧k (E ∗ ) définie par
ϕ∗ (α)(v 1 , . . . , v k ) = α(ϕ(v 1 ), . . . , ϕ(v k )).
Ainsi ϕ∗ ∈ L(∧(F ∗ ), ∧(E ∗ )).
Proposition 3.1.11 Soient ϕ ∈ L(E, F ) et α, β ∈ ∧(F ∗ ). Alors
ϕ∗ (α ∧ β) = ϕ∗ (α) ∧ ϕ∗ (β).
Dém. : par linéarité, on peut supposer que α (resp. β) est de degré k (resp. l).
(k + l)! ∗
ϕ (a(α ⊗ β))
k!l!
(k + l)!
a(ϕ∗ (α) ⊗ ϕ∗ (β))
=
k!l!
= ϕ∗ (α) ∧ ϕ∗ (β).
ϕ∗ (α ∧ β) =
Exemple 3.1.6
1. Soient ϕ ∈ L(Rm , Rn ) et α = dy1 ∈ ∧1 (Rn∗ ). Alors
ϕ∗ (α) = dy1 ◦ ϕ = ϕ1 .
2. Soit β = dy1 ∧ dy2 . Alors
ϕ∗ (β) = dy1 ◦ ϕ ∧ dy2 ◦ ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 .
3. Soit γ = dyi1 ∧ · · · ∧ dyik . Alors
ϕ∗ (γ) = ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik .
16
3.2
Forme différentielle sur un ouvert de Rn
Soit U un ouvert de Rn .
Définition 3.2.1 Une k−forme différentielle sur U est une application C p>0 , α : U → ∧k (Rn∗ ).
On note Ωk (U ) le C p (U )−module des k−formes différentielles sur U .
Exemple 3.2.1
1. Si k = 0 alors α est une fonction C p de U dans R.
n
n
X
X
2. Si k = 1 alors α =
αi dxi ou encore α(x) =
αi (x)dxi ∈ ∧1 (Rn∗ ) pour x ∈ U .
i=1
i=1
de ∧k (Rn∗ ),
une k−forme différentielle s’écrit
3. Comme (dxi1 ∧· · ·∧dxik )i1 <···<ik est une base
X
Cp
αi1 ···ik dxi1 ∧ · · · ∧ dxik avec αi1 ···ik : U → R. Ainsi, la régularité
de manière unique
i1 <···<ik
de α est celle de ses composantes le long d’une base.
Définition 3.2.2 Soient α ∈ Ωk (U ) et β ∈ Ωl (U ). Alors α ∧ β ∈ Ωk+l (U ) est définie par :
(α ∧ β)(x) = α(x) ∧ β(x).
Proposition 3.2.1 Si α et β sont C p alors α ∧ β l’est aussi.
Définition 3.2.3 On note
Ω∗ (U )
:=
n
M
Ωk (U ) la C p (U )−algèbre graduée des formes différen-
k=0
tielles sur U .
C p>1
Définition 3.2.4 Soient ϕ : U ⊆ Rn → V ⊆ Rm et α ∈ Ωk (V ). Alors ϕ∗ (α) ∈ Ωk (U ) (qui est
C p−1 ) définie par
ϕ∗ (α)(x) = (dϕ(x))∗ α(ϕ(x)) pour x ∈ U
est l’image réciproque de α par ϕ.
Cp
Exemple 3.2.2 Soient U, V des ouverts de Rn , ϕ : U → V et α ∈ Ωn (V ). Alors
ϕ∗ (α) = jϕ.α ◦ ϕ.
En effet, soit x ∈ U . Alors ϕ∗ (α)(x) = α(ϕ(x))(dϕ(x)(·), . . . , dϕ(x)(·)). Comme ∧n (Rn∗ ) est de
dimension 1, ϕ∗x est une homothétie. En particulier, ϕ∗x (detCn ) = λ. detCn . Enfin,
λ = det Cn (dϕ(x).e1 , . . . , dϕ(x).en ) = jϕ(x).
Cp
Proposition 3.2.2 Soient ϕ : U → V , α ∈ Ωk (V ) et β ∈ Ωl (V ). Alors
ϕ∗ (α ∧ β) = ϕ∗ (α) ∧ ϕ∗ (β).
