TD 13 - Anne VAUGON

ENS de Lyon TD 13 27-29/11/2012
Topologie
Exercice 1. Montrer que le dual d’un espace vectoriel normé est un espace de Banach.
Exercice 2. Métrisabilité
Soit Eun espace vectoriel normé tel que la topologie faible sur Eest métrisable. On
va montrer que Eest de dimension finie.
1. Montrer que dans un espace métrique tout point admet une base dénombrable de
voisinages.
2. Montrer qu’il existe une famille dénombrable (fn)n∈N∈E∗telle que
Vn={x∈E|∀k≤n, |fk(x)|<1}
est une base de voisinages de 0.
3. Montrer que E∗est engendré algébriquement par les fn(on pourra utilise le lemme
d’algèbre linéaire suivant : f1, . . . , fn, h sont des formes linéaires telles que ∩ker fi⊂
ker halors h=Pλifi).
4. En déduire que Eest de dimension finie.
Exercice 3.
1. Montrer que (`1)∗est isométrique à `∞.
2. Montrer que `1n’est pas réflexif.
Exercice 4. Soit Hun espace de Hilbert et (ek)k∈Nune base hilbertienne.
1. Soit (ck)k∈N∈`2(N). Montrer que Pk∈Nckekconverge.
2. Montrer que (ek)k∈Nconverge faiblement vers 0.
Exercice 5. Soit Hun espace de Hilbert et (ek)k∈Zune famille de vecteurs telle qu’il
existe A, B > 0vérifiant :
∀v∈E, Akvk2≤X
k∈Z
|< v, ek>|2≤Bkvk2
1. Montrer que l’application φ:H→`2(Z)donnée par φ(v)=(< v, ek>)k∈Zest bien
définie et induit un isomorphisme (topologique) sur son image que l’on note V.
2. Vest-il fermé dans `2(Z)?
3. Montrer que l’adjoint φ∗:V→Hest bien défini et induit un isomorphisme
(topologique) de Vsur H.
4. On note πk:`2(Z)→Rla projection sur la k-ième coordonnée. Montrer que
πk◦(φ∗)−1est une forme linéaire continue sur Het en déduire l’existence d’une
famille ( ˜ek)de Htelle que :
∀v∈H, v =X
k∈Z
< v, ˜ek> ek=X
k∈Z
< v, ek>˜ek
1

Exercice 6. Trouver un fermé dans un espace de Hilbert sur lequel on ne peut pas
projeter.
Exercice 7. Algèbre linéaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie et u, v ∈L(E, F ).
1. Montrer que si uet vont même rang, il existe ϕ∈GL(E)et ψ∈GL(F)tel que
u=ψ◦v◦ϕ−1.
2. A quelle condition existe-t-il ψ∈GL(F)tel que u=ψ◦v?
On définit f, g :R2→Rpar f(x, y) = x7+xy3+y2+yet g(x, y) = x2+x4y+
x3y5+y3+x. Existe-t-il un difféomorphisme Ψentre voisinages de 0dans Rtel que
f= Ψ ◦g?
3. A quelle condition existe-t-il ϕ∈GL(E)tel que u=v◦ϕ−1?
Existe-t-il un difféomorphisme Φentre voisinages de 0dans R2tel que f=g◦Φ?
Exercice 8.
Déterminer si les application suivantes sont des immersions et/ou des submersions :
–
C∗→C∗
z7→ z2
–
C→C
z7→ z2
–
R→R2
t7→ 
(0, e−1
t)si t > 0
(0,0) si t= 0
(e1
t,0) si t < 0
–
R→R2
t7→ r(t)
cos(t)
sin(t)
si r2+ (r0)26= 0.
–
R3→R
(x, y, z)→x2+y2−z2
–
R→R2
t7→ 
cos(t)
sin(2t)
Pour le dernier exemple, trouver une fonction dont un niveau est l’image de cette appli-
cation. Que se passe-t-il en (0,0) ?
Exercice 9. Enoncer et démontrer le lemme des immersions.
Exercice 10. Application du théorème du rang
1. Soit A:Rm−→ Rnune application linéaire. À quelle condition Aest-elle ouverte ?
2

2. Soit f:Rm−→ Rnune application de classe C1qui est injective. Montrer que
m≤net que Df est de rang msur un ouvert dense.
Exercice 11.
Soit f:R→R2une application C∞, injective qui est une immersion. Son image est-elle
une sous-variété de R2?
Exercice 12. Involutions
Soit f:Rn→Rnune application de classe C1telle que f◦f=Id. On pose F ix(f) =
{x∈Rn:f(x) = x}.
1. Supposons f(0) = 0. On définit h:Rn→Rnpar h(x) = 1
2(x+df0(f(x))). Montrer
que hest un difféomorphisme entre voisinages de 0.
2. Montrer que h◦f=df0◦h.
3. En déduire que F ix(f)est une sous-variété de Rn.
Exercice 13. Rétractions
1. Soit r:R2→R2une fonction C1telle que r(x, 0) = (x, 0) et dr est de rang 1
partout. Montrer que rest à valeurs dans R× {0}.
2. Soit Mune sous-variété de dim kde Rn,Uun voisinage ouvert de Met r:U→U
une application C∞de rang partout égal à ktel que r(x) = xpour tout x∈M.
Montrer que rest à valeurs dans M.
3. Soit Uun ouvert connexe de Rnet r:U→Uune application C∞telle que r◦r=r.
On note Ml’image de r. Montrer que rest de rang constant près de Met en déduire
que que Mest une sous-variété de Rn.
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