Résumé de la semaine du 9 Novembre 2015 - ANMC
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Algèbre linéaire avancée
Prof. A. Abdulle
Automne 2015
EPFL
Résumé de la semaine du 9 Novembre 2015
Dénition de l'ensemble d'applications linéaires noté L(V, W ). Il s'agit d'un K -espace
vectoriel (espace vectoriel sur un corps K ). Dénition du noyau d'une application
linéaire ker(f ) et de l'image de f , noté Im (f ).
Soient V, W deux K -espaces vectoriels et f : V → W une application
linéaire. Alors
Lemme 1.
i) ker(f ) est un sous-espace vectoriel de V et Ker(f ) = {0} si et seulement si f est
injective.
ii) Im (f ) est un sous-espace vectoriel de W et Im (f ) = W si et seulement si f est
surjective.
Si f : V → W est linéaire bijective (isomorphisme) alors f −1 : W → V
est aussi linéaire.
Corollaire.
Soient V, W deux K -espaces vectoriels et f : V → W une application
linéaire. Alors
Lemme 2.
i) si {v1 , . . . , vn } est une famille linéairement dépendante de V alors {f (v1 ), . . . , f (vn )}
est une famille linéairement dépendante de W .
ii) si {v1 , . . . , vn } est une famille linéairement indépendante de V et f est injective,
alors {f (v1 ), . . . , f (vn )} est une famille linéairement indépendante de W .
Corollaire. Soient V, W deux K -espaces vectorielsde dimension nie. Supposons qu'il
existe un isomorphisme f : V → W . Alors dim(V ) = dim(W ).
Dénition du rang d'une application linéaire.
Soit A ∈ Mm×n (K). On considère l'application linéaire fA : K n → K m
dénie par fA (x) = Ax. Alors rang (fA ) = rang (A).
Lemme 3.
(Théorème du rang). Soient V, W deux K -espaces vectoriels avec dim V <
∞ et f : V → W une application linéaire. Alors n = dim(V ) = rang (f ) + dim ker(f )
Théorème 1
Soient V, W deux K -espaces vectoriels de dimension nie avec dim V =
dim W , et f : V → W une application linéaire. Alors les armations suivantes sont
équivalentes
Corollaire.
i) f est injective,
ii) f est surjective,
iii) f est bijective.
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5.2
Coordonnée d'un vecteur, matrice d'une application linéaire
Représentation d'une application linéaire avec une matrice.
Théorème 1. Soient V, W deux K -espaces vectoriels avec dim V = dim W < ∞. Soit
BV = {v1 , . . . , vn } et BW = {w1 , . . . , wn } des bases de V et W . ALors il existe une
unique application linéaire f : V → W telle que f (vi ) = wi , i = 1, . . . , n. Cette
application linéaire est un isomorphisme.
Soient V un K -espace vectoriel de dimension nie et B = {v1 , . . . , vn }
une base de V . Alors il existe un unique isomorphisme [·] : V → K n tel que [vi ]B = ei ,
i = 1, . . . , n où {e1 , . . . , en } est la base canonique de K n .
Corollaire.
Dénition d'un système de coordonnées, exemples.
Matrice d'une application linéaire
Soit f : K n → K m une application linéaire, K un corps. Alors il existe
une unique matrice A ∈ Mm×n (K) telle que f (x) = Ax.
Lemme 1.
Dénition de la matrice de l'application linéaire f par rapport aux bases BV et BW ,
que l'on note [f ]BV ,BW . Exemples.
Soient V, W deux K -espaces vectoriels de dimension nies et BV , BW des
bases de V , W respectivement. Notons n = dimV et m = dimW . Alors l'application
ψ : L(V, W ) → Mm×n (K) qui envoie f 7→ [f ]BV ,BW est un isomorphisme d'espace
vectoriel.
Théorème 2.
Corollaire. Soient V, W deux K -espaces vectoriels avec dim V = n et dim W = m.
Alors dim(L(V, W )) = m · n.
Soient U, V, W des K -espaces vectoriels de dimension nie avec des
bases BU , BV , BW . Soient g : U → V et f : V → W des applications linéaires. Alors
[f g]BU ,BW = [f ]BV ,BW · [g]BU ,BV .
Théorème 3.
Soit V, W deux K -espaces vectoriels avec bases BV et BW . Supposons que
dim V = dim W . Soit f ∈ L(U, W ), f bijectivre (isomorphisme), alors [f −1 ]BW ,BV =
([f ]BV ,BW )−1 .
Corollaire.
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
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