Dém. : elle se déduit de la proposition correspondante dans ∧k (Rn∗ ) (point par point).
Exemple 3.2.3 Soit Ψ :]0, π[×]0, 2π[→ S 2 les coordonnées sphériques sur S 2 . Désignons (encore) par dx ∧ dy la restriction à S 2 de la 2−forme dx ∧ dy. Alors
Ψ∗ (dx ∧ dy) = d(cos θ sin φ) ∧ d(sin θ sin φ)
= (cos θ cos φdφ − sin θ sin φdθ) ∧ (sin θ cos φdφ + cos θ sin φdθ)
= (cos2 θ cos φ sin φ + sin2 θ sin φ cos φ)dφ ∧ dθ
sin 2φ
dφ ∧ dθ.
=
2
17
3.3
Différentielle extérieure (opérateur cobord)
Définition 3.3.1 Soit α ∈ Ωk (U ). La différentielle extérieure de α est la (k + 1)−forme sur U
définie par :
dα(x) = (k + 1)a(Dα(x))
où D désigne la différentielle usuelle de la forme α. On prolonge d par linéarité sur Ω∗ (U ).
Exemple 3.3.1 Soit f : U → R une 0−forme. Alors df = Df . Ainsi, pour x ∈ U :
n
X
∂f
df (x) =
(x)dxi
∂xi
i=1
πi : Rn → R
; cette application est
x 7→ xi
aussi notée xi . Pour tout x ∈ U , dxi (x) = πi = xi i.e. dxi (x).h = hi ; dxi est donc constante. On
note ainsi dxi pour la différentielle de xi mais aussi pour sa valeur en un point !
où dxi désigne la (restriction de la) différentielle de
Proposition 3.3.1 Soit α ∈ Ωk (U ). Alors
X
dα =
dfi1 ···ik ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
16i1 <···<ik 6n
Dém. : par linéarité, il suffit de le démontrer pour une k−forme du type f dxi1 ∧ · · · ∧ dik . Soit
x ∈ U . On a Dα(x) ∈ L(Rn , ∧k (Rn∗ )). Or, ∧k (Rn∗ ) ⊆ Lk (Rn ; R). Donc, dα(x) s’identifie à un
élément de Lk+1 (Rn ; R) via l’isométrie L(E0 , Lk (E1 × · · · × Ek , F )) ∼
= Lk+1 (E0 × · · · × Ek ; F ).
n
Plus précisément, on a, pour h ∈ R :
n
X
∂f
(x).hi dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∂xi
Dα(x).h =
i=1
n
X
∂f
=
(x).dxi (h).dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
∂xi
i=1
Ou encore :
Dα =
n
X
∂f
dxi ⊗ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
∂xi
i=1
D’où :
dα = (k + 1)
n
X
∂f
a(dxi ⊗ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )
∂xi
i=1
=
=
=
n
X
(k + 1)
i=1
n
X
i=1
n
X
i=1
∂f
a(dxi ⊗ k!a(dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxik ))
∂xi
∂f
.(k + 1)!a(dxi ⊗ dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxik )
∂xi
∂f
dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∂xi
= df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
Remarque 3.3.1 Comme a◦a = a, on peut considérer que l’homomorphisme a est un projecteur
(sur ∧(Rn∗ )).
18
Proposition 3.3.2 On considère les formes de classe C ∞ . Alors :
d ◦ d = 0.
Dém. : soit α ∈ Ωk (U ). Par linéarité de d, on peut supposer α = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Or
dα =
n
X
∂f
dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
∂xi
i=1
Donc
d(dα) =
n X
n
X
∂ ∂f
(
)dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∂xj ∂xi
i=1 j=1
X ∂2f
=
dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∂xi ∂xj
i6=j
X
=
(
16i<j6n
∂2f
∂2f
−
)dxi ∧ dxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
= 0
en vertu du théorème de Schwarz.
Remarque 3.3.2 Autrement dit, Im dk ⊆ ker dk+1 .
Proposition 3.3.3 Soient α ∈ Ωk (U ) et β ∈ Ω• (U ). Alors
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)k α ∧ dβ.
Cp
Proposition 3.3.4 Soient α ∈ Ωk (V ) et ϕ : U → V . Alors :
ϕ∗ (dα) = dϕ∗ (α).
