MATH803 - Lama - Université de Savoie

Université de Savoie Année 07/08
Géométrie et topologie 2 : MATH803
Stéphane Simon
Table des matières
1 Points critiques d’application 2
1.1 Théorème du rang constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 ThéorèmedeSard ................................... 4
2 Sous-variétés de Rn6
2.1 Rappelsetcompléments ................................ 6
2.2 Fibré tangent et application linéaire tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Champsdevecteurs .................................. 9
2.3.1 Rappels sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Champs de vecteurs sur une sous-variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Intégralepremière ............................... 11
3 Formes différentielles 11
3.1 Algèbreextérieure ................................... 11
3.1.1 Formesalternées ................................ 11
3.1.2 Produitextérieur................................ 13
3.1.3 Produitintérieur ................................ 16
3.1.4 Image réciproque d’une k−forme ....................... 16
3.2 Forme différentielle sur un ouvert de Rn....................... 17
3.3 Différentielle extérieure (opérateur cobord) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 LemmedePoincaré................................... 19
3.5 FormuledeStokes ................................... 22
3.5.1 Variétéàbord ................................. 22
3.5.2 Orientation ................................... 22
3.5.3 Intégration d’une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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1 Points critiques d’application
1.1 Théorème du rang constant
Dans le cas linéaire le résultat suivant est bien connu :
Proposition 1.1.1 Soit A∈ Mm,n(K)de rang r. Alors Aest équivalente à la matrice
Ir0
0 0 .
Dém. : en TD.
Lorsque l’on s’intéresse aux applications différentiables on a l’analogue en supposant le rang
de l’application constant.
On notera f:Rn,0→Rm,0une application définie sur un voisinage de 0∈Rntelle que
f(0) = 0. Si g:Ua∈ VRn(a)→Rmalors f(h) = g(a+h)−g(a)est définie sur un voisinage de
0, vérifie f(0) = 0, a même régularité et même rang que g.
Définition 1.1.1 Soient (X, O)un espace topologique et ρ:X→Rune application. L’applica-
tion ρest semi-continue inférieurement (resp. supérieurement) en x0si pour tout a∈Rtel que
a<ρ(x0)(resp. ρ(x0)< a) l’ensemble {x∈X:a<ρ(x)}(resp. {x∈X:ρ(x)< a}) est un
voisinage de x0. L’application ρest semi-continue sur Xsi elle l’est en tout point de X.
Remarque 1.1.1 La terminologie « inférieurement » vient du fait que si a < ρ(x0)alors a <
ρ(x)pour xdans un voisinage de x0.
Proposition 1.1.2 ρest semi-continue inférieurement ssi ∀a∈R:ρ−1(]a, +∞[) (resp.
ρ−1(]∞, a])) est ouvert (resp. fermé) dans X.
On a une propriété analogue pour une application semi-continue supérieurement.
Exemple 1.1.1 Soit fune fonction semi-continue inférieurement sur un espace (quasi)-compact
non vide X. Alors il existe x0∈Xtel que f(x0) = inf
x∈Xf(x).
Proposition 1.1.3 Soient Uun voisinage ouvert de 0dans Rnet f:U→Rmde classe Ck>1.
Le rang de f(rg xf:= rg (df (x))) est semi-continu inférieurement.
Dém. : en effet, si fest de rang r0en 0alors le plus grand mineur non nul de Jf(0) est d’ordre
r0. Comme ce mineur est continu, il reste non nul sur un voisinage de 0. Donc si a<r0alors
a < rg xfsur un voisinage de 0.
On dit aussi plus simplement que le rang d’une application (Ck>1) ne peut qu’augmenter au
voisinage d’un point.
Corollaire 1.1.1 Si le rang d’une application Ck>1est maximal (i.e. égal à min(m, n)) en un
point alors il est constant sur un voisinage de ce point.
Théorème 1.1.1 (du rang constant) Soit f:Rn,0→Rm,0une application de classe Ck>1et
de rang constant r(6min(m, n)). Alors il existe des difféomorphismes Ck,ϕ:Rn,0→Rn,0et
ψ:Rm,0→Rm,0tels que pour x= (x1, . . . , xn)suffisamment voisin de 0:
ψ◦f◦ϕ(x)=(x1, . . . , xr,0,...,0).
Dém. : comme fest de rang r, on peut supposer sans perte de généralité que le mineur
|(∂fi
∂xj
(0))16i,j6r| 6= 0.