Dém. : posons α = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Alors
ϕ∗ (α) = f ◦ ϕ.ϕ∗ (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )
= f ◦ ϕ.dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik .
Donc
dϕ∗ (α) = d(f ◦ ϕ.dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik )
= d(f ◦ ϕ) ∧ dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik + f ◦ ϕ.d(dϕi1 ∧ · · · ∧ dϕik )
= ϕ∗ (df ) ∧ ϕ∗ (dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )
= ϕ∗ (df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )
= ϕ∗ (dα).
3.4
Lemme de Poincaré
Définition 3.4.1 Une forme différentielle α est
1. fermée si dα = 0 ;
2. exacte si ∃β : α = dβ.
19
Exemple 3.4.1
1. Considérons
P =
xdx + ydy
sur R2 − {0}.
x2 + y 2
D’une part,
dP
D’autre part, P =
∂
∂
1
1
)dy ∧ dx + y ( 2
)dx ∧ dy
( 2
2
∂y x + y
∂x x + y 2
2y
2x
= −x 2
dy ∧ dx − y 2
dx ∧ dy
2
2
(x + y )
(x + y 2 )2
= 0.
= x
1 d(x2 + y 2 )
ou encore P = d ln ||(x, y)||2 . Ainsi P est exacte (sur
2 x2 + y 2
R2 − {0}).
2. Considérons
Q=
xdy − ydx
sur R2 − {0}.
x2 + y 2
Alors,
x
∂
y
∂
( 2
)dx ∧ dy −
( 2
)dy ∧ dx
2
∂x x + y
∂y x + y 2
y 2 − x2
x2 − y 2
=
dx
∧
dyx
−
dy ∧ dx
(x2 + y 2 )2
(x2 + y 2 )2
= 0.
dQ =
Remarque 3.4.1 Une forme différentielle exacte est ferméee.
Proposition 3.4.1 Soit U un ouvert de Rn .
La forme ω =
n
X
Pi dxi ∈ Ω1 (U ) est fermée ssi ∀i, j :
i=1
∂Pj
∂Pi
=
.
∂xj
∂xi
Lemme 3.4.1 (de Poincaré) Soit α une (k + 1)−forme fermée sur un ouvert U étoilé. Alors α
est exacte.
Dém. : quitte à translater U , on peut supposer U étoilé en 0. Notons X le champ de vecteurs
sur U défini par X(x) = x. Considérons
κ : Ωk+1 (U ) → Ωk (U )
R1
α
7→ 0 tk iX (α)(tx)dt
Si 1 6 i1 < · · · < ik+1 6 n, f ∈ C p (U ) et α = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1 on a :
Z
k+1
X
j−1
κ(α) =
(−1) (
1
d
tk f (tx)xij dt)dxi1 ∧ · · · ∧ dx
ij ∧ · · · ∧ dxik+1 .
0
j=1
L’application κ est R−linéaire et κ(α) a même régularité que α. Pour j ∈ {1, . . . , k + 1} :
Z
d
1
k
t f (tx)xij dt =
0
Z
n
X
i=1
0
1
k+1
t
∂f
(tx)xij dt dxi + (
∂xi
20
Z
0
1
tk f (tx)dt)dxij .
D’où
k+1
n Z
hX
X
j−1
dκ(α) =
(−1)
j=1
1
k+1
t
0
i=1
Z 1
i
∂f
tk f (tx)dt dxij ∧
(tx)xij dt dxi +
∂xi
0
d
dxi1 ∧ · · · ∧ dx
ij ∧ · · · ∧ dxik+1
Z
1
tk f (tx)dt dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1
0
k+1
n Z 1
X
X
j−1
k+1 ∂f
d
+
(−1)
t
(tx)xij dt dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dx
ij ∧ · · · ∧ dxik+1
∂xi
0
= (k + 1)
j=1
i=1
D’autre part :
dα =
n
X
∂f
dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1 .
∂xi
i=1
Or
iX (dxi ∧dxi1 ∧· · ·∧dxik+1 ) = xi dxi1 ∧· · ·∧dxik+1 +
k+1
X
d
(−1)j xij dxi ∧dxi1 ∧· · ·∧ dx
ij ∧· · ·∧dxik+1 .
j=1
Donc
n
X
κ(dα) =
κ(
i=1
n Z
X
∂f
dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1 )
∂xi
1
∂f
(tx)iX (dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1 )dt
∂xi
i=1 0
n Z 1
X
∂f
(tx) xi dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1
=
tk+1
∂xi
0
=
tk+1
i=1
+
k+1
X
d
(−1)j xij dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dx
∧
·
·
·
∧
dx
ij
ik+1 dt.
j=1
Dés lors :
!
n
X
∂f
(tx)xi dt dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1
dκ(α) + κ(dα) =
(k + 1)tk f (tx) + tk+1
∂xi
0
i=1
h
i1
= tk+1 f (tx) dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1 = f dxi1 ∧ · · · ∧ dxik+1
0
= α.
Z
1
Corollaire 3.4.1 Une forme fermée sur une boule ouverte est exacte. En particulier, une forme
fermée sur un ouvert U est localement exacte.
Corollaire 3.4.2 Soit V un ouvert difféomorphe à un ouvert U étoilé. Alors une forme fermée
sur V est exacte.
∗
Dém. : notons ϕ : V → U un tel difféomorphisme. Soit α ∈ Ωk+1 (V ). Alors, ϕ−1 (α) ∈ Ωk+1 (U ).
∗
∗
∗
Or, dϕ−1 α = ϕ−1 (dα) = 0. Donc il existe β ∈ Ωk (U ) tel que dβ = ϕ−1 α et α est exacte.
Exemple 3.4.2 Soit γ(t) = eit pour t ∈ [0, 2π]. Alors
Z
Z
Q=
γ
2π
∗
Z
γ (Q) =
0
2π
0
Z
Q(γ(t)).γ (t)dt =
0
0
21
2π
(cos2 (t) + sin2 (t))dt = 2π.
Or, si Q etait exacte, il existerait β ∈ C 1 (R2 − {0}, R) tel que dβ = Q. En particulier,
Z 2π
Z 2π
Z
Z
∗
(β ◦ γ)0 (t)dt = β(1) − β(1) = 0.
dγ (β) =
Q = dβ =
γ
0
γ
0
y
En fait, Q = d(2 arctan( p
)) sur R2 \ R∗− × {0}. Ainsi
2
x + y2 + x
dz
= (P + iQ)(z) = d(ln |z| + iArg(z))
z
avec Arg(z) ∈] − π, π[ (détermination principale du logarithme).
Proposition 3.4.2 Soient U un ouvert de R2 étoilé en x0 et α ∈ Ω1 (U ). C.S.S.E. :
1. α est exacte
R
C0
2. pour tout chemin fermé γ : I → U , paramétrant un triangle de sommet x0 : γ α = 0.
Remarque 3.4.2 Soient U Run ouvert de C et f : U → C continue. Pour que f soit holomorphe
sur U il faut et il suffit que γ f dz = 0 pour tout lacet γ de U paramétrant un triangle contenu,
ainsi que son intérieur, dans U .
3.5
3.5.1
Formule de Stokes
Variété à bord
d := {(x , . . . , x ) ∈ Rd : x > 0}.
Notons H+
1
d
d
Définition 3.5.1 Une sous-variété à bord M de Rn est un sous-ensemble admettant des paramétrisations locales (immersion injective C k>1 homémorphisme sur son image) définies sur un
d . Le bord ∂M de M est l’ensemble des points qui sont images de {x = 0} par une
ouvert de H+
d
paramétrisation. L’intérieur de M est M \ ∂M .
Remarque 3.5.1
1. int(M ) = M \ ∂M est une variété sans bord (ne pas confondre avec l’intérieur topologique
o
car si dim M < n alors M = ∅).
2. ∂M est une sous-variété sans bord de M , de codimension 1.
3. Une fonction f : M → N est de classe C p si elle est restriction d’une fonction g de classe
C p définie sur un ouvert V contenant M .
Exemple 3.5.1
d et H d sont des sous-variétés à bord ∂H d = {x = 0}.
1. Les sous-espaces H+
d
−
±
2. Une boule fermée (de dimension d) est une sous-variété (de dimension d) à bord la sphère
S d−1 .
3. Le cylindre S 1 × [0, 1] ⊂ R3 est une (2−sous-)variété à bord S 1 t S 1 .
3.5.2
Orientation
Soit E un R−espace vectoriel de dimension finie n.