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Considérons ˜ϕ(x)=(f1(x), . . . , fr(x), xr+1, . . . , xn)défini sur un voisinage de 0. Alors la ma-
trice jacobienne de ˜ϕ(triangulaire par blocs) est inversible en 0. D’après le théorème d’inversion
locale, ˜ϕest un difféomorphisme local de classe Ck; notons ϕsa réciproque. Alors on a :
f◦ϕ(x)=(x1, . . . , xr, gr+1(x), . . . , gm(x)).
avec gi=fi◦ϕpour r+ 1 6i6m.
Comme la composition par un difféomorphisme ne change pas le rang, le rang de f◦ϕest
encore r. Cela signifie que (∂gi
∂xj
(x))r+16i6m
r+16j6n
= 0 (sinon le rang serait au moins r+ 1). Dès lors,
les (gi)r+16i6mdépendent uniquement des variables (xj)16j6r. Il vient :
f◦ϕ(x)=(x1, . . . , xr,˜gr+1(x1, . . . , xr),...,˜gm(x1, . . . , xr)).
Posons enfin, ψ(y)=(y1, . . . , yr, yr+1 −˜gr+1(y1, . . . , yr), . . . , ym−˜gm(y1, . . . , yr)). On vérifie que
ψest Cket que sa différentielle en 0est inversible. Alors si xest suffisamment voisin de 0, en
notant xr= (x1, . . .,xr)on obtient :
ψ◦f◦ϕ(x) = ψ(xr,˜gr+1(xr)−˜gr+1(xr),...,˜gm(xr)−˜gm(xr)) = (xr,0).
D’où le résultat.
Définition 1.1.2 Une application Ck>1de rang constant est une subimmersion.
Remarque 1.1.2 Cas particuliers fondamentaux :
1. Submersion :r=m6n. L’application f« se lit » localement comme la projection cano-
nique πm:Rm×Rn−m→Rm,πm(x)=(x1, . . . , xm).
2. Immersion :r=n6m. L’application f« se lit » localement comme l’injection canonique
jn:Rn→Rn×Rm−n,jn(x) = (x1, . . . , xn,0,...,0).
Exemple 1.1.2
1. Submersion det(A+H) = det(A) + tr(co(A)H) + O(H2).
2. Immersion γ(t)=(t2−1
t2+1 ,t(t2−1) t2+1 )pour t∈]− ∞,1[ est injective et Im γest fermé.
3. (a) Difféomorphisme ϕ:A∈GLn(K)Cω 7→ A−1, dϕ(A).H =−A−1HA−1(commenter
GL(E)ouvert si EBanach ; GLn(K)dense dans Mn(K)).
(b) f:C∗→C∗
z7→ z2(revêtement à 2 feuillets).
4. Si fest une submersion (resp. immersion) C1et si ha une dérivée suffisamment petite
alors f+hest encore une submersion (resp. immersion).
Corollaire 1.1.2 Soit f:Rn,0→Rm,0une submersion de classe Ck>1. Alors fest ouverte.
Proposition 1.1.4
1. Une subimmersion injective est une immersion (injective).
2. Une submersion injective (resp. bijective) est un difféomorphisme sur son image ouverte
(resp. global).
Corollaire 1.1.3 Soit f:Rn,0→Rm,0une submersion de classe Ck>1. Alors les niveaux de f
sont « difféomorphes » à des (ouverts de) sous-espaces affines de codimension m.
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Dém. : en effet, le théorème de « redressement » précédent signifie que le diagramme suivant est
commutatif : πm
Rn,0→Rm,0
ϕ↓↑ψ
Rn,0→Rm,0
f
Donc f−1(c) = (ψ−1◦πm◦ϕ−1)−1(c) = ϕ(π−1
m(ψ(c))) = ϕ({b}×Rn−m)avec b= (b1, . . . , bm) =
ψ(c).
Remarque 1.1.3 La boule Bn(0,1) est Cω−difféomorphe à Rn.
Définition 1.1.3 Un plongement est une immersion qui est un homéomorphisme sur son image.
Proposition 1.1.5 Une immersion est localement un plongement.
1.2 Théorème de Sard
Définition 1.2.1 Le volume d’un pavé ouvert P(a, b) :=]a1, b1[×···×]an, bn[de Rnest
vol(P) :=
n
Y
i=1
(bi−ai)avec a<b.
Définition 1.2.2 Une partie Ade Rnest négligeable ou de mesure nulle si pour tout  > 0,A
peut être recouverte par une famille dénombrable de pavés (ouverts) dont la somme des volumes
est inférieure ou égale à .
Proposition 1.2.1 Si A⊆Bet Best négligeable alors Aest négligeable.
Proposition 1.2.2 Une réunion dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable.
Dém. : en TD.
Exemple 1.2.1 Rn−1× {0}est négligeable dans Rn.
Remarque 1.2.1 Dans la définition de partie négligeable, on peut considérer des pavés fermés.