Définition 3.5.2 Une orientation de E est le choix d’une base (ordonnée) E = (e1 , . . . , en ) de
E. Deux bases E et E 0 de E appartiennent à la même classe d’orientation si detE (E 0 ) > 0.
Autrement dit, l’unique automorphisme ϕ envoyant E sur E 0 conserve (resp. inverse) l’orientation de E si det(ϕ) > 0 (resp. < 0). Ceci définit une relation d’équivalence R (à 2 classes) sur
l’ensemble des bases de E.
Soient F un second e.v. orienté, E, E 0 deux bases d’orientation de E et ψ : E → F un
isomorphisme. Alors ψ(E) et ψ(E 0 ) appartiennent à la même classe d’orientation. Ainsi ψ conserve
(ou inverse) l’orientation.
22
Exemple 3.5.2 Rd sera toujours supposé orienté à l’aide de l’orientation donnée par la base
canonique Cd .
Définition 3.5.3 Une variété à bord M de classe C k+1 est orientée si, les espaces tangents
(Tx M )x∈M sont orientés de manière C k , i.e. en chaque point x0 , il existe une paramétrisation
Ck
d
d →U
locale ϕ : U ⊆ H+
x0 de M telle que dϕ(t) : R → Tϕ(t) M induise l’orientation de Tϕ(t) M .
Proposition 3.5.1 Une variété connexe orientable admet exactement 2 orientations.
Remarque 3.5.2
1. Soit ϕ une paramétrisation locale de M en x0 . Alors dϕ(0)Rd est l’espace tangent Tx0 M en
d
ϕ(0) = x0 de dimension d en tout point de M . Si x0 ∈ ∂M alors le demi-espace dϕ(0)H+
est indépendant de ϕ.
2. Soit x0 ∈ ∂M . Alors Tx0 ∂M est de codimension 1 dans Tx0 M ; il existe donc 2 vecteurs
normaux à Tx0 ∂M . Si ϕ est une paramétrisation locale de M en ϕ(0) = x0 ∈ ∂M alors
d (entrant) et l’autre dans H d (sortant). On note n(x ) le
dϕ−1 (x0 ) envoie l’un dans H+
0
−
vecteur normal sortant en x0 . Le « champ sortant » est C k si M est C k+1 .
Proposition 3.5.2 Soit M une variété à bord, orientable. Alors ∂M est orientable.
Dém. : soit x0 ∈ ∂M . Définissons
(∂1 , . . . , ∂d−1 ) ∈ O± (Tx0 ∂M ) ⇔ (n(x0 ), ∂1 , . . . , ∂d−1 ) ∈ O± (Tx0 M ).
Si ϕ une paramétrisation locale orientée alors de deux choses l’une :
– (dϕ(0)e1 , . . . , dϕ(0)ed−1 ) ∈ O+ (Tx0 ∂M )
ou bien
– (dϕ(0)e1 , . . . , dϕ(0)ed−1 ) ∈ O− (Tx0 ∂M ).
Le bord est ainsi orienté localement de manière C k si M est C k+1 .
d sur ∂H d = Rd−1 × {0} ≡ Rd−1 dépend de d.
Remarque 3.5.3 L’orientation induite par H+
+
d = (−1)d Rd−1 .
Plus précisément, ∂H+
3.5.3
Intégration d’une forme différentielle
C1
Théorème 3.5.1 (changement de variable) Soient U, V ∈ ORd , θ : U → V un difféomorphisme
et f ∈ L1 (V ). Alors
Z
Z
Z
∗
f dy1 · · · dyd =
θ (f )dx1 · · · dxd =
f ◦ θ.|jθ|dx1 · · · dxd .
V
θ−1 (V )
U
Remarque 3.5.4 Si jθ > 0 alors θ conserve l’orientation de Rd i.e. l’image par dθ(x) de la base
canonique Cd est dans la même classe d’orientation que Cd .
Définition 3.5.4 Une 1−forme différentielle sur une sous-variété M est une section continue
du fibré cotangent T ∗ M . Le C(M )−module des 1−formes différentielles sur M est noté Ω1 (M ).
Plus généralement, Ωk (M ) est le module des sections du fibré vectoriel (de rang Cnk )
[
∧k (T ∗ M ) :=
{x} × ∧k (Tx∗ M ).
x∈M
23
Remarque 3.5.5
1. Une 1−forme est donc indifféremment une section du fibré ∧1 (T ∗ M ) ou T ∗ M .
2. On a fait l’abus de notation Ωk (U ), où U désigne un ouvert de Rn , pour les sections du
fibré (trivial) ∧k (U ) = U × ∧k (Rn∗ ).
Lemme 3.5.1 Si (U1 , V, ϕ1 ) et (U2 , V, ϕ2 ) sont 2 paramétrisations locales orientées d’un ouvert
dim(M )
V de M et si ω ∈ Ωc
(V ) alors
Z
Z
ϕ∗1 (ω) =
ϕ∗2 (ω).
U1
U2
d ⊇ U → V ⊆ M ⊂ Rn
Définition 3.5.5 Soient M une sous-variété orientée à bord lisse, ϕ : H+
une paramétrisation locale de M telle que ϕ induise l’orientation de M et ω ∈ Ωdc (M ) telle que
supp(ω) ⊆ V . Alors :
Z
Z
Z
ϕ∗ (ω) =
ω :=
V
f dx1 · · · dxd .
U
U
Exemple 3.5.3 Soit ω = dx ∧ dy. Si Ψ(φ, θ) = (cos θ sin φ, sin θ sin φ) alors
π
Z
Z Z
Z 2π Z π
sin 2φ
1
∗
ω=
Ψ (ω) =
dφdθ = 2π − cos 2φ = 0.
2
4
S2
]0,π[×]0,2π[
0
0
0
Lemme 3.5.2 (partition d’unité) Soient M une sous-variété (éventuellement à bord) de Rn
de classe C k et U = (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de M . Il existe une sous-recouvrement
localement fini dénombrable plus fin V = (Vn )n∈N de U et (αn )n∈N une famille de fonctions
Ck
αn : M → [0, 1] telles que :
– ∀n ∈ N : supp(αn ) ⊂ Vn
+∞
X
–
αn = 1.
n=0
On étend par partition de l’unité la définition de l’intégrale d’une forme différentielle (après
avoir vérifié que la valeur obtenue est indépendante de la partition de l’unité choisie).
Remarque 3.5.6 Comme
rentielle nulle en dehors de
+∞
X
αn = 1, on a
n=0
Vn .
+∞
X
αn ω =
n=0
+∞
X
ωn avec ωn = αn ω une forme diffé-
n=0
Théorème 3.5.2 (formule de Stokes) Soient M une sous-variété à bord orientée et ω ∈
Ωd−1
(M ) de classe C 1 . Alors :
c
Z
Z
dω =
j ∗ (ω)
M
∂M
où j : ∂M → M désigne l’inclusion.
Dém. : pour simplifier, on va supposer que supp(ω) ⊂ V avec V ouvert dans M , image d’une
d → V . L’image réciproque ϕ∗ (ω) ∈ Ωd−1 (H d ). Ainsi :
paramétrisation ϕ : H+
+
Z
Z
Z
dω =
ϕ∗ (dω) =
dϕ∗ (ω)
d
H+
V
=
d
H+
d Z
X
d
H+
=
i=1
d Z
X
i=1
ci ∧ · · · ∧ dxd−1 )
d(fi dx1 ∧ · · · ∧ dx
(−1)i−1
d
H+
24
∂fi
dx1 ∧ · · · ∧ dxd .
∂xi
Or, pour 1 6 i < d :
Z
(−1)i−1
d
H+
∂fi
dx1 · · · dxd = 0
∂xi
grâce à la condition de support.
Dés lors,
Z
Z
dω = (−1)d−1
V
∂fd
dx1 · · · dxd
∂xd
Z Z
Z
∂fd
··· (
dxd )dx1 · · · dxd−1
= (−1)d−1
∂x
d
R R+
R
Z
d
fd (x1 , . . . , xd−1 , 0)dx1 · · · dxd−1
= (−1)
d−1
R
Z
=
fd (x1 , . . . , xd−1 , 0)dx1 · · · dxd−1
d
H+
d
∂H+
Z
=
d
∂H+
Z
=
d
∂H+
fd |∂H d dx1 · · · dxd−1
+
jd∗ ϕ∗ (ω)
Z
=
j ∗ (ω).
∂M ∩V
25