Proposition 1.2.3 Soit Pun pavé de Rnet (Pi)i∈Nune famille de pavés ouverts recouvrant ¯ P.
Alors X
i∈N
vol(Pi)>vol(P).
Dém. : le nombre nd’entiers dans l’intervalle ]a, b[vérifie b−a−16n6b−a+1. En supposant
que bi−ai>1, on obtient donc que le nombre nP(a,b)de points à coordonnées entières de P(a, b)
vérifie : n
Y
i=1
(bi−ai−1) 6nP(a,b)6
n
Y
i=1
(bi−ai+ 1).
Comme ¯ P(a, b)est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini P1, . . . , PNde (Pi). En
particulier,
n
Y
i=1
(bi−ai−1) 6
N
X
j=1
n
Y
i=1
(bj
i−aj i+ 1).
Soit t∈R∗
+. Alors le pavé tP (a, b) := P(ta, tb)est recouvert par les pavés tP1, . . . , tPNd’où :
n
Y
i=1
(tbi−tai−1) 6
N
X
j=1
n
Y
i=1
(tbj
i−taj i+ 1).
En multipliant par 1
tnpuis en prenant la limite t→+∞, on obtient le résultat annoncé.
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Corollaire 1.2.1 Un pavé n’est pas de mesure nulle.
Corollaire 1.2.2 Si Aest de mesure nulle dans Rnalors Rn\Aest dense dans Rn.
Dém. : supposons qu’il existe Ptel que P∩(Rn\A) = ∅. Alors P⊆A. Or, Aest de mesure
nulle donc Pest aussi de mesure nulle →←.
Définition 1.2.3 Soient Uun ouvert de Rnet f:U→Rmune application différentiable.
– Un point x∈Uest critique si rg xf < min(m, n). L’ensemble des points critiques est le
lieu critique, noté Cf.
– Une valeur critique y∈Rmest l’image d’un point critique (i.e. Cf∩f−1(y)6=∅) ; on note
∆f=f(Cf)le discriminant de f(i.e. l’ensemble des valeurs critiques).
– Un point y∈Rmqui n’est pas une valeur critique est une valeur régulière. On dit aussi
d’un point xtel que rg xfest maximal qu’il est régulier (mais f(x)peut être une valeur
critique).
Théorème 1.2.1 (de Sard) Soit f:Rn→Rmune application de classe Ck> n
m−1. Alors l’en-
semble des valeurs critiques de fest de mesure nulle.
Dém. : on va démontrer le résultat pour n=m= 1. On considère d’abord la restiction de fà
[0,1]. Comme f0est continue sur [0,1], elle y est uniformément continue.
Soit  > 0. Il existe donc η > 0tel que si |x−y|< η alors |f0(x)−f0(y)|< .
Soit N∈N∗un entier tel que 1
N< η. Considérons le recouvrement ([ k N,k+ 1 N])06k6N−1
de [0,1]. Soit x∈Cf∩[k
N,k+ 1 N]. Alors |f0(y)|<  pour y∈[k N,k+ 1 N]. En particulier,
|f(x1)−f(x2)|<
Npour x1, x2∈[k N,k+ 1 N].
Remarquons que f(Cf) = [
Cf∩[k
N,k+1 N]6=∅
f(Cf∩[k
N,k+ 1 N]). Or chacune des images est conte-
nue dans un intervalle de longueur au plus 
N. Enfin, R=[
p∈Z
[p, p + 1]. D’où le résultat.
Remarque 1.2.2 L’ensemble des points critiques peut être gros.
Corollaire 1.2.3 Soit f:Rn→Rmde classe Ck> n
m−1,m6n. Alors pour presque tout y∈Rm,
on a :
–f−1(y) = ∅
– ou bien, pour tout x∈f−1(y), il existe un voisinage Ude xtel que U∩f−1(y)∼
=Rn−m×{0}.
Remarque 1.2.3 En fait, si l’on considère g=f|U:U→Rmalors toute valeur suffisament
voisine de y=f(x)est atteinte par get le « feuilletage » des niveaux de gest difféomorphe à
des (ouverts de) sous-espaces affines parallèles 2à2.
Exemple 1.2.2 Soit f:R2→Rdéfini par
f(x, y)=(x2+y2)2−4x2= ((x+ 1)2+y2−1)((x−1)2+y2−1).
Alors :
–fest paire et présente une « symétrie axiale ».
–Cf={0,(−√2,0),(√2,0)}.
–f(Cf) = {0,−4}.
– Les courbes de niveau Ic=f−1(c)sont fermées et bornées (fest coercive) donc compactes.
D’autre part fadmet un min global.
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